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Chapter 2 · Lines and Angles

protractor से angle पढ़ना और बनाना

Measuring angles12 मिनट

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protractor की हर reading असल में एक घटाना है: दोनों arms scale को किसी संख्या पर काटती हैं, और angle उन दोनों का फ़र्क है। centre को vertex पर और एक arm को 0 पर रखो, तो एक संख्या 0 हो जाती है — बस इतनी सी बात है।

मुख्य idea

protractor की हर पढ़ाई एक घटाव है। हर भुजा पैमाने को किसी संख्या पर काटती है, और angle उन दो संख्याओं के बीच का अंतर है — और इसीलिए जाने-पहचाने निर्देश कोई रस्म नहीं हैं: centre को vertex पर और एक भुजा को zero के निशान पर रखने से दोनों में से एक पढ़ाई शून्य हो जाती है, इसलिए दूसरी पढ़ाई ही जवाब है। एक बार पढ़ाई को इस तरह देख लो, तो संख्याओं की दोनों पंक्तियाँ उलझन नहीं रहतीं (वे इसलिए हैं कि zero को किसी भी सिरे पर रखा जा सके), छह जानी-मानी ग़लतियाँ छह चेहरों वाली एक ही ग़लती बन जाती हैं, और पैमाने से बड़े angles रास्ते का अंत नहीं, बल्कि 360° में से एक घटाव बन जाते हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि protractor का पैमाना कैसे बना है — straight angle को 180 इकाई हिस्सों में बाँटा गया, हर 10° पर लंबे निशान और हर 5° पर मझोले निशान
  • vertex centre पर हो तो इकाई हिस्से गिनकर angle पढ़ना
  • वही angle गिनने की जगह संख्या वाले पैमाने से पढ़ना
  • जहाँ दोनों भुजाएँ पैमाने को काटती हैं वहाँ की संख्याएँ पढ़ना और घटाकर angle निकालना
  • protractor ऐसे रखना कि कोई घटाव न करना पड़े, और बताना कि यह क्यों काम करता है
  • संख्याओं की आमने-सामने चलती दो पंक्तियों का मक़सद समझाना
  • protractor के ग़लत रखे जाने को पहचानना और सुधार बताना
  • protractor और ruler से बताई गई माप का angle बनाना
  • 180° से बड़ा angle, उसके साथी angle को नापकर और 360° में से घटाकर, निकालना
  • आँख से angle का अनुमान लगाना और नाप के मुक़ाबले अनुमान को अंक देना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
protractorangle की माप पढ़ने और बनाने का औज़ारचाँदा§2.9, p.34 — वहाँ bold में छपा
centreprotractor का वह point जिसे vertex पर रखना ज़रूरी हैकेंद्र§2.9, p.35 — वहीं छपा
baseprotractor का सीधा किनारा, जिसके दोनों सिरों पर zero हैआधार§2.9, p.35 — वहीं छपा
markingsकिनारे पर चारों ओर बने निशान, आमने-सामने के दो समूहों में छपेअंकन§2.9, p.37 — वहीं छपा, जहाँ chapter पूछता है कि कौन-सा समूह इस्तेमाल हुआ
inner or outerनिशानों के दोनों समूहों के लिए chapter के नामभीतरी या बाहरी§2.9, p.37 — वहाँ ठीक इन्हीं शब्दों में छपा
referenceवह भुजा जो angle बनाने से पहले zero के साथ रखी जाती हैसंदर्भ§2.10, p.46 — वहीं छपा, कोष्ठक में base के रूप में समझाया गया
estimateनापने से पहले बताया गया अंदाज़े वाला मानअनुमान§2.10, p.49 — वहाँ estimating के रूप में छपा, उस Teacher's Note में जो दोनों खेलों को ख़त्म करता है; खेल ख़ुद guess कहते हैं
geometry boxऔज़ारों का वह set जिससे student का अपना protractor आता हैज्यामिति पेटी§2.9, p.36 — वहीं छपा
parallaxपैमाने को एक तरफ़ से देखने पर होने वाली पढ़ाई की ग़लतीलंबनयहाँ जोड़ा गया शब्द — इस chapter में नहीं छपा; book का ग़लत इस्तेमाल वाला panel देखने की नहीं, रखने की ग़लतियाँ दिखाता है

