PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 8, Playing with ConstructionsPrepShorts

Chapter 8 · Playing with Constructions

वे points जो दो दिए गए points से बराबर दूरी पर हैं

Diagonals, and points equidistant from two points11 मिनट

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ruler और compass से बना एक घर — बाहर की हर line 5 सेंटीमीटर। दीवारें आसान हैं: हर कोने के लिए एक दूरी और एक दिशा। पर छत की चोटी A, B से 5 दूर है और C से भी 5 — किस दिशा में, कोई नहीं बताता। बीच से सीधे 5 ऊपर नापिए, तो वो बिंदु B से 5 सेंटीमीटर 6 मिलीमीटर दूर निकलता है: A नहीं।

मुख्य idea

B से उतनी ही दूर होना जितना C से, किसी point को पक्का तय नहीं करता। इससे चुनावों का एक पूरा परिवार बचता है, और House की चोटी को तय करती है दूसरी जानकारी — कि यह दूरी 5 cm है। construction यह बात साफ़ दिखा देती है: हर circle एक शर्त है, और एक point पाने के लिए दो शर्तों का कटना ज़रूरी है। दो बराबर circles एक बार नहीं, दो बार कटते हैं, इसलिए तब भी दो जवाब होते हैं और तुम दीवारों के ऊपर वाला चुनते हो। section के शीर्षक में points बहुवचन में है, और उसका मतलब सच में यही है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दोबारा बनाई जाने वाली figure में पहचानना कि कौन-सा point तुरंत नहीं बनाया जा सकता, और क्यों
  • वे दो शर्तें बताना जो House की चोटी होने के लिए किसी point को पूरी करनी हैं
  • arcs की मदद से ऐसा point ढूँढ़ना जो दो दिए गए points में से हर एक से बताई गई दूरी पर हो
  • समझाना कि दो दिए गए points से होकर जाने वाले दो बराबर circles दो जगह क्यों कटते हैं
  • बनाई जा रही figure के लिए दोनों कटानों में से सही वाला चुनना
  • पहले से बने centre से दो points से होकर जाने वाला arc बनाना
  • वही तरीक़ा किसी दूसरी problem में पहचानना, और उसे फिर इस्तेमाल करना
  • ऐसी 4-sided figure की रचना करना जिसकी सारी भुजाएँ बराबर हों पर जो square न हो

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
equidistantदो दिए गए points में से हर एक से एक ही दूरी परसमदूरस्थ§8.6 की heading, p.211 में छपा
given pointsproblem के दिए हुए points, जिनसे दूरियाँ ली जाती हैंदिए गए बिंदु§8.6 की heading, p.211 में छपा
arccircle का वह हिस्सा जो असल में बनाया जाता हैचाप§8.4, p.203 में arcs के रूप में छपा; पूरे §8.5, p.210, और §8.6, p.213 में इस्तेमाल हुआ
radiusवह तय दूरी जिस पर arc या circle बनाया जाता हैत्रिज्या§8.1, p.189 में bold में छपा
intersectकटना, ताकि दोनों का एक साझा point होप्रतिच्छेद करना§8.5, p.209 में, और §8.6, p.213 में छपा
borderfigure की रूपरेखा, उसके अंदर की चीज़ों के मुक़ाबलेपरिसीमा§8.6, p.211 में छपा
locateकिसी point की जगह अंदाज़े से नहीं, ढूँढ़कर निकालनाअवस्थित करना§8.5, p.205 में located के रूप में; §8.6, p.212 में locate के रूप में छपा
recreateकिसी छपी figure को औज़ारों से दोबारा बनानापुनर्रचना करना§8.1, p.189 में, और §8.6, p.211 में छपा
4-sided figureचार सीधी भुजाओं वाली बंद figure के लिए chapter के शब्दचतुर्भुज§8.3, p.197 में छपा
perpendicular bisectorवह line जिसमें दो दिए गए points से बराबर दूरी वाला हर point हैलम्ब समद्विभाजकयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा
rhombusऐसी 4-sided figure जिसकी सारी भुजाएँ बराबर हैं, पर जिसके angles का 90° होना ज़रूरी नहींसमचतुर्भुजयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में Ganita Prakash का हिंदी संस्करण नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "B और C से बराबर दूरी का मतलब है उनके ठीक बीच में।" बीच का point ऐसा एक point है, पर House की चोटी BC पर है ही नहीं। BC के बीच से perpendicular होकर जाने वाली line का हर point दोनों से बराबर दूरी पर है — उनकी एक पूरी line.
  • "A ढूँढ़ने के लिए एक circle काफ़ी होना चाहिए।" एक circle B से 5 cm दूर हर point देता है, जो अनगिनत हैं। दूसरा circle ही उन्हें घटाता है।
  • "दो circles एक point पर मिलते हैं।" एक-दूसरे पर चढ़े दो circles दो points पर मिलते हैं। chapter की अपनी p.213 वाली figure दोनों दिखाती है। तुम्हें कौन-सा चाहिए, यह figure तय करती है, हिसाब नहीं।
  • "दीवारों के बीच से बस 5 cm ऊपर नाप लो।" A वहाँ नहीं है — वह B से और C से 5 cm दूर है, BC के बीच वाले point से 5 cm ऊपर नहीं। ये दो अलग points हैं, और फ़र्क़ page पर दिखता है।
  • "छत एक half circle है।" वह उससे कहीं उथला arc है; दोनों सिरे सिर्फ़ 5 cm दूर हैं, जबकि radius भी 5 cm है।
  • "चार बराबर भुजाओं वाली 4-sided figure को square होना ही होगा।" chapter का आख़िरी काम इसी धारणा को तोड़ने के लिए है, और इसका उलटा उदाहरण बनाने का औज़ार वही दो arcs वाली चाल है।
  • "दरवाज़े की जगह problem का हिस्सा है।" उसकी चौड़ाई और ऊँचाई दी गई है; नीचे की दीवार पर वह कहाँ खड़ा है, यह नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,555 शब्द

