PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 8, Playing with ConstructionsPrepShorts

Chapter 8 · Playing with Constructions

rectangle के diagonals बराबर क्यों होते हैं, और वे कोनों को बराबर कब बाँटते हैं

Diagonals, and points equidistant from two points12 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

12 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 6 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

rectangle P Q R S में दोनों diagonals खींचिए — वो चारों कोनों को 2-2 हिस्सों में काटते हैं, यानी 8 angles। क्या diagonal कोने को आधा-आधा काटता है? लगभग हर कोई कहता है हाँ। 7 गुणा 4 का rectangle नापिए: लंबी भुजा से सटे 4 angles लगभग 30, छोटी से सटे 4 लगभग 60 — 8 संख्याएँ नहीं, बस 2।

मुख्य idea

दोनों diagonals बनाने पर rectangle के चार कोने आठ angles में कट जाते हैं, और वे आठ अलग-अलग नापों जैसे दिखते हैं। वे ऐसे नहीं हैं। वे सिमटकर सिर्फ़ दो मानों में आ जाते हैं, जिनकी हर जोड़ी का जोड़ 90° होता है, और कौन-से दो मान मिलेंगे, यह अकेले rectangle का आकार तय करता है। इसीलिए किसी diagonal का किसी कोने को दो बराबर आधों में बाँटना rectangles के बारे में कोई तथ्य है ही नहीं — यह square होने की एक जाँच है।

आपको क्या आना चाहिए

  • rectangle के दोनों diagonals बनाना और उनके सही नाम रखना
  • पहचानना कि chapter angles की किन जोड़ियों को opposite angles कहता है
  • अंदाज़ा लगाना कि दोनों diagonals बराबर हैं या नहीं, फिर नापकर जाँचना
  • बताना कि diagonals से बने आठ angles में से कौन-से किनके बराबर हैं
  • समझाना कि एक कोने के दोनों हिस्सों का जोड़ 90° क्यों होना चाहिए
  • वह शर्त निकालना जिसमें कोई diagonal अपने कोनों को बराबर आधों में बाँटता है
  • किसी प्रयोग का हिसाब रखने की तैयारी करना: कुछ भी इकट्ठा करने से पहले उन मात्राओं के नाम तय करना जिन पर नज़र रखनी है
  • कई कोशिशों से पक्के हुए pattern और समझाए जा चुके pattern में फ़र्क़ करना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
diagonalsfigure के आमने-सामने के कोनों को जोड़ने वाली दो linesविकर्ण§8.5, p.203 में bold में छपा
opposite anglesfigure के वे दो angles जो उसके आर-पार एक-दूसरे के सामने हैंसम्मुख कोण§8.5, p.204 में छपा
opposite sidesकिसी जोड़ी की वे दो भुजाएँ जो figure के आर-पार एक-दूसरे के सामने हैंसम्मुख भुजाएँ§8.2, p.192 में bold में छपा
predictनापने से पहले अपेक्षित जवाब बतानापूर्वानुमान करना§8.5, p.203 में छपा
parametersवे मात्राएँ जिन पर नज़र रखने का फ़ैसला कोई प्रयोग करता हैप्राचल§8.5, p.204 में छपा
general lawऐसा कथन जो हर मामले पर लागू होने के लिए हो, सिर्फ़ आज़माए गए मामलों पर नहींव्यापक नियम§8.5, p.204 में general laws के रूप में छपा
verifyसामने की figure से किसी दावे को जाँचनासत्यापित करना§8.1, p.188 में छपा
special caseकिसी परिवार की वह एक आकृति जो अलग बर्ताव करती हैविशेष स्थिति§8.5, p.204 में छपा
bisectदो बराबर हिस्सों में काटनासमद्विभाजित करनायहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा
congruentआकार और size में एक जैसे, चाहे जैसे भी रखे होंसर्वांगसमयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में Ganita Prakash का हिंदी संस्करण नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "diagonal कोने को आधा-आधा काटता है।" नहीं काटता, सिर्फ़ square में काटता है। इस विषय पर यह सबसे आम ग़लत धारणा है, और p.204 पर chapter के अपने दोनों सवाल सीधे इसी पर निशाना लगाते हैं।
  • "diagonals बराबर हैं क्योंकि वे बराबर दिखते हैं।" वे बराबर हैं, पर इसकी वजह दिखना नहीं है। chapter students से पहले अंदाज़ा लगवाता है और फिर नपवाता है — और फिर पूछता है कि कोई कैसे पक्का कर सकता है कि यह हमेशा सच है। उस आख़िरी सवाल को section की असली बात मानो, सिर्फ़ बोलने का अंदाज़ नहीं।
  • "आठ angles का मतलब है आठ numbers ढूँढ़ने हैं।" दो numbers. बाक़ी छह उनकी नक़लें हैं। students को यह दिखा देना किसी भी एक नाप से ज़्यादा क़ीमती है।
  • "दोनों diagonals right angle पर कटते हैं।" square में कटते हैं; आम rectangle में नहीं। इस section में कहीं नहीं कहा गया कि वे ऐसा करते हैं।
  • "45°/45° वाला मामला एक संयोग है।" यही तो विशेष स्थिति की परिभाषा है। किसी कोने पर बराबर आधों का मतलब है कि उस कोने की दोनों भुजाएँ बराबर हैं, और यही rectangle को square बनाता है।
  • "और rectangles नापते जाओ, तो आख़िरकार यह साबित हो जाएगा।" कितनी भी कोशिशें किसी व्यापक नियम को साबित नहीं करतीं, और chapter p.204 के आख़िर में ठीक यही पूछता है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,717 शब्द

