PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 8, Playing with ConstructionsPrepShorts

Chapter 8 · Playing with Constructions

rectangle के अंदर सबसे छोटा और सबसे लंबा आर-पार फ़ासला

Constructing and exploring rectangles11 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

11 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 6 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

7 और 4 सेंटीमीटर का rectangle। बाईं छोटी भुजा पर X सरकता है, दाईं पर Y, और दोनों के बीच की line की लंबाई बदलती है — कितनी, और किससे किस तक? line का आड़ा हिस्सा हमेशा 7 है; बदलता है बस दोनों नीचे जाने की दूरियों का फ़र्क। फ़र्क 0, तो line ठीक 7 — और ऐसी जगहें अनगिनत हैं, क्योंकि तब A B Y X ख़ुद एक rectangle है।

मुख्य idea

यह chapter की पहली ऐसी मात्रा है जो एक number नहीं, बल्कि एक दायरा है। दोनों points के खिसकने के साथ XY बढ़ता और घटता है, और उसके दायरे के दोनों सिरे उलटे ढंग से बर्ताव करते हैं: सबसे छोटा आर-पार फ़ासला जगहों के एक पूरे परिवार पर मिलता है और figure में पहले से बनी एक लंबाई के बराबर निकलता है, जबकि सबसे लंबा ठीक दो जगहों पर मिलता है और कोने से कोने वाली line के बराबर होता है। तो "वे सबसे पास कहाँ हैं?" के अनगिनत जवाब हैं और "वे सबसे दूर कहाँ हैं?" के दो — और किसी भी जवाब को नापना नहीं पड़ता, क्योंकि जब भी X और Y एक सीध में होते हैं, वे जो figure काटते हैं वह ख़ुद एक rectangle होती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • खोज की तैयारी करना: rectangle बनाना और दोनों खिसकने वाले points पहचानना
  • नापने से पहले अंदाज़ा लगाना कि दो खिसकते points सबसे पास और सबसे दूर कहाँ होंगे
  • नाम वाले columns की table में बहुत सारे नाप थोड़ी जगह में लिखना
  • सबसे छोटा मुमकिन XY बताना और बिना नापे उसे सही ठहराना
  • पहचानना कि सबसे छोटी दूरी एक से ज़्यादा जगहों पर मिल सकती है
  • सबसे लंबा मुमकिन XY बताना और कहना कि कौन-सी दो जगहें उसे देती हैं
  • X और Y के एक सीध में होने पर कटने वाली 4-sided figure पहचानना, और नतीजा समझाने के लिए उसका इस्तेमाल करना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
distanceदो points के बीच के सीधे segment की लंबाईदूरी§8.1, p.188 में छपा
minimumबदलती हुई लंबाई जो सबसे छोटा मान लेती हैन्यूनतम§8.4, p.198 में छपा
farthestउतनी दूरी पर जितनी यह बनावट सबसे ज़्यादा होने देती हैअधिकतम दूर§8.4, p.198 में छपा
closestउतनी दूरी पर जितनी यह बनावट सबसे कम होने देती हैनिकटतम§8.4, p.198 में छपा
positionखिसकने वाला point इस वक़्त अपनी भुजा पर जहाँ बैठा हैस्थिति§8.2, p.194 में छपा; पूरे §8.4, p.198 में इस्तेमाल हुआ
trackबहुत सारी कोशिशों का हिसाब रखनाअभिलेख रखना§8.4, p.198 में छपा
intuitionकुछ भी नापने से पहले लगाया गया अंदाज़ाअंतर्ज्ञान§8.4, p.198 में छपा
end pointवे दो points जिनमें से किसी एक पर भुजा रुकती हैअंत्य बिंदु§8.4, p.197 में छपा
rangeकिसी बदलती लंबाई के सारे मुमकिन मानों का पूरा फैलावपरिसरयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा
diagonalआमने-सामने के कोनों को जोड़ने वाली lineविकर्ण§8.5, p.203 में छपा; §8.4, AC और BD का नाम लिए बिना उनकी बात करता है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में Ganita Prakash का हिंदी संस्करण नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "सबसे पास वाली जगह सबसे ऊपर वाली है।" हर सीध वाली जगह बराबर पास है। chapter की अपनी बराबर दूरी वाली table में तीन अलग सीध वाली जगहें हैं और तीनों बार एक ही जवाब।
  • "points जितने ऊपर जाते हैं, XY उतना छोटा होता है।" वह तब छोटा होता है जब वे एक सीध में आते हैं। दोनों को साथ-साथ नीचे खिसकाने से कुछ भी नहीं बदलता।
  • "सबसे छोटा आर-पार फ़ासला एक नई लंबाई है जिसे नापना पड़ेगा।" वह AB है, पहले से बनी हुई, पहले से 7 cm. rectangle ABYX इसकी वजह है।
  • "सबसे दूर वाली जगह एक कोना है, इसलिए ऐसी एक ही जगह है।" दो हैं, और वे rectangle की कोने से कोने वाली दो lines हैं।
  • "जवाब 7 cm है क्योंकि 7 बड़ी भुजा है।" नहीं — जवाब इसलिए है कि यह आर-पार की दूरी है, और X और Y आमने-सामने की 4 cm वाली भुजाओं पर अटके हैं। BC को 40 cm कर दो, तब भी सबसे छोटा आर-पार फ़ासला 7 cm ही रहेगा।
  • "कोशिशें लिखना बेकार का काम है।" table वह जगह है जहाँ pattern दिखाई देता है; तीन वाक्य वह छिपा देते हैं जो तीन rows दिखाती हैं।
  • "maximum के लिए X और Y को बिल्कुल सिरों पर होना होगा।" यहाँ यह सच है, पर वजह बताओ: कोई भी तिरछापन सीध वाले आर-पार फ़ासले से लंबा होता है, और सबसे ज़्यादा तिरछापन पूरे 4 cm का ही मिल सकता है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,591 शब्द

