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Chapter 4 · Quadrilaterals

किसी भी quadrilateral के angles का जोड़ 360° क्यों होता है

Angles, and sides that stay parallel10 मिनट

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क्या कोई quadrilateral ऐसा बन सकता है जिसके 3 कोने 90 degree के हों और चौथा 120 का? कोशिश कीजिए, आकार बंद ही नहीं होता, और वजह एक जोड़ है: 360।

मुख्य idea

quadrilateral का angles वाला अपना कोई नियम नहीं है। एक diagonal खींचो और वह दो triangles में बँट जाता है, जिनमें से हर एक का जोड़ पहले से 180° पता है, इसलिए चारों corners मिलकर 360° होते हैं — कुछ नया नहीं खोजा गया, एक पुराना तथ्य दो बार इस्तेमाल हुआ है। पर इस तर्क में एक कब्ज़ा है जिसके पास से students सीधे निकल जाते हैं: triangles के छह angles quadrilateral के चार angles तभी हैं जब diagonal अपने हर सिरे पर जो दो टुकड़े बनाता है, वे सच में फिर से जुड़कर एक corner angle बन जाएँ। यह फिर से समूह बनाना ही पूरा प्रमाण है, और ठीक यही वह जगह है जहाँ figure के अंदर की ओर धँसने पर सावधानी चाहिए। व्याख्या का काम इस regrouping को दिखाई देने लायक बनाना है, क्योंकि तर्क वहीं रहता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • वह सवाल बताना जिससे section शुरू होता है: क्या किसी quadrilateral में तीन right angles और एक चौथा angle हो सकता है जो right angle न हो?
  • एक diagonal से quadrilateral को दो triangles में बाँटना, और पहचानना कि triangle का कौन-सा angle quadrilateral के किस corner का है
  • दिखाना कि triangles के छह angles फिर से समूह बनाकर quadrilateral के चार angles बन जाते हैं, और नतीजा निकालना कि उनका जोड़ 360° है
  • इस जोड़ से समझाना कि तीन right angles चौथे को क्यों तय कर देते हैं
  • बाक़ी तीन दिए हों तो इस जोड़ से quadrilateral का छूटा हुआ angle निकालना
  • अंदर की ओर धँसे quadrilateral को परखना, बताना कि उसके दोनों diagonals में से कौन-सा इस्तेमाल हो सकता है, और यह कहना कि धँसे हुए corner पर कौन-सा angle गिना जाना चाहिए
  • 360° के जोड़ को नया तथ्य नहीं, बल्कि दोबारा इस्तेमाल हुआ तथ्य पहचानना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
quadrilateralचार सीधी sides से बनी बंद figureचतुर्भुजchapter के पहले पन्ने पर छपा (Part I, p.82)
diagonalउन दो corners को जोड़ने वाला segment जो एक-दूसरे के बगल में नहीं हैंविकर्णइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.83)
interior anglesfigure के अंदर, उसके corners पर बने anglesअंतःकोणइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.86)
right angle90° का angleसमकोणइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.83)
angle sumकिसी figure के corners पर बने सारे angles का जोड़कोण योगइस पाठ का शब्द; chapter इसे angles के जोड़ की तरह पूरा लिखता है और यह label इस्तेमाल नहीं करता
reflex angle180° से बड़ा angleप्रतिवर्ती कोणइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, हालाँकि आख़िरी exercise में ऐसी figure बनी है जिसमें यह है
non-convexऐसी figure के लिए, जो किसी एक corner पर अंदर की ओर धँसी होअवतलइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो ऐसी figures दिखाता है पर उस वर्ग को नाम नहीं देता

