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Chapter 4 · Quadrilaterals

सिर्फ़ diagonals किसी quadrilateral के बारे में क्या बताते हैं

Building and naming quadrilaterals13 मिनट

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2 सीधे टुकड़े एक दूसरे को काटें, तो उनके 4 सिरे ही quadrilateral के कोने हैं, कुछ चुनना नहीं पड़ता। इसलिए diagonals के बारे में सिर्फ़ 3 सवाल, बराबर, आधा करना, और 90 degree, पूरे परिवार को छाँट देते हैं।

मुख्य idea

एक-दूसरे के आर-पार रखे दो segments में पूरा quadrilateral पहले से मौजूद है: उनके चारों सिरे उसके corners हैं, इसलिए चुनने को कुछ नहीं बचता। इसीलिए नाम वाले quadrilaterals का पूरा परिवार diagonals के बारे में तीन हाँ-या-ना वाले सवालों से क्रम में रखा जा सकता है — क्या वे एक ही लंबाई के हैं, क्या हर एक दूसरे को आधा काटता है, क्या वे right angles पर मिलते हैं। square, rectangle, rhombus और parallelogram में से हर एक उस table की एक पंक्ति बनकर निकलता है; kite उन साफ़ पंक्तियों से बाहर रहता है, क्योंकि उसका सिर्फ़ एक diagonal आधा होता है। trapezium नहीं निकलता: वह parallel sides की एक जोड़ी से परिभाषित है, और chapter उसे diagonals की कोई शर्त नहीं देता, और यह बात खुलकर कह देना ठीक है, बजाय इसके कि student सोचता रहे कि उसकी पंक्ति कहाँ गई। geoboard बाक़ी बात हाथ से दिखा देता है — दो बराबर bands को उनके बीचों-बीच square में काटो, पूछो कि क्या मिला, फिर उनमें से एक को हर सिरे पर 2 cm लंबा खींचो और फिर पूछो। table की ठीक एक entry बदलती है, और ठीक एक नाम भी।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि दोनों diagonals तय कर देने से quadrilateral क्यों तय हो जाता है, और इसलिए diagonals वाली शर्तें परिभाषाओं का काम क्यों कर सकती हैं
  • तीन सवालों वाली table बनाना — बराबर, आधा करना, perpendicular — और उसमें rectangle, square, parallelogram और rhombus को रखना
  • दो बराबर bands को उनके midpoints से right angles पर काटने से बनने वाली shape का अनुमान लगाना, और उस अनुमान को सही ठहराना
  • अनुमान लगाना कि उनमें से एक band को दोनों सिरों पर बराबर बढ़ाने से क्या बदलता है, और बताना कि तीनों में से कौन-सी शर्त टूटी
  • बताई गई diagonal लंबाइयों और बताए गए कटान angle से quadrilateral बनाना
  • तय करना कि diagonals की कौन-सी शर्तें किसी shape को पक्का तय करने के लिए काफ़ी हैं और कौन-सी एक से ज़्यादा संभावनाएँ छोड़ती हैं, और जो छोड़ती हैं उनके लिए counter-example देना
  • समझाना कि kite, table की साफ़ पंक्तियों से बाहर क्यों बैठती है, जिसमें सिर्फ़ एक diagonal आधा होता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
diagonalउन दो corners को जोड़ने वाला segment जो एक-दूसरे के बगल में नहीं हैंविकर्णइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.83)
geoboardखूँटियों वाला board जिस पर figures बनाने के लिए rubber bands खींचे जाते हैंज्यामिति पट्टइसी chapter में छपा (Part I, §4.5, p.103)
rubber bandखूँटियों के बीच खींचा गया लचीला छल्ला, जो एक segment का काम करता हैरबर बैंडइसी chapter में छपा (Part I, §4.5, p.103)
dot gridबिंदुओं का छपा हुआ जाल, जो geoboard न होने पर इस्तेमाल होता हैबिंदु जालइसी chapter में छपा (Part I, §4.5, p.103)
bisectदो बराबर हिस्सों में काटनासमद्विभाजन करनाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.85)
perpendicularकिसी के साथ right angle परलंबवतइसी chapter में छपा; पहली बार Part I p.94 (§4.1) पर, फिर Part I p.99 पर
midpointsegment का वह point जिसके दोनों ओर बराबर लंबाई होमध्यबिंदुइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.85)
kiteऐसा quadrilateral जिसके नाम ऐसे हों कि पड़ोसी sides की दो अलग जोड़ियाँ मेल खाएँपतंगइसी chapter में परिभाषित (Part I, §4.6, p.105)
justifyवे कारण देना जिनसे किसी दावे पर भरोसा करना सुरक्षित हो जाएऔचित्य देना / पुष्टि करनाइसी chapter में छपा, और लगभग हर activity वाले सवाल के साथ जुड़ा (Part I, §4.5, p.103)
diagonal testवे तीन हाँ-या-ना वाले सवाल जिनसे यह पाठ quadrilaterals को छाँटता हैविकर्ण परीक्षणइस पाठ का शब्द; chapter तीनों सवाल अलग-अलग पूछता है और उन्हें कभी एक परीक्षण में इकट्ठा नहीं करता

