PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 3, A Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 3 · A Peek Beyond the Point

नापने के लिए पूरी units काफ़ी क्यों नहीं हैं

Splitting the unit11 मिनट

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2 पेंच, देखने में बिल्कुल एक जैसे, पर एक खिलौने में कसता है और दूसरा ढीला रहता है। पूरे cm वाला ruler दोनों को 2 और 3 के बीच बताता है, बीच के निशान वाला ruler दोनों को 2½ और 3 के बीच। सिर्फ़ दसवें हिस्सों वाला ruler फ़र्क पकड़ता है: 2 और 7 दसवें, 2 और 8 दसवें।

मुख्य idea

नाप कोई number नहीं, बल्कि यह दावा है कि कोई चीज़ कहाँ पड़ती है — और मोटे निशानों वाला ruler सिर्फ़ कमज़ोर दावा कर सकता है, ग़लत दावा कभी नहीं। chapter एक screw से शुरू होता है जिसे तीन rulers पर तीन बार नापा गया है (Part I, §3.1, p.47); screw कभी नहीं बदलता, और तीनों में से कोई जवाब झूठा नहीं है। बदलता यह है कि हर जवाब कितनी संभावनाएँ ख़ारिज करता है। इसीलिए unit को काटा जाता है: पहले जवाब को सुधारने के लिए नहीं, बल्कि एक सँकरा जवाब पाने के लिए।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि इतना छोटा अंतर जो दिखे भी नहीं, फिर भी यह तय कर सकता है कि कोई चीज़ काम करेगी या नहीं
  • एक ही लंबाई को पूरी units, आधे हिस्सों और दसवें हिस्सों वाले rulers पर पढ़ना, और लिखना कि हर ruler तुम्हें क्या कहने का हक़ देता है
  • बताना कि मोटी reading ग़लत reading क्यों नहीं है, और बारीक ruler क्या जोड़ता है
  • नापी हुई लंबाई को units की पूरी संख्या और कुछ दसवें हिस्सों के रूप में लिखना
  • ऐसी लंबाई को उसी रूप में बोलकर पढ़ना जो chapter इस्तेमाल करता है
  • दो निशानों के बीच पड़ने वाली लंबाई दी हो, तो वे दो numbers बताना जिनके बीच वह है
  • आम तौर पर वह क़दम बताना जो chapter तब उठाता है जब जवाब और पैना होना हो: unit बदलने के बजाय उसी unit को बराबर हिस्सों में काटना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
unitवह एक पूरी लंबाई जिसे ruler के निशान गिनते जाते हैंइकाईPart I, §3.1, p.47 में जगह-जगह छपा
scaleनिशानों वाला ruler जिसके सामने लंबाई पढ़ी जाती हैमापनीPart I, §3.1, p.47 में छपा
markingscale पर खिंची lines में से एक, जिसके सामने reading पढ़ी जाती हैअंकनPart I, §3.3, p.53 में छपा, जहाँ इनका न होना ही समस्या है
centimeterशुरुआती rulers पर इस्तेमाल हुई लंबाई की unit; किताब यही spelling इस्तेमाल करती हैसेंटीमीटरPart I, §3.1, p.47 में छपा
one-tenthकिसी unit के दस बराबर हिस्सों में से एकदसवाँ भागPart I, §3.2, p.48 में छपा
tenthsएक बार बाँटने के बाद मिले हिस्से, गिने हुएदशांशPart I, §3.2, p.48 में छपा