ये एक rectangle है। बाहर-बाहर घूमते हुए, क्रम से इसके कोने हैं P, Q, R और S। P ऊपर बाएँ, Q ऊपर दाएँ, R नीचे दाएँ, और S नीचे बाएँ। अब P को R से जोड़िए। फिर Q को S से जोड़िए। ये दोनों lines ऐसे कोनों को जोड़ती हैं, जो आमने-सामने हैं, पड़ोसी नहीं। इन lines का नाम है diagonals। rectangle में ठीक 2 diagonals होते हैं। P के सामने R है, और Q के सामने S।

बाक़ी हर जोड़ी पड़ोसी कोनों की है, और उन्हें जोड़ने वाली line तो rectangle की भुजा ही है। कोनों को क्रम से नाम देना इसीलिए ज़रूरी था। तभी P R का पक्का मतलब बनता है: बाहर-बाहर चलते हुए, P और R के बीच Q आता है, इसलिए P और R पड़ोसी नहीं हैं। और इन 2 lines ने चारों कोनों को 2-2 हिस्सों में काट दिया है। यानी 8 नए angles।

पर उनसे पहले एक आसान सवाल। नापने से पहले अपना जवाब तय कर लीजिए। क्या दोनों diagonals की लंबाई बराबर है? ज़्यादातर लोग कहते हैं, हाँ। और यहाँ वो सही हैं। दोनों lines को चित्र से उठाइए, और अगल-बगल रखिए। लंबाई एक जैसी। लगभग नहीं, बिल्कुल एक जैसी। पर ध्यान दीजिए कि अभी क्या हुआ, और क्या नहीं हुआ। आपने ये बात 1 rectangle पर जाँची है। और देखने में बराबर लगना, कोई वजह नहीं है।

इस बात को पकड़े रखिए। आख़िर में लौटेंगे, और देखेंगे कि हर rectangle के लिए पक्का होने को क्या चाहिए। अब वो 8 angles। हर एक को एक letter दीजिए, ताकि एक-एक करके उनकी बात हो सके। ऊपर P पर: ऊपर वाली भुजा से सटा angle d है, और बाईं भुजा से सटा c। और Q पर, ऊपर वाली भुजा से सटा e है, और दाईं भुजा से सटा f।

नीचे S पर: बाईं भुजा से सटा b, और नीचे वाली भुजा से सटा a। और R पर: दाईं भुजा से सटा g, और नीचे वाली भुजा से सटा h। 8 letters। ऐसा लगता है कि 8 अलग-अलग नाप लेने बाक़ी हैं। अभी अंदाज़ा लगाइए: असल में कितनी अलग संख्याएँ निकलेंगी? अब वो सवाल, जो सबसे ज़्यादा मायने रखता है। और इसका जवाब भी नापने से पहले दीजिए। P वाले कोने को देखिए।

diagonal ने उसे c और d में काटा है। क्या ये 2 हिस्से बराबर हैं? लगभग हर कोई कहता है, हाँ। line एक कोने से दूसरे कोने तक जाती है, और देखने में बिल्कुल बीच से निकलती लगती है। तस्वीर बहुत भरोसा दिलाती है। यही सवाल R वाले कोने से पूछिए, जहाँ हिस्से g और h हैं। क्या वो बराबर हैं? अपना जवाब कहीं लिख लीजिए। इस पूरे विषय की सबसे आम ग़लत धारणा यही है, और इसे टूटते हुए देखना फ़ायदे का सौदा है।

तो नापिए: एक rectangle लीजिए, 7 सेंटीमीटर चौड़ा और 4 सेंटीमीटर ऊँचा। हर angle ऐसे नापिए: protractor का बीच वाला बिंदु कोने पर रखिए, उसकी सीधी किनारी भुजा के साथ मिलाइए, और देखिए कि diagonal किस निशान से गुज़रता है। P से शुरू कीजिए। d, जो लंबी ऊपर वाली भुजा से सटा है, लगभग 30 degree निकलता है। और c, जो छोटी बाईं भुजा से सटा है, लगभग 60। अब Q पर चलिए।

