PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 8, Playing with ConstructionsPrepShorts

Chapter 8 · Playing with Constructions

कोनों के नाम क्रम से लिखना, और घुमाया हुआ square फिर भी square क्यों है

What makes a square a square12 मिनट

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rectangle A B C D — क्या इसे A B D C भी कह सकते हैं? वही 4 letters, वही 4 कोने, फिर भी नहीं। नाम किनारे-किनारे की सैर है: A B C D हर कदम पर एक भुजा चलता है, पर A B D C, B से D तक बीच से आर-पार कटता है — और फिर C से A तक दोबारा। 4 letters के 24 क्रमों में से ठीक 8 नाम हैं: 4 शुरुआती कोने, गुणा 2 दिशाएँ।

मुख्य idea

दो बातें जो ऊपर से बस साफ़-सफ़ाई जैसी लगती हैं, असल में एक ही बात निकलती हैं। ABCD जैसा नाम चार कोनों पर चिपकाए गए चार labels नहीं है; वह boundary के चारों ओर का एक रास्ता है, और इसीलिए उन्हीं चार अक्षरों के ज़्यादातर क्रम किसी चीज़ का नाम नहीं होते। और square शब्द सिर्फ़ लंबाइयों और angles की बात करता है — ऐसी मात्राएँ जिन्हें page घुमाने से कुछ नहीं होता। इसलिए नाम और वर्गीकरण, दोनों इस बात से आज़ाद हैं कि figure उस वक़्त किस तरह रखी है, और दोनों में से कोई भी इससे तय नहीं होता कि तुम जहाँ खड़े हो वहाँ से वह कैसी दिखती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि कोनों के चार labels का कोई क्रम किस वजह से एक जायज़ नाम बनता है
  • किसी दिए गए rectangle के सारे मान्य नाम लिखना, और बताना कि दिए गए दो क्रम क्यों नकारे गए
  • किसी बताए गए क्रम के लिए तय करना कि वह दिखाई गई figure का नाम है या नहीं
  • बताना कि घुमाने से क्या बदलता है और क्या वैसा ही रहता है
  • तर्क देना कि घुमाया हुआ square अब भी square की दोनों शर्तें पूरी करता है
  • वही तर्क बिना काम दोहराए घुमाए हुए rectangle पर लागू करना
  • dot grid पर बनी किसी तिरछी figure के बारे में, सिर्फ़ उसके कोनों की जगहों से, तय करना कि वह square है या नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
labelsfigure के कोनों पर लिखे अक्षरसंकेताक्षर§8.2, p.193 में छपा
valid namelabels का ऐसा क्रम जो सच में figure का नाम होमान्य नाम§8.2, p.193 में valid के रूप में छपा
order of travelboundary पर चलते हुए कोने जिस क्रम में मिलते हैंपरिक्रमण क्रम§8.2, p.193 में छपा
rotatedकिसी point के चारों ओर घुमाया हुआ, और कुछ नहीं बदलाघूर्णित§8.2, p.193 में, sub-heading "Rotated Squares and Rectangles" में छपा
dot gridबराबर दूरी पर रखे dots का जाल, जिस पर figures बनी हैंबिंदु जाल§8.2, p.194 में छपा
dot paperवह काग़ज़ जिस पर यह जाल छपा होबिंदु कागज़§8.2, p.194 में छपा
symmetricallyऐसे रखा हुआ कि बनावट centre के हिसाब से संतुलित रहेसममित रूप से§8.2, p.194 में छपा
satisfiesकिसी बताई गई शर्त को पूरा करता हैसंतुष्ट करता है§8.2, p.193 में छपा
rotationख़ुद घुमाव, एक क्रिया के रूप मेंघूर्णनयहाँ जोड़ा गया संज्ञा शब्द; chapter सिर्फ़ rotated और Rotating रूप छापता है
orientationpage पर figure जिस तरह घूमी हुई रखी हैअभिविन्यासयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में Ganita Prakash का हिंदी संस्करण नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "ABCD का बस इतना मतलब है कि कोनों के नाम A, B, C और D हैं।" तब तो ABDC भी उसी figure का नाम होता, और chapter कहता है कि ऐसा नहीं है। क्रम में जानकारी है: लगातार आने वाले अक्षर एक भुजा से जुड़े होते हैं।
  • "एक ही सही नाम होता है और बाक़ी ग़लत हैं।" आठ होते हैं, और chapter एक rectangle के लिए आठों छापता है।
  • "A से शुरू करके clockwise ही जाना होता है।" कोई भी कोना, कोई भी दिशा।
  • "कोने पर खड़ा square, square नहीं, diamond है।" Diamond कोई गणितीय श्रेणी नहीं है। दोनों शर्तें लगाओ: सारी भुजाएँ बराबर, सारे angles 90°. दोनों अब भी सही हैं, इसलिए figure अब भी square है।
  • "घुमाने से कुछ तो बदलना ही चाहिए।" उससे यह बदलता है कि कौन-सी भुजा ऊपर है। उससे कोई लंबाई और कोई angle नहीं बदलता — और परिभाषा सिर्फ़ लंबाइयों और angles की ही बात करती है।
  • "dot grid पर बिना नापे पता नहीं चल सकता।" chapter का अपना Think वाला सवाल ठीक यही पूछता है कि क्या कोनों की जगहें यह तय कर देती हैं, और वे कर देती हैं: तय गिनती के dots की दूरी पर बैठे दो कोने एक ऐसी लंबाई देते हैं जिसकी तुलना बिना ruler के की जा सकती है।
  • "घुमाए हुए rectangle को अपना अलग proof चाहिए।" नहीं चाहिए, और chapter भी यही कहता है: square के लिए इस्तेमाल हुआ तर्क भुजाओं के बराबर होने पर टिका ही नहीं था।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 8.2 Q3