fractionऐसा number जो इतने बराबर हिस्सों में से इतने हिस्सों के रूप में लिखा जाएभिन्नकक्षा 6 से और Part I, Chapter 8 की शब्दावली से साथ आया
exactपूरी तरह तय, कुछ भी खुला नहींयथार्थPart I, §3.1, p.48 में छपा, और फिर chapter summary में, p.80
accuratescale जितनी इजाज़त दे, उतना नापी गई चीज़ से मेल खाता हुआसटीकPart I, §3.1, p.47 में accurately के रूप में छपा, और chapter summary, p.80 में accurate के रूप में
precise measureउस reading के लिए किताब का वाक्यांश जो बारीक बँटवारे से मुमकिन होती हैपरिशुद्ध मापPart I, §3.4, p.59 में छपा
intervalदो पड़ोसी निशानों के बीच का हिस्सा, जिसके अंदर असली लंबाई बैठी हैअंतरालव्याख्या का अपना शब्द; chapter यही विचार दोनों सिरों का नाम लेकर कहता है
graduationscale पर निशानों के बीच की दूरीअंशांकनव्याख्या का अपना शब्द, इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells किसी Hindi छपाई से नहीं पढ़े गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "पहली दो readings ग़लत थीं और तीसरी सही।" तीनों उसी screw के बारे में सच हैं। screw 2 cm और 3 cm के बीच है; वह 2½ cm से ज़्यादा और 3 cm से कम भी है; और वह 2 और 7 दसवें भी है। हर reading पिछली से ज़्यादा संभावनाएँ ख़ारिज करती है। इसे उलटा समझ लेने से पूरा chapter ग़लतियाँ सुधारने की कहानी बन जाता है, जो वह है नहीं।
  • "2 और 7 दसवें ही exact लंबाई है।" वह एक दसवें तक exact है। ठीक अगला section वही क़दम फिर उठाता है और हर दसवें को दस में बाँटता है, उसी वजह से। जो student सोचता है कि दसवें हिस्सों वाली scale पर कहानी ख़त्म हो जाती है, उसे §3.3 बेवजह लगेगा।
  • "छोटे अंतर मायने नहीं रखते।" शुरुआती दृश्य इसी सोच को ख़त्म करने के लिए है। दोनों screws में इतना-सा अंतर है जिसे कोई देख नहीं सकता, और उनमें से एक नाकाम होता है।
  • "किसी छोटी चीज़ को नापने के लिए छोटी unit चाहिए।" chapter का क़दम यह है कि जो unit तुम्हारे पास पहले से है उसे बराबर हिस्सों में काटो, और unit का नाम वही रखो। एक अलग छोटी unit — millimetre — आती तो है, लेकिन §3.5 तक नहीं, और वह इन्हीं हिस्सों में से एक निकलती है, कोई स्वतंत्र विचार नहीं।
  • "2½ cm और 2 और 5 दसवें cm अलग-अलग लंबाइयाँ हैं।" वे एक ही लंबाई हैं, अलग तरह से निशान लगे rulers पर पढ़ी हुई। आधों वाला ruler ग़लत नहीं है, बस अलग तरह से कटा है — यह बात chapter Part I, §3.4, p.59 पर सीधे उठाता है।
  • "ruler अच्छा अपने निशानों की गिनती से बनता है।" मायने यह रखता है कि हिस्से बराबर हों। इस chapter का हर बँटवारा बराबर हिस्सों में है, और यह शब्द असली काम करता है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,598 शब्द

