PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 8, Playing with ConstructionsPrepShorts

Chapter 8 · Playing with Constructions

rectangle को परिभाषित करने वाली दो properties, और वह एक और जो square को चाहिए

What makes a square a square11 मिनट

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क्या square एक rectangle है? कुछ लोग झट से कहते हैं नहीं, कुछ धीरे से हाँ — क्योंकि ये शब्द हमने तस्वीरों से सीखे। पर ये राय की बात नहीं। rectangle का test 2 lines का है: आमने-सामने की भुजाएँ बराबर, और चारों angle 90 degree के। square का test वही है, बस पहली line कसी हुई: चारों भुजाएँ बराबर।

मुख्य idea

कोई figure rectangle या square इसलिए है कि वह एक जाँच में पास होती है, इसलिए नहीं कि वह वैसी दिखती है। chapter हर एक के लिए दो शर्तें देता है, और दिलचस्प बात तब होती है जब दोनों सूचियाँ अगल-बगल रखी जाती हैं: square की यह माँग कि सारी भुजाएँ बराबर हों, rectangle की इस माँग का ज़्यादा कड़ा रूप है कि आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हों, इसलिए जो भी square की जाँच में पास होता है, वह rectangle की जाँच में पहले ही पास हो चुका है। हर square एक rectangle है — यह नतीजा दोनों छपी सूचियों से अपने-आप निकलता है, और chapter को इसे कभी ज़ोर से कहना नहीं पड़ता।

आपको क्या आना चाहिए

  • चार भुजाओं वाली figure के कोनों, भुजाओं और angles के नाम बताना, और पहचानना कि कौन-सी भुजाएँ एक-दूसरे के आमने-सामने हैं
  • chapter rectangle के लिए जो दो शर्तें देता है, उन्हें बताना
  • chapter square के लिए जो दो शर्तें देता है, उन्हें बताना
  • किसी दी गई figure के लिए तय करना कि वह किन शर्तों में पास होती है और किनमें नहीं
  • समझाना कि हर square rectangle की जाँच में पास क्यों होता है
  • जहाँ ऐसी figure मुमकिन हो, वहाँ ऐसी figure बनाना जो किसी जोड़ी की एक शर्त पूरी करे और दूसरी नहीं
  • जाँचना कि क्या अकेले चार right angles ही आमने-सामने की भुजाओं को बराबर होने पर मजबूर कर देते हैं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
rectangleऐसी 4-sided figure जिसकी आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं और जिसके सारे angles 90° हैंआयत§8.2, p.192 में छपा
squareऐसी 4-sided figure जिसकी सारी भुजाएँ बराबर हैं और सारे angles 90° हैंवर्ग§8.2, p.192 में छपा
cornersवे चार points जहाँ figure की भुजाएँ मिलती हैंकोने§8.2, p.192 में छपा
sidesboundary बनाने वाले चार line segmentsभुजाएँ§8.2, p.192 में छपा
anglesकोनों पर के चार मोड़, ∠ चिह्न के साथ लिखे जाते हैंकोण§8.2, p.192 में छपा
opposite sidesकिसी जोड़ी की वे दो भुजाएँ जो figure के आर-पार एक-दूसरे के सामने हैंसम्मुख भुजाएँ§8.2, p.192 में bold में छपा
propertiesवे शर्तें जिन्हें अपना नाम पाने के लिए figure को पूरा करना होता हैगुणधर्म§8.2, p.193 में छपा
4-sided figureचार सीधी भुजाओं वाली बंद figure के लिए chapter के शब्दचतुर्भुज§8.3, p.197 में छपा
right angle90° का angleसमकोण§8.5, p.204 में छपा
rhombusऐसी 4-sided figure जिसकी सारी भुजाएँ बराबर हैं, पर जिसके angles का 90° होना ज़रूरी नहींसमचतुर्भुजयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा
quadrilateral4-sided figure का दूसरी जगहों पर चलने वाला आम नामचतुर्भुजयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में Ganita Prakash का हिंदी संस्करण नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Square एक आकृति है और rectangle दूसरी आकृति।" ये दो जाँचें हैं, और square वाली जाँच ज़्यादा कठिन है। जो उसमें पास होता है, वह दूसरी में भी पास होता है। दोनों छपी सूचियाँ यही कहती हैं, भले ही chapter यह नतीजा खोलकर नहीं लिखता।
  • "Rectangle एक खिंचा हुआ square है।" उलटा है। शर्तों से शुरू करो: rectangle सिर्फ़ यह वादा करता है कि आमने-सामने की भुजाएँ मेल खाती हैं; square वादा करता है कि चारों मेल खाती हैं।
  • "बराबर भुजाएँ square बनाती हैं।" p.194 वाले संग्रह में B और C की चारों भुजाएँ बराबर हैं और वे squares नहीं हैं। S2 असली काम कर रहा है।
  • "चार right angles square बनाते हैं।" उसी संग्रह में D के चार right angles हैं और वह square नहीं है। वह एक rectangle है।
  • "देखकर ही पता चल जाता है।" p.194 की चारों figures ठीक इसीलिए तिरछी हैं कि देखना काम न आए। chapter का अपना Think वाला सवाल पूछता है कि क्या grid पर कोनों की जगहें, बिना कुछ नापे ही, यह तय कर सकती हैं — और वे कर सकती हैं।
  • "R1 और R2 दोनों ज़रूरी हैं, इसलिए वे एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं।" उनमें से एक स्वतंत्र नहीं है: R2 अपने-आप R1 को लागू कर देता है, और ठीक यही बात p.197 वाला सवाल खोलकर दिखाता है। chapter दोनों को रखता है क्योंकि दोनों को जाँचना काम का है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 8.2 Q2

पूरा transcript1,569 शब्द

ये देखिए: बीच में 1 rectangle, और उसके कोनों से बाहर की ओर 4 square। कौन क्या है, बताना आसान है। तो एक बेतुका-सा सवाल पूछते हैं: क्या बीच वाला rectangle एक square है? साफ़ है — नहीं। अब उल्टा पूछिए: क्या ये 4 square, rectangle हैं? कुछ लोग झट से कहते हैं — नहीं। कुछ धीरे से कहते हैं — हाँ। ये उलझन इसलिए है, क्योंकि ये दोनों शब्द हमने तस्वीरों से सीखे: ये square है, वो लंबा वाला rectangle।

और तस्वीरें ऐसा सवाल तय नहीं कर सकतीं। पर ये राय की बात नहीं है। आख़िर तक आप इसे 2 lines में तय कर पाएँगे। पहले ये तय करें कि हम जाँच किसकी कर रहे हैं। तो एक 4 भुजाओं वाला चित्र लीजिए, और उसका हर हिस्सा नाम से बुलाइए। इसके 4 कोने हैं। घूमते हुए इन्हें A, B, C और D कहिए। 4 भुजाएँ: A से B, B से C, C से D, और D से वापस A।

और 4 angle — हर कोने पर एक। कोने, भुजाएँ, angle — बस इतने शब्द। और इन पर बारीकी ज़रूरी है, क्योंकि जाँच में आपको ठीक-ठीक बताना होगा कि कौन-सा हिस्सा फ़ेल हुआ। आगे की हर बात या भुजाओं के बारे में है, या angles के बारे में। जाँच से पहले एक और बात तय कीजिए: आमने-सामने की भुजाएँ कौन-सी हैं। A B ऊपर है। उसके ठीक सामने, नीचे, C D है।

ये 1 जोड़ी है — एक रंग में। B C दाईं ओर, और D A बाईं ओर। ये दूसरी जोड़ी है — दूसरे रंग में। तो 4 भुजाओं वाले चित्र में आमने-सामने की 2 जोड़ियाँ होती हैं, और हर भुजा ठीक 1 जोड़ी में। और जो भुजाएँ एक कोना बाँटती हैं, वो पड़ोसी हैं, आमने-सामने नहीं। जैसे A B और B C, जो B पर मिलती हैं। अब देखिए कि हर test किस बारे में पूछता है — क्योंकि वो हमेशा एक ही बात नहीं पूछता।

ये रहा rectangle का test। सिर्फ़ 2 lines का। पहली line कहती है, आमने-सामने की भुजाएँ बराबर। ऊपर वाली नीचे वाली के बराबर, बाईं दाईं के बराबर। ध्यान दीजिए, ये ऊपर वाली को बाईं के बराबर होने को नहीं कहती। दूसरी line कहती है, चारों angle 90 degree के। दोनों में पास, तो rectangle। किसी एक में फ़ेल, तो नहीं। कोई आकार पूरा rectangle जैसा दिख सकता है, और फिर भी उसका एक angle 90 से ज़रा-सा कम हो।