पूरा transcript1,800 शब्द

ये एक rectangle है। इसके कोनों पर, घूमते हुए, A, B, C और D लिखा है। तो इस चित्र का नाम हुआ A B C D। ये बस साफ़-सफ़ाई वाली बात लगती है — कोनों पर labels चिपका दिए, और काम ख़त्म। पर एक सवाल। क्या इसे A B D C भी कह सकते हैं? वही 4 letters, वही 4 कोने — फिर भी जवाब है, नहीं। A B D C इस चित्र का नाम है ही नहीं।

वो किसी भी चीज़ का नाम नहीं। अगर letters सिर्फ़ कोनों पर चिपके labels होते, तो ये अजीब बात होती। labels का क्रम बदलने से भला क्या फ़र्क पड़ना चाहिए? मतलब ये सिर्फ़ labels नहीं हैं। इनका क्रम कुछ बता रहा है — और वो क्या बता रहा है, ये पता करने लायक है। एक तरीका आज़माइए: नाम को चलने का निर्देश समझिए — letter के बाद letter, कोने के बाद कोना।

A से शुरू कीजिए, और B तक जाइए। A से B एक भुजा है — आप चित्र के किनारे-किनारे चले। B से C — फिर एक भुजा। C से D — एक और। और D से वापस A — आप घर पहुँच गए। इस नाम ने चित्र का पूरा किनारा घूम लिया। हर कदम किसी भुजा के साथ-साथ चला। अब A B D C को इसी तरह चलिए। A से B तक, ये ठीक है।

पर B से D कोई भुजा नहीं है। B से D जाने के लिए आपको बीच से, सीधे आर-पार काटना पड़ेगा। यही पूरी जाँच है। नाम, किनारे-किनारे की सैर है। जो कदम किनारा छोड़ दे, वो नाम को तोड़ देता है। उस टूटी सैर को पूरा कीजिए। B से D की छलांग के बाद, D से C — ये एक सही भुजा है। फिर C से वापस A। और ये फिर से बीच से आर-पार कटना है।

तो A B D C ने 1 ग़लती नहीं की — 2 ग़लतियाँ कीं। और ये इत्तेफ़ाक़ नहीं है। अगर सैर किनारा छोड़ती है, तो उसे किनारे पर लौटना भी होगा — और लौटना फिर एक छलांग है। एक और देखिए: A C B D। इसका तो पहला ही कदम, A से C, आर-पार कटता है। और आगे B से D फिर कटता है। फिर से 2। 4 letters का हर क्रम जाँच लीजिए: हर सैर में या तो 0 ग़लत कदम होते हैं, या 2।

ठीक 1 ग़लत कदम वाली सैर कभी नहीं मिलती। अब अंदाज़े की जगह गिनती करते हैं। A, B, C, D को कितने अलग क्रमों में लिख सकते हैं? पहली जगह के लिए 4 letters में से कोई भी — 4 विकल्प। अगली जगह के लिए बचे 3 में से कोई। उसके बाद 2 में से। और आख़िरी जगह के लिए बस 1 बचता है। 4 गुणा 3 गुणा 2 गुणा 1 — यानी 24 अलग-अलग क्रम।

तो इन 24 में से असल में नाम कितने हैं? सबको सामने रखिए, और हर एक को सैर करके परखिए। फ़ैसला सैर करेगी, आँख नहीं। किनारे की सैर में आपके हाथ में बस 2 फ़ैसले हैं: कहाँ से शुरू करें, और किस तरफ़ घूमें। शुरू करने के लिए 4 कोने। घूमने की 2 दिशाएँ। 4 गुणा 2 — यानी 8 नाम। एक तरफ़ घूमें तो: A B C D, B C D A, C D A B, और D A B C।

