PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 8, Playing with Constructions
Chapter 8 · Playing with Constructions
कौन-से rectangles एक जैसे squares में टूटते हैं, और कौन-से नहीं
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एक rectangle बनाइए, जो एक कतार में 3 एक जैसे squares में टूट जाए — और कोई संख्या नहीं दी गई। पहले 2 वाला हल कीजिए, एक कच्चे नक़्शे पर: A B E F और B C D E, दोनों एक जैसे, दोनों square। बराबरी की कड़ी चलाइए, और चित्र की सारी 7 छोटी lines एक ही लंबाई की निकलती हैं। A F को 4 चुनिए, और rectangle 8 गुणा 4 — 1 फ़ैसला, बाकी सब तय।
मुख्य idea
कोई rectangle एक जैसे squares में बँटता है या नहीं, इसका उसके size से कोई लेना-देना नहीं; सब कुछ इस पर टिका है कि उसकी दोनों भुजाएँ आपस में कैसी हैं। इसलिए इस problem में कोई नाप है ही नहीं — और इसीलिए chapter इसे compass से हल कर लेता है, ruler को छुए बिना। तुम एक भुजा अपनी मर्ज़ी से चुनते हो, और फिर उसकी दो या तीन बार नक़ल करते हो; और किसी लंबाई की नक़ल करना ही वह एक काम है जो compass बिल्कुल सटीक करता है, जबकि ruler सिर्फ़ लगभग।
आपको क्या आना चाहिए
- किसी कठिन construction को आसान construction में बदलना, और फिर उससे कठिन वाली को वापस बनाना
- बँटी हुई figure के लिए rough diagram बनाना और उस पर बराबरियाँ mark करना
- ऐसी figure में बराबर भुजाओं की एक कड़ी का पीछा करना
- कौन-सी भुजाएँ बराबर हैं, यह दर्ज करने के लिए tick mark वाली परिपाटी इस्तेमाल करना
- दो एक जैसे squares में बँटने वाले rectangle की एक भुजा दी हो, तो दूसरी बताना, और तीन के लिए भी यही करना
- किसी लंबाई को नापने के बजाय compass से नक़ल करना, और बताना कि यहाँ इतना काफ़ी क्यों है
- ऐसी दो भुजाओं की लंबाइयाँ बताना जो दो मेल खाते squares में बँटना नामुमकिन कर दें, और एक दूसरी जोड़ी जो तीन में बँटना नामुमकिन कर दे, और हर चुनाव को सही ठहराना
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में परिभाषा | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| identical | size और आकार, दोनों में एक जैसे | एकसमान | §8.1, p.191 में छपा; पूरे §8.4, p.199 में इस्तेमाल हुआ |
| divided | हिस्सों में कटा हुआ, बिना कुछ बचे | विभाजित | §8.4, p.199 में छपा |
| convention | diagram पर कुछ mark करने का माना हुआ तरीक़ा | परिपाटी | §8.4, p.200 में छपा |
| equal sides | एक ही लंबाई की भुजाएँ, rough diagram पर एक जैसे निशान से mark की हुई | बराबर भुजाएँ | §8.4, p.200 में छपा |
| rough diagram | construction से पहले बनाई गई बिना scale की योजना | कच्चा चित्र | §8.4, p.200 में छपा |
| transfer | compass से किसी लंबाई को एक जगह से दूसरी जगह ले जाना | अंतरण | §8.4, p.200 में छपा |
| assign | उस लंबाई के लिए कोई मान चुनना जिसे problem खुला छोड़ देती है | निर्धारित करना | §8.4, p.200 में छपा |
| analysis | बनाने से पहले rough diagram पर किया गया तर्क | विश्लेषण | §8.4, p.200 में छपा |
| ratio | size को अलग रखकर, एक लंबाई की दूसरी से तुलना | अनुपात | यहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में Ganita Prakash का हिंदी संस्करण नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "कुछ भी बनाने से पहले कोई नाप बताया जाना ज़रूरी है।" यहाँ नहीं। problem सिर्फ़ इस property वाला कोई एक rectangle माँगती है, इसलिए size तुम्हारा है; सिर्फ़ अनुपात तय है।
- "दो एक जैसे squares एक के ऊपर एक भी रखे जा सकते हैं, या किसी और तरह से।" एक ही size के दो squares जुड़कर rectangle बनाएँ, तो वे सिर्फ़ अगल-बगल ही बैठ सकते हैं, और इसीलिए लंबी भुजा ठीक छोटी की दुगनी निकलती है।
- "चौड़ाई से दुगना लंबा rectangle, चालाकी से काटो तो, तीन squares में बँट सकता है।" दो squares और तीन squares के लिए, संख्या अनुपात को पूरी तरह तय कर देती है: दो का मतलब 2 और 1, तीन का मतलब 3 और 1, और कोई चालाकी काम नहीं आती। Breaking Rectangles वाला काम सिर्फ़ दो और तीन के मामले माँगता है, और तर्क इसलिए चलता है कि इनमें से कोई भी संख्या एक से ज़्यादा कतारों में नहीं बिछाई जा सकती — इसके उलट, चार एक जैसे squares एक कतार में 4-to-1 वाला rectangle बनाते हैं और दो-दो के block में एक square.