तब वो rectangle है ही नहीं। और एक लंबा-पतला आकार, 6 और 2 का, दोनों lines पास कर लेता है। वो पूरा rectangle है। rectangle बस इतना ही है। कोई पहचाना हुआ आकार नहीं — एक चित्र, जो 2 जाँचें पास करता है। और ये रहा square का test। ये भी 2 lines का। पहली line कहती है, चारों भुजाएँ बराबर। सिर्फ़ आमने-सामने वाली नहीं — चारों। दूसरी line कहती है, चारों angle 90 degree के।

अब दोनों tests को फिर से, धीरे-धीरे पढ़िए। इनके बीच कुछ चल रहा है — और यही इस पूरी बात की वजह है। rectangle बाईं ओर, square दाईं ओर। पहले दूसरी lines देखिए। चारों angle 90 degree। और चारों angle 90 degree। ये मिलती-जुलती शर्तें नहीं — एक ही शर्त, 2 बार लिखी हुई। तो पूरा फ़र्क पहली line में है। एक कहती है, आमने-सामने की जोड़ियाँ बराबर। दूसरी कहती है: चारों बराबर।

और चारों का बराबर होना, जोड़ियों के बराबर होने से अलग माँग नहीं — उसी माँग का भारी रूप है। यानी square का test, rectangle के test का विरोधी नहीं। वो rectangle का ही test है, पहली line कसी हुई। यानी square की पहली line पास करने का मतलब, rectangle की पहली line पास करना। उल्टा कभी नहीं। इससे शुरू वाला सवाल तय हो जाता है। कोई भी चित्र लीजिए, जो square का test पास करता है।

उसकी चारों भुजाएँ बराबर हैं। तो उसकी ऊपर वाली भुजा नीचे वाली के बराबर है, और बाईं दाईं के बराबर — क्योंकि चारों एक ही संख्या हैं। यानी rectangle की पहली line वो बिना पूछे पास कर चुका है। और दूसरी line तो हूबहू वही है। वो भी पास। हर square एक rectangle है। अक्सर नहीं, मोटे तौर पर नहीं — हर एक। क्योंकि कड़ा test पास करने में, आसान test पास करना शामिल है।

सोचिए, rectangles का एक बड़ा घेरा, और उसके अंदर squares का छोटा घेरा। उल्टी दिशा में बात नहीं चलती। 6 और 2 वाला आकार देखिए: आमने-सामने की भुजाएँ बराबर, पर चारों बराबर नहीं। वो rectangle है, पर square नहीं। छोटे-छोटे सारे चित्र जाँच डालिए — rectangles, squares से ज़्यादा निकलते हैं। squares वाला घेरा ही अंदर वाला छोटा घेरा है। और जिस झुके हुए चित्र की चारों भुजाएँ बराबर हों, वो दोनों घेरों से बाहर बैठता है — क्योंकि angle वाली line में वो फ़ेल है।

अब square के test को तोड़कर देखिए। ये एक चित्र है, जिसकी चारों भुजाएँ ठीक 5 सेंटीमीटर की हैं। इसके diagonal 8 और 6 हैं। और इसका एक भी कोना 90 degree का नहीं। ये झुका हुआ है। भुजा 5 क्यों? क्योंकि हर भुजा एक कोने से दूसरे तक, एक दिशा में 4 और दूसरी में 3 चलती है — और 4 और 3 कदम की तिरछी दूरी 5 होती है।

diagonal 8 और 10 लीजिए: फिर चारों भुजाएँ बराबर, फिर भी कोई कोना सीधा नहीं। कोने सीधे तभी होते हैं, जब दोनों diagonal बराबर हों — 8 और 8। यानी सिर्फ़ बराबर भुजाओं से कुछ नहीं मिलता। angle वाली line असली काम कर रही है। अब दूसरी ओर से तोड़िए। ये चित्र टेढ़ा रखा है, तो इसकी भुजाएँ जाली के बिंदुओं पर कदमों में बताते हैं। एक भुजा: 2 दाएँ, 1 नीचे।

अगली भुजा, 2 बाएँ, 4 नीचे। ये दोनों दिशाएँ ठीक 90 degree पर हैं, और यही पैटर्न पूरे चित्र में चलता है। चारों angle सीधे, और आमने-सामने की भुजाएँ बराबर। ये rectangle का पूरा test पास करता है। पर एक भुजा दूसरी की 2 गुना है। चारों बराबर नहीं। square की पहली line में फ़ेल। गिनकर देखिए: 2 गुणा 2, जोड़ 1 गुणा 1 — यानी 5। और 4 गुणा 4, जोड़ 2 गुणा 2 — यानी 20, जो 5 का 4 गुना है।

