किसी situation को expression में बदलना: terms, variables, coefficients

0:00मान लो कोई दुकान के counter पर खड़ा होकर boxes ख़रीद रहा है। हर red box में 4 pens हैं। हर blue box में 5 pencils हैं। दोनों तरह के boxes sealed हैं, तो तुम अंदर झाँककर गिन नहीं सकते। सवाल यह है कि bag में कुल कितने pens और pencils घर जाएँगे। और तुम इसका जवाब नहीं दे सकते, क्योंकि किसी ने बताया ही नहीं कि कितने boxes ख़रीदे जा रहे हैं।

0:24यहाँ arithmetic में कुछ भी मुश्किल नहीं है। मुश्किल यह है कि numbers में से 1 number अभी आया ही नहीं। यह सवाल की कोई कमी नहीं है। यही पूरी वजह है कि algebra मौजूद है। तो जो चीज़ अभी तय नहीं हुई, उसके लिए एक letter लिखो। मान लो x red boxes की संख्या है, और y blue boxes की। अब, x कोई ऐसा number नहीं है जो किसी ने तुमसे छुपा रखा हो और तुम्हें ढूँढना हो।

0:52यहाँ ढूँढने को कुछ है ही नहीं। यह एक घोषणा है कि यह quantity अभी भी हिलने के लिए free है। boxes की कोई भी संख्या चल सकती है, 0, 1, 2, 3, और आगे, और यह letter उन सबके लिए एक साथ खड़ा है। यह फ़र्क़ पकड़कर रखने लायक है, क्योंकि algebra में लोगों की लगभग हर मुश्किल एक free quantity को hidden quantity की तरह देखने से शुरू होती है।

1:18कोई value तभी ढूँढी जा सकती है जब कोई total पहले से तय कर दिया गया हो, और यहाँ ऐसा कुछ नहीं हुआ। और इस letter को बाद में कहीं टिकना भी नहीं है। इस situation में यह कभी नहीं टिकता। अब गिनो। हर red box अपने साथ 4 pens लाता है, और ऐसे x boxes हैं, तो pens हुए 4 गुणा x। इसे हम 4x लिखते हैं। मतलब यह नहीं कि 4 और फिर x।

1:45मतलब है 4 को x से multiply किया हुआ। इसे ऐसे पढ़ो, हर red box के लिए 4 pens, और red boxes x हैं। दूसरी तरफ़ भी वही। हर box में 5 pencils, ऐसे y boxes, तो 5y। और ग़ौर करो कि वह 4 असल में है क्या। वह pens की कोई quantity नहीं है। वह एक rate है, हर 1 box के लिए 4 pens। तुम इसे बिना किसी algebra के test कर सकते हो।

2:12सोचो, अगर तुम 1 और red box ख़रीदो, तो total कितना बढ़ेगा? total ठीक 4 से बढ़ता है। हमेशा 4 से, चाहे तुम्हारे पास पहले से कितना भी हो, 1 box हो या 100। यही चीज़ 4 को एक rate बनाती है, कि हर 1 और box पर total उतना ही बढ़ता है। counter पर एक चीज़ और होती है। दुकानदार 3 खुले pens हाथ में थमा देता है, free।

2:40वे 3 pens किसी चीज़ को multiply नहीं करते। वे 1 बार आते हैं, और टिके रहते हैं। तो total है 4x, plus 5y, plus 3। अब दोनों letters को 0 करो। कुछ भी मत ख़रीदो। जो बचता है, वह 3 है। constant term इसी के लिए होता है। यह total का वह हिस्सा है जो तब भी बचा रहता है जब हर free चीज़ को बंद कर दिया गया हो।

3:05वे 3 pens total का अकेला हिस्सा हैं जो इस बात पर निर्भर नहीं करता कि कितना ख़रीदा गया। free चीज़ें तुम्हारी ख़रीद के साथ बढ़ती नहीं, इसलिए उन 3 pens को बाक़ी 2 terms में से किसी में भी मिलाया नहीं जा सकता। जो हमने बनाया है, उसे देखो, क्योंकि इसके हर टुकड़े का एक नाम है और एक काम। plus के signs expression को terms में काटते हैं।

3:30यहाँ 3 terms हैं, 4x, 5y, और 3। letters variables हैं, और वे 2 हैं। हर letter के आगे लिखा number उसका coefficient है, 4 और 5। और जिस term में कोई letter नहीं है, वह constant है। पूरी चीज़ आज़माओ। 2 red boxes और 3 blue boxes लो, तो 8, plus 15, plus 3। bag में कुल 26 चीज़ें। ऐसे letters को कभी letter-numbers कहा जाता है और फिर variables।

4:031 ही idea के 2 नाम, अलग अलग चीज़ें नहीं। और ये नाम इसलिए काम के हैं क्योंकि इनसे तुम किसी ऐसे expression के बारे में भी सटीक सवाल पूछ सकते हो जो तुमने पहले कभी नहीं देखा। दूसरी situation, और इससे एक अलग shape का जवाब निकलता है। एक rectangular garden, l metre लंबा और w metre चौड़ा। setup में कहीं नहीं लिखा कि इन 2 में से कौन बड़ा है, तो edges को इस बात से पढ़ो कि वे कहाँ हैं, इससे नहीं कि वे कितने लंबे दिखते हैं।

4:34wire की fencing length के साथ चलती है, 100 प्रति metre। wooden fencing width के साथ चलती है, 80 प्रति metre। और यहीं 2 का factor खो जाता है। edges गिनो। rectangle के 4 edges होते हैं, 2 नहीं। length l के 2 edges, और width w के 2 edges। तुम हर pair के दोनों edges पर fence लगा रहे हो। तो wire है 2l metre, 100 के हिसाब से, यानी 200l।

5:03और wood है 2w metre, 80 के हिसाब से, यानी 160w। फिर garden में बुआई होती है। पूरे area पर seed, 50 प्रति square metre। area है l गुणा w, तो वह cost है 50lw। और वह term बाक़ी 2 से अलग जानवर है। पहला term, 200l, सिर्फ़ length की सुनता है। दूसरा term, 160w, सिर्फ़ width की सुनता है। और तीसरा term, 50lw, दोनों की सुनता है। देखो इसका असर क्या होता है।

5:3810 metre लंबे और 4 metre चौड़े garden में तीनों costs हैं 2000, 640, और 2000। कुल 4640। अब length को double करो, यानी 20 metre। costs हो जाती हैं 4000, 640, और 4000। कुल 8640, जो 4640 का double नहीं है, क्योंकि 3 हिस्सों में से 1 हिला ही नहीं। तो 1 measurement को double करने से पूरी cost double नहीं होती। 3 हिस्सों में से 2 double होते हैं, और तीसरा ठीक वहीं रहता है जहाँ था।

6:15तीसरी situation। एक 20 centimetre की wire, मोड़कर rectangle बनाई गई। length को x कहो। सोचो, width क्या है? एक बहुत आम जवाब है 20 minus x, और वह ग़लत है। 20 पूरे चक्कर की लंबाई है, आधे की नहीं। अगर width सच में 20 minus x होती, तो सिर्फ़ 1 length और 1 width मिलकर ही पूरी wire ख़र्च कर देतीं, और बाक़ी 2 sides के लिए कुछ बचता ही नहीं।

6:43तो इसे ठीक से करो। 2 गुणा length, plus 2 गुणा width, बराबर 20। अब सब कुछ आधा करो। यानी length plus width बराबर 10। जिससे width हुई 10 minus x। यह आधा करना ही वह अकेला step है जहाँ 20, 10 में बदलता है, और ग़लत जवाब ठीक यही step छोड़ देता है। और 20 का आधा 10 इसलिए है क्योंकि rectangle की boundary में हर measurement 2 बार आती है।

7:13अब यह किसी 1 rectangle की बात नहीं है। यह ऐसे rectangles के पूरे family की बात है। 7 और 3 वाला rectangle, जिसमें 7 और 3 मिलकर 10 बनते हैं। 5.5 और 4.5 वाला, जिसमें 5.5 और 4.5 मिलकर भी 10। x का हर चुनाव एक अलग rectangle देता है, और उनमें से हर एक ठीक 20 centimetre wire इस्तेमाल करता है। लेकिन हर x नहीं। किसी side की length positive होनी चाहिए।

7:44तो x को 0 से ज़्यादा होना है, और 10 minus x को भी 0 से ज़्यादा, जो x को 0 और 10 के बीच में सख़्ती से रखता है। setup में यह बात कहीं ज़ोर से नहीं कही गई। यह इस ज़िद से निकलती है कि shape सच में मौजूद हो। area है length गुणा width। तो यह है x गुणा, 10 minus x। इसे multiply करके खोलो। x गुणा 10 है 10x।

8:12और x गुणा minus x से मिलता है minus x squared। तो 10x minus x squared। और यहाँ एक square आ गया, बिना किसी के माँगे। कहानी में कहीं किसी squared quantity का ज़िक्र नहीं था। यह x के ख़ुद से multiply होने से आया। यही 1 बदलाव इस expression को उस पहले expression से एक अलग ही किस्म की चीज़ बना देता है जो हमने बनाया था। और जब हम यहाँ हैं, तो एक बात और।

8:39इस family में सबसे बड़ा area x बराबर 5 पर मिलता है। 5 और 5 का एक square, 25 square centimetre। हर दूसरा चुनाव तुम्हें इससे कम देता है। 3 situations, 3 expressions। इन्हें एक साथ रखो। boxes वाला, 2 letters, और कोई letter किसी दूसरे letter से कभी multiply नहीं होता। garden वाला, वह भी 2 letters, लेकिन उसका 1 term उन्हें आपस में multiply करता है। wire के area वाला, सिर्फ़ 1 letter, और वह letter ख़ुद से multiply होता है।

9:16तो letters गिनना और powers पढ़ना 2 अलग measurements हैं, और वे एक दूसरे के साथ नहीं चलतीं। 2 letters highest power 1 दे सकते हैं। 1 letter highest power 2 दे सकता है। यही 2 चीज़ें हैं जो आपस में उलझ जाती हैं, और इन्हें अलग अलग पहचानना ही वह चीज़ है जिस पर इसके बाद का सब कुछ टिका है। और आगे की बात ज़्यादातर सिर्फ़ 1 letter वाले expressions की होगी, तो यह फ़र्क़ अभी साफ़ होना चाहिए।

9:44तो एक letter एक ऐसी quantity है जिसे अभी तय नहीं किया गया। एक coefficient एक rate है, कि letter जो गिनता है उसके 1 और के लिए total कितना हिलता है। एक constant वह है जो तब भी खड़ा रहता है जब हर letter 0 हो जाए। और एक term 1 total में 1 योगदान है। इनमें से कुछ भी notation के लिए notation नहीं है। इसका हर टुकड़ा उस कहानी में किसी चीज़ की तरफ़ इशारा करता है जिससे यह आया।

10:12यही वह आदत है जो आगे साथ ले जाने लायक है। काग़ज़ पर लिखे हर symbol के लिए, यह बता पाओ कि वह क्या नाप रहा है।