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Chapter 3 · The World of Numbers

One-to-one correspondence: बिना number words के गिनती

Before there were numerals10 मिनट

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एक herd सुबह गेट से बाहर जाता है और शाम को लौटता है, और पूछना यह है कि पूरा लौटा या नहीं — बिना किसी number के, क्योंकि numbers अभी हैं ही नहीं। हर जानवर के बदले 1 pebble पॉट में, और लौटने पर 1 बाहर: pebbles ख़ुद तुलना कर देते हैं, और जो निशान बच जाते हैं वही आगे counting numbers बनते हैं।

मुख्य idea

गिनने के लिए number words ज़रूरी नहीं हैं। "पूरा herd लौट आया क्या?" — इसका फ़ैसला एक जोड़ी बना देती है: हर animal के बाहर जाते ही एक pebble पॉट में जाता है, हर animal के लौटते ही एक बाहर आ जाता है, और शाम को पॉट में जवाब रखा होता है, बिना कोई total कभी बोले। इसीलिए यह तरीक़ा उस herder के लिए भी चलता है जिसके पास numerals हैं ही नहीं — तुलना objects करते हैं, arithmetic नहीं। हड्डी पर खाँचे काटना वही जोड़ी है, बस पक्की कर दी गई; और पक्का होना ही किसी record को समूहों में बाँटने देता है। जिस पल Ishango के खाँचे 11, 13, 17 और 19 में बँटते हैं, उस पल tally ने दर्ज करना छोड़कर numbers के बारे में कुछ दावा करना शुरू कर दिया है।

आपको क्या आना चाहिए

  • यह समझाना कि हर एक token को हर एक object से जोड़ देना किसी समूह के पूरे होने का फ़ैसला कैसे कर देता है, बिना दोनों में से किसी मात्रा को गिने या उसका नाम लिए
  • किसी बताए हुए herd पर pebble-और-पॉट वाली प्रक्रिया चलाना, और पॉट में जो बचा है उसी से नतीजा पढ़ लेना
  • यह बताना कि यह प्रक्रिया क्या साबित करती है और क्या नहीं — ख़ासकर यह कि इससे herd का आकार कभी नहीं निकलता
  • natural numbers के set को chapter वाली notation में लिखना, और यह बताना कि यह set कहाँ से शुरू होता है
  • Lebombo bone के लिए दर्ज जगह, अंदाज़न उम्र और खाँचों की गिनती बताना, और वे दोनों काम भी जो उसने किए माने जाते हैं
  • Ishango bone के columns की बनावट बताना, और यह पहचानना कि उन समूहों में कौन-सी arithmetic पढ़ी जाती है
  • 11, 13, 17, 19 वाले क्रम को आगे बढ़ाना, और चारों में साझा property से उस बढ़त को सही ठहराना
  • यह तय करना कि natural numbers घटाव के अंतर्गत संवृत हैं या नहीं, और counterexamples से अपने फ़ैसले का बचाव करना
  • chapter जैसा बताता है वैसे एक हाथ के joints पर गिनना, और नतीजे को दस के अलावा किसी दूसरे base से जोड़ना