वहाँ e लगभग 30 निकलता है। और f लगभग 60। नीचे S पर, a 30 है, और b 60। R पर भी वही, h 30 है, और g 60। 8 नाप, सब लिखे हुए। एक बात साफ़-साफ़: ये सब लगभग है। protractor पूरे degree तक ही पढ़ता है। असली angle 30 से ज़रा कम है, और उसका साथी 60 से ज़रा ज़्यादा। अब रुककर देखिए कि लिखा क्या है। वहाँ 8 संख्याएँ नहीं हैं।

सिर्फ़ 2 हैं। 30 आता है 4 बार। और 60 भी 4 बार। और ये 30 वाले इधर-उधर बिखरे नहीं हैं। हर एक किसी लंबी भुजा से सटा है: d, e, a और h। और हर 60 वाला किसी छोटी भुजा से सटा है: c, f, b और g। इन्हें रंग दीजिए, और पूरा चित्र ख़ुद-ब-ख़ुद 4-4 के 2 परिवारों में बँट जाता है। 8 angles सुनकर लगा था कि 8 संख्याएँ ढूँढनी हैं।

यही जाल था। बाहर निकलने का रास्ता ये था कि सारे नाप एक साथ देखें, एक-एक करके नहीं। 8 चीज़ें नापनी थीं। निकलीं 2, और बाक़ी 6 उन्हीं की नक़ल। अब कोई भी 1 कोना लीजिए, और उसके 2 हिस्से देखिए। 30 और 60। जोड़, 90। और ये बात नापने से नहीं निकली। इस पर कभी शक था ही नहीं। क्योंकि ये 2 हिस्से मिलकर वही कोना हैं। और rectangle का हर कोना right angle है, यानी 90 degree।

तो जैसे ही 1 हिस्सा पता चला, दूसरा घटाकर मिल जाता है। मान लीजिए किसी कोने का 1 हिस्सा 35 degree है। तो दूसरा, 90 में से 35 घटाकर, 55। और उस सारी नक़ल की वजह से, इनमें से 1 पता हो, तो सारे 8 पता। 1 नाप। उन 8 नापों में बस इतनी ही जानकारी थी। इससे पहले वाला सवाल सुलझ जाता है। c और d बराबर नहीं हैं, क्योंकि 30, 60 नहीं है।

g और h भी बराबर नहीं। diagonal कोने को आधा-आधा नहीं काटता। वो उसे 1 बड़े और 1 छोटे हिस्से में काटता है। और एक बार पता हो कि क्या ढूँढना है, तो झुकाव दिखने लगता है। diagonal लंबी भुजा से चिपककर चलता है, और छोटी भुजा से दूर रहता है। जो तस्वीर इतना भरोसा दिला रही थी, वो ग़लत थी। पर ये 1 rectangle की बात है। अब देखिए कि rectangle बदलें, तो क्या होता है।

ऊँचाई ठीक 4 पर रहने दीजिए, और चौड़ाई को खींचिए। इसे बहुत चौड़ा और चपटा बनाइए: 16 चौड़ा, 4 ऊँचा। लंबी भुजा वाला angle सिकुड़कर लगभग 14 रह जाता है, और छोटी भुजा वाला चढ़कर लगभग 76। अब उल्टी तरफ़ दबाइए: 1 चौड़ा, 4 ऊँचा, पतला और लंबा। अब ऊपर वाला angle लगभग 76 है, और बगल वाला लगभग 14। दोनों ने अपनी जगह पूरी तरह बदल ली। अब चौड़ाई को ऊँचाई के क़रीब लाइए: 5 चौड़ा, 4 ऊँचा।

angles लगभग 39 और 51 हैं। दोनों पास आ गए हैं। मतलब बीच में कहीं, इन दोनों को एक-दूसरे को पार करना ही होगा। और ध्यान दीजिए, ये दोनों कभी एक ही दिशा में नहीं चलते। एक बढ़ता है, तो दूसरा घटता है, क्योंकि दोनों मिलकर हमेशा 90 बनाते हैं, चौड़ाई कुछ भी हो। और उल्टी दिशा में चलने वाली 2 संख्याएँ सिर्फ़ 1 बार मिल सकती हैं। 2 बार नहीं।

