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Chapter 3 · Proportional Reasoning-2

Direct proportion फिर से: वह quotient जो नहीं बदलता

Ratios with more than two terms11 मिनट

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एक रसोइया 6 कप मैदा और 3 कप दूध लेता है, दूसरा 4 कप मैदा और 2 कप दूध। क्या स्वाद एक जैसा होगा? ऊपर से नीचे पढ़ें तो 2 मिलता है, आर पार पढ़ें तो 3 बटा 2।

मुख्य idea

यह कहना कि दो ratios proportional हैं, एक ही बात लगती है, पर उसे दो अलग तरह से पढ़ा जा सकता है, और दोनों पढ़तें एक साथ सच हैं: हर जोड़ी के अंदर quotient तय रहता है, और दोनों जोड़ियों के बीच scale factor तय रहता है। ये दोनों कथन असल में एक ही कथन हैं, क्योंकि दोनों सिमटकर एक ही product equality बन जाते हैं। इसीलिए cross-multiplication रटने वाली कोई तरकीब नहीं है — यह उस बात का वह अकेला रूप है जिसे कोई एक पढ़त चुननी नहीं पड़ती, और यही आपको यह कहने देता है कि "यह घोल बस बड़े पैमाने पर बना है", न कि "यह घोल अलग ढंग से मिलाया गया है"।

आपको क्या आना चाहिए

  • मात्राओं में बताए गए किसी नुस्ख़े या मिश्रण को ratio के रूप में लिखना, और बताना कि ratio ऐसा क्या दावा करता है जो अकेली मात्राएँ नहीं करतीं
  • दो ratios में से हर एक का जोड़ी के अंदर वाला quotient निकालना और जाँचना कि दोनों मिलते हैं या नहीं
  • वह जोड़ियों के बीच वाला factor निकालना जो एक ratio को पद-दर-पद दूसरे पर ले जाता है, और जाँचना कि एक ही factor दोनों पदों के लिए चलता है
  • दिखाना कि बराबर quotients वाला रूप और बराबर factors वाला रूप, दोनों बदलकर एक ही product equality बन जाते हैं, और product वाले रूप को जाँच की तरह इस्तेमाल करना
  • product वाली जाँच से तय करना कि बताए गए दो मिश्रण एक जैसे बर्ताव करते हैं या नहीं
  • ऐसा मिश्रण बनाना जो जाँच में फ़ेल हो, और बताना कि उसे पास कराने के लिए कौन-सी मात्रा कितनी बदलनी होगी
  • शब्दों में दी गई किसी स्थिति से एक अज्ञात पद वाला proportion बनाना और अज्ञात को हल करना, यह बताते हुए कि किन दो मात्राओं की तुलना किन दो से की गई
  • यह बताना कि दो सामग्रियों के बीच proportionality तैयार चीज़ के बारे में क्या तय नहीं करती