जानने लायक़ शब्द

Termएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
one-to-one correspondenceएक समूह की हर चीज़ को दूसरे समूह की ठीक एक चीज़ से मिलाना, ताकि किसी तरफ़ कुछ बचे नहींएकैक संगति§3.1 में छपा, p. 41
Natural Numbersगिनती वाले numbers, जो 1 से शुरू होते हैं और बिना अंत के चलते रहते हैंप्राकृत संख्याएँ§3.1 में मोटे अक्षरों में छपा, p. 41, braces वाले set के बग़ल में ℕ चिह्न के साथ
tally marksहर चीज़ पर एक, ऐसे काटे गए strokes या खाँचे, ताकि record हर बार एक से बढ़ेमिलान चिह्न§3.1.1 में छपा, p. 41
Lebombo BoneLebombo Mountains से मिली खाँचों वाली हड्डी, chapter का गिनती का सबसे पुराना भौतिक recordलेबोम्बो अस्थि§3.1.1 में मोटे अक्षरों में छपा, p. 41
Ishango boneNile के उद्गम के पास से मिली खाँचों वाली हड्डी, जिसके columns primes में समूह बनाते हैंइशांगो अस्थि§3.1.1 में मोटे अक्षरों में छपा, p. 42
asymmetrical notchesऐसे खाँचे जो columns के बीच बराबरी से मेल नहीं खाते, Lebombo bone की एक जैसी कटाई के उलटअसममित खाँचे§3.1.1 में छपा, p. 42
lunar phase counterऐसा record जो चाँद के चक्र में हर दिन एक निशान आगे बढ़ता हैचंद्र कला गणक§3.1.1 में छपा, p. 41, खाँचों के लिए दिए दो पाठों में से एक की तरह
prime numbers1 से बड़े वे numbers जिनके 1 और ख़ुद के सिवा कोई divisors नहीं होतेअभाज्य संख्याएँ§3.1.1 में छपा, p. 42
closed under additionवह property कि किसी set के दो सदस्यों को जोड़ने पर नतीजा हमेशा उसी set के अंदर आ गिरता हैयोग के अंतर्गत संवृतExercise Set 3.1 में छपा, p. 43
base-12गिनती की वह पद्धति जो दस के बजाय बारह में समूह बनाती हैद्वादशाधारी पद्धतिExercise Set 3.1 में छपा, p. 43
tally-and-cancelउसी जोड़ी के दो-तरफ़ा रूप के लिए यहाँ जोड़ा गया नाम — बाहर जाते वक़्त एक निशान लगा, और लौटते वक़्त काट दिया—यहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter इस प्रक्रिया को pebbles और एक पॉट से बताता है और उसे कोई एक नाम नहीं देता

Hindi column मानक हिंदी गणितीय और वर्णनात्मक शब्दावली देता है। मैंने Ganita Manjari का कोई हिंदी संस्करण नहीं देखा, इसलिए इसे किसी दूसरे संस्करण की ठीक-ठीक शब्दावली नहीं, मानक चलन मानिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "गिनने का मतलब है number names बोलना।" pebble वाला तरीक़ा कभी किसी number का नाम नहीं लेता और फिर भी सवाल का बिलकुल पक्का जवाब देता है। नाम बोलते जाना किसी जोड़ी को दर्ज करने का एक तरीक़ा है, गिनती का मतलब नहीं।
  • "पॉट herder को बता देता है कि कितनी cows हैं।" नहीं बताता। वह जोड़ी बनाने की दो क्रियाओं के बीच का फ़र्क़ बताता है। students "मुझे पता है कोई कम नहीं है" को "मुझे पता है कितनी हैं" के साथ गड्डमड्ड कर देते हैं — पूरा section इन्हीं दोनों को अलग करता है।
  • "tally marks बस आदिम गिनती हैं, उनमें गणित जैसा कुछ नहीं।" Ishango वाला समूह ही वह उलटा उदाहरण है जो chapter चुनता है: खाँचे numbers की एक property के हिसाब से सजाए गए हैं, और यह arithmetic के बारे में कथन है, किसी मात्रा का record नहीं।
  • "29 खाँचों का मतलब है किसी ने 29 तक गिना और रुक गया।" दिए गए दोनों पाठों में 29 कोई total नहीं है जिस पर किसी का निशाना रहा हो; वह वह जगह है जहाँ एक चक्र दोबारा पूरा हुआ। हड्डी एक अवधि दर्ज करती है, कोई जोड़ नहीं।
  • "11, 13, 17, 19 — ये 2, फिर 4, फिर 2 से बढ़ते हैं, तो अगला 21 है।" 21 है 3 × 7। odd numbers और primes 21 पर अलग हो जाते हैं, और Q2 का जाना-पहचाना जाल यही है।
  • "घटाव हमेशा चलता है, बस हमने अभी जवाब सीखा नहीं है।" natural numbers के अंदर 3 − 7 का सचमुच कोई जवाब है ही नहीं, और यही मान लेना §3.2 और §3.3 वाला विस्तार करवाता है।
  • "सब हमेशा से दस-दस में गिनते आए हैं।" उँगलियों के joints गिनने पर एक हाथ पर बारह आते हैं, और chapter ठीक उसी आदत पर बनी base-12 पद्धतियों की ओर इशारा करता है। दस एक चुनाव है जिसकी शारीरिक वजह है, कोई मजबूरी नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 3.1 Q2, Exercise Set 3.1 Q3, Exercise Set 3.1 Q4

