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Chapter 4 · Quadrilaterals

rectangle के गुण, और square ख़ास हालत क्यों है

Rectangles and squares14 मिनट

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एक rectangle की पूरी definition बस इतनी है कि उसके चारों कोने 90 degree के हों, बाक़ी सब उसका नतीजा है। 7622 आकारों के जाल में पता चलता है कि गिनाई गई 4 property में से 3 असल में एक ही बात हैं।

मुख्य idea

एक बार यह पता चल जाए कि rectangle बनाने के लिए चार right angles काफ़ी हैं, तो rectangle जो कुछ भी करता है वह उसके वर्णन का हिस्सा नहीं रहता और नतीजा बन जाता है: बराबर आमने-सामने की sides, parallel आमने-सामने की sides, और ऐसे diagonals जो लंबाई में बराबर हों और एक-दूसरे को आधा काटें। ठीक एक और शर्त जोड़ दो — कि सारी sides एक ही लंबाई की हों — और आपको square मिलता है, जो इसलिए बिना एक भी नए तर्क के इन सारे नतीजों का वारिस बन जाता है, और फिर अपने दो और गुण कमाता है, दोनों उसके diagonals के बारे में। तो square, rectangle की कोई प्रतिद्वंद्वी shape नहीं है। यह एक अतिरिक्त शर्त वाला rectangle है, और इसीलिए इस रिश्ते की सही तस्वीर कोई सूची नहीं, बल्कि Venn diagram है।

आपको क्या आना चाहिए

  • rectangle के चारों numbered गुण chapter के क्रम में बताना, और हर एक के लिए वह तर्क बताना जिससे वह निकला
  • co-interior angle वाली कसौटी को transversal का काम करती एक side पर लगाकर समझाना कि rectangle की आमने-सामने की sides parallel क्यों होनी चाहिए
  • सिर्फ़ mark की गई sides की लंबाइयों से तय करना कि quadrilaterals के एक समूह में से कौन-से rectangles हैं, और जो अलग दिखता है उसके जवाब का बचाव करना
  • square की परिभाषा बताना और ठीक-ठीक कहना कि वह rectangle में क्या जोड़ती है
  • समझाना कि हर square एक rectangle क्यों है और उल्टा क्यों नहीं, और वह Venn diagram बनाना जो इसे दर्ज करता है
  • यह साबित करना कि square के diagonals right angles पर कटते हैं, SSS से मिलने वाले दो triangles ढूँढ़कर और कटान पर बने straight angle का इस्तेमाल करके
  • यह साबित करना कि square का diagonal हर corner को दो 45° के आधे हिस्सों में बाँटता है
  • दी गई लंबाई के diagonal से square बनाना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
rectangleऐसा quadrilateral जिसके चारों angles right angles होंआयतइसी chapter में इस एक हिस्से वाले रूप तक छोटा किया गया (Part I, §4.1, p.90)
squareचार right angles और चार बराबर sides वाला quadrilateralवर्गइसी chapter में परिभाषित (Part I, §4.1, p.91)
sidelengthएक side की नापी हुई लंबाईभुजा की लंबाईइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.91)
transversalदो lines को काटने वाली line, जिससे उनके parallel होने की परख होती हैतिर्यक रेखाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.90)
propertyऐसा तथ्य जो किसी नाम वाले परिवार की हर shape पर लागू होगुणधर्मइसी chapter में numbered सूचियों की तरह छपा (Part I, §4.1, pp.90 और 93)
Venn diagramऐसा चित्र जिसमें हर बंद region चीज़ों के एक समूह के लिए खड़ा होता हैवेन आरेखइसी chapter में छपा और bold में दिया गया (Part I, §4.1, p.91)
closed curveVenn diagram में किसी region के चारों ओर खींची गई सीमाबंद वक्रइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.91)
SSSsides की तीनों जोड़ियों वाली congruence शर्तभुजा-भुजा-भुजाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.92)
straight angleउल्टी दिशाओं में जाती दो किरणों से बना 180° का angleऋजु कोणइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.92)
bisectदो बराबर हिस्सों में काटनासमद्विभाजन करनाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.85)
right angle90° का angleसमकोणइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.83)

