rhombus, और उसके diagonals क्या करते हैं

0:00एक square लीजिए, उसकी चारों भुजाएँ बराबर हैं, और चारों कोने 90 degree के हैं। सवाल ये है, क्या चारों भुजाएँ बराबर रखने का बस एक ही तरीक़ा है, यानी square? बहुत से लोग मानते हैं कि बराबर भुजाएँ अपने आप बराबर कोने भी ले आती हैं। किसी triangle में ऐसा सच में होता है, उसकी 2 भुजाएँ बराबर हों, तो उनके सामने के angle भी बराबर होते हैं। पर quadrilateral में ये बात टूट जाती है, और आज हम देखेंगे कि क्यों टूटती है।

0:31चारों भुजाएँ बराबर हों, तो दिशा के बारे में कुछ नहीं कहा गया, फिर भी दिशा अपने आप तय हो जाती है। आज का रास्ता यही है, बराबर भुजाओं से parallel भुजाओं तक, बिना कोई angle माने। और आख़िर में दिखेगा कि इन्हीं बराबर भुजाओं से diagonals के बारे में 2 नई बातें निकलती हैं। चलिए एक बनाकर देखते हैं, कोना A नीचे बाईं ओर, और उससे निकलती 2 भुजाएँ, A B और A D।

1:00दोनों की लंबाई बराबर, 4 cm, और उनके बीच 50 degree का angle। अब compass को A B की लंबाई जितना खोलिए, और उसे वैसा ही रहने दीजिए। कोने B से एक arc खींचिए, और कोने D से उतनी ही लंबाई का दूसरा arc। जहाँ ये दोनों arc एक दूसरे को काटते हैं, वहीं चौथा कोना C है। तो B C और D C की लंबाई भी 4 cm है, क्योंकि दोनों arc उसी लंबाई से बने थे।

1:28यही arc वो चीज़ है जो बराबर लंबाई की शर्त को चौथे कोने तक ले जाती है। चारों भुजाएँ बराबर हैं, पर कोने देखिए, 50 और 130 degree, square जैसे बिल्कुल नहीं। यानी चारों भुजाएँ बराबर होने पर भी ये आकार square नहीं है। पर 50 degree ही क्यों चुना? क्या उस angle में कुछ ख़ास बात थी? यही तरीक़ा 30 degree से दोहराइए, फिर 50 से, और फिर 70 degree से।

1:58तीनों बार चौथा कोना मिल जाता है, और तीनों आकारों की चारों भुजाएँ बराबर निकलती हैं। पर कोने अलग अलग हैं, 30 और 150, फिर 50 और 130, फिर 70 और 110 degree। यानी शुरू का angle कभी बंधा हुआ था ही नहीं, 0 और 180 के बीच का कोई भी angle काम करता। अब अलग अलग भुजाओं और अलग अलग angles से ऐसे 75 आकार बनाइए। सभी 75 की चारों भुजाएँ बराबर हैं, पर उनमें से सिर्फ़ 5 के चारों कोने बराबर हैं, और वो square हैं।

2:32बाक़ी 70 आकारों के कोने बराबर नहीं हैं, तो बराबर भुजाएँ बराबर कोने नहीं लातीं। असल में square इस परिवार का बस एक सदस्य है, कोई ख़ास नमूना नहीं। ऐसे आकार का एक नाम है, जिस quadrilateral की चारों भुजाएँ बराबर हों, वो rhombus कहलाता है। इस परिभाषा को ध्यान से पढ़िए, इसमें किसी angle की कोई बात नहीं है। इसमें parallel भुजाओं की भी कोई बात नहीं है, बात सिर्फ़ लंबाई की है।

