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Chapter 4 · Quadrilaterals

बढ़ई की समस्या: कैसे पक्का करें कि frame सच में rectangular है

Rectangles and squares12 मिनट

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rectangle वाला frame बनाना है, पर एक भी कोना नापे बिना। 2 बराबर पट्टियाँ, दोनों के ठीक बीच एक कील, और चारों सिरों पर धागा, तो चारों कोने 90 degree के, पट्टियाँ किसी भी angle पर खुलें।

मुख्य idea

जो बढ़ई rectangular frame चाहता है, उसे एक भी corner नापने की ज़रूरत कभी नहीं पड़ती। एक ही लंबाई की दो पट्टियाँ काटो, उन्हें उस point पर pin से जोड़ दो जो दोनों को आधा करता है, चारों सिरों के चारों ओर एक धागा घुमा दो, और चारों corners square निकलते हैं — पट्टियाँ चाहे जिस angle पर कटें। वजह एक cancellation है: कटान का angle x pin पर बने angles तय कर देता है, pin के चारों ओर के चारों triangles isosceles हैं क्योंकि चारों आधी पट्टियाँ बराबर लंबाई की हैं, और frame का हर corner दो पड़ोसी triangles में से हर एक का एक-एक base angle है — (90 − x/2) में x/2 जोड़ा हुआ। x ग़ायब हो जाता है। यह ग़ायब होता x ही पूरे पाठ की जान है: इसी वजह से जोड़ ढीला-ढाला हो तब भी frame सही बनता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दोनों पट्टियों के बारे में बढ़ई के तीन सवाल बताना — लंबाई, जोड़ने का point, कटान का angle — और यह कहना कि इन तीनों में से कौन-सा आख़िर में मायने नहीं रखता
  • साबित करना कि rectangle के दोनों diagonals बराबर लंबाई के होते हैं, एक side साझा करने वाले दो triangles ढूँढ़कर और SAS लगाकर
  • साबित करना कि rectangle के diagonals एक-दूसरे को आधा काटते हैं, कटान के दोनों ओर के दो angles बराबर दिखाकर और AAS लगाकर
  • शब्द bisect को segment और angle, दोनों के लिए सही इस्तेमाल करना
  • उस figure का हर angle निकालना जिसके बराबर diagonals एक-दूसरे को 60° पर bisect करते हैं, कटान के point पर बने isosceles triangles से शुरू करके
  • यही काम किसी भी कटान angle x के साथ दोहराना, और दिखाना कि हर corner 90° का निकलता है और x कट जाता है
  • समझाना कि बढ़ई को असल में यही converse कथन चाहिए, और अकेला सीधा कथन frame क्यों नहीं बना पाता
  • उस जोड़ का वर्णन करना जो एक 8 cm पट्टी से rectangle बनाता है — दूसरी पट्टी की लंबाई और pin की जगह बताते हुए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
quadrilateralचार सीधी sides से बनी बंद figureचतुर्भुजchapter के पहले पन्ने पर छपा (Part I, p.82)
rectangleऐसा quadrilateral जिसके सारे corners right angles होंआयतइसी chapter में परिभाषित (Part I, §4.1, p.83)
diagonalउन दो corners को जोड़ने वाला segment जो एक-दूसरे के बगल में नहीं हैंविकर्णइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.83)
bisectदो बराबर हिस्सों में काटना — यहाँ segment और angle, दोनों के लिएसमद्विभाजन करनाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.85)
midpointsegment का वह point जिसके दोनों ओर बराबर लंबाई होमध्यबिंदुइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.85)
congruenceदो figures के बीच का वह रिश्ता जिसमें वे हिस्से-दर-हिस्से मेल खाती हैंसर्वांगसमताइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.84); कक्षा 7 से चला आ रहा
SASदो sides और उनके बीच के angle वाली congruence शर्तभुजा-कोण-भुजाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.84)
AASदो angles और उनके बीच में न आने वाली एक side वाली congruence शर्तकोण-कोण-भुजाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.85)
vertically opposite anglesकटान के आमने-सामने बनी बराबर जोड़ीशीर्षाभिमुख कोणइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.84)
linear pairसीधी line पर अगल-बगल बने दो angles, जिनका जोड़ 180° हैरैखिक युग्मइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.85)
isoscelesजिसकी दो sides बराबर लंबाई की होंसमद्विबाहुइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.87)
base anglesisosceles triangle की बराबर sides के सामने वाले दो बराबर anglesआधार कोणइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.87)
deductionनापने के बजाय, पहले से तय तथ्यों से कोई नया तथ्य निकालनानिगमनइसी chapter में हर numbered तर्क के शीर्षक की तरह छपा (Part I, §4.1, p.84)
converseवह कथन जो मानी गई बात और निकाले गए नतीजे की अदला-बदली से मिलता हैविलोम कथनइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो यह अदला-बदली करता तो है पर उसे नाम नहीं देता