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इसे Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से मिलाकर नहीं देखा गया है — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "protractor angle दे देता है; बस देख लो।" वह दो पढ़ाइयाँ देता है। §2.9, pp.36–37 में सुधारा गया, जहाँ chapter shortcut दिखाने से पहले साफ़ तौर पर दो संख्याएँ पढ़कर घटाता है।
  • "बाहरी पैमाना इस्तेमाल करो।" कोई भी पैमाना अपने आप में सही नहीं है। नियम है वह पंक्ति इस्तेमाल करना जिसका zero तुम्हारी चुनी हुई भुजा पर हो, और इसीलिए दो पंक्तियाँ छपी हैं।
  • "भुजा को protractor के किनारे की सीध में रखो।" ज़्यादातर औज़ारों पर base का किनारा और zero line एक ही चीज़ नहीं हैं, और p.44 के छह ग़लत panels में से कई इसी उलझन पर टिके हैं।
  • "अगर angle protractor से बड़ा है, तो उसे नापा नहीं जा सकता।" §2.9, p.41 पर सुधारा गया — बाक़ी घुमाव नापो और 360° में से घटाओ।
  • "छोटी पढ़ाई यानी छोटा angle." नहीं, अगर vertex centre से खिसक गया हो। section 8 इसी तथ्य पर बना है कि ग़लत ढंग से रखने पर भी पूरे भरोसे वाली एक संख्या मिलती है।
  • "अनुमान तब लगाते हैं जब protractor न हो।" chapter इसे अभ्यास करने और अंक पाने वाला हुनर मानता है, और §2.10, p.49 पर उसका Teacher's Note कहता है कि खेल अलग-अलग दिनों पर दोहराया जाए।
  • "triangle के तीनों angles का जोड़ 180° होता है — यह तो हमें पता नियम है।" book में इस जगह पर यह नाप से निकला एक conjecture है, और §2.9, p.43 कहता है कि इसकी व्याख्या बाद में आएगी। व्याख्या में चुपके से proof नहीं घुसाना चाहिए।

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पूरा transcript1,678 शब्द

पिछली बार हमने पूरे चक्कर को 360 बराबर हिस्सों में काटा, और मोड़कर अपना protractor बनाया। आज असली protractor से angle पढ़ना, और बनाना भी सीखेंगे। शुरुआत बिना संख्याओं वाले protractor से करेंगे — ताकि बाद में समझ आए कि संख्याएँ असल में क्या काम करती हैं। पहले एक ऐसा protractor लो, जिस पर कोई संख्या नहीं लिखी। इसका सीधा किनारा straight angle है, और उसके ऊपर 180 बराबर हिस्से बने हैं।

हर 10 हिस्सों पर एक लंबा निशान है, और उनके ठीक बीच में, हर 5 पर, एक मझोला निशान। बाकी सब छोटे निशान, हर एक हिस्से को अलग दिखाते हैं। इसके सीधे किनारे के बीच में एक point है — यही centre है, जिसे हमेशा angle के vertex पर रखना है। अब vertex A को centre पर रखो। यहाँ से 4 rays निकलती हैं — AK, AL, AW और AT।

यहाँ angle KAL कितना है? गिनती ray AL से शुरू करो, और ray AK तक, एक-एक हिस्सा गिनो। गिनते जाओ — 1, 2, 3, और आगे। देखो, AK तक पहुँचते-पहुँचते ठीक 30 हिस्से होते हैं। यानी angle KAL, 30 degree है। पर एक-एक करके गिनना बहुत थकाने वाला है, और उसमें गलती होने का डर भी रहता है। इसीलिए लंबे निशान काम आते हैं। देखो, angle KAL में 3 लंबे खाने हैं — यानी 3 बार 10, कुल 30।

और angle WAL में 5 बार 10 हिस्से हैं, यानी 50 degree। और angle TAK में, 12 बार 10 — यानी 120 degree। जब गिनती 5 पर रुके, तो मझोले निशान मदद करते हैं। फिर भी हर बार गिनना तो पड़ता ही है। क्या इन निशानों पर संख्याएँ लिख दें, तो गिनती बच जाएगी? अब असली protractor देखो। इस पर हर लंबे निशान के पास संख्या लिखी है — 0, 10, 20, और आगे, 180 तक।

पर ध्यान से देखो — संख्याओं की 2 कतारें हैं। बाहर वाली कतार दाईं ओर 0 से शुरू होती है, और अंदर वाली, बाईं ओर 0 से। यानी दोनों कतारें एक-दूसरे से उल्टी दिशा में चलती हैं। जहाँ बाहर 35 लिखा है, वहीं अंदर 145। तो सवाल यह है — 2 कतारें क्यों? एक से काम क्यों नहीं चलता? जवाब आसान है। किसी angle की पहली arm दाईं ओर भी हो सकती है, और बाईं ओर भी।