ये एक rectangle है। इसकी लंबी भुजाएँ 7 सेंटीमीटर की हैं, और छोटी 4 की। घूमते हुए इसके कोने A, B, C और D हैं। अब दोनों छोटी भुजाओं पर 1-1 बिंदु रखिए। बाईं भुजा पर X, और दाईं भुजा पर Y। इनमें से कोई भी टिका हुआ नहीं है। X, A से D तक कहीं भी सरक सकता है, और Y, B से C तक। और सिरे भी गिनती में हैं।

X ठीक A पर भी बैठ सकता है, और ठीक D पर भी। Y, B पर भी, और C पर भी। अब इन दोनों के बीच की line खींचिए — X से Y तक। ये एक ऐसी लंबाई है, जो बिंदुओं के सरकने के साथ बदलती है। सवाल ये है कि कितनी बदलती है — और किससे किस तक। कुछ भी नापने से पहले, अंदाज़ा लगाइए। X और Y कहाँ हों, कि ये line जितनी हो सके उतनी छोटी हो?

और कहाँ हों, कि ये जितनी हो सके उतनी लंबी हो? एक आम अंदाज़ा ये है कि सबसे छोटी line सबसे ऊपर मिलेगी, जब दोनों बिंदु A और B के पास सटे हों। और सबसे लंबी के लिए अंदाज़ा ये कि वो किसी कोने पर होगी — और ऐसी जगह बस एक होगी। अपना अंदाज़ा पहले लिख लीजिए, क्योंकि नापना अक्सर वही पक्का कर देता है जो आप पहले से मानते थे।

और दोनों जवाब एक-दूसरे से बिल्कुल अलग किस्म के निकलेंगे। तो नापिए: X को A से 5 मिलीमीटर नीचे रखिए, और Y को B से 3 सेंटीमीटर नीचे। line आती है — 7 सेंटीमीटर 4 मिलीमीटर। अब बदलिए: X, 1 सेंटीमीटर नीचे, और Y भी 1 सेंटीमीटर नीचे। line — ठीक 7 सेंटीमीटर। एक बार और। X, 2 सेंटीमीटर नीचे, और Y, 4 सेंटीमीटर नीचे — यानी ठीक C पर।

line — 7 सेंटीमीटर 3 मिलीमीटर। 3 जगहें, 3 संख्याएँ — और अभी तक कोई pattern नहीं। कोई दिशा तक नहीं। बाईं तरफ़ X पहले 5 मिलीमीटर नीचे था, फिर 1 सेंटीमीटर, फिर 2 — और लंबाई पहले घटी, फिर बढ़ी। ऐसे 3 वाक्य याद रखना ही मुश्किल है। तो इन्हें अलग तरह से लिखिए। एक खाना इसके लिए कि X, A से कितना नीचे है — A X। एक इसके लिए कि Y, B से कितना नीचे है — B Y।

और एक खाना line X Y की लंबाई का। वही 3 बातें — पर अब एक के नीचे एक। अब आँख किसी खाने में ऊपर से नीचे दौड़ सकती है। पहली पंक्ति में, 5 मिलीमीटर, 3 सेंटीमीटर, और 7 सेंटीमीटर 4 मिलीमीटर। दूसरी पंक्ति में, 1 सेंटीमीटर, 1 सेंटीमीटर, और 7 सेंटीमीटर। तीसरी पंक्ति में, 2 सेंटीमीटर, 4 सेंटीमीटर, और 7 सेंटीमीटर 3 मिलीमीटर। table की पूरी वजह यही है।