हिंदी column में standard स्कूली गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, बल्कि standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "square, rectangle नहीं है — वे अलग shapes हैं।" chapter के इलाक़े की सबसे आम ग़लती, और यही वजह है कि पन्ने पर cartoon है। rectangle की परिभाषा की हर शर्त square पूरी करता है।
  • "rectangle असमान sides वाला square है।" उल्टा है। कहीं भी यह शर्त नहीं है कि rectangle की बगल वाली sides अलग हों, इसलिए rectangles के परिवार में वे भी शामिल हैं जिनमें वे संयोग से बराबर हों।
  • "Figure (iv) की सारी sides बराबर हैं, इसलिए वह rectangle नहीं हो सकती।" उसमें चार right angles हैं, और पूरी कसौटी यही है। बराबर sides अतिरिक्त हैं, अयोग्य ठहराने वाली नहीं।
  • "हर rectangle के diagonals right angles पर मिलते हैं।" नहीं मिलते, और पिछले topic की 60° वाली figure इसका उल्टा चित्र है। कटान square तभी बनता है जब rectangle square हो।
  • "90° पर कटते diagonals square बनाते हैं।" अकेले नहीं — उन्हें बराबर भी होना चाहिए और एक-दूसरे को आधा भी करना चाहिए। असमान लंबाई के, perpendicular और आधा करते diagonals §4.4 का rhombus देते हैं।
  • "दोनों 45° वाले आधे हिस्से बस ऐसे दिखते हैं।" वे मजबूरी से बनते हैं: diagonal जो triangle काटता है उसकी दो भुजाएँ square की sides हैं, इसलिए वह isosceles है, और उसका शीर्ष 90° वाला corner है।
  • "Venn diagram सजावट है।" यहाँ वह एक दावा उठाता है। square वाला region rectangle वाले region के अंदर बनाना यह कहता है कि कोई square बाहर नहीं छूटता; इसके बजाय उन्हें एक-दूसरे पर चढ़ते हुए बनाना कुछ ग़लत कहेगा।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4.6 Q5

पूरा transcript2,265 शब्द

एक rectangle की पूरी definition बस इतनी है, 4 भुजाओं वाला आकार, जिसके चारों कोने 90 degree के हों। शर्त पूरी पक्की है, जिस आकार के कोने 89 और 91 degree के हों, वो rectangle नहीं है, भले ही आँख से फ़र्क़ न दिखे। इसमें आमने सामने की बराबर भुजाओं की कोई बात नहीं, parallel भुजाओं की कोई बात नहीं, diagonal की भी कोई बात नहीं। बाक़ी सब बातें definition से बाहर निकाल दी गईं, और सबसे दिलचस्प हिस्सा यही है।

तो क्या वो बातें अब सच नहीं रहीं? वो पूरी तरह सच हैं, बस अब वो definition का हिस्सा नहीं, उसका नतीजा हैं। नतीजा वो चीज़ है जो माँगनी नहीं पड़ती, क्योंकि वो शर्त के साथ अपने आप चली आती है। तो एक शर्त अंदर डाली, अब देखते हैं कि बाहर क्या क्या निकलता है? आम तौर पर ऐसी 4 property गिनाई जाती हैं, पर आख़िर में हम उन्हें फिर से गिनेंगे, और जवाब अलग आएगा।

पहला नतीजा, आमने सामने की भुजाएँ बराबर लंबाई की निकलती हैं। ऐसा लग सकता है कि बराबर भुजाएँ अलग से माँगनी पड़ती हैं, पर वो इन्हीं 90 degree के कोनों में छिपी हैं। एक कोने को सामने वाले कोने से जोड़िए, यानी एक diagonal खींचिए, तो आकार 2 triangle में बँट जाता है। ये diagonal दोनों triangle की साझी भुजा है, तो उसकी लंबाई बिना नापे दोनों में एक ही है।

वो diagonal एक 90 degree वाले कोने को 2 हिस्सों में बाँटता है, और दूसरे triangle में सामने वाला angle भी 90 में से वही बचा हुआ हिस्सा निकलता है। इस तरह 2 बराबर angle मिले, और उनके बीच साझी भुजा, इतने से दोनों triangle congruent हो जाते हैं। और congruent triangle की मिलती भुजाएँ बराबर होती हैं, और वही भुजाएँ इस आकार की आमने सामने की भुजाएँ हैं। आपने सिर्फ़ 90 degree के कोने माँगे थे, और भुजाएँ मुफ़्त में मिल गईं।

दूसरा नतीजा, आमने सामने की भुजाएँ parallel हैं। एक भुजा को लीजिए, वो अपने दोनों तरफ़ की भुजाओं को काटती है, यानी वो एक transversal की तरह है। दोनों सिरों पर वो 90 degree का कोना बनाती है, और 90 और 90 मिलकर 180 होते हैं। जब किसी transversal के एक तरफ़ के 2 angle मिलकर 180 हों, तो वो 2 line parallel होती हैं, इसलिए ये भुजाएँ parallel हैं।