हिंदी column में standard स्कूली गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, बल्कि standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "right angle पाने के लिए protractor चाहिए।" पूरी बात यही है कि नहीं चाहिए। दो बराबर डंडियाँ और एक धागा काफ़ी हैं, और इसीलिए chapter Part I p.94, exercise 4 में ठीक यही माँगता है।
  • "बराबर diagonals काफ़ी हैं।" नहीं हैं। जिस shape के diagonals लंबाई में बराबर हों पर एक-दूसरे को आधा न काटें, उसमें एक भी right angle होना ज़रूरी नहीं। दोनों शर्तें काम कर रही हैं।
  • "एक-दूसरे को bisect करने वाले diagonals काफ़ी हैं।" यह भी नहीं। इससे आमने-सामने के corners जोड़ियों में बराबर हो जाते हैं, पर ज़रूरी नहीं कि square हों — §4.3 का parallelogram ठीक यही हालत है, और इसका इशारा यहीं दे देना ठीक रहेगा।
  • "कटान का angle 90° होना चाहिए।" students यह square से उठा लाते हैं। 90° पर square तभी मिलता है जब diagonals बराबर भी हों; किसी और angle पर, बराबर और bisect करते diagonals के साथ, rectangle फिर भी मिलता है। angle ही वह अकेला input है जो आज़ाद है।
  • "हमने साबित कर दिया कि rectangles के ऐसे diagonals होते हैं, तो काम पूरा।" बढ़ई तर्क के दूसरे सिरे पर खड़ी है: उसके पास diagonals हैं और उसे rectangle चाहिए। Deductions 1 और 2 एक दिशा में चलते हैं, Deduction 3 दूसरी दिशा में।
  • "मैंने पाँच बनाए और सब सही निकले, तो यह चलता है।" chapter Part I p.88 पर अपने हज़ारवें rectangle वाले सवाल से ठीक इसी के ख़िलाफ़ चेताता है। इस topic में यह एक चेतावनी की तरह आता है और ठीक से अगले topic में उठाया जाता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4.1 Q1, Figure it Out · 4.1 Q4

पूरा transcript1,838 शब्द

मान लीजिए आप लकड़ी का एक rectangle वाला frame बना रहे हैं, और बस एक बात मायने रखती है, हर कोना 90 degree का angle हो। सबसे सीधा तरीका लगता है कि कोने में set square रखकर देख लिया जाए। पर कोना ही वो जगह है जहाँ नापना सबसे मुश्किल है, वहाँ जोड़ है, गोंद है, और अक्सर एक कील भी। और एक कोना नापने से बस उसी एक कोने का पता चलता है, बाक़ी कोनों का नहीं।

तो आज एक ऐसा तरीका देखते हैं जिसमें किसी भी कोने को कभी नापा ही नहीं जाता। बस लकड़ी की 2 पट्टियाँ और एक कील, और इसके काम करने की वजह एक हिसाब है, जिसमें कुछ ग़ायब हो जाता है। वो ग़ायब होना ही इस पूरी कहानी की जान है। एक पट्टी है, 8 सेंटीमीटर लंबी। दूसरी पट्टी के बारे में 3 सवाल हैं, वो कितनी लंबी हो, उसे कहाँ जोड़ा जाए, और किस angle पर?