- "4 cm और 2.5 cm लगभग चल जाता है।" यहाँ 'लगभग' कोई श्रेणी नहीं है। या तो लंबी भुजा ठीक छोटी की दुगनी है, या squares एक जैसे नहीं हैं।
- "AF को ruler से नापना और फिर AB के लिए दोबारा 4 cm नापना, नक़ल करने जैसा ही है।" ऐसा नहीं है: दूसरा नाप पहले से अलग आ सकता है। compass को कभी scale दो बार पढ़ना ही नहीं पड़ता।
- "tick marks सजावट हैं।" इन्हीं से rough diagram तर्क का नतीजा अपने साथ रखती है, ताकि construction उसी से पढ़ी जा सके।
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पूरा transcript1,444 शब्द
एक rectangle बनाइए, जो एक कतार में 3 एक जैसे squares में टूट जाए। बस इतना ही काम है। अब देखिए कि ये आपको क्या नहीं देता। लंबी भुजा की कोई लंबाई नहीं। छोटी भुजा की कोई लंबाई नहीं। एक भी संख्या नहीं। ये शुरुआत के लिए बहुत कम लगता है। अगर किसी ने बताया ही नहीं कि क्या नापना है, तो ruler उठाएँ भी कैसे? पर इसे एक बार फिर पढ़िए।
ये ऐसा rectangle माँगता है, जिसमें ये गुण हो। कोई एक ख़ास rectangle नहीं — कोई भी। तो नाप आपकी मर्ज़ी है। तय है तो बस शक्ल। और ये इस सवाल का आसान हिस्सा है, मुश्किल नहीं। 3 से पहले, 2 कीजिए। जब कोई सवाल न खुले, तो उसे छोटा कीजिए, और देखिए कि छोटा वाला खुलता है या नहीं। तो: एक rectangle, जो 2 एक जैसे squares में टूटे, अगल-बगल बैठे हुए।
और 2 एक जैसे squares जुड़कर किसी और तरह rectangle नहीं बनाते — बस अगल-बगल। इसीलिए उनकी लंबी भुजा छोटी की ठीक 2 गुना निकलेगी। ये बात आगे फिर काम आएगी। अगर आप ये बना लें, तो 3 वाले के लिए शायद कोई नया विचार नहीं चाहिए। और अगर न बना पाएँ, तो मुश्किल वाले पर बेकार की मेहनत बच गई। तो ड्रॉ करना कहाँ से शुरू करें? लंबी भुजा से नहीं, क्योंकि उसकी लंबाई पता नहीं।
छोटी भुजा से भी नहीं, ठीक इसी वजह से। तो शुरुआत ड्रॉ करके कीजिए ही मत। उसकी जगह एक नक़्शा बनाइए — एक कच्चा चित्र। नाप से नहीं, पैमाने से नहीं, जान-बूझकर लापरवाह। उसका काम बस इतना है कि जब आप सोचें, तब तक वो labels को थामे रखे। इस सवाल का सारा मुश्किल हिस्सा उसी कच्चे चित्र पर तय होता है। असली बनावट बाद में बस 1 मिनट लेती है।
ये रहा नक़्शा। एक rectangle। ऊपर 3 बिंदु: A, B और C। नीचे 3 और: F, E और D। बीच में ऊपर से नीचे 1 line, B से E तक, जो पूरे चित्र को 2 टुकड़ों में काटती है। बायाँ टुकड़ा A B E F है। दायाँ टुकड़ा B C D E। अब उन टुकड़ों के बारे में किए गए 2 वादे ज़ोर से बोलिए। दोनों टुकड़े एक-दूसरे जैसे हैं।
और हर टुकड़ा square है। यहाँ कुछ भी ठीक से नहीं बना। B बीच के आसपास भी नहीं है। कोई टुकड़ा square जैसा दिखता तक नहीं। पर इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। labels सही हैं, और सोचना labels से ही है। तो इसे घूमकर चलिए। दोनों टुकड़े एक जैसे हैं, इसलिए बाएँ का ऊपरी किनारा दाएँ के ऊपरी किनारे के बराबर है। A B बराबर B C। अब दूसरा वादा।