कुछ नया दर्ज नहीं हुआ — बस वहाँ दर्ज हुआ, जहाँ आँख उसे इस्तेमाल कर सके। और अब कुछ दिखने लगता है। line सबसे छोटी उस पंक्ति में थी, जहाँ दोनों नीचे जाने की दूरियाँ बराबर थीं। इसकी एक सीधी वजह है। X और Y कहीं भी हों, सफ़र का आड़ा हिस्सा हमेशा एक-सा है — सीधे 7 सेंटीमीटर। बदलता है तो बस ऊपर-नीचे वाला हिस्सा। और वो किसी एक बिंदु की दूरी नहीं — दोनों दूरियों का फ़र्क है।

तीनों पंक्तियों में ये फ़र्क देखिए। पहली में 3 सेंटीमीटर और 5 मिलीमीटर का फ़र्क — 2 सेंटीमीटर 5 मिलीमीटर। दूसरी में 0। तीसरी में 2 सेंटीमीटर। और जिस पंक्ति में फ़र्क सबसे छोटा, उसी में line सबसे छोटी। दोनों बिंदुओं को बराबर नीचे सरकाइए — line ज़रा भी नहीं बदलती। वो बस उस फ़र्क का जवाब देती है, जो दोनों के बीच है। और क्योंकि वो फ़र्क अक्सर छोटा होता है, ज़्यादातर जगहें सबसे छोटी line के आसपास ही भीड़ लगाती हैं।

millimetre वाले ruler पर गिनिए। X की 41 ऊँचाइयाँ, और Y की भी 41। कुल 1681 जगहें। इनमें से 1471 जगहों पर line, सबसे छोटी line से 5 मिलीमीटर के अंदर रहती है। यानी 10 में से 8 से भी ज़्यादा। तो जल्दबाज़ी में किया गया कोई भी प्रयोग अक्सर सबसे छोटी line के पास ही गिरेगा — और उससे नीचे कभी नहीं। इससे पता चलता है कि सबसे छोटी line कहाँ ढूँढें।

फ़र्क को 0 कर दीजिए। X और Y को बराबर ऊँचाई पर रखिए — अपनी-अपनी भुजा पर, एक ही स्तर पर। अब line में ऊपर-नीचे का कोई हिस्सा बचा ही नहीं। वो सीधी आर-पार चलती है — 7 सेंटीमीटर, जितना rectangle चौड़ा है। 5 मिलीमीटर पर बराबर, 1 सेंटीमीटर पर बराबर, 1 सेंटीमीटर 5 मिलीमीटर पर बराबर — हर बार 7 सेंटीमीटर। ग़ौर कीजिए, 4 सेंटीमीटर वाली भुजाएँ इसमें कहीं नहीं आईं — बस 7।

पर ये अब भी नापी हुई बात है, और इसकी एक बेहतर वजह मौजूद है। जब X और Y बराबर हों, तो line के ऊपर बने चित्र को देखिए। 4 भुजाओं वाला चित्र, जिसके कोने हैं A, B, Y और X। ये किस तरह का चित्र है? इसका ऊपर और नीचे, दोनों आड़े हैं। इसकी दोनों भुजाएँ खड़ी हैं। तो इसके चारों angle 90 degree के हैं — ये rectangle है।

और rectangle में आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं। X Y और A B इस rectangle की आमने-सामने की भुजाएँ हैं। तो X Y, A B के बराबर है। लगभग नहीं, नापकर नहीं — उसी वजह से, जिससे किसी भी rectangle की आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं। और ये दलील कभी line नापती ही नहीं। उसने जवाब उस भुजा से पढ़ लिया, जो दोनों बिंदुओं के आने से पहले ही खींची जा चुकी थी।

अब वो बात, जिसे आसानी से अनदेखा कर दिया जाता है। सबसे पास वाली जगह एक नहीं है। ऊपर बराबर, नीचे बराबर, बीच में कहीं भी बराबर — हर एक पर 7 सेंटीमीटर। millimetre वाले ruler पर आप इन्हें गिन सकते हैं, और ये कुल 41 जगहें हैं। असल में इन्हें गिना ही नहीं जा सकता। कोई भी ऊँचाई चुनिए, दोनों बिंदु वहाँ रखिए — 7 सेंटीमीटर। सबसे छोटी line कोई एक जगह नहीं।