अब लकड़ी को geometry में बदलते हैं, दोनों पट्टियाँ frame के diagonal हैं। पट्टियों के 4 सिरे frame के कोने हैं, ऊपर बाएँ A, ऊपर दाएँ B, नीचे दाएँ C, और नीचे बाएँ D। कील वो बिंदु है जहाँ दोनों diagonal एक दूसरे को काटते हैं, उसे O कहेंगे। यानी पहली पट्टी A C है, और दूसरी पट्टी B D। पहले उल्टी दिशा से सोचते हैं, अगर frame सच में rectangle हो, तो उसके diagonal कैसे होंगे?

पहला निगमन, दूसरी पट्टी कितनी लंबी होनी चाहिए? अब rectangle में 2 triangle देखते हैं, A B C और B A D, दोनों एक ही भुजा A B पर खड़े हैं। पहली बात, भुजा A B दोनों में साझा है, तो दोनों में बराबर। दूसरी बात, B C और A D बराबर हैं, क्योंकि rectangle की आमने सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं। तीसरी बात, B पर और A पर, दोनों angle 90 degree के हैं।

यहाँ 2 भुजाएँ और उनके बीच का angle है, यानी SAS, इसलिए दोनों triangle congruent हैं, और A C बराबर है B D के। मतलब दूसरी पट्टी भी ठीक 8 सेंटीमीटर की होनी चाहिए। हमने 1 से 9 तक की पूरी भुजाओं वाले 81 rectangle पर जाँचा, सभी 81 rectangle में diagonal बराबर निकले। दूसरा निगमन, दोनों diagonal एक दूसरे को कहाँ काटते हैं? अब B के कोने पर diagonal B D, 90 degree को 2 हिस्सों में बाँटता है, इन्हें angle 1 और angle 3 कहते हैं, तो इनका जोड़ 90 है।

अब triangle B C D में angle 3, D पर angle 2, और C पर 90, तीनों मिलकर 180 बनाते हैं। तो angle 3 और angle 2 को जोड़ें, तो वो भी 90 है, यानी angle 1 और angle 2, दोनों 90 में से angle 3 घटाकर बचते हैं, इसलिए बराबर। फिर triangle A O B और triangle C O D में, बीच वाले angle आमने सामने के हैं, इसलिए बराबर।

और भुजा A B, भुजा C D के बराबर है। यानी 2 angle और एक भुजा, AAS, तो ये 2 triangle भी congruent हैं, और O A बराबर O C, O B बराबर O D। यानी कील दोनों पट्टियों के ठीक बीच में लगती है, और उन्हीं 81 rectangle में, हर एक rectangle में यही निकला। कील जो करती है उसके लिए एक शब्द है, bisect करना। किसी segment को bisect करना यानी उसे 2 बराबर हिस्सों में काटना, जैसे 8 सेंटीमीटर को 4 और 4 में।

किसी angle को bisect करना भी वही है, जैसे 60 degree को 30 और 30 में। तो अब तक की बात, rectangle के diagonal बराबर होते हैं, और एक दूसरे को bisect करते हैं। पर एक चेतावनी, बहुत सारे rectangle नापकर देख लेना, जान लेना नहीं होता। वो 81 जाँचें बस तर्क से सहमत हैं, हर rectangle के लिए बात तर्क ही साबित करता है। और एक दिक्कत और है, ये तर्क carpenter के लिए उल्टी दिशा में चला।

हमने साबित किया, अगर frame rectangle है, तो diagonal बराबर हैं और एक दूसरे को bisect करते हैं। पर carpenter तर्क के दूसरे सिरे पर खड़ा है। उसके हाथ में 2 बराबर पट्टियाँ हैं जो बीच में जुड़ी हैं, और उसे rectangle चाहिए। उसे ये चाहिए, बराबर diagonal जो एक दूसरे को bisect करें, वो rectangle बनाते हैं। जो दिया गया है और जो निकाला गया है, उन्हें आपस में बदल देने को converse कहते हैं।

