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Chapter 4 · Quadrilaterals

कोई गुण कैसे निकाला जाता है, और फिर भी उसे असली shape पर क्यों जाँचते हैं

Rectangles and squares13 मिनट

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1000 rectangle नापे, और हर एक में diagonal एक दूसरे को आधा आधा काटते मिले। तो क्या 1001 वाला भी ऐसा ही होगा? एक दावा 40 जाँचों तक सही रहकर गिरता है, दूसरा 26858 जाँचों तक, तो नापना सबूत देता है, यक़ीन नहीं।

मुख्य idea

बनाना और नापना कभी भी सिर्फ़ एक conjecture दे सकते हैं — ऐसा दावा जिस पर भरोसा करने की अच्छी वजह हो पर पक्का होने की कोई वजह नहीं — क्योंकि कितनी भी सफल drawings अगली drawing को रद्द नहीं कर सकतीं। तर्क निश्चितता देता है, पर काग़ज़ को कभी छूता नहीं। chapter जान-बूझकर दोनों चलाता है, एक तय क्रम में, और Deduction 4 वह जगह है जहाँ इसका फल दिखता है: कोई भी ऐसा quadrilateral क्यों नहीं बना सकता जिसमें चार right angles हों और आमने-सामने की sides बेमेल हों, इसकी वजह यह नहीं कि अब तक कोई बना नहीं पाया। वजह यह है कि एक diagonal ऐसी किसी भी figure को दो triangles में बाँट देता है जिनका congruent होना तय है। कुछ न बना पाना सबूत है; यह दिखाना कि वह हो ही नहीं सकता, एक अलग तरह का कथन है, और यही फ़र्क़ यह topic सिखाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि conjecture क्या है, और chapter की अपनी वजह देना कि बहुत-सी बनाई गई figures में कोई गुण दिख जाने से बात तय क्यों नहीं होती
  • chapter के दो-तरफ़ा तरीक़े का वर्णन करना: हो सके तो गुण को तर्क से साबित करो, न हो सके तो नापो, और तर्क से मिले गुण को बाद में असली shape पर जाँचो
  • ऐसा quadrilateral बनाने की कोशिश करना जिसमें चार right angles हों और आमने-सामने की sides बराबर न हों, और ईमानदारी से बताना कि क्या होता है
  • एक diagonal खींचकर और दो triangles को AAS से मिलाकर साबित करना कि चार right angles आमने-सामने की sides को बराबर होने पर मजबूर कर देते हैं
  • समझाना कि यह प्रमाण rectangle की परिभाषा में से एक हिस्सा काट देने की इजाज़त क्यों देता है
  • rectangle की chapter वाली तीन परिभाषाओं से दिखाना कि अलग-अलग शब्दों वाली दो परिभाषाएँ ठीक-ठीक shapes का एक ही समूह चुन सकती हैं
  • congruence कथन vertices को मेल खाते क्रम में रखकर लिखना, और बताना कि क्रम बिगड़ जाए तो क्या गड़बड़ होती है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
conjectureऐसा कथन जिस पर आपको भरोसा है पर जो अभी तय नहीं हुआअनुमान / प्राक्कल्पनाइसी chapter में छपा और bold में दिया गया (Part I, §4.1, p.88)
deductionपहले से तय तथ्यों से कोई तथ्य निकालनानिगमनइसी chapter में हर numbered तर्क के शीर्षक की तरह छपा (Part I, §4.1, p.84)
propertyऐसा तथ्य जो shapes के किसी नाम वाले परिवार के हर सदस्य पर लागू होगुणधर्मपूरे chapter में छपा, पहली बार एक numbered सूची की तरह (Part I, §4.1, p.90)
definitionवे ठीक-ठीक शर्तें जो किसी shape को अपना नाम पाने के लिए पूरी करनी होती हैंपरिभाषाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.83)
verifyतय हो चुके दावे को बनाई गई या असली shape पर जाँचनासत्यापित करनाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.85)
congruenceदो figures के बीच का वह रिश्ता जिसमें वे हिस्से-दर-हिस्से मेल खाती हैंसर्वांगसमताइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.84)
AASदो angles और उनके बीच में न आने वाली एक side वाली congruence शर्तकोण-कोण-भुजाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.85)
transversalदो lines को काटने वाली line, जिससे परखा जाता है कि वे parallel हैं या नहींतिर्यक रेखाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.90)
justifyवे कारण देना जिनसे किसी दावे पर भरोसा करना सुरक्षित हो जाएऔचित्य देना / पुष्टि करनाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.88)
counterexampleएक shape जो शर्तें पूरी करती है और दावे को तोड़ देती हैप्रति-उदाहरणइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो student से एक ढूँढ़ने को कहता है पर उस खोज को नाम नहीं देता
proofपूरा हुआ तर्क, एक काम नहीं बल्कि एक चीज़ के रूप मेंउपपत्तिइस पाठ का शब्द, संज्ञा के रूप में; chapter क्रिया वाला रूप इस्तेमाल करता है, Part I p.88 पर छपा