जिस तरफ़ arm है, उस तरफ़ का 0 चाहिए। दाईं arm के लिए बाहर वाली कतार, और बाईं arm के लिए अंदर वाली। इसलिए कोई कतार अपने आप में सही या गलत नहीं है। सही वो है, जिसका 0 तुम्हारी arm पर हो। अब protractor का centre O पर है, और O से 6 rays निकलती हैं — OP, OQ, OV, OS, OT और OU। बाहर वाली कतार पर पढ़ो — OP, 0 पर है, OQ, 35 पर, और OV, 95 पर।

फिर OS, 125 पर है, OT, 160 पर, और OU, 180 पर। अब angle QOV कितना है? यहाँ OQ, 35 पर है, और OV, 95 पर। अब दोनों पढ़ो और घटाओ — 95 में से 35, यानी 60 degree। एक और देखो — angle VOT। यहाँ OV, 95 पर है, और OT, 160 पर। तो 160 में से 95, यानी 65 degree। यानी protractor हमेशा 2 readings देता है — हर arm की एक।

और angle, उन दोनों का फ़र्क है। इस figure में, straight angle POU को छोड़कर, 14 angles हैं — और हर एक, 2 readings का फ़र्क निकला — 14 में से 14। अब अंदर वाली कतार से पढ़कर देखो। मसलन angle TOS के लिए, OT अंदर 20 पर है, और OS, 55 पर। घटाओ — 55 में से 20, यानी 35। बाहर वाली कतार पर भी 160 में से 125, वही 35।

अब angle QOS भी लो। अंदर वाली कतार पर OQ 145 है और OS 55 — फ़र्क 90। बाहर वाली पर 125 में से 35 — फिर वही 90। कतार बदलने से संख्याएँ बदलती हैं, पर उनका फ़र्क नहीं। हमने सारे 14 angles दोनों कतारों पर पढ़े — 14 में से 14 में एक ही जवाब। अब एक चालाकी। इस बार protractor को ऐसे रखो कि centre, vertex O पर हो, और arm OB, 0 वाले निशान से होकर जाए।

अब OB की reading 0 है। और 0 को घटाने से कुछ नहीं बदलता, इसलिए OA की reading ही पूरा जवाब है — 70 degree। यही वो पुरानी हिदायत है — centre vertex पर, और एक arm 0 पर। यह कोई रस्म नहीं, बस घटाने को ग़ायब करने का तरीका है। और centre ही क्यों? क्योंकि सारे निशान centre के चारों ओर बराबर बँटे हैं। अगर vertex कहीं और हो, तो arm किसी गलत निशान को काटती है।

पर ध्यान रहे — 0 उसी कतार का होना चाहिए, जिसे तुम पढ़ रहे हो। दूसरी कतार पढ़ोगे, तो 110 मिलेगा, जो गलत है। अब 6 गलत readings देखो। हर बार protractor कोई न कोई संख्या बताता है, और पूरे भरोसे से बताता है। पहली में vertex, centre से थोड़ा हटकर है। यहाँ angle 50 का है, पर reading 61 आती है। दूसरी में पहली arm, 0 पर नहीं, 20 पर है।

यहाँ angle 60 का है, पर दूसरी arm 80 पढ़ती है। तीसरी में गलत कतार पढ़ी गई। यहाँ angle 110 का है, पर reading 70। चौथी में vertex, centre पर नहीं, सीधे किनारे पर रखा गया। यहाँ angle 150 का है, पर reading 156। पाँचवीं में protractor दूसरी तरफ़ घूम गया, और पहली arm 0 से नीचे है। यहाँ angle 120 का है, पर reading 105। और छठी में vertex, centre के दूसरी तरफ़ खिसका है।

यहाँ angle 85 का है, पर reading 74। इनमें से 3 गलतियाँ, दोनों arms पढ़कर घटाने से ठीक हो जाती हैं — दूसरी, तीसरी और पाँचवीं। पर बाकी 3 में centre ही vertex पर नहीं है, तो घटाने से भी नहीं बचते। सही तरीका यह है: centre vertex पर, और एक arm उसी कतार के 0 पर — तब 6 में से 6 सही। अब उल्टा काम — 30 degree का angle बनाना।

पहला कदम: ruler से एक ray IN खींचो। दूसरा कदम: protractor का centre I पर रखो, और IN को 0 वाली लकीर पर। तीसरा कदम: उसी कतार में 0 से 30 तक गिनो, और वहाँ एक निशान T लगाओ। और चौथा कदम: ruler से I को T से जोड़ो। angle TIN तैयार है — और वापस पढ़ो, तो ठीक 30। ध्यान दो, बनाना बस पढ़ने का उल्टा है — वही centre, वही 0, वही कतार।