चौड़ाइयों के किसी पूरे हिस्से पर नहीं। बस ठीक 1 चौड़ाई पर। उस 1 चौड़ाई पर दोनों angles 45 पढ़ते हैं। 45 और 45, जोड़ 90, जैसा होना ही था। अब उस पल चित्र को देखिए। चौड़ाई 4, ऊँचाई 4। ये square है। तो कोने को आधा-आधा काटने वाला diagonal, rectangles के बारे में कोई तथ्य नहीं है। ये एक test है। जिससे भी कहें कि ऐसा rectangle बनाइए, जिसका diagonal कोने को 45 और 45 में बाँटे, तो आपने square ही माँगा है, चाहे इरादा हो या न हो।

और 50 और 40 माँगिए, तो एक आम rectangle मिलता है, जिसकी भुजाएँ लगभग 6 और 5 के अनुपात में हैं। कुछ ख़ास नहीं होता। उसी पल 1 और चीज़ बदलती है, जो आसानी से छूट जाती है। आम rectangle पर दोनों diagonals एक-दूसरे को right angle पर नहीं काटते। square पर काटते हैं। अब 1 और बात, जो इस बारे में है कि नापा कैसे गया, इस बारे में नहीं कि मिला क्या।

कोई भी संख्या इकट्ठा करने से पहले, ये तय हुआ कि लिखना क्या है। 2 भुजाओं की लंबाई, और 8 angles। 10 खाने, पहले से नाम दिए हुए। ये हिसाब-किताब जैसा लगता है। पर है नहीं। अगर भुजाओं की लंबाई छोड़ दी जाती, तो पिछले कुछ मिनटों में जो भी मिला, वो दिखता ही नहीं। क्योंकि पूरा pattern इस बारे में है कि हर angle किस भुजा से सटा है।

भुजाएँ न हों, तो सटने को कुछ बचता ही नहीं। क्या लिखना है, ये चुनना भी प्रयोग का हिस्सा है। और ये काम नतीजे आने से पहले होता है, जब कोई नतीजा आपको बहका नहीं सकता। अब वो बात, जो शुरू में अधूरी छोड़ी थी। दोनों diagonals बराबर निकले, पर 1 rectangle पर। मान लीजिए आप 6 और rectangles नापते हैं, और सारे 6 में यही निकलता है। क्या अब आप पक्का कह सकते हैं कि ये हर उस rectangle पर सच है, जो कभी भी कोई बनाएगा?

नहीं, 6 सब नहीं हैं। उनसे कहीं ज़्यादा नाप भी सब नहीं। जितने भी आज़माइए, हमेशा कुछ बचे रहेंगे, जो आज़माए नहीं गए। पर चित्र को एक बार फिर देखिए। P R एक triangle की सबसे लंबी भुजा है, जिसकी बाक़ी 2 भुजाएँ हैं S P और S R: एक ऊँचाई और एक चौड़ाई, और उनके बीच right angle। और Q S भी ठीक ऐसा ही triangle पूरा करता है, R Q और R S पर।

वही ऊँचाई, वही चौड़ाई, वही right angle। और जब 2 triangles में वही 2 भुजाएँ हों, और उनके बीच वही angle, तो दोनों triangles हूबहू एक जैसे होते हैं। तो उनकी सबसे लंबी भुजा भी बराबर। या फिर मोड़कर देखिए। rectangle को बीच वाली खड़ी line पर मोड़िए। तब P ठीक Q के ऊपर आता है, और S ठीक R के ऊपर। तो P R पूरी की पूरी Q S के ऊपर आ जाती है।

एक line दूसरी को ढक लेती है। बिना नापे, बराबर। ये कोई नाप नहीं है। ये एक वजह है। और ये एक साथ हर rectangle पर लागू होती है, उन पर भी, जिन्हें कभी कोई नहीं बनाएगा। तो इस पूरी बात से क्या ले जाना है? पहली बात, diagonals से बने 8 angles असल में 2 ही संख्याएँ हैं, और बाक़ी 6 उनकी नक़ल। दूसरी बात, हर कोने के 2 हिस्से मिलकर 90 बनाते हैं।

ये नापकर नहीं, सोचकर पता है, क्योंकि मिलकर वो कोना ही हैं। तीसरी बात, diagonal कोने को आधा सिर्फ़ square में काटता है, किसी और rectangle में नहीं। इसलिए आधा-आधा बँटना, square होने की पहचान है। और चौथी बात, बहुत सारे rectangles पर नाप लेना एक pattern देता है। पर हर rectangle के लिए पक्का होना, सिर्फ़ किसी वजह से आता है। अब आप आज़माइए। किसी rectangle के कोने का 1 हिस्सा 25 है।

दूसरा हिस्सा कितना है, और 25 वाला किस तरह की भुजा से सटा होगा? दूसरा हिस्सा 65 है। और 25 वाला छोटा हिस्सा है, तो वो लंबी भुजा से सटा होगा, क्योंकि diagonal हमेशा लंबी भुजा से चिपककर चलता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab