Straight angle और right angle: पूरे घुमाव के संदर्भ निशान

0:00पिछली बार हमने 2 angles की तुलना, एक को दूसरे पर रखकर की। आज 2 ख़ास angles की बात है, जिनसे बाकी हर angle की तुलना की जाती है। एक कॉपी का cover लो, और उसे पूरा पीछे घुमाओ, जब तक वो कॉपी की पीठ से न मिल जाए। यानी cover घूमकर वहीं आ गया जहाँ से चला था — यह पूरा चक्कर है, एक full turn। अब cover को सिर्फ़ इतना खोलो कि कॉपी मेज़ पर पूरी सपाट खुली पड़ी रहे।

0:28यह आधा चक्कर है, यानी half turn। इन दोनों के बीच, अगर cover को सपाट से थोड़ा कम खोलो, तो दोनों हिस्से एक ओर झुके रहते हैं। थोड़ा ज़्यादा खोलो, तो दूसरी ओर। ठीक सपाट होने पर ही वो एक सीध में आते हैं। और half turn ठीक आधा full turn है। यही आधा होना आगे की पूरी कहानी की पहली कड़ी है। जब कॉपी सपाट खुली हो, तो cover की 2 arms बिल्कुल उल्टी दिशाओं में जाती हैं, और एक ही सीधी लकीर में आ जाती हैं।

1:03आधे चक्कर वाले इस angle को, जिसकी दोनों arms एक सीधी लकीर में हों, straight angle कहते हैं। कुछ लोगों को यह angle नहीं, बस एक लकीर दिखती है। पर इसमें भी एक vertex है और उससे निकलती 2 rays हैं — बस उनके बीच आधे चक्कर का घुमाव है। अब points A, O और B लो, तीनों एक ही सीधी लकीर पर, जिसके दोनों सिरों पर arrowheads हैं। अब point O पर एक छोटा सा arc बनाओ।

1:33अब यही figure एक angle भी है — angle AOB, एक straight angle, जिसका vertex O है। यानी एक ही तस्वीर, line भी है और angle भी। यहाँ O पर बना arc बताता है कि इस बार हम उसे angle की तरह पढ़ रहे हैं। अब O से ऊपर की ओर एक ray OC खींचो। इससे 2 angles बनते हैं — angle AOC और angle COB। दोनों मिलकर पूरा straight angle बनाते हैं।

2:03यानी OA से OC तक का घुमाव, और फिर OC से OB तक का घुमाव, मिलाकर आधा चक्कर है। अब ray OC को घुमाओ। जितना angle AOC बढ़ता है, उतना ही angle COB घटता है, क्योंकि दोनों का जोड़ हमेशा वही straight angle है। हमने O से ऊपर 200 random rays आज़माईं। हर एक ने straight angle को 2 हिस्सों में बाँटा, जो मिलकर फिर वही straight angle बनाते हैं।

2:30पर क्या ये 2 हिस्से बिल्कुल बराबर बनाए जा सकते हैं? अब O से ऊपर हर दसवें हिस्से पर एक ray खींचो — ऐसी 1799 rays बनती हैं। इनमें से ठीक 1 ray, straight angle को 2 बराबर angles में बाँटती है। ध्यान दो, कोई भी ray 2 angles बनाती है, पर 2 बराबर angles सिर्फ़ एक ख़ास ray बनाती है। और यह ray बस 'ऊपर की ओर' वाली ray नहीं है।

3:00पन्ने को तिरछा करो तो 'ऊपर' बदल जाता है, पर आधा करने वाली ray उसी लकीर से जुड़ी रहती है। कौन सी ray? आँख से अंदाज़ा काफ़ी नहीं है। हमें ऐसा तरीका चाहिए जो बिल्कुल सही बताए। एक आयताकार कागज़ लो। उसके नीचे वाले किनारे पर, एक सीध में, A, O और B के निशान लगाओ। किनारा इसलिए, क्योंकि कागज़ का किनारा सीधा है। उस पर A, O और B लगाने से, O पर एक straight angle पहले से तैयार मिल जाता है।

3:34अब कागज़ को O से होकर ऐसे मोड़ो, कि OB ठीक OA के ऊपर आ जाए। मोड़ को दबाओ, और कागज़ खोल दो। अब O से ऊपर की ओर एक मोड़ की लकीर दिखती है। यही लकीर वो ray है, जो straight angle को 2 बराबर angles में बाँटती है। मोड़ते समय O अपनी जगह रहा, और OB ठीक OA के ऊपर आया। यानी एक angle, दूसरे के ऊपर रख दिया गया — यही superimposition है।

4:05अगर किसी और ray पर मोड़ो, तो B, A पर नहीं गिरता। सही मोड़ के बाद, दोनों हिस्से एक-दूसरे पर पूरी तरह बैठ जाते हैं। कोई किनारा बाहर नहीं निकलता। इसलिए मोड़ना कोई अंदाज़ा नहीं है। दोनों arms एक-दूसरे पर बैठ गईं, तो दोनों angles बराबर हैं — यह साबित हुआ, अनुमान नहीं। इन 2 बराबर angles में से हर एक को right angle कहते हैं। यानी right angle ठीक आधा straight angle है — न थोड़ा कम, न थोड़ा ज़्यादा।

4:38इसलिए एक straight angle में ठीक 2 right angles समाते हैं। और full turn में 2 straight angles हैं, तो उसमें ठीक 4 right angles समाते हैं। तो आधा करते-करते हमें 2 पक्के निशान मिल गए — straight angle, और right angle। एक right angle, full turn का एक चौथाई है। उसकी शक्ल अंग्रेज़ी के L letter जैसी दिखती है। कॉपी के cover पर वापस चलो। उसे मेज़ पर सीधा खड़ा करो — यह चौथाई चक्कर है, यानी एक right angle।

5:10पर 'जो कोने जैसा दिखे' — यह right angle की definition नहीं है। असली definition यह है कि वो ठीक आधा straight angle हो। किसी right angle से थोड़ा सा बड़ा angle भी देखने में कोने जैसा ही लगता है। फ़र्क सिर्फ़ superimposition से पता चलता है। जब 2 lines एक-दूसरे को right angle पर काटती हैं, तो उन्हें perpendicular कहते हैं। एक कागज़ को आधा मोड़ो, फिर उसी मोड़ की लकीर को ख़ुद पर मोड़ो।

5:39खोलो, तो 2 लकीरें एक-दूसरे को काटती दिखती हैं, और वहाँ 4 right angles बनते हैं। तब उनके मिलने वाले point पर बने चारों कोने right angles होते हैं — 4 में से 4। पर perpendicular का मतलब 'खड़ा हुआ' नहीं है। यह 2 lines का आपसी रिश्ता है। पूरी जोड़ी को तिरछा करो, तब भी वो perpendicular रहती हैं। तिरछी लकीर वाला कागज़ ऐसे मोड़ो कि वो लकीर ख़ुद पर ही आ जाए।

6:05मोड़ की लकीर उसे right angle पर काटती है। अब एक dot grid लो — 7 columns और 6 rows, कुल 42 points। उसके बीच में point A पर निशान लगाओ। एक point B लो, A की ही सीध में। अब BA को A के आगे उतना ही बढ़ाओ, तो वो ठीक एक और point C पर पहुँचता है। अब angle CAB एक straight angle है। अब B को A से एक कदम नीचे और एक कदम दाईं ओर लो।

6:36फिर से BA को A के आगे उतना ही बढ़ाओ — फिर एक point मिलता है, और फिर एक straight angle। पर अगर B, grid के ऊपर दाएँ कोने में हो, तो A के आगे उतना ही कदम grid से बाहर चला जाता है। तब उसी line पर सबसे छोटा कदम लो — वो A के आगे एक dot पर पहुँच जाता है। तरीका एक ही है। यानी B से A तक जितना कदम, A के आगे ठीक उतना ही कदम और।

7:05अब A पर right angle चाहिए। उसके लिए straight angle CAB को आधा करना है। अब A से B तक के कदम को एक चौथाई चक्कर घुमाओ। जो नया point मिलता है, वो भी grid पर है, और उसके ठीक सामने वाला भी। इस line से A पर 2 right angles बनते हैं, और दोनों उदाहरणों में ऐसा ही होता है। किसी square dot grid पर यही आसानी है — कदम को चौथाई चक्कर घुमाओ, और आधा करने वाली line मिल जाती है।

7:35अब एक पन्ने पर 9 angles बने हैं, कहीं कोई गिनती नहीं। जो angle, right angle से छोटा हो, उसे acute कहते हैं। और जो right angle से बड़ा पर straight angle से छोटा हो, उसे obtuse। हर angle पर एक right angle रखकर देखो। तब 9 में से 3 acute निकलते हैं, 3 right, और 3 obtuse। और right वाले समूह में, रखे गए right angle के ऊपर दूसरी arm ठीक-ठीक बैठती है — न अंदर गिरती है, न बाहर।

8:06एक angle बिल्कुल कोने जैसा दिखता है, पर right angle रखने पर उसकी arm बाहर गिरती है। इसलिए वो obtuse है। और हर obtuse angle, straight angle से छोटा ही रहता है। पर straight angle ख़ुद obtuse नहीं है — वो ऊपर वाली सीमा है। इन नामों का मतलब भी है। यहाँ acute यानी नुकीला, और obtuse यानी भोथरा — जैसा कोना, वैसा नाम। अब एक triangle लो। उसके तीनों कोनों पर acute angles हैं — कुल 3।

8:38अब इसकी भुजाओं के बीच के points को जोड़ो। हर बीच वाले point पर 3 नए acute angles बनते हैं, तो कुल 12। 3 ही क्यों? बीच वाले point से 4 rays निकलती हैं, जिनकी 6 जोड़ियाँ बनती हैं। उनमें 3 acute हैं, 1 straight angle भुजा के साथ-साथ, और 2 obtuse। अब यही काम बीच वाले उल्टे triangle के अंदर करो। 3 नए points, हर एक पर 3 acute angles — यानी 9 और, कुल 21।

9:08बड़े triangle के कोनों पर कुछ नहीं बदलता। वहाँ अब भी 2 ही rays हैं, और 1 ही acute angle। तो अगली figure में कितने acute angles होंगे? फिर 9 और, यानी 30। हर बार 3 नए points जुड़ते हैं, और हर point पर 3 acute angles — इसलिए हर कदम पर 9। आज की बात। किसी full turn का आधा straight angle है, और straight angle का आधा right angle।

9:38मोड़ने से यह साबित होता है, और इन 2 निशानों से हर angle 3 में से किसी एक समूह में आ जाता है। अब तुम्हारी बारी। किसी तिरछी लकीर पर मोड़कर एक right angle बनाओ, और उसके कदम ऐसे लिखो कि कोई और भी उन्हें देखकर बना सके। अपने जवाब comments में लिखना। और सोचो — तुम्हारे कमरे में कितने right angles दिख रहे हैं?