PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 8, Playing with ConstructionsPrepShorts

Chapter 8 · Playing with Constructions

यह निकालना कि किसी figure को किस क्रम में बनाना होगा

Drawing with a compass11 मिनट

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ruler और compass हाथ का काँपना ख़त्म कर देते हैं — और तब एक दूसरी मुश्किल सामने आती है: क्रम। एक इंसान जैसा चित्र 3 हिस्सों में टूटता है — धड़, उसका arc, और सिर। 3 चीज़ों के 6 क्रम हो सकते हैं, पर बस 2 बन सकते हैं, क्योंकि arc और सिर, दोनों को धड़ चाहिए।

मुख्य idea

construction का मुश्किल हिस्सा हाथ नहीं, क्रम है। कोई चीज़ तब तक नहीं बनाई जा सकती जब तक उसे तय करने वाली चीज़ें पहले से काग़ज़ पर न हों, इसलिए हर figure के अंदर एक छिपा हुआ निर्भरता का क्रम होता है, और वह क्रम ढूँढ़ना ही पूरी problem है। इसीलिए chapter बार-बार यह पूछता है कि पहले क्या बनाया जा सकता है, यह नहीं कि उसे कैसे बनाया जाए — और इसीलिए जवाब अक्सर एक rough diagram पर मिलता है, किसी एक भी सटीक line के बनने से पहले।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी दी गई figure को घटकों में तोड़ना, और बताना कि हर एक को क्या चाहिए
  • पहचानना कि figure का कौन-सा हिस्सा किसी दूसरे हिस्से के बिना बनाया जा सकता है
  • figure के किसी दिए गए arc के लिए वे दो बातें बताना जो उसे बनाने से पहले तय होनी चाहिए
  • problem जो लंबाई तय करती है और हल करने वाला जो लंबाई ख़ुद चुन सकता है, उनमें फ़र्क़ करना
  • समझाना कि rough diagram किस काम आती है, और उस पर कोई नाप क्यों नहीं होती
  • सहायक line पहचानना — ऐसी line जो सिर्फ़ किसी और चीज़ की जगह ढूँढ़ने के लिए बनाई जाती है
  • बताना कि पूरी हुई construction को उन शर्तों से कैसे जाँचा जाए जिन्हें उसे पूरा करना था

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
constructionऔज़ारों से figure ऐसे बनाना कि बताई गई शर्तें पूरी होंरचना§8.1, p.189 में छपा
componentsवे अलग-अलग टुकड़े जिनमें बनाने के लिए figure टूटती हैघटक§8.1, p.190 में छपा
rough diagramconstruction का क्रम सोचने के लिए बनाया गया, बिना scale का sketchकच्चा चित्र§8.4, p.200 में छपा, और Summary, p.216 में
supporting curveऐसी line या arc जो सिर्फ़ किसी चीज़ की जगह ढूँढ़ने के लिए बनाई जाए, जवाब का हिस्सा नहींसहायक रेखाHints A, p.215 में supporting curves के रूप में छपा
estimateअंदाज़े से तय की गई जगह, जो तब मानी जाती है जब figure कोई सटीक जगह तय नहीं करतीअनुमान§8.1, p.191 में छपा
trial and errorकिसी चीज़ की जगह ढूँढ़ने के बजाय उसे तब तक इधर-उधर खिसकाना जब तक वह फ़िट न हो जाएप्रयत्न एवं त्रुटि§8.5, p.209 में छपा
sequenceवह क्रम जिसमें figure के हिस्से बनाने होते हैंक्रम§8.6, p.211 में छपा
instrumentruler या compass, खुले हाथ के मुक़ाबलेउपकरण§8.1, p.189 में छपा
dependencyऐसा हिस्सा जो तब तक नहीं बन सकता जब तक कोई दूसरा हिस्सा न बन जाएनिर्भरतायहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में Ganita Prakash का हिंदी संस्करण नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Drawing एक हुनर है; या तो तुम्हारा हाथ स्थिर है या नहीं।" p.187 पर freehand वाली कोशिश हर किसी की नाकाम होती है। औज़ार जो जोड़ते हैं वह स्थिरता नहीं, बल्कि किसी लंबाई को सटीक बनाने और उसे दोहराने की क्षमता है, p.189.
  • "ऊपर-बाएँ से शुरू करके आगे बढ़ना चाहिए।" शुरुआत उससे होती है जिसे और किसी चीज़ की ज़रूरत नहीं। House में दीवारें पहले आती हैं और चोटी सबसे आख़िर में, p.211, क्योंकि चोटी की जगह दीवारों से ढूँढ़ी जाती है।
  • "Rough diagram एक ख़राब drawing है।" वह जान-बूझकर बिना scale की drawing है। उसका काम यह दिखाना है कि कौन-सी लंबाइयाँ बराबर हैं और कौन-से angles पता हैं, ताकि सटीकता पर कोई मेहनत लगने से पहले क्रम निकाला जा सके।
  • "Figure की हर जगह हिसाब से निकाली जा सकती है।" कुछ नहीं निकाली जा सकतीं, और किताब यह कहती है: A Person के arc के लिए और आँख के दोनों centres के लिए वह एक अच्छा अंदाज़ा माँगती है, p.190 और p.215.
  • "फ़ालतू lines ग़लतियाँ हैं।" सहायक lines तरीक़े का हिस्सा हैं, p.215.
  • "जब problem कोई नाप नहीं देती, तो problem अधूरी है।" इसका मतलब है कि जवाब figures का एक पूरा परिवार है, और तुम उसमें से कोई एक चुन सकते हो। Wavy Wave और दो squares वाला rectangle, दोनों ऐसे ही हैं।
  • "एक बार बन गया, तो काम ख़त्म।" construction तभी पूरी होती है जब figure को उन शर्तों से जाँच लिया जाए जिन्हें उसे पूरा करना था, p.210.