हिंदी column में standard स्कूली गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, बल्कि standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अगर मैं इसे बना नहीं सकता, तो यह असंभव है।" यही वह जाल है जो chapter ने चुना है। न बना पाना प्रमाण ढूँढ़ने की अच्छी वजह है; वह ख़ुद प्रमाण नहीं है।
  • "अगर मैंने नापा और बात सही निकली, तो यह साबित हो गया।" नापने में ग़लती की गुंजाइश होती है और नमूने का आकार सीमित होता है। chapter का जवाब हज़ारवाँ rectangle है।
  • "conjecture बस एक अंदाज़ा है।" नहीं है। यह सबूत पर टिका दावा है जो अभी तय नहीं हुआ। इसे अंदाज़ा बना देने से students अच्छे-भले observations फेंक देते हैं।
  • "प्रमाण के बाद नापना बेकार है।" chapter इसका उल्टा कहता है: जब कोई गुण निकाल लिया जाए, तो उसे असली shape पर जाँचो। ग़लत कथन का प्रमाण फिर भी ग़लत है, और किसी असली चीज़ से सामना ही इसे पकड़ने का तरीक़ा है।
  • "किसी shape की सिर्फ़ एक परिभाषा हो सकती है।" यहाँ rectangle की तीन परिभाषाएँ आती हैं और तीनों एक ही shapes चुनती हैं। कौन-सी इस्तेमाल करें, यह सुविधा की बात है।
  • "∆BAD ≅ ∆DCB और ∆BAD ≅ ∆CDB एक ही बात कहते हैं।" नहीं कहते। अक्षरों का क्रम ही मेल (correspondence) है; उसे बिगाड़ो तो आपने दावा कर दिया कि अलग हिस्से मेल खाते हैं।
  • "परिभाषा का हर हिस्सा ज़रूरी होता है।" Deduction 4 एक हिस्सा हटा देता है और कुछ नहीं खोता। यह परखना कि कोई शर्त सच में काम कर रही है या नहीं, अपने आप में एक गणितीय काम है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript2,026 शब्द

किसी आकार के बारे में कोई बात सच है या नहीं, ये पता करने के 2 तरीके हैं। पहला तरीका है, एक आकार बनाकर उसे नापना, फिर दूसरा बनाकर नापना, और ऐसे ही आगे बढ़ते जाना। दूसरा तरीका है तर्क, यानी जो बातें पहले से पक्की हैं, उनसे शुरू करके आगे बढ़ना, जब तक चाही गई बात ख़ुद निकल न आए। पहला तरीका काग़ज़ को छूता है, और दूसरा तरीका काग़ज़ को कभी नहीं छूता।

तो क्या दूसरा तरीका बस पहले वाले का ज़्यादा सावधान रूप है, जैसा ज़्यादातर लोग मानते हैं? ऐसा नहीं है, दोनों अलग तरह के जवाब देते हैं, और ये फ़र्क़ अपने आप में बहुत काम का है। आज देखेंगे कि नापने से असल में क्या मिलता है, और क्या कभी नहीं मिल सकता। मान लीजिए आपने एक rectangle बनाया, उसके दोनों diagonal खींचे, और नापा कि वो कहाँ काटते हैं।

हर diagonal दूसरे को ठीक आधा आधा बाँटता है, दूसरा rectangle लिया, तो वही जवाब। एक लंबा पतला, एक लगभग square, एक बहुत बड़ा, हर बार हर diagonal आधे में कटता है। मान लीजिए ये आपने 1000 rectangle पर जाँचा, और हर एक rectangle पर बात सही निकली। अब वो सवाल जिस पर सब टिका है, इससे अगले rectangle के बारे में क्या पता चलता है? ईमानदार जवाब ये है, इससे बस उन्हीं rectangle का पता चलता है जो आपने जाँचे।

