parallelogram: "आमने-सामने की sides parallel" से निकलने वाली हर बात

0:00एक rectangle लीजिए, और उसे एक तरफ़ धक्का देकर तिरछा कर दीजिए। ऊपर वाली भुजा को बगल में खिसकाइए, और खड़ी भुजाओं को parallel ही रहने दीजिए। अब कोने 90 degree के नहीं रहे, पर बाक़ी तस्वीर में कुछ टूटा हुआ नहीं दिखता। सवाल ये है कि rectangle की कौन सी आदतें इस धक्के के बाद भी बची रहीं, और कौन सी चली गईं? ये मान लेना आसान है कि सब एक साथ चलती हैं, जैसे 90 degree के कोने ही बाक़ी सब को थामे हुए हों।

0:32ज़्यादातर आदतें बच जाती हैं, बस एक नहीं बचती, और वही एक पूरा फ़र्क़ है। इसे दूसरी तरह भी बना सकते हैं, parallel lines का एक जोड़ा, और उसके ऊपर तिरछा रखा parallel lines का दूसरा जोड़ा। जहाँ ये चारों lines एक दूसरे को काटती हैं, वहाँ बीच में एक quadrilateral घिर जाता है। इस आकार का नाम parallelogram है, और इसकी पहचान सिर्फ़ एक शर्त से होती है। आमने सामने की भुजाएँ parallel हों, दोनों जोड़े, बस इतनी सी शर्त।

1:04ध्यान दीजिए कि ये शर्त क्या नहीं कहती, किसी भुजा की लंबाई के बारे में ये कुछ नहीं कहती। किसी angle के साइज़ के बारे में भी कुछ नहीं, आकार चौड़ा हो या पतला, सीधा हो या झुका हुआ। ये शर्त सिर्फ़ दिशा के बारे में है, कि कौन सी भुजा किस भुजा के साथ एक ही दिशा में चलती है। आगे जो कुछ भी सच निकलेगा, वो इसी एक शर्त में से निचोड़ कर निकालना होगा, कोई दूसरी शर्त बाद में नहीं आएगी।

1:30यानी एक शर्त, और उससे निकलने वाले नतीजों की एक पूरी सूची। पहले ये देखिए कि जाने पहचाने आकार कहाँ बैठते हैं, rectangle की भी आमने सामने की दोनों जोड़ी भुजाएँ parallel होती हैं। तो rectangle इस शर्त को पूरा करता है, वो भी एक parallelogram है। वो कोई अलग चीज़ नहीं, बस ऐसा parallelogram है जिसके angle संयोग से 90 degree के हैं। एक शर्त और जोड़ देने से कोई आकार पुराने समूह से बाहर नहीं होता, वो बस उसके अंदर एक छोटे घेरे में आ जाता है।

2:02अब एक पूरा जाल बनाइए, 2 भुजाओं की लंबाई एक grid से, और उनके बीच का angle भी, कोई भी आकार चुनकर नहीं। ऐसे कुल 375 parallelogram बनते हैं, और इनमें से 25 के चारों कोने 90 degree के हैं। और उन 25 में से 5 ऐसे हैं जिनकी चारों भुजाएँ भी बराबर हैं, यानी square। यानी square, rectangle के अंदर, और rectangle, parallelogram के अंदर, अलग विषय नहीं, बल्कि एक ही चीज़ पर शर्तें जुड़ती गईं।

2:33अब काम के लिए एक parallelogram लीजिए, और उसे वैसे ही बनाइए जैसे काग़ज़ पर बनाते। सबसे पहले A B खींचिए, 4 cm लंबी। उसी कोने A से दूसरी भुजा A D खींचिए, 5 cm लंबी, और दोनों के बीच 30 degree का angle रखिए। अभी तक 3 कोने हैं, A, B और D, चौथे कोने के बारे में कुछ भी मानकर नहीं चले। अब D से एक line खींचिए जो A B के parallel हो, और B से एक line जो A D के parallel हो।

3:05जहाँ ये दोनों lines मिलती हैं, वही चौथा कोना है, उसे C कहिए, ये कोना ढूँढा गया है, चुना नहीं गया। अगर दोनों भुजाओं को खोलकर एक सीध में कर दें, तो दोनों lines एक ही line बन जाती हैं, और C मिलता ही नहीं। यानी ये तरीक़ा फ़ेल भी हो सकता है, और यही बताता है कि ये सच में कुछ काम कर रहा है। अब पहला नतीजा, और इसके लिए parallel lines के बारे में सिर्फ़ एक बात चाहिए।

3:33जब कोई line 2 parallel lines को काटती है, तो उसकी एक ही तरफ़ बनने वाले 2 अंदर वाले angle का जोड़ 180 degree होता है। यहाँ A B और D C parallel हैं, और A D इन दोनों को काटती है। तो angle A और angle D का जोड़ 180 degree है। यहाँ angle A है 30 degree, तो angle D को 150 degree होना ही पड़ेगा। अब दूसरा जोड़ा लीजिए, A D और B C parallel हैं, और A B उन्हें काटती है।

