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Chapter 4 · Quadrilaterals

trapezium: parallel sides की एक जोड़ी क्या तय करती है, और "isosceles" क्या जोड़ता है

Building and naming quadrilaterals15 मिनट

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trapezium से सबसे कम माँगा जाता है, बस कम से कम एक जोड़ी parallel भुजाएँ। फिर भी उसी एक जोड़ी से हर तिरछी भुजा के सिरों के कोने मिलकर 180 degree बनाते हैं।

मुख्य idea

trapezium वह है जो आपको तब मिलता है जब आप उतना कम से कम parallelism माँगें जितने के साथ कोई quadrilateral फिर भी नाम पा सके — एक जोड़ी, और "कम से कम" शब्द, ताकि parallelograms बाहर न फेंके जाएँ। इतना भी कुछ दिला देता है: बाक़ी दो sides में से हर एक दोनों parallel sides को काटती है, इसलिए उसके सिरों पर बने दो angles का जोड़ 180° होना चाहिए। इससे दो supplementary जोड़ियाँ मिलती हैं, पर ये जोड़ियाँ आपस में बात नहीं करतीं, और ठीक इसीलिए trapezium को दो दिए गए angles चाहिए जहाँ parallelogram को एक। फिर दोनों काटने वाली sides को लंबाई में बराबर कर दो, और एक symmetry लौट आती है: छोटी parallel side के हर सिरे से एक perpendicular गिराओ, और figure का बीच का हिस्सा एक rectangle बन जाता है जिसके हर सिरे पर एक मेल खाता right triangle है, इसलिए दोनों base angles बराबर निकलते हैं। trapezium chapter का यह प्रदर्शन है कि आप कितना मानते हैं, यही तय करता है कि आपको कितना बताया जाना चाहिए।

आपको क्या आना चाहिए

  • trapezium की परिभाषा बताना और समझाना कि "कम से कम" शब्द क्या करते हैं
  • समझाना कि हर parallelogram trapezium क्यों गिना जाता है, और chapter के सार वाले diagram में दोनों की जगह ढूँढ़ना
  • trapezium में पहचानना कि angles की कौन-सी जोड़ियों का जोड़ 180° होना ही चाहिए और किनका नहीं
  • बताए गए दो angles से trapezium के बाक़ी angles निकालना, और बताना कि एक angle काफ़ी क्यों नहीं होता
  • बताना कि trapezium को isosceles क्या बनाता है
  • दो parallel lines और दो बराबर तिरछी sides से isosceles trapezium बनाना
  • दो perpendiculars गिराकर, बीच में बनने वाले rectangle का नाम लेकर और दोनों right triangles को मिलाकर दिखाना कि isosceles trapezium के दोनों base angles बराबर होते हैं
  • इस दावे को परखना कि isosceles trapeziums, parallelograms होते हैं, और फ़ैसले को सही ठहराना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
trapeziumऐसा quadrilateral जिसकी आमने-सामने की sides की एक या ज़्यादा जोड़ियाँ parallel होंसमलंबइसी chapter में परिभाषित और bold में दिया गया (Part I, §4.6, p.106)
isosceles trapeziumऐसा trapezium जिसकी दोनों non-parallel sides लंबाई में बराबर होंसमद्विबाहु समलंबइसी chapter में परिभाषित और bold में दिया गया (Part I, §4.6, p.106)
base anglesparallel sides में से किसी एक के दोनों सिरों पर बने दो anglesआधार कोणइसी chapter में छपा (Part I, §4.6, p.106)
transversalदो lines को काटने वाली line, जिससे उसके बनाए angles की तुलना होती हैतिर्यक रेखाइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.90)
perpendicularकिसी के साथ right angle परलंबवतइसी chapter में छपा; पहली बार Part I p.94 (§4.1) पर, फिर Part I p.99 पर
parallelogramऐसा quadrilateral जिसकी आमने-सामने की sides parallel होंसमांतर चतुर्भुजइसी chapter में परिभाषित (Part I, §4.3, p.95)
rectangleऐसा quadrilateral जिसके चारों angles right angles होंआयतइसी chapter में परिभाषित (Part I, §4.1, p.83)
congruenceदो figures के बीच का वह रिश्ता जिसमें वे हिस्से-दर-हिस्से मेल खाती हैंसर्वांगसमताइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.84)
Venn diagramऐसा चित्र जिसमें हर बंद region चीज़ों के एक समूह के लिए खड़ा होता हैवेन आरेखइसी chapter में छपा (Part I, §4.1, p.91)
non-parallel sidestrapezium की वे दो sides जो parallel जोड़ी नहीं हैंअसमांतर भुजाएँइसी chapter में छपा (Part I, §4.6, p.106)
inclusive definitionऐसे शब्दों वाली परिभाषा कि ख़ास हालतें परिवार के अंदर ही रहेंव्यापक परिभाषाइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो परिभाषा इसी तरह लिखता है पर इस चुनाव पर चर्चा नहीं करता