ये बहुत अच्छा सबूत है, पर इसकी कोई वजह नहीं कि गिनती में 1001 वाला rectangle अलग न निकले। ये बाल की खाल निकालना लगता है, तो आकारों से हटकर 2 दावे देखते हैं। पहला दावा, कोई पूरी संख्या n लीजिए, उसका square कीजिए, उसमें n जोड़िए, और फिर 41 जोड़िए, जवाब हमेशा prime आता है। जाँचिए, 0 पर जवाब 41 आता है, 1 पर 43, और 2 पर 47, तीनों prime हैं।

ऐसे ही 0 से 39 तक, लगातार 40 संख्याओं पर ये दावा सही बैठता है। पर n बराबर 40 पर जवाब 1681 आता है, और 1681 है 41 गुणा 41, यानी prime बिल्कुल नहीं। अब दूसरा दावा, हर prime को 4 से भाग दीजिए, कुछ में 3 बचता है और कुछ में 1 बचता है। जैसे 3 को 4 से भाग दें तो 3 बचता है, 5 में 1 बचता है, और 7 में फिर 3 बचता है।

गिनती करते चलें, तो 3 वाले prime कभी 1 वालों से पीछे नहीं होते, ये दावा 26858 जाँचों तक टिका रहता है। फिर 26861 पर, जो ख़ुद एक prime है, 1 वाले prime 1473 हो जाते हैं, और 3 वाले 1472 पर रह जाते हैं। इन दोनों को साथ रखिए, क्योंकि मिलकर ये वो कहते हैं जो अकेले कोई नहीं कहता। एक झूठा दावा 40 जाँचों के बाद गिरा, दूसरा 1000 जाँचों से आगे गया, 10000 जाँचों से आगे गया, और 26861 पर जाकर गिरा।

तो अगर कोई दावा 1000 जाँचों में टिका रहे, तो इससे ये पता नहीं चलता कि वो सच है। पता बस इतना चलता है कि अगर वो झूठा है, तो उसकी पहली गलती 1000 जाँचों के बाद कहीं है। ये सच में काम की बात है, पर ये जानने जैसा बिल्कुल नहीं। जिस दावे पर भरोसे की अच्छी वजह हो पर कोई तर्क न हो, उसका एक नाम है, conjecture।

पर conjecture कोई तुक्का नहीं है, वो ऐसा सबूत है जिसके पीछे अभी proof नहीं, और उसे फेंक देना नासमझी होगी। तो एक दावा लेकर उसे परखते हैं, rectangle के चारों कोने 90 degree के होते हैं, और आमने सामने की भुजाएँ बराबर। क्या ये 2 अलग माँगें हैं, या दूसरी बात पहली के अंदर ही छिपी है? पता करने का तरीका है, इन दोनों को अलग करने की कोशिश करना।

ऐसा 4 भुजाओं वाला आकार बनाने की कोशिश कीजिए, जिसका हर कोना 90 degree का हो, पर आमने सामने की एक जोड़ी भुजाएँ जानबूझकर अलग लंबाई की हों। हाथ में ruler और set square, और जितनी चाहे उतनी सावधानी। ये बन नहीं पाएगा, और दिलचस्प बात ये है कि नाकाम होने पर होता क्या है। ध्यान देना है कि गड़बड़ी किस कोने में जाकर बैठती है। अब इस कोशिश को ईमानदार बनाते हैं, खींचने की जगह इसे चलकर बनाते हैं।

सीधे 5 कदम चलिए, 90 degree मुड़िए, 3 कदम चलिए, और फिर से 90 degree मुड़िए। अब 7 कदम चलिए, क्योंकि 7 वही भुजा है जो आप 5 से अलग चाहते थे। फिर रुककर सीधे वहीं जुड़िए जहाँ से चलना शुरू किया, क्योंकि 4 भुजाओं वाले आकार को बंद होना ही पड़ता है। जो 2 कोने आपने बनाए, वो ठीक 90 degree के हैं, पर बाक़ी 2 कोने लगभग 124 और 56 degree के हैं।

आकार बंद तो हुआ, पर कुछ और बनकर, और चौथी भुजा भी 3 कदम की नहीं निकली। जिन 2 कोनों पर आपका क़ाबू था वो सही निकले, और सारी गड़बड़ी बाक़ी दोनों में गई, 124 और 56 मिलकर पूरे 180 degree। एक नाकाम कोशिश से कुछ साबित नहीं होता, तो ठीक से खोज करते हैं। ऐसी चाल से बनने वाला हर आकार बनाते हैं, भुजाओं की लंबाई और कोनों के angle, दोनों का पूरा जाल लेकर।