दूसरी जोड़ी के लिए भी यही तर्क, बस transversal वाली भुजा बदल दीजिए। पर ये जाँच असल में पकड़ती क्या है? आकार को तिरछा झुका दीजिए, कोने 100, 80, 100 और 80 degree के हो जाते हैं, कोई भी 90 का नहीं। फिर भी एक भुजा के दोनों सिरों वाले angle, 100 और 80, मिलकर 180 ही बनाते हैं। यानी ये जाँच parallel होना पहचानती है, 90 degree के कोनों के बारे में इसे कुछ पता नहीं, और ये बात थोड़ी देर में काम आएगी।

तीसरा और चौथा नतीजा diagonal के बारे में है, दोनों diagonal बराबर लंबे होते हैं, और हर diagonal दूसरे को ठीक आधे में काटता है। अगर 2 बराबर पट्टियों को उनके बीच से एक कील से जोड़कर rectangle बनाने का तरीका इन्हीं 2 बातों पर चलता है। पर अब बात उल्टी दिशा से आती है, चारों कोने 90 degree के बनाइए, और diagonal ख़ुद ऐसे ही निकलते हैं। तो सूची 4 property की है, बराबर भुजाएँ, parallel भुजाएँ, बराबर diagonal, और एक दूसरे को आधा काटते diagonal।

एक जाल में 7622 आकार बनाए गए, और उनमें से 25 के चारों कोने 90 degree के हैं। उन 25 में से हर एक में चारों property मिलती हैं, कोई भी rectangle किसी property पर नाकाम नहीं होता। शर्त हटा दीजिए, तो हर property कहीं न कहीं टूट जाती है। तो क्या ये चारों सच में अलग अलग बातें हैं? चारों इस शर्त से निकलती हैं, पर इससे ये साबित नहीं होता कि चारों अलग अलग बातें हैं।

अब सूची पढ़ने की बजाय, हर आकार पर एक एक करके जाँचते हैं। पूरे जाल के हर आकार से पूछिए, क्या बराबर भुजाएँ और आधा काटते diagonal कभी अलग जवाब देते हैं? कभी नहीं, 7622 में से एक पर भी नहीं। बराबर भुजाएँ और parallel भुजाएँ, इन पर भी वही सवाल, और जवाब फिर वही, कभी नहीं। यानी ये 3 अलग property नहीं हैं, ये एक ही property है जो 3 तरह से कही गई है।

बराबर diagonal अलग निकलते हैं, बहुत से आकारों पर वो बाक़ी 3 से असहमत होते हैं, क्योंकि तिरछे आकार की आमने सामने की भुजाएँ बराबर हो सकती हैं और diagonal फिर भी अलग। ऐसा लग सकता है कि जितनी लंबी सूची, उतनी ज़्यादा जानकारी, पर इस सूची में 4 नाम हैं और सिर्फ़ 2 बातें। तो 4 की सूची असल में 2 की सूची है, और ये बात सिर्फ़ गिनने से पता चली।

अब इन property को काम में लेते हैं, एक rectangle A B C D, जिसके दोनों diagonal खिंचे हैं, और उनके मिलने का बिंदु O है। सिर्फ़ एक angle दिया है, भुजा A B और diagonal A C के बीच 30 degree। क्या इतने से बाक़ी सारे angle निकल सकते हैं? कोना A पूरा 90 degree का है, तो A C और A D के बीच 90 में से 30 घटाकर 60 बचता है।

दोनों diagonal बराबर हैं और एक दूसरे को आधा काटते हैं, तो O A और O B भी बराबर हैं। इसलिए triangle A O B की 2 भुजाएँ बराबर हैं, और उनके सामने के angle भी बराबर, यानी B वाला angle भी 30 degree है। और triangle के तीनों angle का जोड़ 180 होता है, तो A O B वाला angle 180 में से 30 और 30 घटाकर 120 बचता है।

उसके बगल वाला angle B O C एक सीधी line पर 180 पूरा करता है, तो वो 60 degree का है। और triangle B O C में O B और O C बराबर हैं, तो B और C वाले angle बराबर हैं, और दोनों 60 degree के हैं। एक 30 degree से पूरा चित्र भर गया, और हर कदम किसी property से आया, नापने से एक भी नहीं। अब 4 आकार, हर कोने पर 90 degree का निशान, और भुजाओं की लंबाई लिखी हुई।