ये एक घर है। असली नहीं, ruler और compass से बना एक चित्र। और काम है इसे फिर से बनाना। देखिए क्या दिया गया है। बाहर की हर line 5 सेंटीमीटर है: 2 दीवारें, उनके बीच का फ़र्श, और छत की 2 ढलानें। फ़र्श पर एक दरवाज़ा खड़ा है, 1 सेंटीमीटर चौड़ा और 2 सेंटीमीटर ऊँचा। और छत के नीचे सीधी line नहीं है। वहाँ एक arc है, जो एक दीवार के सिरे से दूसरी के सिरे तक हल्का-सा नीचे झुकता है।

रखने को 5 बिंदु हैं। उनमें से 4 सीधे रखे जा सकते हैं। पाँचवाँ नहीं, और पूरी बात यही है। कुछ भी खींचने से पहले, क्रम तय कीजिए। नीचे के कोने D और E, दीवारों के सिरे B और C, और छत की चोटी A। अब हर एक के बारे में पूछिए: क्या इसे अभी पन्ने पर रखा जा सकता है? D कहीं भी जा सकता है, उसे कुछ नहीं रोकता।

E, D से 5 सेंटीमीटर दूर, फ़र्श के साथ। B, D से 5 सीधा ऊपर, और C, E से 5 सीधा ऊपर। ये भी आसान: हर एक के लिए एक दूरी और एक दिशा। और A का क्या? A, B से 5 दूर है। पर किस दिशा में? C से भी 5, पर फिर, किस दिशा में? किसी से भी ये पता नहीं चलता कि ruler किधर घुमाएँ। B से 5 दूर अकेले, एक नहीं, अनगिनत बिंदु हैं।

बिना दिशा की दूरी, ऐसी जगह नहीं है, जहाँ pencil रखी जा सके। तो योजना ये: पहले दीवारें, फिर A, और सबसे आख़िर में छत का arc, क्योंकि उसका केंद्र A ही है। दीवारें पहले, क्योंकि वो किसी और चीज़ का इंतज़ार नहीं करतीं। फ़र्श खींचिए, 5 सेंटीमीटर, D से E तक। D पर right angle घुमाइए, और 5 ऊपर जाइए: वो B है। और E पर भी यही कीजिए, तो वो C है।

एक square की 3 भुजाएँ, चौथी ग़ायब। अब दरवाज़ा: 1 सेंटीमीटर चौड़ा, 2 ऊँचा, फ़र्श पर खड़ा। और ध्यान दीजिए: दरवाज़े की चौड़ाई और ऊँचाई बताई गई है, पर ये नहीं कि फ़र्श पर वो कहाँ खड़ा है। ये भूल नहीं है। उसे बाएँ-दाएँ सरकाइए, वो तब भी वही दरवाज़ा है, जो माँगा गया था। सवाल पढ़ने का एक हिस्सा ये भी है कि किन बातों का जवाब वो जान-बूझकर नहीं देता।

