भुजाओं की लंबाई से square या rectangle की रचना करना

0:00एक square बनाइए, जिसकी हर भुजा 6 सेंटीमीटर हो। सुनने में ये बिना सोचे पूरा होने वाला काम लगता है। पर देखिए, आपको असल में दिया क्या गया है: 1 संख्या, और 1 शब्द। 6 सेंटीमीटर, और square। बाकी सब आपके हाथ में है: चित्र कहाँ बैठे, किस तरफ़ घूमा हो, और pencil पहले कहाँ रखी जाए। और सबसे लुभावना पहला कदम ही ग़लत है। ruler उठाइए, 6 की 4 भुजाएँ नाप दीजिए — और हो सकता है जो बने, वो square हो ही नहीं।

0:33कोनों को थामने वाला कुछ न हो, तो 4 बराबर भुजाओं वाला चित्र जितना चाहे झुक सकता है — यहाँ 60 degree पर। फिर भी उसकी हर भुजा 6 है, और एक भी कोना 90 degree का नहीं। तो भुजाएँ नापना काफ़ी नहीं। कोनों पर भी कोई पकड़ चाहिए। तो शुरुआत उस चीज़ से कीजिए जो निर्देश आपको सीधे देता है: 6 सेंटीमीटर लंबी एक भुजा। इसे नीचे बिछाइए, और इसके दोनों सिरों को P और Q कहिए।

1:04ये पहला कदम है — और पहला कदम बस इतना ही है। 1 line, जो 1 बार नापी गई। अब देखिए, क्या-क्या ख़र्च हो चुका है। 6 वाली संख्या इस भुजा पर ख़र्च हो गई। पर square वाले शब्द को अभी छुआ भी नहीं गया। यहाँ से आगे जो कुछ भी बनेगा, वो उसी शब्द से निकलेगा। square शब्द असल में 2 शर्तें है: चारों भुजाएँ बराबर, और चारों angle 90 degree के।

1:33इनमें से कौन-सी शर्त बताती है कि अगली line कहाँ जाएगी? दूसरी शर्त: P पर, इस भुजा और अगली भुजा के बीच का angle 90 degree का होना ही चाहिए। तो अगली line को P से, P Q के साथ 90 degree बनाते हुए निकलना होगा। कोई और रास्ता है ही नहीं। ऐसी line को perpendicular कहते हैं। ये सजावट की पसंद नहीं है, और न इसलिए कि squares ऐसे दिखते हैं।

2:02ये वही शर्त है, जो आपके हाथ के लिए निर्देश बन गई। P पर set square से 90 degree बनाइए, और उससे ऊपर उठती line खींचिए। ये दूसरा कदम है। अब अगला कोना उस line पर कितनी ऊँचाई पर बैठेगा? 6 सेंटीमीटर। क्योंकि पहली शर्त कहती है कि चारों भुजाएँ बराबर हों, और P Q 6 की है। तो ruler को नई line पर रखिए, 6 ढूँढिए, और निशान लगाइए।

2:32उस बिंदु को S कहिए। ये तीसरा कदम है। इस कदम पर सारा काम भुजा वाली शर्त ने किया। angle वाली शर्त अपना काम तभी कर चुकी थी, जब line खींची गई। अब 3 कोने लग चुके हैं — P, Q और S। और square की हर शर्त ठीक 1 बार इस्तेमाल हुई है। वही निशान लगाने का एक और तरीका भी है, और वो ज़रा रुककर देखने लायक है।

2:59ruler की जगह compass लीजिए। उसकी नोक P पर रखिए, और pencil Q पर। अब compass में P Q की लंबाई भरी है — कोई संख्या नहीं, असली लंबाई। उसे घुमाकर नई line तक लाइए, और जहाँ वो काटे, वहाँ निशान लगाइए। वही बिंदु S। पर भरोसा बराबर नहीं। मान लीजिए पहली बार नापने में हाथ फिसला, और P Q, 6 सेंटीमीटर से 1 मिलीमीटर लंबी बन गई। ruler आपसे scale दोबारा पढ़वाता है।