इसीलिए वो भुजा 2 गुना लंबी है। 4 सीधे angle, और फिर भी square नहीं। ये टेढ़ा रखा rectangle है। अब एक सवाल बचा है, और वो सबसे बढ़िया है। क्या कोई 4 भुजाओं वाला चित्र ऐसा हो सकता है, जिसके चारों angle 90 degree हों, पर आमने-सामने की भुजाएँ बराबर न हों? लगता है कि हो सकता है। angle वाली line लंबाई की बात ही नहीं करती। तो चित्र की सीमा पर चलकर देखिए।

पहली भुजा, जितनी लंबी चाहें। कोने पर चौथाई चक्कर मुड़िए। दूसरी भुजा चलिए। फिर एक और चौथाई चक्कर। 2 चौथाई चक्कर के बाद आप ठीक उल्टी दिशा में देख रहे हैं। तीसरी भुजा, पहली के साथ-साथ वापस चलती है। और घर पहुँचने के लिए, उसे ठीक पहली जितना लंबा होना होगा। ज़रा भी कम-ज़्यादा, और आप चूक जाते हैं। आज़माकर देखिए: पहले 3, फिर 2, फिर 4, फिर 2 — और आप शुरुआत से 1 कदम दूर रुकते हैं।

चित्र बंद ही नहीं होता। जाली पर हर वो चित्र ढूँढिए, जिसके 4 angle सीधे हों। उनमें से 0 की आमने-सामने की भुजाएँ असमान निकलती हैं। यानी angle वाली line, भुजाओं वाली line को पहले ही मजबूर कर देती है। rectangle की 2 lines में से एक, कभी आज़ाद थी ही नहीं। फिर भी हम दोनों lines रखते हैं। क्योंकि बने हुए चित्र की जाँच में, 4 भुजाएँ नापना अक्सर 4 angle नापने से जल्दी होता है।

अब सब कुछ इस्तेमाल कीजिए। ये 4 चित्र हैं, और हर एक जानबूझकर टेढ़ा रखा है। देखने से कुछ नहीं होगा — और यही बात है। इनके कोने जाली के बिंदुओं पर हैं, तो नापने की जगह गिनिए। भुजा गिनने का तरीका: 4 आगे, 3 ऊपर। 4 गुणा 4, जोड़ 3 गुणा 3, यानी 16 जोड़ 9 — 25। और 25 है 5 गुणा 5। तो भुजा 5 की। A में हर भुजा 4 और 3 कदम की है, बस घूमी हुई — यानी हर भुजा 5।

चारों बराबर, चारों कोने सीधे। दोनों lines पास। तो A square है। B में फिर 4 भुजाएँ, हर एक 5। पर कोने झुके हुए। इसमें पहली line हाँ, पर दूसरी नहीं। C में वही बात, बस दूसरी ओर झुका हुआ। D में चारों कोने सीधे, पर भुजाएँ 5 और 10। दूसरी line हाँ, पहली नहीं। 4 में से 1 square। और वो आपने गिनकर ढूँढा, देखकर नहीं। इनमें से 2 rectangle हैं, A और D।

B और C तो rectangle भी नहीं। क्योंकि B और C, rectangle की angle वाली line में भी फ़ेल हैं — और वो वही line है, जो square की है। एक सिर्फ़ rectangle है, उससे ज़्यादा कुछ नहीं। और ठीक एक, सब कुछ पास करता है। दोनों tests फिर पढ़िए, और देखिए कि वो किस चीज़ का ज़िक्र कभी नहीं करते: काग़ज़ का। कोई शर्त सीधा खड़ा होने की बात नहीं करती।

तो 45 degree घुमाया हुआ square, ठीक वही 2 lines पास करता है। वो 'लगभग square' नहीं है। वो square ही है, बस तिरछा रखा — और test को इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। यही मतलब है, नाम test से कमाने का, शक्ल से नहीं। 2 lines, और वो हर बार फ़ैसला करती हैं — किसी भी चित्र पर, किसी भी झुकाव पर, चाहे वो वैसा दिखे या नहीं। अगला कदम: ruler और set square से, बिल्कुल शुरू से इनमें से एक बनाना — और आख़िर में इन्हीं 2 lines से उसकी जाँच।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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