हर टुकड़ा square है, और square की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। बाएँ टुकड़े में: A F, A B, B E और F E — 4 भुजाएँ, 1 लंबाई। दाएँ टुकड़े में भी यही। B C, C D, D E और B E — सब आपस में बराबर। अब इन भुजाओं को गिनिए। 3 खड़ी हैं, A F, B E और C D। ऊपर की 2 हैं, A B और B C।
नीचे की 2 हैं, F E और E D। कुल 7। और B E को देखिए। वो दोनों टुकड़ों का हिस्सा है। यही दोनों कड़ियों को जोड़कर 1 बना देता है। पूरे चित्र की हर छोटी line — और वो 7 हैं — एक ही लंबाई की है। ये बात चित्र पर ही लिख देने लायक है, और इसका एक तय तरीका है। किसी line पर छोटा-सा tick: जिन lines पर tick हो, वो सब बराबर।
तो 1 tick लगाइए A F पर, 1 B E पर, 1 C D पर। और ऊपर-नीचे: A B, B C, F E और E D पर। 7 ticks — और अब ये चित्र सवाल की तस्वीर नहीं रहा। अब वो जवाब लिए हुए है। जो भी इसे उठाए, वो सोचने की पूरी मेहनत दोहराए बिना दलील पढ़ सकता है। और ये ticks सजावट नहीं हैं। इन्हीं के सहारे कच्चा चित्र पूरी दलील अपने साथ ले जाता है — ताकि असली बनावट सीधे इसी से पढ़ी जा सके।
अब चुनिए: A F के लिए कोई भी लंबाई — सवाल ने जान-बूझकर यही खुला छोड़ा था। मान लीजिए 4 सेंटीमीटर। तो हर tick वाली line 4 सेंटीमीटर की है। A B, 4। B C, 4। और लंबी भुजा A C, A B के बाद B C है — 8। 8 और 4। यही आपका rectangle है, अब जाकर बना लीजिए। जाँच लीजिए: 8, 4 का ठीक 2 गुना है।
यही 2 squares वाली शक्ल है। आपने असल में कितने फ़ैसले किए? बस 1 फ़ैसला। उसके बाद कुछ भी खुला नहीं बचा। और यहाँ ruler की ज़रूरत ही ख़त्म हो जाती है। A F को आपको कभी नापना ही नहीं है। उसे किसी भी लंबाई का खींचिए। दोनों खड़ी भुजाएँ उठाइए। फिर compass को ठीक A F जितना खोलिए, उठाइए, और ऊपर वाली line पर रखकर B लगाइए। B से एक बार और — और C मिल गया।
जब ruler सामने पड़ा है, तो ये झंझट क्यों? क्योंकि ruler को पढ़ना पड़ता है, और पढ़ाई ग़लत हो सकती है। मान लीजिए A F असल में 4 सेंटीमीटर 1 मिलीमीटर बनी, और A B को ruler पर 4 सेंटीमीटर पढ़ा गया। तो बायाँ टुकड़ा square रहा ही नहीं, और ऊपर की पूरी दलील लागू ही नहीं होती। compass कुछ पढ़ता ही नहीं। वो बस वही लंबाई ले जाता है, जो उसने पकड़ी है।
शुरू में ज़रा ग़लत खुला, तो चित्र थोड़ा छोटा-बड़ा बनेगा — पर फिर भी 2 एक जैसे squares। अब 3 squares की बारी। वही कच्चा चित्र, बस 1 कट और। ऊपर 4 बिंदु, नीचे 4, और उनके बीच 3 टुकड़े। इनके नाम रखिए, ऊपर A, B, C, D। नीचे H, G, F, E। टुकड़े हैं A B G H, B C F G, और C D E F। वही कड़ी दोबारा चलाइए।
तीनों टुकड़े एक जैसे, हर एक square — तो चित्र की हर छोटी line बाकी हर छोटी line के बराबर। अब लंबी भुजा उनमें से 3 के बराबर है, 2 नहीं। 4 सेंटीमीटर चौड़ाई, तो 12 सेंटीमीटर लंबाई। और compass से: उसे छोटी भुजा जितना खोलिए, और ऊपर 2 की जगह 3 बार कदम रखवाइए। पहले से पकड़ी लंबाई की 1 और नक़ल — दोनों सवालों में बस इतना फ़र्क है।