पर converse अपने आप सच नहीं हो जाता, उसके लिए अलग तर्क चाहिए। तो तीसरा निगमन उल्टी दिशा में चलता है, पट्टियों से शुरू करके कोनों तक। पट्टियों को 60 degree पर क्रॉस करके, सारे angle भरते हैं। तब O के चारों तरफ़ 4 angle बनते हैं, 60, 120, फिर 60 और फिर 120 degree। पहले वो triangle लेते हैं जिसकी नोक पर 60 है, उसके नीचे वाले 2 angle बराबर हैं, हर एक को a कहते हैं।

अब a और a और 60 मिलकर 180, तो 2a बराबर 120, यानी a बराबर 60 degree। अब नोक पर 120 वाला triangle, b और b और 120 मिलकर 180, तो 2b बराबर 60, और b बराबर 30 degree। हर कोने पर एक triangle से a आता है और पड़ोसी से b, यानी 60 और 30, कुल 90 degree। मसलन B पर diagonal कोने को 30 और 60 में बाँटता है, और दोनों मिलकर पूरे 90 degree बनते हैं।

और जवाब में 60 कहीं नहीं दिखता, तो शायद 60 बस क़िस्मत से ठीक बैठा? पहले ये समझते हैं, वो नीचे वाले angle बराबर क्यों थे? पट्टियाँ बराबर हैं और बीच में जुड़ी हैं, तो चारों आधी पट्टियाँ 4 सेंटीमीटर की हैं। कील O के चारों तरफ़ के 4 triangle में से हर एक की 2 भुजाएँ, यही आधी पट्टियाँ हैं। इसलिए चारों triangle isosceles हैं, 2 बराबर भुजाएँ, और उनके सामने 2 बराबर angle।

ये कोई संयोग नहीं है, ये carpenter के 2 नियम ही हैं, बस दूसरे शब्दों में। हर isosceles triangle एक मशीन जैसा है, नोक का angle अंदर, और 2 बराबर नीचे वाले angle बाहर। अब इस मशीन में कोई भी angle x डालकर देखते हैं कि क्या निकलता है। जिस angle पर पट्टियाँ एक दूसरे को काटती हैं, उसे x कहते हैं। तब O के चारों तरफ़ 4 angle बनते हैं, x, फिर 180 में से x, फिर x, और फिर 180 में से x।

नोक पर x वाले triangle में a और a और x मिलकर 180, तो a बराबर 90 में से x का आधा। नोक पर 180 में से x वाले triangle में, b और b मिलकर x के बराबर, तो b बराबर x का आधा। दोनों में अभी भी x है, पट्टियाँ खोलने बंद करने पर दोनों बदलते हैं। पर हर कोने पर a और b मिलते हैं, यानी 90 में से x का आधा, और फिर x का आधा वापस।

अब x के दोनों आधे एक दूसरे को काट देते हैं, और बचता है 90 degree, जिसमें x कहीं नहीं। यानी x हिसाब में 2 बार आता है, एक बार घटकर और एक बार जुड़कर, और फिर चला जाता है। इसीलिए कील पर पट्टियाँ किसी भी angle पर खुली हों, कोना 90 ही रहता है। पट्टियों को 23 degree पर खोलें, तो चारों कोने 90 degree के। सिर्फ़ 1 degree पर खोलें, frame एक पतली सी फाँक बन जाता है, फिर भी चारों कोने 90 degree के।

फिर 1 से 179 तक का हर पूरा angle आज़माया, तो सभी 179 frame के चारों कोने 90 degree निकले। आधे आधे degree के कदमों में भी, सभी 358 frame पूरी तरह ठीक। अगर क्रॉसिंग 110 degree हो, तो O के चारों तरफ़ 110 और 70 बनते हैं, और नीचे वाले angle 35 और 55 degree। और हर कोने पर 35 और 55 मिलकर फिर से 90 degree। क्रॉसिंग का 90 होना ज़रूरी नहीं, 90 पर बस frame square बन जाता है, जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हैं।