हिंदी column में standard स्कूली गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, बल्कि standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "shape जानने के लिए sides चाहिए।" नहीं चाहिए। दो कटते segments चारों corners तय कर देते हैं, इसलिए diagonals में वही जानकारी है जो sides में — बस अलग ढंग से बँधी हुई।
  • "perpendicular diagonals का मतलब rhombus।" kite में भी ऐसे होते हैं। rhombus जो जोड़ता है वह यह कि दोनों diagonals आधे होते हैं; kite में सिर्फ़ एक। ठीक इसीलिए chapter इसे सही-या-ग़लत वाले item की तरह देता है।
  • "बराबर diagonals का मतलब rectangle।" सिर्फ़ तब, जब वे एक-दूसरे को आधा भी करें। अकेले बराबर diagonals से कुछ ख़ास नहीं मिलता।
  • "एक diagonal को खींचने से सब बिगड़ जाता है।" इससे एक शर्त बदलती है। दोनों कटान पर अब भी आधे हैं, और कटान अब भी square है, इसलिए नतीजा अब भी एक नाम वाली shape है — एक दूसरी shape।
  • "2 cm मनमाना है।" संख्या मनमानी है; दोनों सिरे नहीं। अगर band सिर्फ़ एक सिरे पर खींचा जाता, तो कटान उसके बीच में न रहता और जवाब फिर बदल जाता।
  • "geoboard एक खिलौना है।" इसका हर दावा chapter में पहले ही साबित हो चुका है। यहाँ board का काम एक साबित कथन को पाँच seconds में परखने लायक बनाना है, जो Part I p.88 से chapter का तरीक़ा ही लागू करना है।
  • "square और rhombus का diagonal वाला वर्णन एक ही है।" rhombus वाली entry में बराबरी की कोई शर्त नहीं है। उसे जोड़ने से square बनता है, और पूरा फ़र्क़ यही है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4.1 Q2, Figure it Out · 4.1 Q3, Figure it Out · 4.4 Q2, Figure it Out · 4.4 Q3, Figure it Out · 4.6 Q6, Figure it Out · 4.6 Q11

पूरा transcript1,834 शब्द

काग़ज़ पर 2 सीधे टुकड़े खींचिए, जो एक दूसरे को बीच में कहीं काटते हों। हर टुकड़े के 2 सिरे हैं, यानी कुल 4 सिरे, इन्हें A, B, C और D कहिए। अब इन सिरों को बारी बारी से जोड़ दीजिए, A से B, B से C, C से D, और D से A। किस क्रम में जोड़ना है, ये भी तय है, क्योंकि टुकड़े एक दूसरे को काटते हैं, तो A के बाद B ही आता है, फिर C, फिर D।

एक quadrilateral बन गया, और ये दोनों टुकड़े उसके diagonals हैं। ध्यान दीजिए, सिरे जोड़ते समय कुछ भी चुनना नहीं पड़ा, कोने पहले से तय थे। आम तौर पर लगता है कि आकार जानने के लिए भुजाएँ चाहिए। पर diagonals के सिरे ही कोने हैं, तो भुजाएँ उन्हीं से निकल आती हैं। मसलन 8 cm के 2 टुकड़े, बीच से, 90 degree पर काटें, तो चारों भुजाएँ लगभग 5.7 cm की निकलती हैं।