पहला 5 और 2 सेंटीमीटर का, दूसरा 3 दशमलव 6 और 6 का, तीसरा 5 और 1 का, और चौथा चारों तरफ़ 4 सेंटीमीटर का। इनमें से कौन कौन से आकार rectangle नहीं हैं? सही जवाब है कि चारों rectangle हैं, और ज़्यादातर लोग आख़िरी वाले पर आकर अटकते हैं। उसकी चारों भुजाएँ बराबर हैं, तो वो square है, और पहली नज़र में square होना किसी और चीज़ जैसा लगता है।

पर शर्त थी चारों कोने 90 degree के, और उसके चारों कोने 90 degree के हैं। शर्त में कहीं नहीं लिखा कि पास पास की भुजाएँ अलग लंबाई की होनी चाहिए। पहले और तीसरे आकार का तिरछा रखा होना भी कुछ नहीं बदलता, घुमाने से rectangle, rectangle ही रहता है। तो square की definition ठीक से लिखिए, 4 भुजाओं वाला आकार, चारों कोने 90 degree के, और चारों भुजाएँ बराबर।

यानी rectangle वाली शर्त, और उसके साथ ठीक एक शर्त और। इसका मतलब, square आते ही rectangle का हर नतीजा साथ लेकर आता है, बिना किसी नए तर्क के। बराबर भुजाएँ, parallel भुजाएँ, बराबर diagonal, और आधा काटते diagonal, ये सब उसे मुफ़्त में मिलते हैं। कुछ भी दोबारा साबित नहीं करना पड़ता, सब कुछ विरासत में मिलता है। तो क्या कोई शर्त जोड़ने से कभी कोई नतीजा छिन सकता है?

नहीं, शर्त जोड़ने से नतीजे कभी घटते नहीं, सिर्फ़ बढ़ते हैं, क्योंकि पुरानी हर शर्त अब भी पूरी हो रही है। फिर भी मन अटकता है, ऐसा लग सकता है कि आकार एक ही चीज़ हो सकता है, या तो square या rectangle। पर चीज़ें एक साथ 2 परिवारों में रहती हैं, और कहीं और ये किसी को अजीब नहीं लगता। एक ही आदमी किसी का भाई होता है और किसी का बेटा, दोनों एक साथ, और इसमें कोई झगड़ा नहीं।

इस रिश्ते की सही तस्वीर है Venn diagram, 2 घेरे, एक दूसरे के अंदर। एक बड़ा घेरा rectangle के लिए, और उसके अंदर एक छोटा घेरा square के लिए, पूरा का पूरा अंदर। उस जाल में 5 आकार square हैं, और पाँचों rectangle भी हैं, एक भी घेरे से बाहर नहीं निकलता। और जाल के 20 rectangle ऐसे हैं जो square नहीं, इसीलिए अंदर वाला घेरा छोटा है, और बगल में नहीं, अंदर है।

अगर घेरे एक दूसरे को बस थोड़ा सा काटते, तो वो तस्वीर क्या कहती? वो कहती कि कुछ square rectangle नहीं हैं, और ये झूठ होता, इसलिए ये Venn diagram सजावट नहीं, एक दावा है। अब 2 बराबर पट्टियों पर लौटते हैं, जो दोनों के बीच वाले बिंदु पर एक कील से जुड़ी हैं। उन्हें किसी भी angle पर खोलिए, चारों सिरों के चारों तरफ़ बँधा धागा हमेशा एक rectangle बनाता है।

तो सवाल छोटा सा है, क्या कोई ऐसा angle है जिस पर चारों भुजाएँ भी बराबर हो जाएँ? अब 1 से 179 तक, हर पूरे degree वाला angle एक एक करके आज़माइए। सिर्फ़ एक angle काम करता है, 90 degree, और कोई नहीं। पट्टियों को 90 पर मिलाइए, तो जो rectangle बनना ही था, वो square बन जाता है। बाक़ी हर angle पर, जैसे 30, 40 या 140 पर, rectangle तो बनता है पर square नहीं बनता।

अब एक काम, ऐसा square बनाइए जिसका diagonal 8 सेंटीमीटर का हो, सिर्फ़ diagonal वाली बातों से। दोनों diagonal एक दूसरे को आधा काटते हैं, तो हर आधा हिस्सा 4 सेंटीमीटर का है। बीच में एक बिंदु लीजिए, उससे 4 सेंटीमीटर के 2 आधे एक सीध में, और उस सीध से 90 degree पर 4 सेंटीमीटर के 2 और आधे। चारों सिरे जोड़िए, तो चारों भुजाएँ बराबर निकलती हैं, हर एक लगभग 5 दशमलव 6 6 सेंटीमीटर की, और चारों कोने 90 degree के।