4:05तो angle A और angle B का जोड़ भी 180 है, यानी angle B भी 150 degree। और इसी तरह B और C की जोड़ी से angle C निकलता है 30 degree। तो कोने हैं 30, 150, 30 और 150, पड़ोसी कोनों का जोड़ 180, और आमने सामने के कोने बराबर। पर ये एक ड्राइंग के बारे में था, और एक ड्राइंग सारे parallelograms के बारे में कुछ साबित नहीं करती।

4:36आमने सामने के कोने इसलिए बराबर नहीं हैं कि आकार देखने में वैसा लगता है। तो एक नया parallelogram लीजिए, P Q R S, और कोना P का angle कहिए x, कोई भी संख्या। कोने P और S एक ही काटने वाली line पर हैं, तो angle S हुआ 180 में से x घटाकर। फिर S और R की जोड़ी से angle R आता है 180 में से, 180 माइनस x घटाकर, यानी फिर से x।

5:05और angle Q बनता है 180 माइनस x, ठीक S के बराबर। मिसाल के लिए x को 70 रखिए, तो 70, 110, 70 और 110, और नापने पर बनी हुई figure भी यही देती है। अब x को 20 से 160 तक 1 degree के क़दम से बदलिए, 564 angle जाँचने पर सब के सब मेल खाते हैं। पर अगर चौथे कोने को थोड़ा खिसका दें, तो उन्हीं 564 में से सिर्फ़ 282 सही निकलते हैं, बस वो जो सीधे शर्त से आए।

5:39एक आम गलती ये है कि पड़ोसी कोने बराबर होते हैं, नहीं, पड़ोसी कोनों का जोड़ 180 होता है। अगर पड़ोसी कोने बराबर हों और साथ में उनका जोड़ 180 हो, तो दोनों 90 degree के ही हो सकते हैं। उस जाल के 375 parallelograms में, पड़ोसी कोने बराबर सिर्फ़ 25 में हैं। और ये 25 ठीक वही हैं जो rectangle हैं, एक भी आकार इधर उधर नहीं। जबकि आमने सामने के कोने बराबर, ये सभी 375 में सच है।

6:10जो इन 2 नियमों को मिला देता है, उसे हर parallelogram में हर कोना 90 का दिखने लगता है। अब भुजाएँ, A B की लंबाई D C के बराबर क्यों होनी चाहिए? लंबाई तो शर्त में कहीं थी ही नहीं, तो ये बराबरी कहीं और से आनी चाहिए। एक diagonal खींचिए, B D, बस एक, दोनों की ज़रूरत नहीं। ये आकार को 2 triangles में बाँट देता है, A B D और C D B, और B D दोनों में साझा है।

6:40पहली जोड़ी, angle A और angle C, ये आमने सामने के कोने हैं, दोनों 30 degree। दूसरी जोड़ी, A D और B C parallel हैं और B D उन्हें काटती है, तो angle A D B और angle C B D alternate angle हैं, बराबर। नापकर देखें तो दोनों लगभग 52 दशमलव 5 degree के हैं। यानी 2 angle बराबर, और एक भुजा B D साझा, जो उन 2 angle के बीच नहीं है, तो ये triangles हूबहू एक जैसे हैं।

7:11सही क्रम में, A के सामने C, B के सामने D, और D के सामने B, दोनों में angle 30, 97 दशमलव 5 और 52 दशमलव 5 degree। जब triangles हूबहू एक जैसे हैं, तो उनकी भुजाएँ भी, A B बराबर C D, और A D बराबर C B। यहाँ 4 और 4, 5 और 5, और साझा भुजा B D लगभग 2 दशमलव 5 cm। आमने सामने की भुजाएँ बराबर होना परिभाषा का हिस्सा नहीं है, ये एक नतीजा है।

7:46लंबाई की जानकारी शर्त से नहीं आई, वो इन हूबहू एक जैसे triangles के रास्ते आई। जाल के सभी 375 parallelograms में B D वाले 2 triangles मेल खाते हैं, और आमने सामने की भुजाएँ बराबर हैं। और चौथा कोना खिसका दें, तो उन्हीं 375 में से एक में भी नहीं। यानी ये बराबरी parallel वाली शर्त से आती है, सिर्फ़ quadrilateral होने से नहीं। अब सब कुछ वापस उसी figure पर लिख दीजिए जो हमने बनाई थी।

8:16भुजाएँ, A B और D C पर 4 cm, और A D और B C पर 5 cm। कोने, A और C पर 30 degree, B और D पर 150 degree। जाँच के लिए जोड़िए, 30 और 150 और 30 और 150, कुल 360 degree, जैसा किसी भी quadrilateral में होना चाहिए। हमें सिर्फ़ 2 भुजाएँ और एक angle दिया गया था, और अब पूरी figure के आठों नाप पता हैं।