हिंदी column में standard स्कूली गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, बल्कि standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "trapezium में ठीक एक जोड़ी parallel sides होती है।" chapter के शब्द ज़्यादा की इजाज़त देते हैं, और उसका सार वाला diagram हर parallelogram को trapezium वाले region के अंदर बनाता है। यह textbooks के बीच असली मतभेद की बात है।
  • "parallelogram, trapezium नहीं है।" इस chapter की परिभाषा से है। जो students इससे इनकार करते हैं, वे सार वाले diagram को ग़लत पढ़ेंगे और item 11(vii) ग़लत वजह से ग़लत करेंगे।
  • "isosceles trapezium एक parallelogram है, क्योंकि वह symmetric दिखता है।" नहीं है, जब तक तिरछी sides भी parallel न हों — और तब figure parallelogram है और "isosceles" शब्द कोई काम नहीं कर रहा। exercise ठीक यही पूछती है।
  • "बाक़ी निकालने के लिए एक angle काफ़ी है।" parallelogram में है। आम trapezium में नहीं: दोनों supplementary जोड़ियाँ एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं, इसलिए आपको हर जोड़ी से एक angle बताया जाना चाहिए। इसीलिए chapter की exercise figures में दो दिए गए angles हैं, या एक और tick के निशान।
  • "parallel sides हमेशा क्षैतिज होती हैं, लंबी वाली नीचे।" दूसरी exercise figure ठीक इसी वजह से तिरछी बनी है।
  • "base angles का मतलब पन्ने के नीचे वाले दो angles।" इसका मतलब है किसी एक parallel side के सिरों पर के दो angles, figure चाहे जैसे घुमाई गई हो।
  • "बीच का rectangle तो ज़ाहिर है।" उसके लिए तर्क दिया जाता है: गिराए गए दोनों segments construction से नीचे वाली side के साथ right angles बनाते हैं, और बाक़ी दो right angles ऊपर वाली side के उसके parallel होने से आते हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4.6 Q3

पूरा transcript2,166 शब्द

एक parallelogram से शुरू कीजिए, और फिर उसमें से कुछ छोड़ दीजिए। इसकी आमने सामने वाली दोनों जोड़ियाँ parallel हैं, यानी एक ही दिशा में चलती हैं। अब उनमें से एक जोड़ी को छोड़ दीजिए, उसे पूरी तरह आज़ाद कर दीजिए। जो 2 भुजाएँ parallel थीं, वो अब ढीली झूलती हैं, किसी भी लंबाई की, किसी भी तरफ़ झुकी हुई। पर दूसरी जोड़ी अब भी parallel है, और बस यही एक चीज़ बची है।

किसी भी 4 भुजाओं वाले आकार से, अपना अलग नाम पाने के लिए, इससे कम parallel की माँग नहीं हो सकती। और इस आकार का नाम है trapezium। पूरे video का सवाल बस एक है, ये अकेली बची जोड़ी हमें क्या क्या देती है? अब definition, और इसे धीरे धीरे, ध्यान से पढ़िए। एक trapezium वो quadrilateral है, जिसमें कम से कम एक जोड़ी भुजाएँ parallel हों। कम से कम एक, ठीक एक नहीं।

ये छोटे से शब्द बहुत वज़न उठाते हैं, और इन्हें पढ़ते हुए आगे निकल जाना बहुत आसान है। इनके साथ, जिस आकार में 2 जोड़ियाँ parallel हों, वो भी trapezium ही है। यानी हर parallelogram भी एक trapezium है, उसके पास तो एक से ज़्यादा जोड़ी है। किसी definition के शब्द चुने जाते हैं, और यही चुनाव तय करता है कि परिवार में कौन आएगा। कोई और definition ठीक एक जोड़ी भी कह सकती थी, पर यहाँ कम से कम एक चुना गया है।

तो दोनों तरह पढ़कर देखिए, 40 आकारों के एक मिले जुले समूह पर। कम से कम एक वाली definition से, ये सभी 40 आकार trapezium हैं, हर एक में कम से कम एक जोड़ी parallel है। इनमें से 24 में दोनों जोड़ियाँ parallel हैं, यानी वो parallelogram भी हैं। अब ठीक एक जोड़ी वाली definition लगाकर देखिए। वो 24 parallelograms सीधे बाहर हो जाते हैं, और 40 में से सिर्फ़ 16 आकार बचते हैं।

यानी एक शब्द तय करता है कि parallelograms इस परिवार में हैं, या बिल्कुल नहीं। इस video में कम से कम एक वाली definition चलेगी, इसलिए हर parallelogram, trapezium भी है। अब उन्हीं 40 आकारों को थोड़ा और बारीकी से छाँटिए। उन 24 parallelograms में से 16 के चारों कोने 90 degree के हैं, तो वो rectangle हैं। और 16 rectangles में से 8 की चारों भुजाएँ भी बराबर हैं, वो square हैं।

तो हर square एक rectangle है, हर rectangle एक parallelogram, और हर parallelogram एक trapezium। पर इसी बात को उल्टा पढ़िए, तो हर कदम पर ये टूटती है। यहाँ 8 rectangles square नहीं हैं, 8 parallelograms rectangle नहीं हैं, और 16 trapeziums parallelogram नहीं हैं। और kite में कोई भी जोड़ी parallel नहीं होती, इसलिए वो किसी भी definition से इस पूरे परिवार से बाहर है। अब देखिए, वो अकेली जोड़ी असल में क्या क्या देती है।

ये है हमारा आकार, नीचे की लंबी भुजा 20 cm, और ऊपर की छोटी भुजा 6 cm की है। दोनों parallel lines के बीच 12 cm की दूरी है, और ऊपर की भुजा 5 cm आगे खिसकी हुई है। कोनों के नाम रखिए, नीचे बाएँ U, नीचे दाएँ V, ऊपर दाएँ W, और ऊपर बाएँ X। तो U V और X W, यही दोनों parallel भुजाएँ हैं। तिरछी भुजाएँ नापने पर निकलती हैं, X U 13 cm की और V W 15 cm की।

दोनों बिल्कुल अलग, और इनके बारे में पहले से कुछ भी नहीं माना गया था। कोने नापिए, U लगभग 67.4 degree, V लगभग 53.1, W लगभग 126.9, और X लगभग 112.6 degree। अब एक तिरछी भुजा को अकेले देखिए, X U को। ये दोनों parallel भुजाओं को काटती है, ऊपर X पर और नीचे U पर। यानी ये एक transversal है, और इसके दोनों सिरों के कोने, parallel lines के बीच, इसकी एक ही तरफ़ हैं।