पूरा transcript1,579 शब्द

एक herd सुबह गेट से बाहर जाता है, और शाम को उसी गेट से लौटता है। अंधेरा होने से पहले किसी को यह तय करना है कि पूरा herd वापस आया या नहीं। पर जो यह पूछ रहा है, उसके पास numbers के लिए शब्द ही नहीं हैं। यानी कोई total बोला ही नहीं जा सकता। तो जवाब objects से आना चाहिए, गिनती से नहीं। जैसे-जैसे हर animal गेट से बाहर जाता है, 1 pebble पॉट में डाल दिया जाता है।

बस इतना ही होता है, और कुछ नहीं। शाम को यही काम उल्टा चलता है। जैसे-जैसे हर animal वापस अंदर आता है, पॉट में से 1 pebble बाहर निकाल लिया जाता है। यह अंदाज़ा नहीं है, यह बिलकुल पक्का है। क्योंकि हर animal के हिस्से ठीक 1 pebble आता है, और हर pebble ठीक 1 animal का होता है। किसी भी तरफ़ कुछ बचता ही नहीं, और इसी matching को one-to-one correspondence कहते हैं।

मान लो सुबह 23 animals बाहर गए, और शाम तक 21 वापस आए। तब पॉट में 2 pebbles बचे रह जाते हैं। अगर पूरे 23 वापस आ जाएँ, तो पॉट खाली रह जाता है। और अगर ठीक 1 animal कम हो, तो पॉट में ठीक 1 pebble बचता है। तो जब पॉट खाली निकलता है, तब असल में क्या पता चला? और यह सिर्फ़ कहा नहीं गया, जाँचा गया। जितने herd 40 तक बनते हैं, उनकी हर सुबह और हर शाम की जोड़ी पर यह चलाया गया, यानी कुल 861 सूरतों पर।

इनमें से 1 बार भी ऐसा नहीं हुआ कि पॉट खाली हो और कोई animal बाहर रह गया हो। और उन्हीं 861 सूरतों में, पॉट में जो बचा है वह ठीक उतना ही है जितने animals अब भी बाहर हैं। यानी पॉट सिर्फ़ यह नहीं बताता कि कोई कम है, वह यह भी बताता है कि कितने कम हैं। पर पॉट herd का आकार कभी नहीं बताता। आकार में 40 तक जाओ, तो ऐसे 39 बिलकुल अलग herds मिलते हैं जो ठीक 2 pebbles छोड़ जाते हैं।

सबसे छोटा वह है जिसमें 2 बाहर गए और कोई वापस नहीं आया, और सबसे बड़ा वह जिसमें 40 बाहर गए और 38 वापस आए। खाली पॉट भी अलग नहीं है। आकार में 40 तक जाओ, तो ऐसे 40 अलग herds मिलते हैं जो पॉट को खाली छोड़ जाते हैं। यह जान लेना कि कोई कम नहीं है, और यह जान लेना कि कुल कितने हैं, ये अलग-अलग बातें हैं।

इस तरह गिनने से जो numbers निकलते हैं, उन्हें natural numbers कहते हैं। इन्हें braces में ऐसे लिखा जाता है, 1, 2, 3, 4, और आगे-आगे। यहाँ जो 3 बिंदु लगे हैं, वे यही कहते हैं कि यह सिलसिला कभी रुकता नहीं। यह set 1 से शुरू होता है, और उसके बाईं तरफ़ कुछ भी नहीं है। न 0 इसमें है, न कोई negative number। वह खाली जगह आगे बहुत काम आएगी।