तो कौन-से rectangles टूटने से मना करते हैं? एक लीजिए — 4 सेंटीमीटर और 2 सेंटीमीटर 5 मिलीमीटर। 2 squares के लिए लंबी भुजा ठीक 2 गुना होनी चाहिए। 2 गुना 2 सेंटीमीटर 5 मिलीमीटर — 5 सेंटीमीटर। यहाँ लंबी भुजा बस 4 है। ये फ़ेल है। और 'लगभग' यहाँ कोई खाना नहीं है। या तो दोनों टुकड़े एक जैसे squares हैं, या फिर 2 अलग-अलग rectangles। अब 7 और 2 को 3 squares वाली जाँच पर परखिए।
3 गुना 2 — 6। यहाँ लंबी भुजा 7 है। ये भी बाहर। कहाँ काटें, इसकी कोई चालाकी इन दोनों को नहीं बचा सकती। जबकि 8 और 4, 2 और 1, 20 और 10 — ये सब 2 squares में टूट जाते हैं। और 12 तक की भुजाओं वाले हर rectangle पर जाँचा गया, कुल 144: 2 squares ठीक तब, जब लंबी भुजा 2 गुना हो। और 3 squares ठीक तब, जब लंबी भुजा 3 गुना हो।
तो ये दलील इतनी आसानी से क्यों चली? इसमें 2 और 3 संख्याओं की एक ख़ास बात है, जो आसानी से छूट जाती है। 2 एक जैसे squares से rectangle ठीक 1 ही तरह बनता है — अगल-बगल। चालाकी के लिए कोई दूसरा इंतज़ाम है ही नहीं। 3 के साथ भी यही। 3 की 1 कतार, और कुछ नहीं। तो ये उम्मीद भी बेकार है कि 2 गुना लंबा rectangle किसी चालाक कट से 3 squares में टूट जाएगा।
3 एक जैसे squares हमेशा बस 3 गुना लंबी कतार बनाते हैं। पर 4 बिल्कुल अलग है। 4 एक जैसे squares से लंबा rectangle बनता है, 4 गुना लंबा — या फिर 2 और 2 का एक square। 4 पर आकर संख्या शक्ल तय करना बंद कर देती है। तो आपने जो साबित किया, वो squares में टूटने का कोई आम नियम नहीं था। वो 2 के बारे में एक सच था, और 3 के बारे में एक।
अब पीछे हटकर देखिए कि जवाब असल में क्या था। कोई नाप नहीं — एक तुलना। 2 एक जैसे squares का मतलब, लंबी भुजा छोटी की 2 गुना। 3 का मतलब, 3 गुना। इसीलिए कभी कोई नाप नहीं चाहिए था, और ये सवाल आपको compass थमाकर चुपचाप ruler वापस ले सकता था। 8 और 4, 2 और 1, 20 और 10 — इस सवाल की नज़र में ये सब एक ही rectangle हैं।
नाप कभी जवाब का हिस्सा था ही नहीं। बस शक्ल थी। अगला कदम: rectangle की कोने से कोने वाली lines, और वो क्या बताती हैं।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Constructing a square or rectangle from its side lengthsकक्षा 6 · Ch 8, Playing with Constructions
- The two properties that define a rectangle, and the one more a square needsकक्षा 6 · Ch 8, Playing with Constructions
- Working out the order in which a figure has to be drawnकक्षा 6 · Ch 8, Playing with Constructions
- Every curve in these figures is part of a circleकक्षा 6 · Ch 8, Playing with Constructions
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- The shortest and longest crossing inside a rectangleकक्षा 6 · Ch 8, Playing with Constructions
- Why a rectangle's diagonals are equal, and when they split the corners evenlyकक्षा 6 · Ch 8, Playing with Constructions