ऐसे 2 कोने मिलकर हमेशा 180 degree बनाते हैं, यानी एक सीधी line के बराबर। यहाँ U पर 67.4 और X पर 112.6 degree, और दोनों मिलकर ठीक 180 degree बनाते हैं। दूसरी तिरछी भुजा V W भी यही कहती है, V पर 53.1 और W पर 126.9, मिलकर 180 degree। ये सिर्फ़ इसी आकार की बात नहीं, 63 trapeziums के एक समूह में हर एक की दोनों जोड़ियाँ 180 degree बनाती हैं।

तो 2 जोड़ियाँ, और हर एक का जोड़ 180 degree, सुनने में ये काफ़ी लगता है। पर बाक़ी 2 जोड़ियाँ आज़माइए, जो किसी parallel भुजा के दोनों सिरों पर हैं। कोने U और V, यानी 67.4 और 53.1, मिलकर बनते हैं 120.5 degree। और इस संख्या को 180 बनने पर कोई भी चीज़ मजबूर नहीं करती। उन 63 trapeziums में से एक में भी parallel भुजा के सिरों का जोड़ 180 नहीं, और 171 की बड़ी गिनती में भी एक में नहीं।

यानी दोनों 180 वाली जोड़ियाँ आपस में बात ही नहीं करतीं, एक से दूसरी का कुछ पता नहीं चलता। इसका नतीजा सीधा है, एक angle से trapezium तय नहीं होता। किसी parallelogram का एक angle बताइए, तो बाक़ी तीनों ख़ुद मिल जाते हैं। जैसे parallelogram में एक कोना 51.3 degree हो, तो बाक़ी कोने 128.7, 51.3 और 128.7 degree। कुल 33 parallelograms में से 3 का यही कोना है, और तीनों के बाक़ी कोने ठीक यही हैं, आकार चाहे जितना बड़ा हो।

अब किसी trapezium का एक कोना बताइए, U पर 67.4 degree। उन 171 trapeziums में से 3 का U पर यही कोना है, और उनके V वाले कोने लगभग 24.6, 35.9 और 69 degree हैं। तीनों अलग अलग, तो एक कोना बताने से कुछ भी तय नहीं हुआ। इसलिए trapezium में 2 angles चाहिए, हर 180 वाली जोड़ी से एक। मान लीजिए छोटी parallel भुजा के सिरों पर, W पर 135 और X पर 105 degree हैं।

हर एक किसी तिरछी भुजा के एक सिरे पर है, तो उसका साथी उसी भुजा के दूसरे सिरे पर है। भुजा V W के साथ नीचे चलिए, 180 में से 135 घटाइए, तो V पर 45 degree। भुजा X U के साथ नीचे चलिए, 180 में से 105 घटाइए, तो U पर 75 degree। अब 45, 75, 135 और 105, इनका जोड़ 360 degree है, और ये जाँच हमेशा कीजिए।

इन्हीं 2 दिए गए angles पर आकार बनाइए, तो नापने पर ठीक यही चारों कोने आते हैं। पर अगर दोनों दिए गए angles एक ही तिरछी भुजा के हों, जैसे W पर 135 और V पर 45, तो बाक़ी 2 का कुछ पता नहीं चलता। अब एक शब्द साफ़ कर लीजिए, base angles। किसी trapezium के base angles वो 2 कोने हैं, जो एक parallel भुजा के दोनों सिरों पर होते हैं।

हमारे आकार में लंबी भुजा U V के सिरों पर, यानी 67.4 और 53.1 degree। अब इस आकार को 37 degree घुमा दीजिए, तो कोई भी भुजा नीचे सीधी नहीं रहती। फिर भी base angles वही हैं, लंबी parallel भुजा के सिरों पर 67.4 और 53.1 degree। और इसे उल्टा रखिए, लंबी भुजा ऊपर, तो भी base angles उसी लंबी भुजा के सिरों पर हैं, नीचे वाली भुजा पर नहीं।