वह pebbles वाला पॉट सिर्फ़ 1 दिन चलता है। वह गिर सकता है, कोई उसे खाली कर सकता है, और तब record बचता ही नहीं। इसलिए pebble की जगह निशान काट दिया जाता है। हर animal के बाहर जाने पर 1 stroke काटो, और हर animal के लौटने पर 1 stroke काट कर हटा दो। और पक्का record कुछ ऐसा भी देता है जो पॉट कभी नहीं दे सकता। जो निशान कल भी वहीं रहेंगे, उन्हें दोबारा देखा जा सकता है, अगल-बगल रखा जा सकता है, और समूहों में सजाया जा सकता है।

आगे की पूरी बात इसी पर टिकी है। और यह pebbles के जवाब से मिलाया गया, उन्हीं 861 सूरतों पर। दोनों में 1 बार भी फ़र्क़ नहीं निकला, और उसी herd पर strokes भी 2 ही बचाते हैं। इस तरह का सबसे पुराना record जो मिला है, वह दक्षिणी Africa के Lebombo पहाड़ों की एक खाँचेदार हड्डी है। यह लगभग 35,000 साल पुरानी है। इस पर 29 अलग-अलग खाँचे हैं, सब जान-बूझकर काटे गए और सब एक ही नाप के।

कुछ लोग मानते हैं कि यह चाँद की कलाएँ गिनने के लिए थी, और कुछ मानते हैं कि यह शरीर का calendar थी। ये दोनों अंदाज़े हैं, पक्की बातें नहीं। हड्डी खुद यह तय नहीं कर सकती, क्योंकि हर खाँचा एक जैसा ही है। रोज़ का record सिर्फ़ यह लौटा सकता है कि कितने निशान बने। वह यह कभी नहीं लौटाता कि गिना क्या जा रहा था। चाँद का पूरा चक्र लगभग 29.53 दिन का होता है।

इसलिए 29 रोज़ाना निशानों का record एक पूरे चक्र के बहुत पास बैठता है। यही वजह है कि चाँद वाला अंदाज़ा इतना खींचता है। और यह भी नहीं है कि किसी ने गिनते-गिनते 29 तक पहुँचकर रोक दिया। दोनों अंदाज़ों में 29 वह जगह है जहाँ चक्र फिर से शुरू हो जाता है। यानी हड्डी एक अवधि दर्ज कर रही है, कोई जोड़ नहीं बना रही। पर पास होना और बराबर होना अलग बातें हैं।

यहाँ 29 निशान पूरे चक्र से लगभग आधा दिन कम पड़ते हैं। और तो और, चक्र के सबसे क़रीब का पूरा दिन 29 है ही नहीं, वह 30 है, इसलिए ज़्यादा से ज़्यादा इतना ही कहा जा सकता है कि यह पास है। दूसरी हड्डी पर भी ऐसे ही खाँचे कटे हैं, और वह वहाँ मिली जहाँ से Nile निकलती है। इसकी उम्र लगभग 20,000 BCE आँकी जाती है। इस पर खाँचों के 3 columns हैं, और पहली हड्डी के उल्टे, यहाँ खाँचे बराबर-बराबर नहीं बँटे हैं।

उनमें से 1 column में खाँचे समूहों में बँटे हैं। और उन समूहों के आकार निकलते हैं 11, 13, 17 और 19। ये चारों कोई याद की हुई list नहीं हैं। यहाँ 11 से 19 तक के हर number के divisors निकाले गए। ठीक यही 4 ऐसे निकले जिनका 1 और अपने आप के अलावा कोई divisor नहीं है, यानी prime, और इनमें से कोई छूटा नहीं। अब इनके बीच के gaps देखो।

यहाँ 11 से 13 तक gap है 2, फिर 13 से 17 तक gap है 4, और 17 से 19 तक फिर 2। तो क्या यह column आगे 21 पर जाएगा? नहीं जाएगा। यहाँ 21 के divisors हैं 1, 3, 7 और 21, यानी 1 और अपने आप के अलावा भी इसके divisors हैं। इसलिए यह उन चारों जैसा number है ही नहीं। और अगर इन्हें सिर्फ़ odd numbers मान लिया जाए, तो वह और भी पहले टूट जाता है।