3:00कुछ लोग rhombus को झुका हुआ square कहते हैं, पर बात इसकी उल्टी है। असल में square तो rhombus का ही एक ख़ास रूप है, जिसके कोने संयोग से 90 degree के हैं। अब असली सवाल, परिभाषा में दिशा की कोई बात नहीं, तो क्या भुजाएँ फिर भी parallel निकलती हैं? देखने में तो parallel लगती हैं, पर दिखना सबूत नहीं है, इसे साबित करना होगा। तो हमें सिर्फ़ बराबर भुजाओं से, बिना कोई angle माने, parallel तक पहुँचना है।

3:31इसके लिए एक rhombus लीजिए, जिसका नाम G A M E है। कोना G नीचे बाईं ओर, A नीचे दाईं ओर, M ऊपर दाईं ओर, और E ऊपर बाईं ओर। अब diagonal A E खींचिए, ये rhombus को 2 triangles में बाँट देता है। नीचे वाला triangle G A E है, उसकी भुजाएँ G A और G E, दोनों rhombus की भुजाएँ हैं, तो बराबर हैं। ये isosceles triangle है, तो बराबर भुजाओं के सामने के angle बराबर, यानी a बराबर d।

4:06ऊपर वाला triangle M E A भी isosceles है, M E बराबर M A, तो b बराबर c। अब क्या ये दोनों triangles हूबहू एक जैसे हैं? किस वजह से? भुजाएँ मिलाइए, G A बराबर M E, G E बराबर M A, और A E दोनों में एक ही है। तीनों जोड़ी भुजाएँ बराबर हैं, तो SSS से दोनों triangles हूबहू एक जैसे हैं। तो a, b, c, d चारों angle बराबर हैं, और कोना G, कोने M के बराबर है।

4:40नाप कर देखिए, 50 degree वाले इस rhombus में ये चारों angle 65 degree के हैं। अब इन्हीं बराबर angles को एक दूसरी नज़र से देखिए। भुजाएँ G A और E M लीजिए, और diagonal A E उन दोनों को काटने वाली line है। देखिए, angle a और angle c इस line के अलग अलग तरफ़ हैं, यानी ये alternate angles हैं। और जब alternate angles बराबर हों, तो वो दोनों lines parallel होती हैं।

5:09हमारे पास a बराबर c है, इसलिए G A और E M parallel हैं। अब दूसरा जोड़ा, भुजाएँ A M और G E, और वही diagonal A E उन्हें काटता है। यहाँ b और d alternate angles हैं, और बराबर हैं, तो A M और G E भी parallel हैं। यानी आमने सामने की दोनों जोड़ी भुजाएँ parallel निकलीं, सिर्फ़ बराबर लंबाई के दम पर। तो हर rhombus एक parallelogram है, और ये बात किसी angle को माने बिना साबित हुई।

5:42दिशा की कोई शर्त नहीं दी गई थी, फिर भी बराबर भुजाओं ने दिशा को मजबूर कर दिया। बनाए गए सभी 75 rhombus को परखिए, सभी 75 में आमने सामने की दोनों जोड़ी भुजाएँ parallel हैं। कहीं ये जाँच हर आकार को पास तो नहीं कर देती, जैसे kite को भी? एक kite में पड़ोसी भुजाओं के 2 जोड़े बराबर होते हैं, पर चारों भुजाएँ बराबर नहीं होतीं। जाँचे गए 7 kites में से एक भी ऐसा नहीं, जिसकी दोनों जोड़ी भुजाएँ parallel हों।

6:13किसी rhombus की एक भुजा थोड़ी लंबी कर दीजिए, तो ऐसे 15 आकारों में से कोई भी पास नहीं होता। यानी parallel होना बराबर भुजाओं से आया, सिर्फ़ quadrilateral होने भर से नहीं। अब उसी rhombus के चारों कोने निकालते हैं, कोना G 50 degree का है। पहला रास्ता, triangle G A E, जिसके angles हैं a, d और 50 degree। किसी भी triangle के angles का जोड़ 180 होता है, तो a और d मिलकर 130, और हर एक 65 degree का।