एक खिलौना खुल गया है, और उसे फिर से जोड़ने के लिए एक पेंच बचा है। पेंच अंदर जाता है, घूमता है, पर कभी ठीक से कसता नहीं। वह ढीला पड़ा रहता है, और खिलौना अब भी हिलता है। तो उसी डिब्बे से एक दूसरा पेंच निकाला जाता है, और वह एकदम कस जाता है। अब इन 2 पेंचों को साथ साथ रखकर देखो। वही रंग, वही चूड़ियाँ, और वही सिर।

पास पास रखो, तो लगता है कि यह एक ही पेंच 2 बार रखा है। पर एक काम करता है, और दूसरा नहीं। यानी इन दोनों में फ़र्क है, असली फ़र्क, और वह आँख से नहीं दिखता। इसे तय करने का एक ही तरीका है, नापना, और यह सवाल जितना लगता है उससे कहीं गहरा है। यहाँ वही 2 पेंच हैं, एक ही सिरे से बराबर रखे हुए। ऊपर वाला बस थोड़ा सा लंबा है।

फ़र्क है सेंटीमीटर का बस 1 दसवाँ हिस्सा। अगर ये किसी दराज़ में आपस में मिल जाएँ, तो सही वाला जानबूझकर उठाना नामुमकिन है। पर खिलौने के छेद को इससे मतलब नहीं कि हमें क्या दिखता है। उसे असली लंबाई से मतलब है, और असली लंबाइयाँ अलग अलग हैं। तो असली सवाल पेंचों का है ही नहीं। सवाल यह है, इतना पैना जवाब कैसे मिले, कि इन 2 को अलग पहचाना जा सके?

क्योंकि नाप कोई तथ्य नहीं जिसे हम कहीं देख लें, यह एक दावा है जो हम करते हैं। और कोई दावा बिल्कुल सच होकर भी हमारे किसी काम का न हो, ऐसा हो सकता है। शुरुआत एक सीधे ruler से, जिस पर सिर्फ़ हर पूरे सेंटीमीटर पर निशान है। यहाँ 0 से 3 तक, कुल 4 निशान। पहला पेंच इस पर रखो, एक सिरा 0 पर। दूसरा सिरा 2 के निशान से आगे है, पर 3 से पहले।

तो लंबाई कितनी है? यहाँ कोई एक सच्ची संख्या बताई ही नहीं जा सकती। सिरा किसी निशान पर नहीं रुकता, इसलिए यह ruler उसे नाम नहीं दे सकता। यह बस इतना बता सकता है, पेंच 2 और 3 सेंटीमीटर के बीच है। यही पूरा जवाब है, कोई संख्या नहीं, बल्कि बीच की एक जगह। और यह अंदाज़ा नहीं है, यह पूरी तरह सच है, पेंच सच में 2 से लंबा और 3 से छोटा है।

अब दूसरा ruler, जिस पर हर 2 निशानों के ठीक बीच एक और निशान है। वही सेंटीमीटर, बस हर एक आधे में कटा हुआ, और 0 से 3 तक कुल 7 निशान। वही पेंच, फिर से एक सिरा 0 पर। दूसरा सिरा पहले की तरह 2 से आगे है। पर अब दिखता है कि वह 2 और आधे के निशान से भी आगे है। और अब भी 3 से पहले।

तो यह ruler कहता है, 2 और आधे से 3 के बीच। यह बेहतर जवाब है, और बेहतर का मतलब साफ़ समझना ज़रूरी है। पहले ruler ने असली लंबाई को छिपने के लिए पूरा 1 सेंटीमीटर छोड़ा था। यह ruler सिर्फ़ आधा सेंटीमीटर छोड़ता है, पेंच ज़रा भी नहीं बदला, बस जवाब सिकुड़ गया। तीसरा ruler, इस बार हर सेंटीमीटर 10 बराबर हिस्सों में कटा है। यहाँ 2 और 3 के बीच 10 हिस्से हैं, सब बिल्कुल एक जितने चौड़े।

यानी 0 से 3 तक कुल 31 निशान। अब पेंच एक बार और रखो। पहले 0 से 2 के निशान तक चलो, यह आसान हिस्सा है। फिर उसके आगे छोटे हिस्से गिनो, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7। पेंच का सिरा ठीक सातवें छोटे निशान पर आकर रुकता है। तो लंबाई है 2 पूरे सेंटीमीटर, और अगले सेंटीमीटर के 10 में से 7 हिस्से। यानी 2 और 7 दसवें सेंटीमीटर।