यानी base angles आकार से पढ़े जाते हैं, इस बात से नहीं कि वो किस तरफ़ रखा है। अब एक चीज़ वापस डालिए, और देखिए कि एक symmetry कैसे लौटती है। दोनों तिरछी भुजाओं को आपस में बराबर कर दीजिए। इस आकार में नीचे U V 18 cm, ऊपर X W 8 cm, बीच की दूरी वही 12 cm, और दोनों तिरछी भुजाएँ 13 cm की। जिस trapezium की वो 2 भुजाएँ बराबर हों, जो parallel नहीं हैं, उसे isosceles trapezium कहते हैं।

ध्यान दीजिए, ये बात बने हुए आकार से पढ़ी गई है, वो कैसे बनाया गया, उससे नहीं। और इसके base angles बराबर निकलते हैं, U पर और V पर, दोनों लगभग 67.4 degree। ऊपर के कोने W और X भी आपस में बराबर हैं, दोनों लगभग 112.6 degree। ये दावा है, अब इसका कारण, और कारण बहुत सुंदर है। छोटी भुजा के दोनों सिरों से, X से और W से, लंबी भुजा पर सीधे नीचे perpendicular गिराइए।

कोने X के नीचे वाला बिंदु Y है, और W के नीचे वाला बिंदु Z। अब आकार 3 टुकड़ों में बँट जाता है, एक triangle, फिर बीच में कुछ, फिर एक triangle। बीच वाला टुकड़ा Y Z W X देखिए, Y और Z पर उसके कोने 90 degree के हैं, क्योंकि perpendicular ऐसे ही गिराए गए थे। और W और X पर भी 90 degree, क्योंकि X W, U V के parallel है, तो जो line एक पर perpendicular है, वो दूसरी पर भी है।

यानी 4 कोने, सब 90 degree के, तो ये rectangle है, और ये माना नहीं गया, साबित किया गया है। यहाँ इसका नाप 8 cm और 12 cm है, और U Y 5 cm, Z V भी 5 cm। और इससे एक चीज़ मुफ़्त मिलती है, X Y और W Z बराबर हैं, दोनों 12 cm, क्योंकि rectangle की आमने सामने की भुजाएँ हमेशा बराबर होती हैं। अब दोनों सिरों के triangles देखिए, U Y X और V Z W।

हर एक में 90 degree का कोना है, जहाँ उसका perpendicular लंबी भुजा से मिलता है, Y पर और Z पर। दोनों की तिरछी भुजा 13 cm है, क्योंकि isosceles का मतलब ही यही है। और दोनों की खड़ी भुजा 12 cm, क्योंकि X Y और W Z rectangle की आमने सामने की भुजाएँ हैं। तो दोनों triangles 5, 12 और 13 cm के हैं, यानी एक ही triangle, 2 बार बना हुआ।

इसलिए U पर का angle, V पर के angle के बराबर है, और यही बराबर base angles की जोड़ी है। दोनों 67.4 degree, और इस पूरे तर्क में बराबर तिरछी भुजाओं का इस्तेमाल ठीक एक बार हुआ। ऊपर के कोने भी मिल जाते हैं, X पर rectangle का 90 और triangle का 22.6, मिलकर 112.6 degree। अब ख़ुद आज़माइए, एक isosceles trapezium में W पर 100 degree है, तो बाक़ी कोने कितने होंगे?