अब 120 degree बनाओ, पर इस बार ray IN बाईं ओर है। तो अंदर वाली कतार लो, जिसका 0 बाईं ओर है। उसी कतार में 120 पर निशान लगाओ, जोड़ो, और वापस पढ़ो — 120। अगर गलती से बाहर वाली कतार का 120 लिया, तो angle सिर्फ़ 60 बनेगा। अब एक angle, जो protractor से भी बड़ा है। इसका खुला हिस्सा straight angle से भी ज़्यादा है। तो बचा हुआ हिस्सा नापो — यानी दूसरी तरफ़ वाला angle।

वो 100 degree है। इसे सीधे क्यों नहीं नापते? क्योंकि protractor की scale 180 पर ख़त्म हो जाती है, और यह angle उससे आगे जाता है। दोनों मिलकर पूरा चक्कर हैं, यानी 360। तो हमारा angle, 360 में से 100, यानी 260 degree है। अब line AE पर एक point X है, और X से 2 और rays निकलती हैं — XB और XC। अब पढ़ो — angle AXB 65 है, angle BXC 30, और angle CXE 85।

और angle AXC तो सीधे पढ़ लो — XA 0 पर है, इसलिए XC की reading ही जवाब है, 95। अब जाँच करो — 65, 30 और 85 मिलकर 180 होते हैं, क्योंकि ये तीनों मिलकर straight angle भरते हैं। और angle BXE, 115 है — क्योंकि 65 और 115 मिलकर भी 180 बनते हैं। अब घड़ी देखो। इसमें 12 बराबर घंटे पूरा चक्कर भरते हैं, तो एक घंटा, 360 को 12 से बाँटो — यानी 30 degree।

और 3 बजे सुइयों के बीच 90 degree — यानी ठीक एक right angle। यहाँ 1 बजे सुइयों के बीच 30 degree है, 2 बजे 60, 4 बजे 120, और 6 बजे 180 — हर घंटे 30 और। पर 9 बजे क्या होगा? नियम से 9 बार 30, यानी 270 — पर सुइयों के बीच तो साफ़ एक right angle दिखता है। यहीं नियम टूटता है। अगर 6 बजे के बाद भी 30 जोड़ते जाओ, तो बड़ा वाला, दूसरी तरफ़ का angle मिलता है।

सुइयों के बीच का angle चाहिए, तो 360 में से घटाओ। तो 9 बजे — 360 में से 270, यानी 90। इसी तरह 7 बजे 150 degree, और 8 बजे 120। यानी 1 से 6 बजे तक नियम 6 में से 6 बार सही है, और 7 से 11 तक, 5 में से 0 बार। अब एक खेल। नापने से पहले, angle का अंदाज़ा लगाओ। यह भी एक हुनर है, जो अभ्यास से आता है।

अंदाज़ा लगाने का एक आसान तरीका — पहले देखो, angle right angle से छोटा है या बड़ा। फिर उसके आधे से तुलना करो। अंक ऐसे मिलते हैं — जितना चूके, उतने अंक। मसलन 39 कहा, और angle निकला 49 — तो 10 अंक। या 34 degree बनाने को कहा, और बना 25 — तो 9 अंक। जिसके कुल अंक सबसे कम, वो जीता। चूक जितनी बड़ी, उतने अंक — चाहे ऊपर चूको या नीचे।

अब 3 अलग-अलग triangles लो, और हर एक के 3 angles नापकर जोड़ो। हर बार जोड़ 180 आता है — 3 में से 3 बार। हमने 200 random triangles पर भी नापा — 200 में से 200 बार 180। पर अभी यह सिर्फ़ एक pattern है, जो नापकर दिखा। ऐसा क्यों होता है, यह हम आगे चलकर समझेंगे। इतने सारे triangles से भरोसा ज़रूर बढ़ता है, पर सबूत नहीं मिलता।

क्या हर triangle में ऐसा ही होगा — यही आगे का सवाल है। आज की बात। याद रखो, protractor की हर reading एक घटाना है — 2 arms, 2 संख्याएँ, और उनका फ़र्क। और centre vertex पर, एक arm 0 पर रखो, तो एक संख्या 0 हो जाती है, और दूसरी ही जवाब है। अब तुम्हारी बारी। एक angle बनाओ, पहले उसका अंदाज़ा लिखो, फिर नापकर अपने अंक गिनो। और बताओ — 10 बजे सुइयों के बीच कितना angle है?

अपने जवाब comments में लिखना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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