दूसरी तरफ़ घूमें तो: A D C B, D C B A, C B A D, और B A D C। यानी 24 में से 8 नाम हैं, और बाकी 16 क्रम किसी भी चीज़ का नाम नहीं। और ग़ौर कीजिए: A B C D कभी अकेला सही नाम था ही नहीं। वो 8 बराबर सही नामों में से 1 है। A से शुरू करना ज़रूरी नहीं, और किसी ख़ास दिशा में घूमना भी नहीं।

अब एक सवाल आप ख़ुद हल कीजिए — नियम पर भरोसा हो जाए, तो ये झटपट होता है। ये एक square है। ऊपर बाईं ओर S, ऊपर दाईं ओर P, नीचे दाईं ओर Q, और नीचे बाईं ओर R। 4 नाम सुझाए गए हैं: P Q S R, S P Q R, R S P Q, और Q R S P। इनमें से 3 इस square के असली नाम हैं, और 1 नहीं।

कौन-सा? हर एक को चलकर देखिए। S P Q R किनारे-किनारे घूमता है। ठीक। R S P Q — दूसरे कोने से शुरू, पर उसी तरफ़ घूमता है। ठीक। और Q R S P भी वैसा ही है। ठीक। पर P Q S R, Q से सीधे S पर जाता है। Q और S आमने-सामने के कोने हैं — ये बीच से आर-पार कटना है। तो जो नाम नहीं है, वो है P Q S R।

अब दूसरा हिस्सा। और ये एक ऐसे सवाल से शुरू होता है जो चालाकी भरा लगता है। ये एक square है। काग़ज़ को पकड़िए और घुमाइए — ज़्यादा नहीं, बस इतना कि ये अपने एक कोने पर खड़ा हो जाए। क्या ये अब भी square है? बहुत से लोग कहते हैं — नहीं, अब ये square नहीं रहा। ये तो diamond बन गया। पर गणित में diamond नाम का कोई खाना है ही नहीं।

square होने का एक test है — और ईमानदारी यही है कि वो test चलाया जाए। square का test 2 lines का था: चारों भुजाएँ बराबर, और चारों angle 90 degree के। तो घूमे हुए चित्र की चारों भुजाएँ नापिए। पहले हर भुजा 5 थी — अब भी हर भुजा 5 है। कुछ भी खिंचा नहीं। अब चारों angle। हर एक अब भी 90 degree का है। दोनों lines पास — ये square है।

square-जैसा कुछ नहीं, diamond भी नहीं। ये दोनों शर्तें पूरी करता है — और square होने का मतलब हमेशा से बस यही रहा है। और ध्यान दीजिए: अब नीचे ठीक 1 कोना है, और उसके ऊपर वाला diagonal बिल्कुल सीधा खड़ा है। दिखावट पूरी बदल गई, पर नाप एक भी नहीं बदला। ये होना ही था — और क्यों होना था, ये समझना उसे बस देख लेने से ज़्यादा कीमती है।

घुमाने से क्या बदलता है? कौन-सी भुजा ऊपर है, ये बदलता है। कौन-सा कोना आपके सबसे पास है, ये बदलता है। पर किसी भुजा की लंबाई नहीं बदलती। काग़ज़ घुमाने से कुछ भी खिंचता या सिकुड़ता नहीं। और कोई angle नहीं बदलता। 90 degree का angle, आप काग़ज़ कैसे भी पकड़ें, 90 degree ही रहता है। और ये सिर्फ़ कहने की बात नहीं। छोटी-सी जाली पर हर मुमकिन कदम को घुमाकर जाँचा गया — एक भी लंबाई नहीं बदली, एक भी angle नहीं बदला।

अब square का test फिर पढ़िए। उसमें लंबाइयों की बात है, और angles की। काग़ज़ का, ऊपर-नीचे का, या कोई चीज़ किस तरफ़ मुँह किए है — इसका ज़िक्र ही नहीं। तो घुमाने के पास उसमें छेड़ने को कुछ है ही नहीं। इससे अगला नतीजा मुफ़्त में मिल जाता है — और वो मुफ़्त क्यों है, ये साफ़ कहना ज़रूरी है। एक rectangle लीजिए — भुजाएँ 10 और 5 — और उसे तिरछा घुमा दीजिए।

rectangle का test याद कीजिए, आमने-सामने की भुजाएँ बराबर, और हर angle 90 degree। तो क्या ये अब भी rectangle है? घुमाने से न लंबाई बदली, न angle। भुजाएँ अब भी 10 और 5, और हर angle अब भी 90 degree। दोनों lines पहले की तरह पास। अब square वाली दलील पर लौटिए। क्या उसमें कहीं भी ये बात काम आई कि भुजाएँ बराबर हैं? नहीं आई। उसमें बस इतना काम आया कि घुमाने से लंबाइयाँ और angle वैसे ही रहते हैं।