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,553 शब्द

कोई चित्र हाथ से बनाइए, तो वो मोटे तौर पर ठीक आता है। वही चित्र ruler और compass से बनाइए, तो कुछ बदल जाता है। पर ध्यान दीजिए, औज़ारों ने आपको ज़्यादा मज़बूत हाथ नहीं दिया। उन्होंने एक लंबाई को ठीक-ठीक बनाने, और उसे दोहराने की ताक़त दी। और जब हाथ का काँपना ख़त्म हो जाता है, तो एक बिल्कुल अलग मुश्किल सामने आती है — जिसका बनाने से कोई लेना-देना नहीं।

वो मुश्किल है क्रम: काग़ज़ पर पहले क्या आए, और उसके बाद क्या। ये चित्र लीजिए — मोटे तौर पर, एक इंसान। कुछ भी बनाने से पहले, इसे टुकड़ों में तोड़िए। एक धड़: 4 भुजाओं वाली एक आकृति, जिसकी ऊपर वाली भुजा की जगह, अंदर की ओर मुड़ा एक arc है। और एक सिर: एक circle, जिसके नीचे एक छोटी सीधी line लटकी है। तो अब आप इंसान नहीं बना रहे।

आप 3 चीज़ें बना रहे हैं — धड़ की आकृति, उसका arc, और सिर। अब सवाल बस एक है: पहले कौन? मन करता है कि ऊपर से शुरू करें, या बाईं ओर से। पर नियम ये नहीं है। नियम ये है: वहाँ से शुरू कीजिए, जिसे किसी और चीज़ की ज़रूरत न हो। धड़ की आकृति देखिए। उसके कोने, जहाँ आप चाहें वहाँ लगें। उसे किसी चीज़ की ज़रूरत नहीं।

अब arc देखिए। वो आकृति के ऊपर वाले 2 कोनों के बीच चलता है। तो जब तक आकृति न हो, arc हो ही नहीं सकता। और सिर, आकृति के ऊपर बैठता है। तो उसे भी आकृति चाहिए। 1 हिस्से को कुछ नहीं चाहिए, और बाकी 2 को वही चाहिए। यानी धड़ शुरू करने की अच्छी जगह ही नहीं — अकेली जगह है। इसे एक तस्वीर में बनाइए, क्योंकि यही तस्वीर इस पूरी बात की जड़ है।

हर हिस्से का एक डिब्बा, और एक तीर — जिसका मतलब है: इसके बिना नहीं बन सकता। धड़ से arc की ओर तीर। धड़ से सिर की ओर तीर। अब गिनिए: 3 चीज़ों को 6 तरह से एक के बाद एक रखा जा सकता है। इनमें से बस 2 क्रम तीरों की बात मानते हैं। धड़, arc, सिर। या धड़, सिर, arc। बाकी 4 क्रम, पेंसिल उठाने से पहले ही नामुमकिन हैं।

जैसे arc, धड़, सिर आज़माइए। arc उन कोनों से पहले आ गया, जिन्हें उसे जोड़ना है — उसके पास जाने को कोई जगह ही नहीं। यानी तीर सफ़ाई की सलाह नहीं हैं। वो आपकी ज़्यादातर कोशिशों को पहले ही ख़ारिज कर देते हैं। अब वो कदम, जो सच में मुश्किल है — बीच वाला। आकृति बन गई। उसके ऊपर arc चाहिए। उसके लिए असल में क्या चाहिए? 2 चीज़ें, और दोनों ज़रूरी: compass की नोक कहाँ टिके, और compass कितना खुले।