जैसे 15 odd है, पर उसके divisors हैं 1, 3, 5 और 15। यानी odd numbers और ये वाले numbers 15 पर ही अलग हो जाते हैं, 21 तक पहुँचने से बहुत पहले। अब gaps के हिसाब से नहीं, बल्कि property के हिसाब से आगे बढ़ो। तब अगले 3 numbers निकलते हैं 23, 29 और 31। इनमें से हर 1 को उसी तरह divisors से जाँचा गया। इस pattern को आगे किसने बढ़ाया, यह देखो।

हड्डी पर खाँचों की दूरी ने नहीं बढ़ाया। उसे numbers की अपनी property ने बढ़ाया, और वह बिलकुल दूसरी क़िस्म की चीज़ है। दूसरे column को doubling की तरह पढ़ा जाता है। शुरू करो 3 से, उसे अपने आप में जोड़ो तो मिलता है 6, फिर उसे अपने आप में जोड़ो तो मिलता है 12, और आगे 24 और फिर 48। सिर्फ़ चढ़ते जाना काफ़ी नहीं है। यह run देखो, 3, 6, 9, 12, 15।

यह लगातार चढ़ता है और हर बार एक ही रक़म जोड़ता है, पर इसका कोई भी step पिछले step का दुगना नहीं है। और यही वह मोड़ है जिसके बारे में यह पूरा topic है। जिस पल record को numbers की किसी property के हिसाब से सजाया जाता है, वह मात्रा दर्ज करना छोड़ देता है। तब वह numbers के बारे में एक दावा करने लगता है। कोई भी 2 natural numbers लेकर उन्हें जोड़ो, तो जवाब वापस natural numbers में ही गिरता है।

यह 3600 जोड़ियों पर जाँचा गया और 1 भी जोड़ी बाहर नहीं निकली। गुणा करने पर भी यही होता है। ऐसा लगता है कि घटाना भी इसी तरह चलेगा। जैसे 7 में से 3 घटाओ तो मिलता है 4, जो set के अंदर ही है। पर 3 में से 7 घटाओ, तो तुम strip के बाएँ सिरे से बाहर निकल जाते हो, जहाँ set में कुछ है ही नहीं। और 5 में से 5 घटाओ, तो तुम ठीक उस जगह पर आ जाते हो जहाँ से set शुरू ही नहीं हुआ।

पहले 20 numbers की 400 जोड़ियों में से 210 इसी तरह बाहर गिर जाती हैं। अब यही तरीक़ा एक हाथ पर देखो। अंगूठे को pointer बनाओ और उंगलियों की जगह उनके joints गिनो। हर उंगली पर 3 joints हैं और उंगलियाँ 4, यानी कुल 12। और 12 ठीक वही grouping है जो base-12 वाली पद्धति इस्तेमाल करती है। ऐसी पद्धतियाँ सचमुच इसी आदत पर बनीं। यानी दहाई में गिनना एक चुनाव है जिसकी वजह है, कोई ऐसी मजबूरी नहीं जो numbers ने डाली हो।

तो आख़िर में यह याद रखो। किसी 1 token को 1 object से matching करना उस सवाल का बिलकुल पक्का जवाब देता है, और वह भी बिना कोई number बोले। यह इसलिए चलता है क्योंकि तुलना objects खुद करते हैं। पर यह कभी नहीं बताता कि गिनी हुई चीज़ें कुल कितनी थीं। और यह अपने पीछे जो record छोड़ता है, वही natural numbers हैं, जो 1 से शुरू होते हैं और जिनके बाईं तरफ़ कुछ नहीं है।

और इससे 2 बातें निकलती हैं। जो tally किसी property के हिसाब से समूहों में बँटा है, वह दर्ज करना छोड़कर दावा करने लगा है। और 1 के बाईं तरफ़ की वह खाली जगह सचमुच खाली है, क्योंकि 3 में से 7 घटाने पर उतरने के लिए वहाँ कुछ है ही नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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