तो diagonals के बारे में सही सवाल पूछिए, और पूरा आकार पता चल जाएगा। अब एक geoboard लीजिए, यानी कीलों वाला एक बोर्ड, जिसमें कीलें बराबर दूरी पर लगी हैं। उस पर एक rubber band 8 cm लंबा, सीधा खड़ा तानिए। दूसरा rubber band भी उतना ही लंबा, 8 cm, पर लेटा हुआ, पहले के आर पार। दोनों एक दूसरे को ठीक बीच से काटते हैं, और 90 degree पर, और उस मिलने वाले बिंदु को O कहिए।

अगर geoboard न हो, तो बिंदुओं वाले काग़ज़ पर यही बनाइए, और band के सिरे बिंदुओं पर रखिए। अब सिरों को जोड़ने से पहले बताइए, कौन सा आकार बनेगा? और सिर्फ़ नाम नहीं, वजह भी बताइए कि वही आकार क्यों बनना चाहिए। इस geoboard को खिलौना मत समझिए, यहाँ हर जवाब तर्क पर टिका है, सिर्फ़ देखने पर नहीं। पहला सवाल, क्या दोनों diagonals बराबर हैं? हाँ, दोनों 8 cm के हैं।

दूसरा, क्या हर एक दूसरे को आधा करता है? हाँ, बिंदु O से चारों हिस्से 4 cm के हैं। तीसरा, क्या वो 90 degree पर मिलते हैं? हाँ, वो 90 degree पर ही मिलते हैं। अब बिंदु O के पास 4 triangles देखिए, हर एक की 2 भुजाएँ 4 और 4 cm, और बीच में 90 degree। चारों triangles हूबहू एक जैसे हैं, इसलिए चारों भुजाएँ बराबर हैं, लगभग 5.7 cm।

हर triangle में बराबर भुजाओं के सामने के angle बराबर हैं, यानी 45 और 45 degree। हर कोने पर ऐसे 2 angle मिलते हैं, 45 और 45, यानी पूरा कोना 90 degree का। चारों भुजाएँ बराबर, और चारों कोने 90 degree के, तो ये square है। ध्यान दीजिए, हमने कहीं भी भुजा नहीं नापी, सब कुछ diagonals के तीनों जवाबों से निकला। नाम हमने देखकर नहीं, तर्क से निकाला, और सिरे जोड़ने पर वही दिखा।

अब लेटे हुए band को दोनों सिरों पर 2 cm और खींच दीजिए। उसकी लंबाई अब 12 cm हो गई, 8 में 2 और 2 जुड़कर। बिंदु O अब भी उसके बीच में है, दोनों तरफ़ 6 cm, क्योंकि दोनों सिरे बराबर खिंचे। तीनों सवाल फिर से पूछिए, इस बार क्या बदला? अब diagonals बराबर नहीं, 8 और 12, पर अब भी एक दूसरे को आधा करते हैं, और 90 degree पर मिलते हैं।

सिरे जोड़िए, चारों भुजाएँ लगभग 7.2 cm, बराबर, पर कोने अब 90 degree के नहीं रहे। बिंदु O के पास हर triangle की भुजाएँ अब 4 और 6 cm हैं, बीच में 90 degree, चारों अब भी हूबहू एक जैसे, इसलिए भुजाएँ बराबर। पर अब कोने लगभग 112.6 और 67.4 degree के हैं, 90 के नहीं। यानी अब ये square नहीं, बल्कि rhombus है। जवाबों में से सिर्फ़ एक बदला, और नाम भी बस एक बार बदला।

खिंचाव 0 से 5 cm तक, आधे आधे cm बढ़ाइए, 11 आकार बनते हैं, 10 rhombus और 1 square, जहाँ खिंचाव 0 था। लंबाई 2 cm की जगह कुछ भी हो सकती थी, तो क्या दोनों सिरों वाली बात ज़रूरी है? अब वही band सिर्फ़ एक सिरे पर 2 cm खींचिए, लंबाई 10 cm। बिंदु O अब उसके बीच में नहीं, एक तरफ़ 4 cm, और दूसरी तरफ़ 6 cm।

तो वो आधा नहीं होता, और diagonals बराबर भी नहीं, 8 और 10 cm। सिरे जोड़िए, भुजाएँ लगभग 5.7, 5.7, 7.2 और 7.2, पड़ोसी जोड़े बराबर, यानी kite। यहाँ 2 जवाब बदले, बराबरी भी गई और आधा होना भी, इसलिए नाम rhombus नहीं, kite है। लंबाई 2 cm मनमानी थी, पर दोनों सिरे ज़रूरी थे, उसी से बिंदु O बीच में रहा। मूल 8 cm वाले band पर बिंदु O को खिसकाकर 13 जगह आज़माइए, बीच वाली जगह square, बाक़ी 12 सब kite।

तो diagonals के बारे में 3 सवाल काफ़ी हैं, एक table की तरह। पहला, बराबर हैं या नहीं, दूसरा, एक दूसरे को आधा करते हैं या नहीं, तीसरा, 90 degree पर मिलते हैं या नहीं। हर सवाल का जवाब हाँ या नहीं है, और जवाबों का हर जोड़ एक पंक्ति है। ये तीनों सवाल अलग अलग हैं, किसी एक को झूठा और बाक़ी 2 को सच रखकर भी आकार बन जाता है।

अब एक एक पंक्ति भरते हैं, और देखते हैं कि कौन सा नाम कहाँ बैठता है। ये table diagonals के जाने पहचाने तथ्यों को एक जगह रखने का तरीक़ा है, कोई नई बात नहीं। पहली पंक्ति, सिर्फ़ आधा करना, न बराबर, न 90 degree। ऐसे 420 आकार बनाए, और हर एक parallelogram निकला। जैसे diagonals 7 और 5 cm, एक दूसरे को आधा करते हुए, 140 degree पर मिलें। भुजाएँ लगभग 5.6 और 2.3 cm, आमने सामने बराबर, और parallel।

इन 420 आकारों में से किसी के diagonals न बराबर हैं, न 90 degree पर मिलते हैं, फिर भी आधा करना अकेले parallel भुजाएँ दे देता है। यहाँ diagonals बराबर होना ज़रूरी नहीं, parallelogram के लिए आधा करना ही काफ़ी है। दूसरी पंक्ति, आधा करना, और बराबर भी, पर 90 degree नहीं। ऐसे 84 आकार बनाए, और हर एक rectangle निकला। दोनों diagonals 8 cm, बीच से कटे हुए, और मिलने का angle 30, 40, 90 और 140 degree।

नतीजा, 30, 40 और 140 पर rectangle बनता है, और 90 पर square। और 40 तथा 140 असल में एक ही आकार हैं, बस पलटा हुआ, तो कुल 3 आकार। मिलने का angle rectangle होना नहीं बदलता, हर बार rectangle, बस 90 पर वो square भी बन जाता है। तीसरी पंक्ति, आधा करना और 90 degree, पर बराबर नहीं। ऐसे 30 आकार बनाए, और सब rhombus निकले। जैसे diagonals 4 और 5 cm, बीच से कटे, 90 degree पर, तो चारों भुजाएँ लगभग 3.2 cm।

चौथी पंक्ति, तीनों सवालों का जवाब हाँ। ऐसे 6 आकार बने, और हर एक square है। बस 6 cm का एक diagonal दिया हो, तो दूसरा भी उतना ही, बीच से, 90 degree पर, और भुजा लगभग 4.2 cm। असल में square और rhombus में फ़र्क़ बस बराबरी का है, rhombus वाली पंक्ति में बराबर होने की शर्त नहीं। पाँचवीं पंक्ति, 90 degree पर मिलना, पर सिर्फ़ एक diagonal आधा होता है।

ऐसे 30 आकार बनाए, और सब kite निकले। जैसे diagonals 6 और 8 cm, 6 वाला बीच से कटा, 3 और 3, पर 8 वाला 2 और 6 में। भुजाएँ लगभग 3.6, 3.6, 6.7 और 6.7 cm, पड़ोसी जोड़े बराबर। इसलिए ये कहना ग़लत है कि 90 degree पर मिलने वाले diagonals rhombus ही बनाते हैं। फ़र्क़ ये है कि rhombus में दोनों diagonals आधे होते हैं, kite में सिर्फ़ एक।

इसीलिए kite की पंक्ति में आधा करने वाला जवाब अधूरा रहता है, पूरा हाँ नहीं। अब पूरी table को परखिए, पाँचों पंक्तियों से कुल 570 आकार। हर आकार के diagonals से पढ़ी गई पंक्ति, भुजाओं से नापे गए नाम से मिलती है, सभी 570 आकारों पर। और हर आकार 5 में से सिर्फ़ एक पंक्ति में बैठता है, किसी दूसरी में नहीं। इसलिए table दोनों तरफ़ पढ़ी जा सकती है, नाम दिया हो, तो उसकी पंक्ति से diagonals के बारे में सब पता चल जाता है, जैसे rectangle के diagonals बराबर और आधे।