हिंदी column में standard स्कूली गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, बल्कि standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "360° एक अलग नियम है जिसे रटना पड़ता है।" यह दो बार इस्तेमाल हुआ 180° है। जो student diagonal देख लेता है, उसे संख्या कभी याद नहीं रखनी पड़ती।
  • "कोई भी diagonal चलेगा।" अंदर की ओर धँसी figure में दोनों में से एक diagonal पूरी तरह figure से बाहर निकल जाता है, और दो triangles वाला तर्क उसके साथ ढह जाता है। कौन-सा diagonal इस्तेमाल किया जा सकता है, यह तर्क का हिस्सा है, कोई छोटी-मोटी बात नहीं।
  • "triangle के angles का जोड़ 180° है, इसलिए quadrilateral में चार triangles होते हैं।" students दोनों diagonals खींचकर ज़्यादा गिन लेते हैं, और चार triangles तथा 720° पाते हैं।
  • "धँसे हुए corner पर का angle छोटा वाला है।" figure के अंदर से देखें तो वह बड़ा वाला है। छोटा angle नापकर जोड़ने पर जो जोड़ आता है वह 360° नहीं होता, और students नतीजा निकालते हैं कि नियम टूट गया।
  • "तीन right angles वाला quadrilateral बनाया ही नहीं जा सकता।" बनाया जा सकता है — तब चौथा भी 90° होना चाहिए, और figure rectangle है। जो असंभव है वह है तीन right angles और एक अलग चौथा angle।
  • "चार sides जैसी दिखने वाली हर figure quadrilateral है।" पहला पन्ना ऐसी दो figures दिखाता है जो नहीं हैं, दोनों इसलिए कि एक side मुड़ी हुई है। कसौटी चार corners नहीं; चार सीधी sides है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4.6 Q10

पूरा transcript1,602 शब्द

एक सवाल, जो सुनने में बहुत आसान लगता है। क्या कोई quadrilateral ऐसा बन सकता है, जिसके 3 कोने 90 degree के हों और चौथा कोना 90 का न हो? इसमें कुछ भी नामुमकिन नहीं लगता, 3 कोने 90 के, और आख़िरी कोना मान लीजिए 120 का। ऐसा लग सकता है कि pencil उठाते ही ये बनकर दिख जाएगा। तो चलकर बनाइए, एक भुजा, 90 degree का मोड़, दूसरी भुजा, फिर 90 का मोड़, तीसरी भुजा, और फिर 90 का मोड़।

अब चौथी भुजा को वापस शुरू वाले कोने तक पहुँचना है, और वो पहले ही वहीं जा रही है। आकार अपने आप बंद हो जाता है, और 90 degree पर बंद होता है, जबकि किसी ने ये माँगा ही नहीं। तो चौथा कोना वहीं रखिए जहाँ आप चाहते थे, 120 degree पर। उस कोने को 120 का बनाने के लिए मुड़िए, तो आख़िरी भुजा एक नई दिशा में निकल पड़ती है।

वो उस कोने तक पहुँचती ही नहीं जहाँ से आपने शुरू किया था, बल्कि उसके बगल से निकल जाती है। जहाँ वो नीचे वाली भुजा की सीध से मिलती है, वहाँ जो कोना बनता है, वो 90 नहीं, 60 degree का है। चौड़ाई 3 से 9 तक बदलकर देखिए, सातों बार वही, नया कोना 60 का बनता है। ड्राइंग में कोई गलती नहीं हुई, और 3 कोने 90 के माँगना कोई बहुत बड़ी माँग भी नहीं है।

ये इनकार ड्राइंग की वजह से नहीं है, ये एक जोड़ की वजह से है, और वो जोड़ कुछ भी होने के लिए आज़ाद नहीं है। ऐसा लग सकता है कि quadrilateral के angle के लिए कोई अलग नियम चाहिए, जिसे अलग से याद करना पड़े। ऐसा नहीं है, उसे बस एक line चाहिए। ऐसे 2 कोनों को जोड़िए जो एक दूसरे के बगल में नहीं हैं, वो line एक diagonal है।

जैसे ही diagonal खिंचता है, वो quadrilateral अब 2 triangle बन जाता है। और triangle के बारे में आप पहले से क्या जानते हैं? उसके तीनों angle मिलकर एक सीधी line का angle बनाते हैं, यानी 180 degree। पूरे तर्क में बस यही एक बात काम आती है, कोई दूसरी बात आने वाली नहीं है। कोनों के नाम रखिए, घूमते हुए, S, O, M और E। अब diagonal S M इसे 2 triangle में काटता है, एक में कोना E है और दूसरे में कोना O।

अब हर angle को एक गिनती दीजिए, E वाले triangle में 1, 2 और 3, और O वाले triangle में 4, 5 और 6 वाले angle। इस आकार में नापें तो angle 1 है 40, angle 2 है 105, और angle 3 है 35, तीनों का जोड़ 180 degree। और angle 4 है 55, angle 5 है 75, और angle 6 है 50, इनका जोड़ भी 180 degree। दोनों को जोड़ें, तो ये 6 angle मिलकर 360 degree बनाते हैं।