अब A की बारी। उसके बारे में 2 बातें सच हैं, A, B से 5 सेंटीमीटर दूर है, और C से भी 5 सेंटीमीटर दूर है। इन्हें एक-एक करके लीजिए, और देखिए कि अकेले हर एक कितना कम कर पाती है। मान लीजिए आपको बस इतना पता है कि A, B और C से बराबर दूर है। तो वो कहाँ हो सकता है? बीच से सीधा ऊपर, पक्का। पर और ऊँचा भी, नीचे भी, और फ़र्श के नीचे भी।

B और C के बीच से गुज़रती खड़ी line का हर बिंदु, दोनों से बराबर दूर है। ऐसे अनगिनत बिंदु। B C का बीच वाला बिंदु भी इन्हीं में से एक है: दोनों से 2 सेंटीमीटर 5 मिलीमीटर। बराबर, पर 5 नहीं। और एक लालच: बीच से सीधे 5 ऊपर नाप लें? वो A नहीं है। वो बिंदु B से 5 सेंटीमीटर 6 मिलीमीटर दूर है, 5 नहीं। तो बराबर दूरी अकेले आपको किसी ख़ास जगह नहीं पहुँचाती।

उसे छाँटती है जानकारी का दूसरा हिस्सा: सिर्फ़ बराबर नहीं, 5। इस पर ruler से हमला करने का एक तरीक़ा है, जिसे जान-बूझकर बुरी तरह करके देखना चाहिए। ruler का सिरा B पर रखिए, और उसे घुमाइए, 5 सेंटीमीटर के निशान पर नज़र रखते हुए। हर जगह आपको B से 5 दूर एक बिंदु देती है। अब तक ठीक। अब दूसरी शर्त जाँचिए: वो बिंदु C से कितना दूर है?

6 सेंटीमीटर 2 मिलीमीटर। थोड़ा और घुमाइए, तो 4 सेंटीमीटर 4 मिलीमीटर। फिर वापस लाइए, तो 5 सेंटीमीटर 3 मिलीमीटर। आप तलाश कर रहे हैं। करते रह सकते हैं, और पास भी पहुँचेंगे। पर जहाँ भी उतरेंगे, क़िस्मत से उतरेंगे। और कल शायद ज़रा अलग जगह। बनावट इस पर नहीं टिकनी चाहिए कि आप में कितना सब्र है। तो एक बिंदु का पीछा छोड़िए, और सारे बिंदु एक साथ बना दीजिए।

compass को 5 सेंटीमीटर खोलिए। नोक B पर रखिए, और पूरा घुमाइए। उस circle की हर एक जगह, B से ठीक 5 दूर है। यही पहली शर्त है, पूरी की पूरी बनी हुई: न कुछ छूटा, न कुछ अंदाज़े से। और ये बहुत बड़ी है: इतने बिंदु, जिन्हें कोई एक-एक करके कभी जाँच नहीं सकता। ये सुनने में पीछे का कदम लगता है, पर है नहीं। क्योंकि दूसरी शर्त अभी आनी है, और उसका पूरा काम है इनमें से लगभग सबको हटा देना।

वही compass, वही 5 सेंटीमीटर, बस केंद्र अलग। इस बार नोक C पर रखिए, और फिर घुमाइए। अब पन्ने पर 2 circles हैं, और वो काफ़ी हद तक एक-दूसरे पर चढ़े हैं। देखिए हर एक क्या कह रहा है। पहले circle पर सब कुछ B से 5 दूर है। दूसरे circle पर सब कुछ C से 5 दूर है। और A को दोनों पर एक साथ होना है। तो A अब किसी circle पर कहीं भी नहीं है।

वो बस उन गिनी-चुनी जगहों में है, जो दोनों circles की साझा हैं। और वो दिखती हैं: ठीक वहाँ, जहाँ दोनों circles एक-दूसरे को काटते हैं। और कटान 2 हैं, 1 नहीं। यहाँ रुकना चाहिए, क्योंकि 2 circles बनाकर एक ही जवाब की उम्मीद करना बहुत आसान है। एक कटान दीवारों के ऊपर है, जहाँ छत की चोटी होनी चाहिए। दूसरा नीचे दीवारों के बीच, फ़र्श के पास। नीचे वाला कटान फ़र्श से बस लगभग 7 मिलीमीटर ऊपर है, दरवाज़े की ऊँचाई से भी नीचे।

दोनों B से 5 सेंटीमीटर दूर हैं। दोनों C से भी 5। कौन-सा चाहिए, ये संख्याएँ नहीं, चित्र तय करता है। आप घर बना रहे हैं, तो ऊपर वाला लीजिए। उसे A कहिए। और 2 होने की एक वजह है। B और C, 5 दूर हैं, और radius भी 5 है, तो हर circle दूसरे के केंद्र से होकर गुज़रता है। ऐसे चढ़े हुए 2 circles, उनके केंद्रों को जोड़ने वाली line के दोनों तरफ़ कटते हैं।