कहीं ये सहमति संयोग तो नहीं? पंक्तियों के नाम एक एक खिसका दीजिए। तब 570 में से एक भी आकार अपने नाम वाली पंक्ति में नहीं बैठता। यानी सहमति table की है, जाँच के तरीक़े की नहीं। कोई कहे कि diagonals बराबर हों तो rectangle बनेगा, पर ये सच नहीं। बराबर पर बिना आधा किए 12 आकार बनाए, एक को भी कोई नाम नहीं मिला। वैसे ही सिर्फ़ 90 degree वाले 12 आकार, किसी का कोई नाम नहीं।

पर आधा करने की शर्त जोड़ते ही नाम आ जाता है, rectangle, या rhombus। यानी अकेली बराबरी, या अकेला 90 degree, सस्ती शर्तें हैं, असली काम आधा करने की शर्त करती है। एक trapezium देखिए, इसके diagonals लगभग 5.8 और 5.8 cm, यानी बराबर। फिर भी ये rectangle नहीं, इसकी सिर्फ़ एक जोड़ी भुजाएँ parallel हैं। असल में trapezium की पहचान parallel भुजाओं से है, diagonals से नहीं, इसलिए table में उसकी कोई पंक्ति नहीं।

अब 3 दावे परखिए, सही या ग़लत, इसी table से। पहला दावा, diagonals बराबर हों और एक दूसरे को आधा करें, तो square बनता है? ग़लत, ऐसे 90 आकारों में से सिर्फ़ 6 square हैं, बाक़ी 84 rectangle। जैसे 8 और 8 cm, 30 degree पर, भुजाएँ लगभग 2.1 और 7.7 cm, कोने 90 के, पर square नहीं। दूसरा दावा, diagonals एक दूसरे को आधा करें, तो parallelogram बनता है?

सही, आधा करने वाले सभी 540 आकार parallelogram हैं। तीसरा दावा, diagonals 90 degree पर मिलें, तो rhombus बनता है? ग़लत, ऐसे 66 आकारों में 36 rhombus या square हैं, पर 30 kite हैं। यानी 3 में से 2 दावे ग़लत निकले, और हर ग़लत दावे का उल्टा उदाहरण table खुद बता देती है। अब एक circle लीजिए, जिसका radius 3 cm है, और उसके 2 diameters, A M और P L।

दोनों diameters केंद्र में 90 degree पर मिलते हैं। दोनों diameters अपने आप बराबर हैं, और केंद्र उन्हें अपने आप आधा करता है। तीनों जवाब हाँ, तो A P M L एक square है, भुजा लगभग 4.2 cm। अब 2 बराबर डंडियाँ लीजिए, और एक धागा, काग़ज़ कुछ नहीं। डंडियों को बीच से एक दूसरे पर रखिए, किसी भी angle पर, और सिरों को धागे से बाँध दीजिए। बराबर और एक दूसरे को आधा करने वाले diagonals, तो rectangle, और उसका हर कोना 90 degree का।

मिलने का angle 20 से 160 degree तक, हर बार 10 degree बढ़ाइए, सभी 15 बार चारों कोने 90 degree के निकलते हैं। तो धागे का कोना एकदम सही 90 degree का कोना है, बिना किसी protractor के। तो याद रखिए, 2 diagonals के सिरे ही quadrilateral के कोने हैं, कुछ चुनना नहीं पड़ता। सिर्फ़ 3 सवाल, बराबर, आधा करना, और 90 degree, पूरे परिवार को छाँट देते हैं। आधा करना parallelogram देता है, साथ में बराबर तो rectangle, साथ में 90 तो rhombus, और तीनों तो square।

अगर 90 degree हो, पर सिर्फ़ एक diagonal आधा, तो kite, और trapezium की कोई पंक्ति नहीं। और एक band को दोनों सिरों पर खींचने से एक जवाब बदला, और एक ही नाम। असल में diagonals और भुजाएँ एक ही जानकारी रखते हैं, बस अलग ढंग से लिखी हुई, और कई बार diagonals से पढ़ना आसान होता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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