6:46कोने A में a और b मिलकर बनते हैं, 65 और 65, यानी 130 degree। वैसे ही कोना E भी 130 का, और कोना M, कोने G के बराबर, 50 degree का। दूसरा रास्ता, ये rhombus अब parallelogram भी है, तो उसके नियम सीधे लगाइए। सामने के कोने बराबर, तो M भी 50, और पड़ोसी कोनों का जोड़ 180, तो A और E, 180 में से 50 घटाकर 130 degree।

7:16दोनों रास्तों से वही चारों संख्याएँ आती हैं, 50, 130, 50 और 130 degree। जो आकार 2 परिवारों में है, उसे किसी भी परिवार के नियमों से हल किया जा सकता है। अब ये देखिए कि rhombus बाक़ी आकारों के बीच कहाँ बैठता है। एक घेरा उन आकारों का, जिनके चारों कोने 90 degree के हैं, यानी rectangles का। दूसरा घेरा उन आकारों का, जिनकी चारों भुजाएँ बराबर हैं, यानी rhombus का।

7:46ये दोनों घेरे एक दूसरे पर चढ़ते हैं, और बीच का हिस्सा, जहाँ दोनों शर्तें पूरी हों, square है। ये बीच का हिस्सा कोई नया आकार नहीं, वो वही जाना पहचाना square है। जाँच के लिए 90 आकार बनाइए, इनमें से 75 की भुजाएँ बराबर हैं, और 20 के चारों कोने 90 degree के हैं। दोनों शर्तें सिर्फ़ 5 आकारों पर पूरी होती हैं, और वो सब square हैं। और ये दोनों घेरे एक बड़े घेरे के अंदर हैं, parallelogram के घेरे में।

8:18अब G A M E में दोनों diagonals खींचिए, G M और A E, और जहाँ वो मिलते हैं, उस बिंदु का नाम O रखिए। अब E O के दोनों तरफ़ बने 2 triangles देखिए, एक E O G, और दूसरा E O M। क्या ये दोनों triangles भी हूबहू एक जैसे हैं? और किस वजह से? पहली जोड़ी, E G और E M, दोनों rhombus की भुजाएँ हैं, तो बराबर हैं।

8:46दूसरी जोड़ी, E O, जो दोनों triangles में एक ही भुजा है। तीसरी जोड़ी, O G और O M, ये बराबर हैं, क्योंकि parallelogram के diagonals एक दूसरे को आधा करते हैं। तो SSS से दोनों triangles हूबहू एक जैसे हैं, और बिंदु O के दोनों angles बराबर हैं। ये दोनों angles एक सीधी line G M पर बने हैं, तो उनका जोड़ 180 degree है। बराबर angles जिनका जोड़ 180 हो, वो हर एक 90 degree का होता है, तो diagonals 90 degree पर मिलते हैं।

9:18हर diagonal अपने कोनों को भी आधा करता है, 50 का कोना 25 और 25 में, और 130 का कोना 65 और 65 में। बनाए गए सभी 75 rhombus में diagonals 90 degree पर मिलते हैं, एक दूसरे को आधा करते हैं, और कोनों को भी। तो क्या जिस quadrilateral के diagonals 90 degree पर मिलें, वो rhombus ही होगा? एक kite देखिए, उसकी भुजाएँ 5, 6.7, 6.7 और 5 cm हैं, पड़ोसी जोड़े बराबर, पर चारों नहीं।

9:53इसके diagonals भी 90 degree पर मिलते हैं, और जाँचे गए सभी 7 kites में ऐसा ही होता है। पर लंबा diagonal बीच से नहीं कटता, उसके 2 हिस्से 4 और 6 cm के हैं। किसी भी kite के diagonals एक दूसरे को आधा नहीं करते, 7 में से एक में भी नहीं। यानी सिर्फ़ 90 degree पर मिलना काफ़ी नहीं, diagonals को एक दूसरे को आधा भी करना होगा।