तो क्या यही जवाब है? अभी नहीं, क्योंकि 6 angle और 4 कोने एक चीज़ नहीं हैं। ये वो कदम है जिसके पास से लगभग सब बिना रुके निकल जाते हैं, और पूरा तर्क इसी पर टिका है। देखिए, angle 2 अकेला कोना E पर बैठा है, तो वो ख़ुद वो कोना है, और कोना O में भी angle 5 अकेला है, तो वो भी वही। पर कोना S पर 2 angle हैं, angle 1 diagonal के एक तरफ़, और angle 4 दूसरी तरफ़।

इन दोनों में से कोई भी अकेला S का कोना नहीं है, S का कोना दोनों मिलकर बनता है। अब diagonal को हटाइए, तो angle 1 और angle 4 जुड़कर एक angle बन जाते हैं, 40 और 55, यानी 95 degree। कोना M पर भी यही होता है, angle 3 और angle 6 फिर से जुड़ते हैं, 35 और 50, यानी 85 degree। तो चारों कोने हैं 95, 75, 85 और 105, और इनका जोड़ 360 है।

यही दोबारा जुड़ना वो वजह है जिससे 6 angle, 4 कोने बन सकते हैं, इसके बिना वो बस 6 angle हैं जिनका जोड़ 360 है। तो किसी quadrilateral के चारों कोनों का जोड़ 360 degree है। सिर्फ़ इस आकार का नहीं, हर quadrilateral का। इसे जाँचने के लिए एक पूरा परिवार बनाइए, 3 कोने पक्के, और चौथे कोने को एक जाल पर घुमाइए, कोई सुंदर आकार चुने बिना। ऐसे 137 quadrilateral बनते हैं, चौड़े, पतले, और उनमें से 21 अंदर की ओर धँसे हुए।

सभी 137 आकारों में चारों कोनों का जोड़ सिर्फ़ एक ही value लेता है, 360 degree। और diagonal से कटे सभी 274 triangle में से हर एक का जोड़ 180 है, जो वही बात दूसरे रूप में है। अब वो ड्राइंग समझ में आती है जो बंद होने से मना कर रही थी। अब 3 कोने 90, 90 और 90 मिलकर 360 के बजट में से 270 ख़र्च कर देते हैं।

चौथे कोने के लिए 360 में से 270 घटाकर सिर्फ़ 90 बचता है, और इसमें मोलभाव की कोई गुंजाइश नहीं। ये 90 किसी रिवाज़ से नहीं आया, ये 90 इसलिए है क्योंकि बाक़ी 3 कोने बाक़ी सब ले चुके हैं। इसे 9 अलग चौड़ाई वाले 9 आकारों पर जाँचिए, सभी में चौथा कोना 90 का निकलता है। यानी जिसके 3 कोने 90 के हों और चौथा अलग हो, ऐसा quadrilateral बन ही नहीं सकता।

पर 3 कोने 90 के वाला आकार ज़रूर बनता है, बस उसका चौथा कोना भी 90 होता है, और वो एक rectangle है। यही बजट किसी भी quadrilateral का छूटा हुआ कोना ढूँढ देता है। मान लीजिए 3 कोने दिए हैं, 80, 95 और 110 degree। तो चौथा कोना कितने का होगा? तीनों का जोड़ 285 है, और 360 में से 285 घटाने पर 75 बचता है। उन्हीं 3 कोनों से एक आकार बनाकर चौथा कोना नापिए, वो सच में 75 का निकलता है।

अब उल्टा सवाल, क्या 100, 100, 100 और 100 degree वाले कोनों से कोई quadrilateral बन सकता है? नहीं, इनका जोड़ 400 है, 360 नहीं, और 3 कोने 100 के हों तो चौथे के लिए सिर्फ़ 60 बचता है। यहाँ एक गलत मोड़ है जिसे जानबूझकर लेना चाहिए, 2 diagonal हैं, तो दोनों खींचकर 4 triangle क्यों न बनाएँ? दोनों diagonal खींचिए, 4 triangle बनते हैं, हर एक में 3 angle, और उन सबका जोड़ 720 degree।

तो क्या कोनों का जोड़ 720 है, ये तो साफ़ गलत है। फ़ालतू हिस्सा ढूँढिए, दोनों diagonal बीच में एक बिंदु पर कटते हैं, और उस बिंदु के चारों तरफ़ 4 angle बनते हैं। वो आकार के कोने हैं ही नहीं, और उनका जोड़ 360 है, उन सभी 116 आकारों पर जिनमें दोनों diagonal अंदर कटते हैं। अब 720 में से ये 360 घटाइए, तो वापस वही 360 मिलता है, दूसरे diagonal ने बस हिसाब बढ़ाया, और कुछ नहीं।

अब वो हालत जिसमें इस तर्क का लापरवाह रूप टूट जाता है। एक quadrilateral A B C D लीजिए, B सबसे ऊँचा, A और C नीचे दोनों तरफ़, और D अंदर की ओर धँसा हुआ, triangle A B C के अंदर। इसकी भी 4 सीधी भुजाएँ हैं, तो ये भी quadrilateral है, अगर कोई भुजा मुड़ी हुई होती तब ये quadrilateral नहीं होता। तो पहले की तरह एक diagonal से इसे 2 triangle में काटें?

पर diagonal A C आकार के अंदर रहता ही नहीं, वो धँसे हुए हिस्से के बाहर से होकर जाता है। वो line आकार को किसी हिस्से में नहीं काटती, तो 2 triangle वाला तर्क उस पर नहीं चल सकता। दूसरी तरफ़ diagonal B D अंदर रहता है, और उसके साथ टुकड़े फिर से जुड़ते हैं, B पर 60 degree और D पर 240 degree। जाल के 21 धँसे हुए आकारों में से हर एक में ठीक एक diagonal काम का है, और बाक़ी 116 में दोनों।

धँसे हुए कोने पर एक दूसरा जाल भी है, और इसी की वजह से लोग सोचते हैं कि नियम टूट गया। कोना D पर वही 2 भुजाएँ 2 angle बनाती हैं, बाहर की तरफ़ 120 का, और अंदर की तरफ़ 240 का। इनमें से आकार का कोना कौन सा है? बड़ा वाला, 240 degree, क्योंकि आकार का अंदर का हिस्सा उसी तरफ़ है। तो कोने हैं 30, 60, 30 और 240, और इनका जोड़ फिर से 360 degree।

अगर बिना सोचे छोटा वाला angle नाप लें, तो जोड़ 240 आता है, यानी 120 कम। और ये 120 की कमी ठीक उतनी है जितना कोना D के दोनों angle में फ़र्क़ है। पूरे जाल पर ऐसे लापरवाही से नापें, तो 13 अलग अलग जोड़ मिलते हैं, और सबसे छोटा जोड़ 212 दशमलव 5 degree। क्या इसमें से कुछ इस पर निर्भर है कि कोनों के नाम किस कोने से शुरू किए गए?

पूरा जाल फिर से चलाइए, हर आकार को अगले कोने से लिखकर, आकार वही, बस पहला नाम अलग। अब काम का diagonal दोनों में से दूसरा वाला बन जाता है, सभी 21 धँसे हुए आकारों पर। फिर भी हर आकार के टुकड़े जुड़ते हैं, और हर जोड़ 360 ही रहता है। कौन सा diagonal काम का है, ये आकार की बात है, और कौन सा कोना पहला कहलाया, ये बस लिखने वाले की बात है।

तो असल में यहाँ कुछ नया खोजा नहीं गया। किसी quadrilateral का कोई अलग नियम नहीं है, triangle का एक नियम है, और एक line जो एक सवाल को 2 सवालों में बदल देती है। ये 360 कोई रटने वाली संख्या नहीं है, ये 180 है, जो 2 बार इस्तेमाल हुआ। और यही चाल आगे भी चलती है, 5 भुजाएँ, 3 triangle, और जोड़ 540 degree। फिर 6 भुजाएँ, तो 4 triangle, और जोड़ 720 degree।

हर नई भुजा एक और triangle लाती है, और उसके साथ एक और 180, काम हर बार वही एक line करती है। गणित की सबसे अच्छी चीज़ अक्सर कोई पुरानी बात ही होती है, जिसे किसी नई जगह पर लगाया गया हो।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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