8:45ये आठों नाप तर्क से निकले, इनमें से किसी को भी नापना नहीं पड़ा। अब rectangle की एक और आदत, उसके दोनों diagonal बराबर होते हैं, क्या ये भी बची? धक्का देकर झुकाए गए rectangle की तस्वीर देखकर यही लगता है कि ये आदत भी बची होगी। नापिए, A C लगभग 8 दशमलव 7 cm है, और B D लगभग 2 दशमलव 5 cm। एक लंबा पतला parallelogram लीजिए, भुजाएँ 8 और 2, और बीच में 20 degree।

9:18इसके diagonal लगभग 9 दशमलव 9 और 6 दशमलव 2 cm के हैं, साफ़ अलग अलग। अब वही 4 और 5, पर 90 degree पर खोलिए, तो दोनों diagonal लगभग 6 दशमलव 4 cm, बराबर। पूरे जाल में 375 में से सिर्फ़ 25 के diagonal बराबर हैं, बाक़ी 350 में अलग। और वो 25 फिर से ठीक वही rectangle हैं। ध्यान दीजिए, हमेशा वाले किसी दावे को गलत साबित करने के लिए एक उदाहरण काफ़ी है, पर सही साबित करने के लिए तर्क चाहिए।

9:53यही वो आदत है जो नहीं बची, और parallelogram और rectangle के बीच का पूरा फ़र्क़ यही है। फिर भी diagonals के बारे में एक बात ज़रूर बचती है। एक नया parallelogram लीजिए, E A S Y, नीचे बाएँ E, ऊपर बाएँ A, ऊपर दाएँ S, और नीचे दाएँ Y। इसकी भुजाएँ 6 और 7 cm हैं, इस बार दोनों diagonal खींचिए, जो बीच में एक बिंदु O में मिलते हैं।

10:25यहाँ E S की लंबाई है 11 cm, और A Y की 7 cm, बराबर तो ये भी नहीं। अब 2 triangles की तुलना कीजिए, A O E और Y O S। भुजाएँ A E और Y S आमने सामने की हैं, दोनों 7 cm। और A E, Y S के parallel है, तो A Y और E S से बनने वाले alternate angle बराबर, angle O A E बराबर angle O Y S, और angle O E A बराबर angle O S Y।

10:59यानी 2 angle, और उनके बीच की भुजा, तो ये triangles भी हूबहू एक जैसे हैं। तो E O और O S दोनों 5 दशमलव 5 cm, और A O और O Y दोनों 3 दशमलव 5 cm, हर diagonal ठीक बीच से कटता है। और जाल के सभी 375 parallelograms में हर diagonal दूसरे को ठीक आधा करता है। अब एक सवाल, क्या ये लिखना गलत है कि triangle A B D, triangle C B D से मेल खाता है?

11:32यहाँ क्रम ही बात का हिस्सा है, पहला कोना पहले से, दूसरा दूसरे से, और तीसरा तीसरे से। ये लिखना A B को C B से मिलाता है, यानी 4 को 5 से, जो गलत है। पूरे जाल में ये सिर्फ़ 75 आकारों में सच है, ठीक वो जिनकी पड़ोसी भुजाएँ भी बराबर हैं। और क्या ये लिखना गलत है कि A O E, S O Y से मेल खाता है?

11:59ये A O को S O से मिलाता है, 3 दशमलव 5 को 5 दशमलव 5 से, ये भी गलत। जाल में ये सिर्फ़ 25 में सच है, ठीक वो rectangle, जिनके diagonal बराबर हैं। सही क्रम हैं, A B D के सामने C D B, और A O E के सामने Y O S। अब खुद कीजिए, एक parallelogram जिसके एक कोने पर 40 degree है। पड़ोसी कोने 180 में से 40 घटाकर, यानी 140, और सामने वाला कोना फिर 40 degree का।

12:34अब एक कोने पर 110 degree वाला parallelogram लीजिए। पड़ोसी कोने 70 के, और सामने वाला 110 का। दोनों को सच में बनाकर नापा गया, और हर कोना यही निकलता है। यानी parallelogram में एक कोना पता हो, तो चारों पता हो जाते हैं। तो सिर्फ़ दिशा वाली एक शर्त से पूरी सूची निकली। पड़ोसी कोनों का जोड़ 180, और आमने सामने के कोने बराबर। आमने सामने की भुजाएँ बराबर, और हर diagonal दूसरे को आधा करता है।

13:07और एक चीज़ नहीं निकली, बराबर diagonal, जो parallelograms में सिर्फ़ rectangle की ख़ासियत है। एक सवाल बचा रह जाता है, क्या दोनों diagonal किसी ख़ास angle पर एक दूसरे को काटते हैं? इस सवाल को अभी यहीं खुला छोड़ते हैं, अपनी बनाई figure पर इसे सोचकर देखिए।