अब उन 2 पूरे circles को देखिए, और पूछिए कि उनकी कितनी स्याही ने असल में काम किया। लगभग किसी ने नहीं। जो मायने रखता था, वो दीवारों के ऊपर एक छोटे-से हिस्से में हुआ। बाक़ी circle पीछे घूमकर घर लौट आया। तो इस बार कम से कीजिए। B से, बस एक छोटा arc, वहाँ जहाँ कटान की उम्मीद है। फिर C से, उसके आर-पार एक और छोटा arc। वो ठीक उसी जगह मिलते हैं, जहाँ पहले circles मिले थे।

arcs से चित्र जाँचना भी आसान होता है: 2 छोटे निशान साफ़-साफ़ कटते हैं, और बीच में कोई और line नहीं आती। जवाब के दोनों तरफ़ 20 degree तक जाने वाला arc काफ़ी है: circle के 360 में से बस 40। arcs, circles का कच्चा रूप नहीं हैं। ये वही बनावट है, बस बिना काम वाला हिस्सा छोड़कर। A को B से जोड़िए, और A को C से। छत की दोनों ढलानें बन गईं।

अब नीचे वाला arc। उसका केंद्र A है, वही बिंदु जो अभी मिला। compass फिर 5 खोलिए, नोक A पर, और B से C तक घुमाइए। और यहाँ सुंदर बात: A, B से 5 दूर है और C से भी 5, क्योंकि उसे चुना ही ऐसे गया था। तो arc बिना निशाना साधे दोनों से होकर गुज़रता है। ये circle का कितना हिस्सा है? आधा नहीं, उसके आस-पास भी नहीं।

A, B से 5, C से 5, और B और C आपस में 5। 3 बराबर दूरियाँ, इसलिए arc 60 degree घूमता है: circle का छठा हिस्सा। और उस arc का सबसे निचला बिंदु, दीवारों के सिरों से बस लगभग 7 मिलीमीटर नीचे जाता है। इसीलिए छत एक हल्का-सा झुका arc है, गुंबद नहीं। वो चाल, 2 जाने हुए बिंदुओं से 1-1 arc, यही पूरी तकनीक है। वही घर बड़ा बनाइए: हर line 5 की जगह 7 सेंटीमीटर।

दीवारें बदलती हैं। compass की setting बदलती है। तरीक़ा नहीं बदलता। चोटी अब फ़र्श से लगभग 9 की जगह लगभग 13 ऊपर आती है, और वहाँ का angle अब भी 60 है। वही शक्ल, बड़ी। जब भी किसी बिंदु को एक जाने हुए बिंदु से तय दूरी पर, और दूसरे से भी तय दूरी पर होना हो, उसे ऐसे ही ढूँढिए। हर शर्त का 1 arc। बिंदु वहीं, जहाँ वो कटें।

और कटान 2 होंगे, और आपको तय करना होगा कि आपका मतलब किससे था। 1 आख़िरी बात, और ये वही चाल एक धारणा तोड़ने के काम आती है। एक कोने से 5-5 सेंटीमीटर की 2 lines खींचिए, जान-बूझकर right angle पर नहीं। मान लीजिए 60 पर। अब आकार को बंद कीजिए, ताकि चारों भुजाएँ 5 हों। चौथा कोना, एक खुले सिरे से 5 दूर हो, और दूसरे से भी 5: यानी 2 arcs।

और वो हमेशा की तरह 2 बार कटते हैं। एक कटान वही कोना है, जहाँ से शुरू किया था, क्योंकि वो भी दोनों से 5 दूर है। उसे छोड़िए, दूसरा लीजिए। 4 भुजाएँ, हर एक 5 सेंटीमीटर, और कहीं भी right angle नहीं: कोने हैं 60, 120, 60, 120। पड़ोसी कोने मिलकर अब भी 180 बनाते हैं: 60 और 120। बस कोई भी 90 नहीं। तो 4 बराबर भुजाओं वाला आकार, square होना ज़रूरी नहीं।

बीच की 2 lines नापिए: एक 5 सेंटीमीटर, दूसरी 8 सेंटीमीटर 7 मिलीमीटर। square में दोनों बराबर होतीं, 7 सेंटीमीटर 1 मिलीमीटर। तो square होने के लिए बराबर भुजाएँ काफ़ी नहीं। कोने भी right angle चाहिए।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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