3:31आप फिर 6 पढ़ते हैं — और 2 भुजाएँ आपस में अलग हो जाती हैं। चित्र square नहीं रहता। compass उस चूक को भी साथ ले जाता है — भुजाएँ आपस में बराबर ही रहती हैं। नाप शायद ग़लत, पर चित्र फिर भी square। अब नीचे वाले दूसरे कोने की बारी: Q। वहाँ भी P Q और ऊपर जाती भुजा के बीच का angle 90 degree का होना चाहिए — ठीक उसी वजह से, जिससे P पर था।

4:00तो Q पर भी 90 degree बनाइए, और ऊपर उठती दूसरी line खींचिए। ये चौथा कदम है। अब आधार के दोनों सिरों पर खड़ी lines हैं — 2 lines, जो कभी नहीं मिलतीं। और यहीं से बनावट का मिज़ाज चुपचाप बदल जाता है। अब तक हर कदम ने कुछ ऐसा जोड़ा, जो आपने चुना। यहाँ से आगे, चित्र ख़ुद को पूरा करने लगता है। compass अब भी 6 सेंटीमीटर पर खुला है।

4:27किसी ने उसे छुआ तक नहीं। उसकी नोक Q पर रखिए, घुमाइए, और जहाँ वो दूसरी खड़ी line को काटे, वहाँ निशान लगाइए। ये पाँचवाँ कदम है। यही आख़िरी कोना है। इस कोने को R कहिए। और छठा कदम: S को R से जोड़िए — चित्र बंद हो गया। अब पीछे मुड़कर देखिए कि अभी क्या हुआ, क्योंकि ये आसानी से छूट जाता है। कुछ भी नापा नहीं गया। compass दोबारा सेट नहीं हुआ, ruler फिर से नहीं उठा।

4:58चित्र में कोई नई संख्या आई ही नहीं। तो बने हुए चित्र से एक सीधा सवाल। आख़िरी भुजा, S से R तक, कितनी लंबी है? और S और R पर angle कितने हैं? वो angles आपने कभी सेट नहीं किए, और वो भुजा कभी नहीं नापी। जाँचकर देखिए: 6 सेंटीमीटर, 90 degree, 90 degree। ये square है। पर जाँचना और खोजना एक बात नहीं। ये सारे जवाब उसी पल तय हो गए थे, जब पहले 3 कोने लगे।

5:33ये बात गंभीरता से लेने लायक है, क्योंकि construction को आसानी से 6 क़िस्मत वाले कदम समझ लिया जाता है, जो संयोग से square पर जा पहुँचे। क़िस्मत इसमें कहीं नहीं थी — और उसकी वजह ये है। P, Q और S काग़ज़ पर हैं। अब ये पूछिए, कि R कहाँ-कहाँ जा सकता है? Q पर angle 90 degree का होना है, तो R को Q से ऊपर जाती खड़ी line पर ही कहीं होना होगा।

6:01S पर भी angle 90 degree का होना है, तो R को S से होकर जाती आड़ी line पर ही कहीं होना होगा। और 2 lines, जो समानांतर न हों, ठीक 1 बिंदु पर काटती हैं। R के पास कोई और जगह है ही नहीं। यही मतलब है, जब कहते हैं कि आख़िरी कोना तय है। ये नहीं कि वो शायद ठीक बैठेगा, या अक्सर बैठ जाता है — बल्कि ये कि उसके पास कुछ और बनने की जगह ही नहीं बची।

6:29और इसमें square होना कोई ख़ास बात नहीं थी। किसी भी 4 कोनों वाले चित्र को 90 degree के 4 angle दे दीजिए — उसकी आमने-सामने की भुजाएँ अपने-आप बराबर हो जाती हैं। छोटी-सी जाली पर ऐसा हर चित्र ढूँढकर जाँचा गया। अपवाद मिले — 0। तो क्या कोई 4 भुजाओं वाला चित्र ऐसा हो सकता है, जिसके सारे angle 90 degree के हों, पर आमने-सामने की भुजाएँ बराबर न हों?

6:56नहीं हो सकता। ऐसा चित्र कहीं नहीं है — एक शर्त के बिना दूसरी पूरी हो ही नहीं सकती। अब संख्याएँ बदलिए, और देखिए कि बाकी कितना कम बदलता है। 4 सेंटीमीटर और 6 सेंटीमीटर — इस बार आपको rectangle चाहिए। 4 सेंटीमीटर वाली भुजा खींचिए। उसके दोनों सिरों पर 90 degree। एक खड़ी line पर 6 नापिए, वही 6 compass से दूसरी line पर ले जाइए, और चित्र बंद कीजिए।

7:24वही 4 फ़ैसले, उसी क्रम में: 2 बार 90 degree, 1 बार लंबाई नापी गई, और 1 बार वही लंबाई ले जाई गई। अब 2 सेंटीमीटर और 10 सेंटीमीटर आज़माइए। ये कहीं ज़्यादा अटपटा चित्र लगता है — पर है नहीं। लंबा और पतला, ज़रूर। पर हर कदम वही है, जो आप अभी 2 बार कर चुके हैं। और दोनों बार नतीजा rectangle है, square नहीं। और ग़ौर कीजिए कि square कहाँ गया।

7:54ये कदम ठीक तब square बनाते हैं, जब दोनों नाप एक ही संख्या हों। 1 से 10 तक की हर जोड़ी पर जाँचा गया — बिना किसी अपवाद के। square कभी अलग construction था ही नहीं। वो यही था — बस दूसरी नाप, पहली से उतारी हुई। और आधार का सीधा पड़ा होना भी ज़रूरी नहीं। आधार 4 आगे और 3 ऊपर चले, तो वो 5 लंबा है — और वही कदम 5 का square बना देते हैं।

8:23एक और — क्योंकि इसमें तरीका अभ्यास में नहीं, इस्तेमाल में दिखता है। 8 सेंटीमीटर चौड़ा और 4 सेंटीमीटर ऊँचा एक rectangle लीजिए। उसके अंदर एक square बिठाइए, ऐसे कि दोनों का केंद्र एक ही हो। वो square कितना बड़ा है? अगर उसे दोनों लंबी भुजाओं को छूना है, तो उसकी ऊँचाई 4 होगी। तो उसकी भुजा 4 है। और क्योंकि दोनों केंद्र एक हैं, बची हुई जगह दोनों सिरों में बराबर बँटेगी।

8:548 में से 4 गए, 4 बचे — यानी हर सिरे पर 2 सेंटीमीटर। ये दोनों संख्याएँ शर्तों से निकलीं। कोई भी चित्र से नापी नहीं गई — और अच्छा ही है, क्योंकि चित्र ही तो वो चीज़ है, जो आप बनाने चले थे। तो अब उन 6 कदमों को फिर से देखिए। 2 कदम angle वाली शर्त थे — उन 2 कोनों पर, जहाँ आपके पास अभी चुनाव था।

9:182 कदम भुजा वाली शर्त थे: एक बार लंबाई तय करना, और एक बार उसे बिना दोबारा पढ़े कहीं और ले जाना। और आख़िरी 2 कदम चित्र का ख़ुद को बंद करना थे, क्योंकि तब तक तय करने को कुछ बचा ही नहीं था। ये construction कोई नुस्ख़ा नहीं है, कि पालन कीजिए और फिर उम्मीद कीजिए। वो शर्तों की सूची है, उस क्रम में रखी हुई, जिसमें आपका हाथ उन तक पहुँच सके।

9:41इसीलिए वो जाँच पर ख़त्म होता है, दुआ पर नहीं। आख़िरी भुजा नापिए, वो 2 angle नापिए जो आपने कभी सेट नहीं किए — अगर वो वही निकलें जो शर्तों ने कहा था, तो चित्र सही है। और ये आपको नापने से पहले ही पता था। अब ख़ुद आज़माइए: 3, 5 और 7 सेंटीमीटर के squares, हर एक पिछले के नीचे-बाईं ओर, और हर जोड़ी ठीक 1 कोने पर छूती हुई।

10:07वही शर्तें, बस नए क्रम में।