ऐसे कुल 7622 आकार बनते हैं, और इनमें से कोई भी किसी नतीजे को सोचकर नहीं बनाया गया। इनमें से 25 आकारों के चारों कोने 90 degree के हैं, और उन 25 में से एक में भी आमने सामने की भुजाएँ अलग नहीं। यानी गिनती 0 है, पूरे जाल में ऐसा एक भी आकार नहीं जिसके चारों कोने 90 degree के हों और भुजाएँ बेमेल। और 7622 में से एक भी आकार ऐसा नहीं जिसके ठीक 3 कोने 90 degree के हों, क्योंकि 3 कोने मिलकर 270 degree हों, तो चौथे के लिए 360 में से बस 90 degree बचते हैं।

पर अगर square की शर्त में 2 degree तक की छूट दें, तो क्या ये खोज ऐसे बेमेल आकार देख भी पाएगी? अब 8575 आकारों के एक जाल में ऐसे आकार तुरंत मिलने लगते हैं, पूरे 686, तो ख़ाली नतीजा आकारों के बारे में सच है, खोज की कमज़ोरी नहीं। अब 2 वाक्य, जो सुनने में एक जैसे लगते हैं पर हैं नहीं। पहला, मुझे ऐसा कोई आकार नहीं मिला, और दूसरा, ऐसा कोई आकार है ही नहीं।

पहला वाक्य एक खोज की रिपोर्ट है, उसके अंदर बस उस खोज का आकार छिपा है, और कुछ नहीं। दूसरा वाक्य हर उस आकार के बारे में है जो कभी भी बन सकता है, उनके बारे में भी जो किसी ने कभी नहीं बनाए। पहले वाक्य को कितना भी दोहराइए, वो दूसरा नहीं बनता, prime वाली दौड़ हज़ारों जाँचों तक टिकी रही, और फिर भी झूठी निकली। दूसरा वाक्य कहने के लिए एक अलग तरह की चाल चाहिए।

और वो चाल इतनी छोटी है कि एक ही वाक्य में आ जाती है। कोई भी 4 भुजाओं वाला आकार लीजिए जिसके चारों कोने 90 degree के हों, और उसके बारे में और कुछ मत मानिए। नीचे बाएँ कोना A, ऊपर बाएँ B, ऊपर दाएँ C, और नीचे दाएँ D। अब B को D से जोड़िए, ये एक diagonal आकार को 2 triangle में काट देता है, B A D और D C B।

दोनों triangle ये diagonal B D साझा करते हैं, तो बिना नापे, इसकी लंबाई दोनों में एक ही है। अब angle का पीछा, B पर diagonal 90 degree के कोने को 2 हिस्सों में बाँटता है, angle 1 और angle 3, तो इनका जोड़ 90 है। फिर triangle D C B में, D पर angle 2, B पर angle 3, और C पर 90, तीनों मिलकर 180 बनाते हैं। तो angle 1 और angle 2, दोनों 90 में से angle 3 घटाकर बचते हैं, इसलिए दोनों बराबर हैं।

अब देखिए, B पर angle 1 और D पर angle 2 बराबर, A और C पर दोनों 90 degree, और भुजा B D साझा, यानी AAS से दोनों triangle congruent हैं। दोनों triangle congruent हैं, तो मेल खाती भुजाएँ बराबर हैं, B A बराबर D C, और A D बराबर C B। और ये वही भुजाएँ हैं जो इस आकार की आमने सामने की भुजाएँ हैं। यानी चारों कोने 90 degree के हों, तो आमने सामने की भुजाएँ अपने आप बराबर हो जाती हैं, ये कभी अलग माँग थी ही नहीं।

इसलिए rectangle की पहचान से एक शर्त काटी जा सकती है, और कुछ भी खोया नहीं जाता। पहले पहचान थी, चारों कोने 90 degree के, और आमने सामने की भुजाएँ बराबर। अब बस इतना काफ़ी है, चारों कोने 90 degree के, और कुछ नहीं। और अब पहली बात, मैं नहीं बना पाया, दूसरी बात बन गई, ऐसा आकार बन ही नहीं सकता। और इन्हीं 90 degree के कोनों से एक और बात निकलती है, आमने सामने की भुजाएँ parallel हैं।

नीचे वाली भुजा A D को देखिए, वो बाईं भुजा A B और दाईं भुजा D C, दोनों से मिलती है। यहाँ A D एक transversal है, और उसके दोनों सिरों पर अंदर वाले कोने 90 और 90 degree के हैं। इन दोनों angle का जोड़ 180 है, और यही जाँच है कि A B और D C parallel हैं। अब बाईं भुजा A B को transversal लें, तो वही हिसाब A D और B C को भी parallel बनाता है।

जाल के उन 25 rectangle में से हर एक में, दोनों जोड़ी भुजाएँ parallel निकलीं। पर जिस आकार का एक कोना 100 degree का हो, वहाँ ये जोड़ हर भुजा पर 180 नहीं रहता, और भुजाएँ parallel नहीं रहतीं। अब rectangle कहने के 3 तरीके साथ रखते हैं। पहला, चारों कोने 90 degree के, और आमने सामने की भुजाएँ बराबर। दूसरा, दोनों diagonal बराबर, और एक दूसरे को आधा आधा काटते हुए।

तीसरा, बस इतना कि चारों कोने 90 degree के हों। तीनों को उसी पूरे जाल पर चलाइए, तीनों ठीक वही 25 आकार चुनते हैं, और एक भी आकार पर असहमति नहीं। यानी किसी आकार की एक ही definition हो, ये ज़रूरी नहीं, कौन सी लें, ये बस सुविधा की बात है। पर दूसरी definition का बस आधा हिस्सा रखिए, तो मेल तुरंत टूट जाता है। सिर्फ़ बराबर diagonal लें, तो 200 आकार आते हैं, यानी 175 फ़ालतू, और सिर्फ़ आधा काटने वाले diagonal लें, तो 225 आकार, यानी 200 फ़ालतू।

एक आख़िरी बात, क्योंकि ऐसे तर्क अक्सर यहीं फिसलते हैं। जब कहते हैं कि 2 triangle congruent हैं, तो कोनों के नाम किस क्रम में लिखे, यही असली दावा है। यहाँ B A D को D C B से मिलाने का मतलब है, B का जोड़ा D, A का जोड़ा C, और D का जोड़ा B। दूसरे triangle के 3 कोनों को पहले के सामने लिखने के 6 तरीके हैं, और इनमें से सिर्फ़ 1 सही है।

बाक़ी 5 तरीके ऐसे हिस्सों को बराबर बताते हैं जो असल में बराबर नहीं। तो अब सवाल, B A D को C D B के सामने लिखना गलत है या सही? गलत है, क्योंकि तब A का जोड़ा D और D का जोड़ा B बनता है, यानी भुजा A D को diagonal D B के बराबर होना पड़ेगा, और diagonal हमेशा लंबा होता है। और एक जाल भी है, square पर एक उलटा क्रम भी सही निकल आता है, B A D के सामने B C D।

असल में square इतना सममित है कि गलत जोड़ी भी चल जाती है, 17 rectangle के जाल में ये सिर्फ़ 1 square पर चला, बाक़ी सब पर टूटा। तो अपने बनाए एक आकार पर क्रम जाँच लेना, फिर से वही 1000 rectangle वाली कहानी है। अंत में ये कहना आसान होता कि proof नापने से बेहतर है, पर यहाँ ऐसा नहीं हुआ। नापने से ही किसी को शक हुआ कि ये बात साबित करने लायक है।

नाकाम चाल ने बताया कि कहाँ देखना है, सारी गड़बड़ी उन्हीं कोनों में गई जिन पर क़ाबू नहीं था। और जब कोई बात तर्क से साबित हो जाए, तब भी उसे एक असली आकार पर जाँचा जाता है। इसलिए नहीं कि तर्क में गलती हो सकती है, बल्कि इसलिए कि वो किसी गलत बात का बिल्कुल सही तर्क हो सकता है। जो बात आप कहना नहीं चाहते थे, उसका proof भी proof ही है, और ये सिर्फ़ असली चीज़ को छूकर पता चलता है।

तर्क दे सकें तो तर्क दीजिए, न दे सकें तो नापिए, और दोनों हालत में जाँचिए। नापने से conjecture मिलता है, तर्क से यक़ीन, और जाँच से ये भरोसा कि यक़ीन सही बात पर है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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