उन 179 angle में से सिर्फ़ 90 वाला crossing square देता है, बाक़ी सब rectangle हैं। अब देखते हैं, carpenter के 2 नियम थे, तो हर नियम असल में क्या काम करता है? पहला नियम तोड़ते हैं, कील दोनों के बीच में ही, पर दूसरी पट्टी 8 सेंटीमीटर नहीं, बल्कि 6 सेंटीमीटर लंबी। फिर से 1 से 179 तक सारे angle आज़माए, तो एक भी frame का कोना 90 degree नहीं निकला।

पर आमने सामने की भुजाएँ अब भी बराबर हैं, और आमने सामने के कोने भी आपस में बराबर। ये एक पूरा parallelogram है, बस rectangle नहीं। यानी सिर्फ़ एक दूसरे को bisect करने वाले diagonal काफ़ी नहीं हैं। और आमने सामने की भुजाएँ नापना कोई जाँच नहीं, ये ग़लती उस जाँच से बच निकलती है। अब दूसरा नियम तोड़ते हैं, पट्टियाँ बराबर, पर कील बीच से हटकर। फिर से सारे 179 angle, और फिर से एक भी square कोना नहीं।

और इस बार नुक़सान ज़्यादा है, आमने सामने की भुजाएँ भी बराबर नहीं रहतीं। चारों कोने 4 अलग अलग angle के बनते हैं, कोई भी दूसरे जैसा नहीं। यानी सिर्फ़ बराबर diagonal भी काफ़ी नहीं हैं। तो ये 2 नियम एक ही बात दोहराते नहीं, दोनों अलग अलग तरह से टूटते हैं। बीच में जोड़ने से parallelogram बनता है, और बराबर लंबाई उसे rectangle बनाती है। फिर भी मन करता है कि आख़िर में एक कोना जाँचकर काम ख़त्म कर दें, तो उसमें क्या बुराई है?

कील को बीच से बस 1 बटा 100 सेंटीमीटर खिसकाते हैं। तो हर कोना 90 degree से 1 बटा 5 degree से भी कम दूर रहता है। इतना फ़र्क कोई set square नहीं पकड़ेगा, और frame फिर भी ग़लत है, 179 में से एक भी ठीक नहीं। अब 3 आधी पट्टियाँ बराबर रखते हैं, और चौथी थोड़ी लंबी। एक कोना ठीक 90 degree निकलता है, और बाक़ी 3 नहीं। यानी frame उस कोने की जाँच में पास हो सकता है जिसे आपने नापा, और उन 3 कोनों में फ़ेल जिन्हें नहीं नापा।

तो अब frame बनाने का पूरा तरीका, कदम दर कदम। पहले पट्टी A C रखते हैं, 8 सेंटीमीटर, और उसका बीच O, दोनों सिरों से 4 सेंटीमीटर पर। फिर दूसरी पट्टी B D, वो भी 8 सेंटीमीटर, O से होकर, और O के दोनों तरफ़ 4 सेंटीमीटर। और angle कोई भी चलेगा, उसे नापने की कोई ज़रूरत नहीं। अब चारों सिरों को धागे से जोड़ दें, तो जो बनता है वो पक्का rectangle है।

कारख़ानों में frame को और निर्माण की जगहों पर मकान की नींव को, ठीक इसी तरीके से सीधा किया जाता है। बस 2 बराबर डंडियाँ और एक धागा, और बिना किसी चाँदे के 90 degree का पक्का angle। यही वजह है कि पट्टियाँ set square से बेहतर हैं। दोनों नियम लंबाई के बारे में हैं, और लंबाई वो चीज़ है जो कारख़ाने में सही बन सकती है। क्योंकि 2 डंडियाँ बराबर काटना और किसी डंडी का बीच ढूँढना, दोनों में कोई angle नहीं नापना पड़ता।

और कील पर angle कुछ भी हो सकता है, क्योंकि हिसाब उसे फेंक देता है। जोड़ ढीला हो, काम करते करते खिसक जाए, frame फिर भी सही रहता है। जब कोई मात्रा हिसाब में 2 बार आए, एक बार घटकर और एक बार जुड़कर, तो वो जवाब से बाहर हो जाती है। यही ग़ायब होता x, इस frame के सही बनने की पूरी वजह है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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