और पहली बार जवाब 2 संख्याओं की जोड़ी नहीं, एक अकेली संख्या है। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सिरा एक निशान पर रुका, यह बात याद रखना, यह आख़िर में फिर आएगी। अब दोनों पेंचों को तीनों rulers पर रखते हैं। पूरे सेंटीमीटर वाले ruler पर, पहला पेंच 2 और 3 के बीच। और दूसरा पेंच भी 2 और 3 के बीच। एक ही जवाब 2 बार, यह ruler इनमें कोई फ़र्क देख ही नहीं सकता।

आधे वाले ruler पर, पहला पेंच 2 और आधे से 3 के बीच। और दूसरा भी 2 और आधे से 3 के बीच। निशान बढ़ गए, फिर भी दोनों का जवाब बिल्कुल एक। अब दसवें हिस्से वाला ruler, पहला पेंच 2 और 7 दसवें। और दूसरा पेंच 2 और 8 दसवें। यही वह ruler है जो इन्हें अलग कर पाया, और बारीक पैमाना हमें यही देता है, चीज़ों को अलग पहचानना।

यह कहने का मन करता है कि पहले 2 rulers गलत थे, और तीसरा सही। ऐसा नहीं है, तीनों जवाब साथ रखकर देखो। यानी 2 और 3 के बीच, 2 और आधे से 3 के बीच, और 2 और 7 दसवें। ये तीनों, एक ही पेंच के बारे में सच हैं। इन्हें एक line के ऊपर 3 पट्टियों की तरह बनाओ, तो असली बात दिखती है। सबसे चौड़ी पट्टी पूरे 1 सेंटीमीटर की है।

अगली आधे सेंटीमीटर की, और तीसरी सेंटीमीटर के 1 दसवें हिस्से की। और हर पट्टी, पूरी की पूरी पिछली पट्टी के अंदर बैठती है। यहाँ कुछ भी सुधारा नहीं जा रहा, हर जवाब बस पिछले से ज़्यादा जगह बाहर कर देता है। पहली पट्टी के मुकाबले, दूसरी ने आधी जगह हटा दी, और तीसरी ने 10 में से 9 हिस्से। पर एक सवाल बचता है, कहीं यह इस बार की किस्मत तो नहीं थी।

तो अब 2 ऐसे पेंच लो जिनमें ठीक 1 दसवें हिस्से का फ़र्क है, और उन्हें ruler पर खिसकाते जाओ। यानी 0 से 10 सेंटीमीटर तक, 400 अलग अलग जगहों पर। हर जगह हम देखते हैं कि ruler इन 2 को अलग बताता है या नहीं। पूरे सेंटीमीटर वाला ruler, 400 में से सिर्फ़ 40 बार। वह भी तभी, जब कोई निशान ठीक दोनों सिरों के बीच आ जाए। आधे वाला ruler, 400 में से 80 बार।

और दसवें हिस्से वाला ruler, 400 में से पूरे 400 बार। यानी मोटा ruler भी कभी कभी किस्मत से फ़र्क पकड़ लेता है। पर इस फ़र्क के लिए, दसवें हिस्से वाले ruler पर हर बार भरोसा किया जा सकता है। अब उस लिखी हुई लंबाई को ध्यान से पढ़ते हैं, 2 और 7 दसवें सेंटीमीटर। यहाँ 2, पूरे सेंटीमीटरों की गिनती है, एक के बाद एक। और 7 भी एक गिनती है, पर किसी बहुत छोटी चीज़ की।

यह अगले सेंटीमीटर के हिस्से गिनता है, ऐसे 7 हिस्से। और शब्द दसवें बताता है कि एक हिस्सा कितना बड़ा है। सेंटीमीटर के 10 बराबर टुकड़ों में से एक, और 10 ऐसे हिस्से मिलकर पूरा 1 सेंटीमीटर भरते हैं। यहाँ शब्द बराबर बहुत ज़रूरी काम कर रहा है। अगर हिस्से छोटे बड़े होते, तो 7 हिस्से कहने से कोई तय लंबाई नहीं निकलती। यह देखो, एक और ruler, उतने ही 11 निशान, पर बेढंगी दूरी पर।