ऊपर के दोनों कोने बराबर हैं, तो X पर भी 100 degree। भुजा V W के साथ नीचे चलिए, 180 में से 100 घटाइए, तो V पर 80 degree। और U पर भी 80 degree, और 80, 80, 100 और 100 का जोड़ 360 degree। यहाँ सिर्फ़ एक angle काफ़ी था, क्योंकि बराबर भुजाओं ने दूसरा angle ख़ुद दे दिया। ऐसा आकार बनाकर नापिए, तो ठीक 80, 80, 100 और 100 degree आते हैं।

अब देखिए कौन सा कदम किस बात पर टिका था, क्योंकि आधे तर्क को उस शर्त की ज़रूरत ही नहीं थी। पहले वाले आकार पर लौटिए, जिसकी तिरछी भुजाएँ 13 और 15 cm की हैं। वही 2 perpendicular गिराइए, U Y 5 cm, Y Z 6 cm, Z V 9 cm, और बीच का टुकड़ा फिर भी rectangle है, 6 cm और 12 cm का। उस कदम में तिरछी भुजाओं का ज़िक्र ही नहीं था, इसलिए वो ग़लत हो ही नहीं सकता था।

उन 63 trapeziums में से 51 में दोनों perpendicular लंबी भुजा पर गिरते हैं, और उन सभी 51 आकारों में बीच का टुकड़ा rectangle है। बाक़ी 12 आकारों में कोई perpendicular लंबी भुजा से बाहर गिरता है, और तब ये 3 टुकड़े बनते ही नहीं। गड़बड़ triangles में है, एक 5, 12 और 13 cm का, और दूसरा 9, 12 और 15 cm का। अलग triangles, तो सिरों पर अलग angles, 67.4 और 53.1 degree।

आधा तर्क हर trapezium पर चलता है, बाक़ी आधा बराबर तिरछी भुजाओं से ख़रीदा गया है। और शब्दों के अंदर ही एक जाल छिपा हुआ है। एक parallelogram लीजिए, और उसकी वो 2 भुजाएँ देखिए, जिन्हें आपने parallel जोड़ी नहीं चुना। वो आपस में बराबर हैं, दोनों लगभग 6.4 cm, शब्दशः वही शर्त जो isosceles trapezium माँगता है। पर इसके base angles बिल्कुल बराबर नहीं हैं, 51.3 और 128.7 degree।

इनका जोड़ 180 degree है, क्योंकि parallelogram में दोनों तिरछी भुजाएँ एक ही तरफ़ झुकती हैं, उल्टी तरफ़ नहीं। तो बराबर तिरछी भुजाओं का मतलब तभी है, जब ठीक एक parallel जोड़ी हो, और वो उसकी बाक़ी 2 भुजाएँ हों। और isosceles trapezium कभी parallelogram नहीं होता, 27 में से एक भी नहीं, और 60 की बड़ी गिनती में भी एक नहीं। आख़िर में वो तस्वीर, जिसमें पूरा परिवार एक साथ है।

एक बड़ा घेरा, और वो trapeziums का है। उसके अंदर parallelograms, उनके अंदर rectangles, और उनके अंदर squares। हर घेरा एक और शर्त है, और हर शर्त की क़ीमत चुकाई गई है, वो मुफ़्त नहीं मिली। और kites इस पूरी तस्वीर से बाहर हैं, क्योंकि kite में किसी parallel भुजा का वादा ही नहीं। और isosceles trapeziums का अपना अलग हिस्सा है, जो parallelograms से कहीं नहीं मिलता, 40 के समूह में 8 isosceles और 24 parallelograms, और दोनों में साझा एक भी नहीं।

तो याद रखिए, trapezium में कम से कम एक जोड़ी parallel भुजाएँ होती हैं, बस इतना। हर तिरछी भुजा के सिरों के कोने मिलकर 180 degree, पर parallel भुजा के सिरों के कोने नहीं। इसलिए एक angle काफ़ी नहीं, हर जोड़ी से एक angle चाहिए। और base angles लंबी parallel भुजा के सिरों पर होते हैं, आकार चाहे जैसे घूमा हो। बराबर तिरछी भुजाओं वाले trapezium में, perpendicular गिराने से बीच में rectangle, दोनों तरफ़ एक जैसे triangles, और इसलिए बराबर base angles।

और जितना कम माना जाता है, उतना ही ज़्यादा बताना पड़ता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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