वो जगहों का पूरा परिवार है, और हर जगह पर जवाब एक ही है। तो 'सबसे ऊपर' वाला अंदाज़ा ग़लत नहीं था — बस बहुत छोटा था। ऊपर भी उस परिवार की एक जगह है। रेंज का दूसरा सिरा बिल्कुल अलग बर्ताव करता है। line को लंबा करना है, तो दोनों दूरियों का फ़र्क जितना हो सके उतना बड़ा चाहिए। सबसे बड़ा फ़र्क पूरे 4 सेंटीमीटर का है — एक बिंदु अपनी भुजा के बिल्कुल ऊपर, और दूसरा अपनी भुजा के बिल्कुल नीचे।

और ऐसा ठीक 2 तरह से हो सकता है। X, A पर और Y, C पर। या X, D पर और Y, B पर। 2 जगहें। इस बार कोई परिवार नहीं — बस 2। बीच की हर जगह पर line, बराबर वाली से पक्का लंबी है, और इन 2 से पक्का छोटी। कहीं कोई बराबरी नहीं। तो 'एक कोना, एक जगह' वाला अंदाज़ा आधा सही था। जगह कोनों पर ही है — पर 1 नहीं, 2 हैं।

अब देखिए कि ये 2 lines असल में हैं क्या। X, A पर और Y, C पर — ये एक कोने से सामने वाले कोने तक की line है, A C। और X, D पर, Y, B पर — ये दूसरी, B D। दोनों नापिए — दोनों एक जितनी हैं। 8 सेंटीमीटर से ज़रा ज़्यादा, लगभग 8 सेंटीमीटर 1 मिलीमीटर। तो सबसे लंबी line कोई नई लंबाई नहीं। वो कोने से कोने की line है — और rectangle में ऐसी 2 होती हैं।

और A C और B D का बराबर होना इन संख्याओं का संयोग नहीं। ये हर rectangle में सच है — और यही अगली साबित करने लायक बात है। अब पूरी रेंज को 4 झलकियों में देखिए। X, 5 मिलीमीटर नीचे और Y, 3 सेंटीमीटर नीचे — 7 सेंटीमीटर 4 मिलीमीटर। X, 1 सेंटीमीटर नीचे और Y, 2 सेंटीमीटर नीचे — 7 सेंटीमीटर 1 मिलीमीटर। X, D पर और Y, B पर — 8 सेंटीमीटर 1 मिलीमीटर।

ये छत है। X, A पर और Y, B पर — 7 सेंटीमीटर। ये फ़र्श है, क्योंकि यहाँ X Y ख़ुद A B ही है। 4 तस्वीरों में पूरी रेंज। फ़र्क जितना छोटा, line उतनी छोटी। एक जाँच, ये पता करने के लिए कि दलील ने असल में क्या इस्तेमाल किया। चौड़ाई 7 सेंटीमीटर ही रखिए, पर छोटी भुजाओं को 10 गुना लंबा कर दीजिए — 4 की जगह 40 सेंटीमीटर।

अब सबसे छोटी line का क्या होगा? कुछ नहीं बदलता — अब भी 7 सेंटीमीटर, अब भी हर बराबर वाली जगह पर, और उसी वजह से। पर सबसे लंबी line बदलती है। वो भुजाओं के साथ खिंचती है — अब 40 सेंटीमीटर से भी ज़्यादा। तो फ़र्श कभी सरकने वाली भुजाओं के बारे में था ही नहीं। वो बस आर-पार की दूरी थी। और ये भी नहीं कि जवाब 7 इसलिए था, क्योंकि 7 बड़ी भुजा थी।

अब 40 वाली भुजाओं के साथ 7 छोटी भुजा है — फिर भी फ़र्श 7 ही है। वजह बस ये है कि X और Y आमने-सामने की भुजाओं पर अटके हैं, और उन भुजाओं के बीच की दूरी 7 है। तो ये सब असल में किस बारे में था? एक ऐसी लंबाई, जो एक संख्या नहीं, एक रेंज है। उसका फ़र्श 7 सेंटीमीटर है, छत लगभग 8 सेंटीमीटर 1 मिलीमीटर — और बिंदु कहीं भी हों, वो इस दायरे से बाहर कभी नहीं जाती।

और दोनों सिरे एक जैसे नहीं। फ़र्श हर उस जगह, जहाँ बिंदु बराबर हों — अनगिनत जगहें। छत बस 2 जगहों पर, और कहीं नहीं। और पूरा दायरा मुश्किल से 1 सेंटीमीटर चौड़ा है। 4 सेंटीमीटर का सरकना, लंबाई में बस लगभग 1 सेंटीमीटर देता है। अगला कदम: हर rectangle की कोने से कोने वाली 2 lines हमेशा बराबर क्यों होती हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab