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Chapter 4 · Exploring Algebraic Identities

Algebra tiles: rectangle दोबारा बनाकर factorise करना

Factorising quadratics15 मिनट

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factorising सिखाते वक़्त 2 शर्तें रटाई जाती हैं — 2 ऐसे numbers ढूँढो जिनका जोड़ बीच वाला term दे और गुणनफल आख़िरी। ये 2 अलग rules नहीं हैं। x plus 3 को x plus 4 से गुणा करो तो 4 loose products बनते हैं और उनमें से ठीक 2 एक ही power पर गिरते हैं, इसीलिए 7 x नाम की चीज़ बनती है। अब वही चीज़ tiles से बनाओ।

मुख्य idea

जो दो अंकगणितीय शर्तें factorising को चलाती हैं — middle term का split जोड़कर उसी के बराबर होना चाहिए, और दोनों हिस्सों का गुणनफल constant के बराबर — वे बाहर से थमाए गए दो नियम नहीं हैं। वे एक ही ज्यामितीय सच्चाई हैं: tiles को जुड़कर एक rectangle बन जाना चाहिए। एक तरफ़ तीन x-tiles रखिए और दूसरी तरफ़ चार, तो वे जो कोना छोड़ती हैं वह 3 गुणा 4 का ख़ाली हिस्सा है, इसलिए constant term के पास 12 होने के अलावा कोई चारा ही नहीं। उसी 7x को 2x + 5x की तरह बाँटिए तो ख़ाली हिस्सा 2 गुणा 5 का हो जाता है, जिसे बारह unit tiles बिना बाहर छलके भर ही नहीं सकतीं। यही वजह है कि जोड़ वाली शर्त और गुणनफल वाली शर्त साथ-साथ आती हैं, और यही वजह है कि कई splits में से एक ही काम करता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • जिस rectangle की भुजाएँ x + 3 और x + 4 हैं उसका क्षेत्रफल distributivity से भी निकालिए और tiles गिनकर भी, और जाँचिए कि दोनों एक ही हैं
  • chapter के model में tiles की तीन क़िस्में पहचानिए और हर एक का क्षेत्रफल बताइए
  • दो linear expressions के गुणनफल को एक rectangle की तरह बिछाइए और उसमें से चारों हिस्से पढ़िए
  • समझाइए कि x-tiles को दो समूहों में बँटना ही क्यों है, हर भुजा पर एक
  • समझाइए कि दोनों समूह तय हो जाने के बाद unit tiles की संख्या क्यों बँध जाती है
  • दिखाइए कि middle term का कोई दूसरा split rectangle को पूरा नहीं कर पाता, और ठीक-ठीक बताइए कि गड़बड़ कहाँ होती है
  • पूरे हुए rectangle की दोनों भुजाएँ बताकर उसमें से factorisation पढ़िए
  • tiles की इस बिछावट को (x + a)(x + b) तक आम बनाइए
  • जब leading coefficient 1 न हो तब की tile तस्वीर बनाइए, जैसे (2x + 3)(3x + 1) के लिए
  • आम गुणनफल (px + a)(qx + b) को पूरा कीजिए और distributivity से उसकी पुष्टि कीजिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
algebra tilessquare और rectangular टुकड़ों का एक set जिनके क्षेत्रफल x², x और 1 को दर्शाते हैंबीजगणितीय टाइलेंइसी chapter में छपा है (§4.5 का heading, p. 78)
x-tilex क्षेत्रफल वाला आयताकार टुकड़ा — एक unit गुणा x unitsx-टाइलइसी chapter में छपा है (§4.5, p. 79)
unit tile1 क्षेत्रफल वाला छोटा square टुकड़ाइकाई टाइलइसी chapter में छपा है (§4.5, p. 79)
linear factorsपहली घात के वे दो expressions जिनका गुणनफल rectangle दिखाता हैरैखिक गुणनखंडइसी chapter में छपा है (§4.5, p. 79)
linear expressionsपहली घात के expressions, जैसे x + 3रैखिक व्यंजकइसी chapter में छपा है (§4.5, p. 79)
arrayपंक्तियों और columns में एक आयताकार तरतीबसरणीइसी chapter में छपा है (§4.5, p. 79)
dimensionsजुड़े हुए rectangle की दोनों भुजाओं की लंबाइयाँविमाएँइसी chapter में छपा है (§4.5, p. 79)
sidelengthsजिस rectangle का model बनाया जा रहा है उसकी भुजाओं की लंबाइयाँभुजाओं की लंबाइयाँइसी chapter में छपा है (§4.5, p. 80)
distributivityवह गुणधर्म जिससे जाँच के लिए brackets खोलकर गुणा किया जाता हैबंटन गुणधर्मइसी chapter में छपा है (§4.5, p. 78)
breadthrectangle की छोटी भुजा, जैसा Example 17 में नाम दिया गया हैचौड़ाईइसी chapter में छपा है (§4.8, p. 88)
splitting the middle termx term को दो हिस्सों में बाँटना ताकि tiles जुड़कर पूरी हो जाएँमध्य पद का विभाजनयहाँ जोड़ा गया समास; chapter x term के बँटने के बारे में और 7x के बाँटे जाने के बारे में लिखता है
closure of the rectangleवह शर्त कि tiles न कोई ख़ाली जगह छोड़ें न बाहर निकलेंआयत का पूर्ण होनायहाँ जोड़ी गई भाषा, इस chapter में छपी हुई नहीं

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा, इसलिए इसे उस संस्करण की हूबहू शब्दावली नहीं, बल्कि आम मानक शब्दावली मानिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "middle term को जैसे चाहो वैसे बाँट सकते हो।" तब tiles पूरी नहीं होतीं। 1 + 6 और 2 + 5 को चलाइए और unit tiles को या तो चुकते हुए या बाहर छलकते हुए दिखाइए। फ़ैसला rectangle करता है।
  • "12 unit tiles सिर्फ़ एक गिनती हैं।" वे 3 गुणा 4 की array हैं, और उनकी दोनों विमाएँ ही split के दोनों numbers हैं। तस्वीर जो सबसे ज़रूरी बात कहती है, वह यही है।
  • "x-tile एक square है।" वह एक unit गुणा x units की है। अगर उसे लगभग square बनाकर खींचा जाए तो पूरा model ही पढ़ने लायक़ नहीं रहता, इसलिए हर चित्र में x को 1 से साफ़ तौर पर लंबा रखिए।
  • "x²-tile, x-tile का square है इस मायने में कि वह दोगुनी बड़ी है।" उसकी भुजा x है, इसलिए उसका क्षेत्रफल x × x है। x = 4 वाले to-scale चित्र में वह x-tile के क्षेत्रफल की चार गुनी है, दोगुनी नहीं।
  • "tiles उनके लिए सहारा हैं जिन्हें algebra नहीं आती।" tiles यह वजह देती हैं कि दोनों अंकगणितीय शर्तें जोड़े में क्यों आती हैं; §4.6 की algebra रफ़्तार देती है। कोई एक दूसरे की जगह नहीं लेता।
  • "सामने 6x² हो तो छह अलग-अलग rectangles चाहिए।" एक ही rectangle चाहिए जिसमें छह x²-tiles 2 गुणा 3 के block में हों, क्योंकि 6 = 2 × 3 है और वही दो numbers दोनों factors के leading coefficients हैं।
  • "tiles हर quadratic के लिए काम करती हैं।" उन्हें पूर्णांक, धनात्मक tile गिनतियाँ चाहिए। §4.5 या §4.6 में कहीं भी कोई ऋणात्मक tile नहीं दी गई, इसलिए x² − 5x + 6 जैसा expression, जैसा छपा है वैसे, बिछाया ही नहीं जा सकता — जबकि §4.6 उसे बिना किसी दिक़्क़त के symbolically factorise कर देता है।
  • "Fig. 4.8 की ग्यारह x-tiles एक ही चीज़ की ग्यारह हैं।" उनमें से नौ एक तरह से बनती हैं और दो दूसरी तरह से। उनका रंग या समूह अलग रखिए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains End-of-Chapter Exercises Q5, End-of-Chapter Exercises Q6

पूरा transcript2,371 शब्द

board पर एक rectangle बना है। इसकी ऊपर वाली side पर x plus 3 लिखा है, और बाईं side पर x plus 4। अंदर अभी कुछ नहीं है। किसी भी rectangle का area उसकी 2 sides का product होता है। यह बात तब भी सच रहती है जब sides numbers न होकर expressions हों। इसलिए इस rectangle का area x plus 3, गुना, x plus 4 है। आज का सवाल यह है कि इस rectangle के अंदर क्या भरा जाएगा।

और उससे बड़ा सवाल यह है कि भरने का तरीक़ा हमें क्या सिखाता है। क्योंकि factorising के जो 2 rules रटाए जाते हैं, वे इसी तस्वीर से निकलते हैं। board पर पहले सामान्य तरीक़ा देख लो। x plus 3 को x plus 4 से गुणा करने पर 4 products बनते हैं। वे हैं x squared, फिर 3 x, फिर 4 x, और आख़िर में 12। देखो कि इन 4 में से ठीक 2 एक ही power पर आकर गिरते हैं।

ये हैं 3 x और 4 x। इसी वजह से आगे 7 x नाम की कोई चीज़ बनती है। अब 3 x और 4 x को जोड़ो, तो 7 x मिलता है। पूरा जवाब x squared plus 7 x plus 12 है। यह वही जवाब है जो brackets को सीधे गुणा करने से आता है। 3 और 4 को जोड़ो तो 7, और गुणा करो तो 12। बहुत से students इन 2 शर्तों को 2 अलग rules की तरह याद कर लेते हैं।

पर ये 2 शर्तें एक साथ क्यों आती हैं? अब tiles उठाओ। सिर्फ़ 3 तरह की tiles हैं, और हर एक का अपना area है। एक बड़ी square tile जिसका area x squared है, एक पतली strip जिसका area x है, और एक छोटी unit tile जिसका area 1 है। बहुत से students strip को square समझ लेते हैं। वह square नहीं है, वह 1 चौड़ी और x लंबी है।

इसलिए यहाँ x को 1 से साफ़ लंबा रखा गया है। x को 1 रख कर देखो, तो सारी 20 tiles square बन जाती हैं। तब strip और unit tile में कोई फ़र्क़ ही नहीं बचता। उस हालत में सिर्फ़ 1 shape बचती है और तस्वीर कुछ नहीं कहती। x को 3 रखने पर 4 अलग shapes दिखती हैं। वे हैं बड़ी square, strip दोनों तरह घूमी हुई, और unit tile।

इनमें से 13 tiles square shape की हैं, यानी बड़ी वाली और 12 units, पर वे एक ही तरह की नहीं हैं। 1 by 5 का टुकड़ा इन 3 में से कोई नहीं है। और 2 by 2 का टुकड़ा भी x squared वाली tile नहीं है, जब x 3 हो। shape को नापा जाता है, मान नहीं लिया जाता। अब वही product tiles से बनाओ। 1 बड़ी square tile, 7 strips और 12 unit tiles लगती हैं।

इन्हें जोड़ने पर ठीक वही rectangle बनता है जो शुरू में खाली था। बना हुआ rectangle ऊपर से x plus 3 चौड़ा है। और बाईं तरफ़ से x plus 4 ऊँचा है। यानी frame की 2 sides ही वे 2 brackets हैं जिनसे हमने शुरू किया था। यह बात नापी गई है, मानी नहीं गई। x की 4 अलग लंबाइयों पर tiles दोबारा बिछाई गईं। हर बार overlap 0 निकला और frame से बाहर निकलने वाली tiles भी 0 रहीं।

सारी 20 tiles का area जोड़ो, तो जोड़ 2 sides के product के बराबर आता है। और वही जोड़ algebra वाले collected जवाब के भी बराबर आता है। यानी drawing और algebra एक ही चीज़ 2 तरह से कह रहे हैं। अब देखो कि 7 x गया कहाँ। 7 strips में से 3 दाईं तरफ़ खड़ी हो जाती हैं। और बाक़ी 4 ऊपर की तरफ़ लेट जाती हैं। 3 और 4 को जोड़ने पर 7 आता है।

middle term को बाँटना असल में यही बाँटना है। इसीलिए इसे middle term का split कहा जाता है। दाईं तरफ़ की 3 strips ही x plus 3 वाला 3 बनाती हैं। और ऊपर की 4 strips x plus 4 वाला 4 बनाती हैं। तो split करना कोई अलग काम नहीं है, वह tiles को 2 sides में बाँटना है। अब सबसे ज़रूरी बात। जैसे ही 3 strips एक तरफ़ और 4 दूसरी तरफ़ गईं, कोने में एक खाली जगह बन गई।

वह जगह 3 चौड़ी और 4 ऊँची है, और इसमें हमारा कोई चुनाव नहीं है। बहुत से students 12 को सिर्फ़ एक गिनती समझते हैं। वह गिनती नहीं, वह 3 by 4 का block है। उस block की 2 sides वही 2 numbers हैं जिनमें हमने 7 को बाँटा था। इसलिए constant term को 12 होना ही था। 3 गुना 4 बराबर 12, और यह कोने ने तय किया है।

board पर उन 12 units का block नाप कर देखा गया, वह 3 across और 4 up है। कोने वाले block को 1 खाना खिसका कर देखो। अब न वह frame को ढकता है और न tiles का size बदला है। यानी tiles का बंद होना जगह की बात है, गिनती की नहीं। board पर एक ही तस्वीर 2 बातें कहती है। बाहर से अंदर पढ़ो, तो x plus 3, गुना, x plus 4 बराबर x squared plus 7 x plus 12।

यह multiplication है। अब यहाँ से उल्टी दिशा में पढ़ो। x squared plus 7 x plus 12 बराबर x plus 3, गुना, x plus 4। यह factorisation है। drawing एक ही है और वह बदली नहीं। सिर्फ़ पढ़ने की दिशा बदली है। इसलिए factorising, multiplying का उल्टा है, कोई नई कला नहीं। बहुत से students को लगता है कि factorising एक अलग हुनर है जो अलग से सीखना पड़ता है।

पर दोनों बातें एक ही तस्वीर से पढ़ी गई हैं, बस पढ़ने की दिशा बदली है। अब rectangle को एक चौथाई घुमा दो। अब 4 strips दाईं तरफ़ हैं और 3 ऊपर। tiles की गिनती वही है, 1 square, 7 strips और 12 units। दोनों तरह से product भी वही निकलता है। x plus 3, गुना, x plus 4, और x plus 4, गुना, x plus 3, एक ही चीज़ हैं।

इसीलिए factors का क्रम कभी मायने नहीं रखता था। एक पल रुको। 7 को 2 और 5 में भी तो बाँटा जा सकता है, तो क्या तब भी rectangle बनेगा? चलो आज़मा कर देखते हैं। 2 strips दाईं तरफ़ और 5 ऊपर, यानी strips अब भी 7 ही हैं। पर अब कोने वाली जगह 2 चौड़ी और 5 ऊँची है। उस कोने में सिर्फ़ 10 unit tiles समाती हैं। हमारे पास 12 हैं, इसलिए 10 बैठ जाती हैं और 2 बाहर रह जाती हैं।

board पर वे 2 बची हुई tiles frame के बाहर पड़ी दिख रही हैं। यह layout ग़लत नहीं है, वह किसी और expression की है। 2 और 5 वाला rectangle असल में वह expression बनाता है जिसमें 10 है, यानी x squared, 7 x और 10। हमें 12 चाहिए थे, इसलिए यह हमारा वाला नहीं है। 1 और 6 वाला बँटवारा और भी बुरा है। उसका कोना सिर्फ़ 6 units माँगता है।

तब 6 बैठती हैं और पूरी 6 बाहर रह जाती हैं। बहुत से students को लगता है कि बँटवारे कई चल सकते हैं और उनमें से एक चुन लेना है। पर तस्वीर ख़ुद फ़ैसला कर देती है, इसलिए चुनने की जगह ही नहीं बचती। तीनों बँटवारे 7 strips ही इस्तेमाल करते हैं। पर units की माँग 6, 10 और 12 है, और हमारे पास 12 हैं। इसलिए सिर्फ़ 3 और 4 वाला बँटवारा बंद होता है, और फ़ैसला rectangle ने किया, हमने नहीं।

एक सवाल यहाँ बनता है। क्या कभी 2 अलग बँटवारे एक ही constant बना सकते हैं? 7 वाले case में constants 6, 10 और 12 निकले, और तीनों अलग हैं। इसकी वजह भी दिखती है। बँटवारा जितना बराबर होता जाता है, कोना उतना बड़ा होता जाता है। इसलिए constants चढ़ते जाते हैं और 2 बँटवारे एक ही जगह नहीं पहुँचते। यह बात 29 अलग middle terms पर जाँची गई। हर एक में constants चढ़ते ही मिले, एक भी दोहराव नहीं।

यानी किसी भी middle term और constant के लिए 1 से ज़्यादा बँटवारा बंद हो ही नहीं सकता। 217 ऐसे बँटवारे देखे गए जिनका कोना 200 या उससे कम units माँगता है। हर एक ठीक अपनी ही गिनती पर बंद हुआ। 1 tile ज़्यादा देने पर भी नहीं बंद हुआ, और 1 tile कम देने पर भी नहीं। अगर बँटवारे को दोनों तरफ़ से गिनो, तो वही एक बँटवारा 2 बार मिलता है।

पर वह दूसरा वही rectangle है, बस घुमा हुआ। इसीलिए क्रम से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता। अब एक और case देखो। x plus 2, गुना, x plus 3, बराबर x squared plus 5 x plus 6 है। उसका कोना 2 by 3 का block है और उसमें 6 units बैठती हैं। अब उल्टी तरफ़ से चलो। x squared plus 11 x plus 30 सिर्फ़ 5 और 6 पर बंद होता है।

इसलिए उसकी sides x plus 5 और x plus 6 हैं। अब आम शक्ल लिख लो। x plus a, गुना, x plus b, बराबर x squared plus, a plus b, गुना x, plus a b। strips की गिनती a plus b है और units की गिनती a गुना b। यह सिर्फ़ 2 cases से नहीं कहा जा रहा। 441 जोड़ों पर tiles दोबारा बिछाई गईं और गिनी गईं। 441 में से 441 पर strips की गिनती जोड़ के बराबर निकली, और units की गिनती गुणनफल के बराबर।

कोई कह सकता है कि यह छोटे numbers का इत्तेफ़ाक़ है। इसलिए x को 4 अलग लंबाइयों पर रखा गया, जिनमें से कोई 1 नहीं था। एक लंबाई तो 7 बटा 2 थी, यानी पूरी संख्या भी नहीं। अब पूरी बात board पर एक ही line में। strips जोड़ बनाती हैं और units गुणनफल बनाती हैं। और वही 2 numbers दोनों काम करते हैं, क्योंकि वे उसी कोने की 2 sides हैं।

इसलिए इन 2 शर्तों को अलग करके नहीं देखा जा सकता। देखो, जैसे ही तुमने जोड़ चुना, कोना तय हो गया। और कोना तय होते ही गुणनफल भी तय हो गया। बहुत से students सोचते हैं कि tiles उनके लिए हैं जिन्हें algebra नहीं आती। ऐसा नहीं है। tiles वजह देती हैं और algebra रफ़्तार देती है, और दोनों की ज़रूरत है। अब आगे वाला coefficient 1 नहीं रखते। 2 x plus 3 को 3 x plus 1 से गुणा करना है।

frame ऊपर से 2 x plus 3 है और बाईं तरफ़ से 3 x plus 1। बहुत से students सोचते हैं कि 6 x squared के लिए 6 अलग rectangles चाहिए। नहीं, एक ही rectangle चाहिए जिसमें 6 बड़ी squares 2 across और 3 up बैठी हों। क्योंकि 6 बराबर 2 गुना 3, और वही 2 numbers दोनों brackets के आगे लगे हैं। अब strips गिनो। 9 strips दाईं पट्टी में खड़ी हैं और 2 नीचे की तरफ़ लेटी हैं।

कुल 11 हैं, पर वे 11 एक जैसी नहीं हैं, वे 2 अलग रास्तों से आई हैं। कोने में 3 unit tiles बैठती हैं। कुल tiles फिर से 20 हैं। और algebra भी यही कहती है, 6 x squared plus 11 x plus 3। इसका मतलब यह है कि middle term को बाँटना अब 2 एक जैसे हिस्सों में बाँटना नहीं रहा। 9 और 2 का जोड़ 11 है, पर उनकी बनावट अलग है।

tiles इन 2 रास्तों को अलग-अलग दिखा देती हैं। अब सबसे आम शक्ल। p x plus a को q x plus b से गुणा करो। जवाब में 3 खाने भरने हैं, x squared वाला, x वाला और खाली number वाला। tiles सीधे बता देती हैं। बड़ी squares p गुना q हैं, दाईं पट्टी की strips a गुना q, और नीचे वाली p गुना b। और कोने की units a गुना b हैं।

इसलिए तीनों खाने भर जाते हैं। पहला p गुना q है, बीच वाला p b plus a q है, और आख़िरी a गुना b। बीच वाला 2 गुणनफलों का जोड़ है, और यही अभी 9 और 2 के रूप में दिखा था। यह 900 अलग सेटों पर जाँचा गया। 900 में से 900 पर tiles की गिनती और algebra का जवाब एक ही निकला। और 144 layouts एक भिन्न लंबाई पर दोबारा बनाए गए, जिनमें से 0 नाकाम रहे।

उन्हीं 144 layouts के कोने 1 खाना खिसका कर भी देखे गए। जहाँ कोना था वहाँ खिसकाने पर वे सब नाकाम हुए। इसलिए 0 यहाँ नापा हुआ 0 है, कोई रस्म नहीं। आख़िरी सवाल board पर पड़े एक ढेर से शुरू होता है। frame के ऊपर 1 बड़ी square, 8 strips और 15 unit tiles पड़ी हैं। इन सबको मिलाकर एक ही rectangle बनाना है। ढेर में tiles कुल 24 हैं।

इनसे कौन सा rectangle बनेगा? पहले ढेर को expression में लिखो। areas जोड़ने पर x squared plus 8 x plus 15 मिलता है। अब सवाल यह है कि 8 को कैसे बाँटें। 8 के बँटवारे 4 हैं। उनके कोने 7, 12, 15 और 16 units माँगते हैं। हमारे पास 15 हैं, इसलिए सिर्फ़ 3 और 5 वाला बँटवारा काम करता है। तो rectangle की sides x plus 3 और x plus 5 हैं।

ढेर में tiles कुल 24 थीं और सब लग गईं। ध्यान दो कि हमने कोई rule नहीं लगाया, हमने कोना नापा। बहुत से students को लगता है कि tiles हर quadratic पर चल जाती हैं, इसलिए अब यह कह देना ज़रूरी है कि वे कहाँ ख़त्म होती हैं। board पर लिखा x squared minus 5 x plus 6 factorise करना आसान है। उसके factors x minus 2 और x minus 3 हैं।

पर tiles में कोई negative टुकड़ा होता ही नहीं। minus 5 को 2 पूरी tile गिनतियों में बाँटा ही नहीं जा सकता। इसलिए यह expression सही है और फिर भी बिछाई नहीं जा सकती। यह कमी कितनी बड़ी है, यह भी गिना गया, और गिनती यहाँ लिखी है। 625 जोड़ों में से 169 ऐसे हैं जिनके expression में कुछ भी negative नहीं है। और ठीक वही 169 tiles से बन सकते हैं, एक भी असहमति नहीं मिली।

एक दूसरी तरह की नाकामी भी है। x squared, 7 x और 11 वाले expression में कुछ भी negative नहीं है। फिर भी उसका कोई बँटवारा बंद नहीं होता, क्योंकि 7 के तीनों कोने 6, 10 और 12 माँगते हैं। तो आज की बात यह है। tiles हर quadratic को नहीं ढकतीं, और उन्हें ढकना भी नहीं है। वे वह चीज़ देती हैं जो rule नहीं देता, यानी वजह कि 2 शर्तें साथ क्यों आती हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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