इसकी सबसे चौड़ी खाली जगह है 3 दसवें सेंटीमीटर, जबकि बराबर वाले पर सिर्फ़ 1 दसवाँ। और 1 दसवाँ और 2 दसवें, यह ruler इन्हें एक ही खाली जगह में डाल देता है, जबकि बराबर वाला इन्हें अलग रखता है। अब आधे वाले ruler को दसवें वाले ruler के ठीक ऊपर रखो। आधे वाले ruler के सारे 7 निशान, दसवें वाले ruler पर भी मौजूद हैं। यहाँ हर पाँचवाँ छोटा निशान, एक आधे का निशान है।

तो 2 और आधा, ठीक वही जगह है जो 2 और 5 दसवें। ये 2 अलग लंबाइयाँ नहीं हैं, एक ही लंबाई है, बस अलग तरह से कटे ruler पर पढ़ी गई। आधे वाला ruler गलत नहीं है, वह बस कम बारीक कटा है। अब इसे उसी क्रम में पढ़ते हैं जिसमें यह बना है, पहले 2, फिर 7 दसवें। यहाँ पढ़ने के लिए एक और लंबाई, 3 और 2 दसवें सेंटीमीटर।

यानी 3 पूरे सेंटीमीटर, और फिर अगले के 10 में से 2 हिस्से। मोटे ruler पर यही लंबाई बस 3 और 4 के बीच कहलाती। और आधे वाले ruler पर, 3 और 3 और आधे के बीच। अब दसवें वाले ruler को आसपास की चीज़ों पर आज़माओ। एक रबड़, 4 पूरे सेंटीमीटर, फिर 1 हिस्सा, यानी 4 और 1 दसवाँ। एक पेंसिल, 12 पूरे सेंटीमीटर और 6 हिस्से, यानी 12 और 6 दसवें।

चॉक का एक टुकड़ा, 6 पूरे और 3 हिस्से, यानी 6 और 3 दसवें। हर बार पहले पूरी इकाइयाँ पढ़ो, फिर हिस्से गिनो, बस यही पूरा हुनर है। अब एक कदम पीछे हटकर देखो, कि असल में किया क्या गया। जवाब को और पैना होना था, और इसके 2 रास्ते थे। पहला, कहीं से कोई छोटी इकाई ढूँढ लाना। पर ऐसा नहीं हुआ। सेंटीमीटर वैसा का वैसा रहा, बस वह बराबर हिस्सों में कट गया।

और उन हिस्सों की गिनती, पूरे सेंटीमीटरों के बाद लिख दी गई। यही वह चाल है, और जब भी ज़रूरत हो, यह फिर काम आती है। क्योंकि 2 और 7 दसवें भी कहानी का अंत नहीं है। यह बस एक दसवें तक सही है, सेंटीमीटर के 1 सौवें हिस्से जितना लंबा पेंच भी इस ruler पर यही पढ़ा जाएगा। तो हर दसवें हिस्से को फिर से काटो, यानी 1 सेंटीमीटर में 100 हिस्से, और अब वह भी अलग दिखता है।

इकाई कभी नहीं बदलती, बदलता है बस यह कि उसे कितना बारीक काटा गया। याद रखो, नाप एक दावा है कि चीज़ कहाँ है, 2 निशानों के बीच। पूरे सेंटीमीटर वाला ruler कहता है 2 और 3 के बीच, और यह सच है। आधे वाला कहता है 2 और आधे से 3 के बीच, यह भी सच है, बस ज़्यादा पैना। दसवें वाला कहता है 2 और 7 दसवें, और यही 2 पेंचों को अलग करता है।

मोटा जवाब गलत नहीं होता, वह बस कम जगह बाहर करता है। और जवाब पैना करने के लिए इकाई नहीं बदलते, उसे बराबर हिस्सों में काटते हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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