10:17यानी rhombus में ये दोनों बातें होती हैं, kite में सिर्फ़ एक। अब rhombus के सारे गुण एक सूची में लिखिए, कुल 6 गुण बनते हैं। पहला गुण, चारों भुजाएँ बराबर, ये तो परिभाषा है, इसे साबित नहीं करना पड़ा। अगले 3 गुण parallelogram से विरासत में मिले, पहला, आमने सामने की भुजाएँ parallel। फिर, पड़ोसी कोनों का जोड़ 180 degree, और सामने के कोने बराबर। और diagonals एक दूसरे को आधा करते हैं, ये तीनों गुण मुफ़्त मिले, क्योंकि rhombus एक parallelogram है।

10:50बाक़ी 2 गुण नए हैं, diagonals 90 degree पर मिलते हैं, और कोनों को आधा करते हैं। ये नए गुण सच में बराबर भुजाओं से आए, ये परखने के लिए एक parallelogram लीजिए, भुजाएँ 5 और 4 cm, बीच में 50 degree। इसमें विरासत वाले तीनों गुण मौजूद हैं, पर इसके diagonals न 90 degree पर मिलते हैं, न कोनों को आधा करते हैं। और बनाए गए सभी 75 rhombus में ये दोनों नए गुण सच निकलते हैं।

11:20कौन सा गुण मुफ़्त मिला, और किसकी क़ीमत बराबर भुजाओं ने चुकाई, ये जानना ही पूरे ढाँचे को समझना है। एक सवाल अभी बचा है, क्या rhombus के दोनों diagonals बराबर होते हैं? अपने 50 degree वाले rhombus में नापिए, G M लगभग 7.3 cm है, और A E लगभग 3.4 cm। अब एक लंबा पतला rhombus बनाइए, भुजा 4 cm, और कोना सिर्फ़ 20 degree का। इसके diagonals लगभग 7.9 और 1.4 cm हैं, एक बहुत लंबा, दूसरा बहुत छोटा।

11:58कोना 90 degree का हो, यानी square, तब दोनों diagonals लगभग 5.7 cm के, बराबर। जाँचे गए 75 rhombus में से सिर्फ़ 5 के diagonals बराबर हैं, और वो पाँचों square हैं। तो rhombus के diagonals आम तौर पर बराबर नहीं होते, बराबर सिर्फ़ square में होते हैं। अब ख़ुद कीजिए, rhombus X W V U, जिसमें X ऊपर बाईं ओर, W ऊपर दाईं ओर, V नीचे दाईं ओर, और U नीचे बाईं ओर है।

12:34इसमें diagonal X V खींचा गया है, और कोने V में, भुजा V U और diagonal के बीच 30 degree है। थोड़ा रुक कर सोचिए, बाक़ी सारे angles क्या होंगे? हर diagonal अपने कोने को आधा करता है, तो कोना V, 30 का दोगुना, यानी 60 degree। सामने का कोना X भी 60 degree का, और बाक़ी दोनों, 180 में से 60 घटाकर, 120 degree के। दूसरा सवाल, rhombus O I E A, और कोने E में भुजा E A और diagonal O E के बीच 20 degree।

13:09तो कोना E, 40 degree, सामने का कोना O भी 40, और बाक़ी दोनों 140 degree के। तो शुरुआत बस इतनी थी, चारों भुजाएँ बराबर, दिशा या angle की कोई बात नहीं। एक diagonal ने 2 isosceles triangles बनाए, जो हूबहू एक जैसे निकले, और 4 बराबर angles दिए। उन angles को alternate जोड़ों की तरह पढ़ा, तो भुजाएँ parallel निकलीं, और rhombus parallelogram बन गया। फिर parallelogram के 3 गुण मुफ़्त मिले, और बराबर भुजाओं ने 2 नए गुण दिए, diagonals 90 degree पर, और कोने आधे।

13:44पर diagonals बराबर नहीं होते, वो सिर्फ़ square में बराबर होते हैं। याद रखिए, square rhombus का एक ख़ास रूप है, और rhombus parallelogram का।