और मुश्किल ये है कि arc के दोनों सिरे, ये दोनों बातें नहीं बताते। सिरे तय करते हैं कि arc कहाँ शुरू हो, और कहाँ ख़त्म। पर वो कितना उभरे, ये तय नहीं करते। मान लीजिए 2 कोने 6 सेंटीमीटर दूर हैं। compass 5 खोलिए, और एक arc उन्हें जोड़ देता है। अब 4 खोलिए। या 8। या 3। हर बार वही 2 कोने, हर बार एक असली arc — और हर बार नोक किसी और जगह।

5 पर खोलें, तो नोक दोनों कोनों के ठीक बीच वाले point से 4 सेंटीमीटर दूर बैठती है। खुलाव बदलिए, नोक भी खिसक जाती है। सबसे छोटा खुलाव, जो दोनों कोनों तक पहुँचे, 3 है — 6 का आधा। 3 से कम खोलिए, तो कोई arc बनता ही नहीं। इसलिए नोक की सही जगह गिनकर नहीं मिलती — वो परखी जाती है। एक radius आज़माइए, देखिए, और नोक खिसकाइए — जब तक arc ठीक न बैठे।

ये बात साफ़ कहनी चाहिए। यहाँ अंदाज़ा लगाना लापरवाही नहीं, और छोटा रास्ता भी नहीं। यही सही तरीका है। चित्र उस arc को सच में तय नहीं करता। तो गिनने को कुछ है ही नहीं। अब एक ऐसा चित्र देखिए, जो सब कुछ तय कर देता है। जैसे वो लहर, जो अभी आ रही है। उसमें एक लंबाई चुनते ही, हर point और हर खुलाव अपने आप तय हो जाता है।

वहाँ परखने को कुछ नहीं बचता। कौन-सी चीज़ तय है, और कौन-सी परखनी है — ये पहले से, एक कच्चे चित्र पर पता किया जा सकता है। स्याही लगाने से पहले। एक line पर 2 एक जैसे half circle — एक ऊपर उभरा, एक नीचे। और कहीं भी कोई लंबाई नहीं दी गई। तो आप ख़ुद चुनिए। मान लीजिए, पूरी line 8 सेंटीमीटर। पर जैसे ही आपने चुना, बाकी सब बँध गया।

8 से X आधे पर आता है, यानी 4 पर। और compass 2 पर खुलता है। चुनना बिल्कुल ठीक है। 12 भी उतना ही ठीक होता। जिस सवाल में कोई नाप न हो, वो अधूरा नहीं है। उसका जवाब चित्रों का एक पूरा परिवार है — और आप उसमें से एक चुन लेते हैं। 12 चुनिए, तो X 6 पर बैठता है, और खुलाव 3 होता है। संख्याएँ अलग, आकार बिल्कुल वही।

कोई भी लंबाई चुनिए — X हमेशा line के आधे पर, और खुलाव हमेशा line का चौथाई। चुनाव आज़ाद है, पर उसके नतीजे आज़ाद नहीं। यही फ़र्क है, उस लंबाई में जो सवाल देता है, और उसमें जो सवाल आप पर छोड़ता है। अब एक ऐसा निशान, जो पहली बार अजीब लगता है। ये एक आँख है: 2 arc, जो दोनों सिरों पर मिलते हैं — एक ऊपर उभरा, एक नीचे।

इसके लिए compass की 2 जगहें चाहिए: एक आकार के ऊपर, एक नीचे। तो 2 हल्की, पड़ी lines खींचिए — एक ऊपर, एक नीचे — और नोक उन्हीं पर रखिए। अगर सिरे 6 सेंटीमीटर दूर हों, और radius 5, तो नोक की जगहें ठीक 4 ऊपर, और 4 नीचे आती हैं। ऊपर वाला arc घुमाइए। फिर नीचे वाला arc घुमाइए। अब उन हल्की lines को मिटा दीजिए। वो कभी आँख का हिस्सा थीं ही नहीं।

वो किसी चीज़ की जगह ढूँढने के लिए थीं। जगह मिल गई, उनका काम ख़त्म। ऐसी फ़ालतू दिखने वाली lines ग़लती नहीं हैं। वो तरीके का हिस्सा हैं। एक रचना में ऐसे निशान हो सकते हैं, जो बाद में मिटा दिए जाएँ। ये सारी योजना कहीं बनती है — और वो जगह सोच-समझकर चुननी चाहिए। वो जगह है, एक कच्चा चित्र। कच्चा चित्र जानबूझकर नाप से नहीं बनाया जाता। उस पर कोई नाप लिखा ही नहीं होता।