तो वो square की दलील थी ही नहीं — वो घुमाने की दलील थी। और वो हर उस चित्र पर लागू होती है जिसका test लंबाइयों और angles में लिखा हो। अब ये सच में काम आता है। dots की एक जाली पर एक तिरछा square रखिए, जिसका हर कोना ठीक किसी dot पर बैठा हो। अब देखकर बताना मुश्किल है, और आपके पास ruler भी नहीं। पर आप गिन सकते हैं।

ये भुजा 4 dots आगे और 3 dots ऊपर जाती है। अगली, 3 पीछे और 4 ऊपर। फिर 4 पीछे और 3 नीचे। और आख़िरी, 3 आगे और 4 नीचे। हर भुजा 4 और 3 कदम की है। 4 गुणा 4, जोड़ 3 गुणा 3 — 16 जोड़ 9, यानी 25। और 25 है 5 गुणा 5। तो हर भुजा 5 की। पहली line पास — गिनकर। अब angle। 4 आगे, 3 ऊपर के बाद 3 पीछे, 4 ऊपर: दोनों गिनतियों ने जगह बदली, और 1 की दिशा पलट गई।

ये ठीक चौथाई चक्कर है — हर कोने पर 90 degree। दूसरी line भी पास। ये square है — और आपने कुछ भी नापे बिना ये तय कर लिया। अब एक चालाकी देखिए। उसी चित्र का 1 कोना, बस 1 dot ऊपर खिसका दीजिए। देखने में लगभग वैसा ही है। क्या ये अब भी square है? गिनिए। 2 भुजाएँ अब भी 4 और 3 की हैं। पर एक भुजा अब 4 और 2 की है, और एक 5 और 3 की।

कदम एक जैसे नहीं, तो भुजाएँ बराबर नहीं। पहली line फ़ेल — ये square नहीं है। आँख शायद धोखा खा जाती, गिनती नहीं खाती। आख़िरी बात, जो दोनों हिस्सों को जोड़ती है। नाम का नियम सिर्फ़ सफ़ाई के लिए नहीं है। उसी के सहारे कोई भी, चित्र बनाए बिना, चित्र के बारे में लिख सकता है। मान लीजिए लिखा है कि rectangle A B C D में भुजा A D और भुजा B C बराबर हैं।

आप ठीक जानते हैं कि कौन-सी 2 भुजाएँ — क्योंकि आप नाम पढ़ना जानते हैं। ये आमने-सामने की भुजाएँ हैं, जो कोई कोना साझा नहीं करतीं। और लिखा हो कि square P Q R S में diagonal P R खींचिए, तो आप जानते हैं कि P और R आमने-सामने के कोने हैं — क्योंकि अगर वो पड़ोसी होते, तो P R एक भुजा होती। यही पूरा फ़ायदा है। क्रम बताता है कि कौन-से कोने आपस में जुड़े हैं, और कौन-से नहीं।

और काग़ज़ घुमाने के बाद भी ये काम करता है। labels अपने कोनों के साथ घूमते हैं, इसलिए वही 8 नाम अब भी नाम हैं, और वही 2 जोड़ियाँ diagonal हैं। घुमाने से ये नहीं बदलता कि कौन किसका पड़ोसी है। तो इस पूरी बात के दोनों हिस्से असल में एक ही विचार थे — 2 बार। नाम, तस्वीर पर सजावट नहीं है। वो एक सैर है — और तस्वीर हिलाने पर भी बनी रहती है।

square कोई शक्ल नहीं जिसे आप बस पहचानते हैं। वो 2 शर्तें हैं — और वो भी तस्वीर हिलाने पर बनी रहती हैं। दोनों में जो बात मायने रखती है, वो ऐसे शब्दों में लिखी है जिन तक काग़ज़ का घूमना पहुँच ही नहीं सकता। इसीलिए कोई चित्र आपको किसी भी तिरछेपन में मिले — जाली पर, कोनों पर letters के साथ — आप फिर भी उसके बारे में पक्की बात कह सकते हैं।

अगला कदम: इनमें से एक को बिल्कुल शुरू से बनाना — कोने सही क्रम में, और आख़िर में यही जाँच।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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