एक circle के 2 diameter, जो आपस में 90 degree पर कटें, उनके सिरे जोड़ें तो क्या बनता है? वही बात, दोनों diameter बराबर हैं, एक दूसरे को बीच से आधा काटते हैं, और 90 पर मिलते हैं, तो square बनता है। जाँचने पर, radius 1 से 5 तक, पाँचों circle में square बनता है, और diameter 60 degree पर कटें तो एक में भी नहीं। यानी diagonal की तीसरी बात, 90 पर काटना, छूट जाए तो rectangle बनता है, square नहीं।

जैसे ही भुजाएँ बराबर होती हैं, 2 नई बातें निकलती हैं, और ये बातें किसी आम rectangle में नहीं होतीं। एक square A B C D लीजिए, जिसके दोनों diagonal बीच में O से होकर गुज़रते हैं। अब 2 triangle लीजिए, A B O और C B O, दोनों एक ही भुजा B O पर खड़े हैं। भुजा B O दोनों की साझी है, A B और C B square की भुजाएँ हैं तो बराबर हैं, और O A और O C एक ही diagonal के आधे हैं, तो वो भी बराबर हैं।

तीनों जोड़ी भुजाएँ बराबर हैं, और SSS के हिसाब से इतना काफ़ी है, दोनों triangle congruent हैं। इसलिए बीच में बने वो 2 angle, A O B और C O B, बराबर हैं, और दोनों मिलकर एक सीधी line बनाते हैं। ऐसे 2 बराबर angle जो मिलकर 180 बनाएँ, वो कितने कितने के होंगे? जवाब है 90 और 90, तो square के diagonal एक दूसरे को 90 degree पर काटते हैं।

ये बात 17 अलग अलग square पर जाँची गई, 17 में से 17 में यही निकला, और 6 और 3 वाले rectangle पर SSS वाली जोड़ियाँ मिलती ही नहीं। और दूसरी नई बात, एक diagonal को उस कोने पर देखिए जहाँ से वो शुरू होता है। अकेला diagonal A C, square A B C D को 2 triangle में बाँटता है, उनमें से एक है A D C। उस triangle में A वाला angle, angle 1 है, C वाला angle, angle 3 है, और D पर 90 degree का कोना है।

किसी भी triangle के तीनों angle का जोड़ 180 है, तो angle 1 और angle 3 मिलकर 90 बनाते हैं। भुजा D A और भुजा D C square की भुजाएँ हैं, तो बराबर हैं, और बराबर भुजाओं के सामने वाले angle बराबर होते हैं। तो angle 1 और angle 3 बराबर हैं, और मिलकर 90 हैं, यानी दोनों 45 degree के हैं। जाँचने पर, 17 square के हर कोने पर, यानी 68 में से 68 कोनों पर, diagonal कोने को 45 और 45 में बाँटता है।

ऐसा लग सकता है कि 45 बस दिखने में आधा है, पर ये नापकर नहीं, बराबर भुजाओं से निकला है। पर 6 और 3 वाले rectangle पर वही diagonal कोने को लगभग 63 और 27 degree में काटता है, आधे में नहीं। और 16 दूसरे rectangle में से एक में भी diagonal कोने को आधे में नहीं काटता। सच में नई यही 2 बातें हैं, और यही वो हैं जो उस एक और शर्त ने दिलाईं।

तो पूरी तस्वीर ये है, एक शर्त से rectangle मिलता है, और उसके साथ 2 असली बातें, जिनके 4 नाम हैं। एक शर्त और, तो square मिलता है, जो वो सब रखता है और 2 अपनी नई बातें कमाता है। यही है special case का मतलब, कोई दुश्मन नहीं, कोई अपवाद नहीं, वही चीज़ बस एक शर्त ज़्यादा के साथ। और वो क्या है जो अभी पूछा ही नहीं गया?

अगर बराबर भुजाएँ माँगें और 90 degree वाले कोने छोड़ दें, तो क्या बनता है, इसका जवाब इस तर्क में कहीं नहीं है। वो एक अलग आकार है, अलग नाम वाला, और इस पूरे तर्क की कोई भी बात उस पर अपने आप लागू नहीं होती। रुकने की ईमानदार जगह यही है, ठीक ठीक पता होना कि किन सवालों का जवाब मिल चुका है। एक शर्त से 2 नतीजे, एक शर्त और से 2 नए नतीजे, और Venn diagram में square पूरा का पूरा rectangle के अंदर।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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