ये देखिए — एक rectangle, जो 2 बराबर square से बना है। इसकी लंबाई-चौड़ाई जानबूझकर ग़लत है। पर उस पर ढाँचा है: बराबर भुजाओं पर छोटे निशान, और बीच की line, जो लंबी भुजा के ठीक बीच में पड़ती है — चाहे नाप कुछ भी हो। क्रम निकालने के लिए इतना काफ़ी है। और यहाँ क्रम निकालने में कुछ खर्च नहीं होता, क्योंकि इस चित्र पर कुछ भी सटीक होना ज़रूरी नहीं।

कच्चा चित्र बुरा चित्र नहीं है। वो एक अलग औज़ार है, जो एक अलग काम करता है। एक और कच्चा चित्र: एक rectangle, उसका diagonal, और एक कोने पर diagonal से बना 60 degree का angle। rectangle का कोना 90 degree का होता है। तो उसी कोने का दूसरा हिस्सा 30 degree है। एक लिखिए, दूसरा अपने आप तय। कच्चा चित्र दोनों दिखाता है — बिना किसी लंबाई के। और उसके बाद अगला सवाल हमेशा वही: हिस्से किस क्रम में बनें?

अब असली फ़ायदा देखिए — एक ऐसा चित्र, जिसमें क्रम ही पूरा काम है। एक घर: 2 दीवारें, उनके ऊपर एक नुकीली चोटी, और एक गोल छत। चोटी से शुरू करना चाहें, तो नहीं कर सकते। क्योंकि अभी पता ही नहीं कि वो कहाँ जाएगी। तो पहले दीवारें — उन्हें कुछ नहीं चाहिए। फिर दीवारों के ऊपरी सिरों से 2 arc घुमाइए। चोटी वहाँ है, जहाँ ये arc एक-दूसरे को काटते हैं — तो उसे arc चाहिए।

और छत चोटी को वापस दीवारों से जोड़ती है — तो उसे दोनों चाहिए। ध्यान दीजिए, चोटी चुनी नहीं जाती — ढूँढी जाती है, वहाँ जहाँ 2 arc एक-दूसरे को काटते हैं। अब गिनिए: 4 हिस्सों को 24 तरह से रखा जा सकता है। उनमें से ठीक 1 क्रम बन सकता है। दीवारें, arc, चोटी, छत। बाकी 23 क्रम फ़ेल। ये सबसे साफ़-सुथरा क्रम नहीं, अकेला मुमकिन क्रम है। छत तस्वीर में सबसे ऊपर है — और बनती सबसे आख़िर में।

अब सोचिए, ऐसा चित्र कैसा होगा, जिसका कोई क्रम हो ही नहीं? मान लीजिए, हिस्सा P तभी बन सकता है, जब Q बन चुका हो। और Q तभी, जब P बन चुका हो। तो ऐसा कोई हिस्सा नहीं, जिसे कुछ न चाहिए। शुरू करने की कोई जगह नहीं। 2 हिस्से, और 0 क्रम। औज़ारों से कितनी भी सावधानी बरतिए, ये चित्र नहीं बनेगा। इसलिए एक आदत बनाइए: बनाने से पहले हर हिस्से से पूछिए — तुम्हें क्या चाहिए?

शुरू उसी हिस्से से कीजिए, जिसे कुछ भी नहीं चाहिए। एक आख़िरी बात — वो कदम, जो अक्सर छूट जाता है। रचना आख़िरी line पर ख़त्म नहीं होती। वो तब ख़त्म होती है, जब आप उसे जाँच लें। मान लीजिए, आपको 6 और 4 का rectangle बनाना था। नापा, और आमने-सामने की भुजाएँ बराबर निकलीं। बस, हो गया? अभी नहीं — ये देखिए: इसकी भी आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं, पर ये एक तरफ़ झुका हुआ है।

ये rectangle नहीं है। 2 शर्तें, और 1 ही पास हुई। बराबर भुजाएँ: पास। सीधे कोने: फ़ेल। तो हर शर्त जाँचिए, सिर्फ़ एक नहीं। और पूरा तरीका यही है: चित्र को हिस्सों में तोड़िए, हर हिस्से से पूछिए उसे क्या चाहिए, वहाँ से शुरू कीजिए जहाँ कुछ नहीं चाहिए — और आख़िर में जाँचिए।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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