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
ratioसापेक्ष आकार के हिसाब से दो मात्राओं की तुलना, बीच में colon लगाकर लिखी हुईअनुपातपहले, Part I के छपे हुए Chapter 7 में; Part II §3.1 के पहले पैराग्राफ़ से इस्तेमाल (Part II p.55)
proportional relationshipउन मात्राओं के बीच का संबंध जो सब एक ही साझा factor से बदलती हैंसमानुपाती संबंधइसी chapter में छपा, Part II §3.1 (Part II p.55)
cross-multiplication methodवह जाँच जो हर ratio के पहले पद को दूसरे ratio के दूसरे पद से गुणा करके दोनों products की तुलना करती हैतिर्यक् गुणन विधिइसी chapter में छपा, Part II §3.1 (Part II p.55)
direct proportionsऐसे proportions जिनमें जोड़ी वाली मात्राओं का quotient तय रहता है, इसलिए दोनों साथ-साथ बढ़ती और घटती हैंअनुलोम समानुपात / सीधा समानुपातइसी chapter में छपा, Part II §3.6 (Part II p.63), जहाँ chapter उस दोहराव को नाम देता है जिसे वह §3.1 से इस्तेमाल करता आ रहा है
rule of threeवह तरीक़ा जो proportion में खड़ी तीन जानी हुई मात्राओं से चौथी निकालता हैत्रैराशिकPart II §3.6 (Part II p.63) में नाम दिया गया; पहले Part I के छपे हुए Chapter 7, §7.4 में अपने Sanskrit नाम से आया
termsratio के अंदर लिखी अलग-अलग मात्राएँपदइसी chapter में छपा, Part II §3.3 (Part II p.57)
within-pair quotientratio का एक पद, उसी ratio के दूसरे पद से भाग दिया हुआ—इस पाठ का शब्द; chapter यह भाग करता है पर इसे नाम नहीं देता
between-pair factorवह एक गुणक जो एक ratio के हर पद को दूसरे ratio के मेल खाते पद पर ले जाता है—इस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इस column को standard शब्दावली मानें, हिंदी संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Proportional का मतलब बराबर है।" 6 : 3 और 4 : 2 एक जितनी मात्राएँ नहीं हैं और उतने ही लोगों का पेट नहीं भरेंगे। वे एक ही नुस्ख़ा हैं। इन दोनों शब्दों को पहले ही मिनट से अलग रखिए।
  • "Cross-multiplication fractions का कोई नियम है जो मैंने कहीं सीखा था।" यह इस बात का कथन है कि एक जोड़ी दूसरी की scale की हुई नक़ल है, बस भाग हटा दिया गया है। भाग का हटना दिखाइए।
  • "दोनों पदों में एक ही मात्रा जोड़कर ratio बनाए रखा जा सकता है।" 6 : 3 से 7 : 4 पर जाना हर एक में एक कप जोड़ता है और नुस्ख़ा बदल देता है। दोनों को एक-दूसरे के सामने जाँचिए: 6 × 4 = 24 और 3 × 7 = 21, जो नहीं मिलते। ratios गुणा करने से बने रहते हैं, जोड़ने से नहीं।
  • "अंतर वही, तो ratio वही।" 6 : 3 और 8 : 5 दोनों में तीन का अंतर है। एक दो हिस्से पर एक हिस्सा है; दूसरा नहीं। पिछला chapter इसी ग़लतफ़हमी से लड़ा था, और संख्याएँ बड़ी होते ही यह सीधे लौट आती है।
  • "अगर ratio सही निकलता है, तो दोनों पकवान बिल्कुल एक जैसे हैं।" chapter ऐसा कहने से इनकार करता है। ratio में जिसका नाम नहीं है, उस पर कोई पाबंदी नहीं है।
  • "Fraction वाला रूप पहला-बटा-दूसरा ही होना चाहिए।" chapter दोनों ratios के आर-पार पहला-बटा-पहला छापता है; SUMMARY हर जोड़ी के अंदर पहला-बटा-दूसरा छापता है। दोनों सही हैं और कोई भी परिभाषा नहीं है। product equality वह है जो दोनों में साझा है।
  • "भाग तो हमेशा दिया जा सकता है, इसलिए fraction वाला रूप इस्तेमाल करो।" नहीं दिया जा सकता — कोई पद zero हो तो fraction वाले रूप के पास भाग देने को कुछ नहीं बचता, जबकि product वाला रूप फिर भी हिसाब कर लेता है। दोनों रूप सिर्फ़ तब मिलते हैं जब कोई पद zero न हो, और जैसे ही कोई पद zero होता है, product वाला रूप जाँच रहता ही नहीं। 0 : 0 को 3 : 5 के सामने रखिए, दोनों products शून्य हैं, इसलिए वे मिल जाते हैं और product वाली जाँच एक ऐसी जोड़ी को पास कर देती है जो proportion है ही नहीं। व्यावहारिक बात रखिए — zero से भाग देने का सवाल नहीं — और उसके बग़ल में शर्त बताइए। हर एक की एक पंक्ति।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,807 शब्द

यहाँ एक रसोइया पैनकेक का घोल बना रहा है, बगल में दूसरा रसोइया भी, और दोनों एक ही नियम से मिला रहे हैं। पहला रसोइया 6 कप मैदा और 3 कप दूध लेता है। दूसरा रसोइया 4 कप मैदा और 2 कप दूध लेता है। बाकी सब कुछ एक जैसा है, तो क्या दोनों का स्वाद एक जैसा होगा? सिर्फ़ मात्राएँ देखकर ये तय नहीं होता, क्योंकि 6 और 4 अलग हैं, और 3 और 2 में भी फ़र्क़ है।

असली बात ये नहीं कि कितना डाला, बल्कि ये कि किसके मुक़ाबले कितना डाला। तो दोनों घोलों को तुलना की तरह लिखते हैं, पहला 6 और 3 का ratio, और दूसरा 4 और 2 का ratio। और जिस नियम से दोनों मिला रहे हैं, वो नियम है, 1 कप दूध पर 2 कप मैदा। ध्यान दीजिए, 2 और 1 का ratio किसी चीज़ की मात्रा नहीं है, उसे कप में डाला ही नहीं जा सकता।

वो डालने का नियम है, और घोल छोटा हो या बड़ा, वही नियम चलता है। पहली नज़र में लग सकता है कि दोनों घोल बराबर हैं, पर बराबर तो वो कभी नहीं थे, एक घोल बड़ा है। सही शब्द है proportional, यानी नियम वही, पर मात्रा अलग। पहला तरीका, हर घोल को अकेले, ऊपर से नीचे पढ़ता है। यहाँ 6 कप मैदे को 3 कप दूध से भाग दीजिए, तो 2 मिलता है।

और 4 को 2 से भाग दें, तो भी 2 ही मिलता है। यानी दोनों रसोइये 1 कप दूध पर 2 कप मैदा डाल रहे हैं, और यही तो वो नियम है। अब इकाइयाँ देखिए, ऊपर भी कप है, नीचे भी कप है, तो दोनों कट जाते हैं। इसलिए ये 2 सिर्फ़ एक सादी संख्या है, जिसके साथ कोई इकाई नहीं, और इसी वजह से अलग अलग रसोई के बीच इसकी तुलना हो सकती है।

अब दूसरा तरीका, जो एक घोल को दूसरे के सामने रखकर, आर पार पढ़ता है। मैदे के सामने मैदा, 6 को 4 से भाग दें, तो 3 बटा 2 मिलता है, यानी 1 दशमलव 5 गुना। दूध के सामने दूध, 3 को 2 से भाग दें, तो भी 3 बटा 2 ही मिलता है। यानी पहला घोल दूसरे का 3 बटा 2 गुना है, और वो भी दोनों चीज़ों में एक साथ।

लग सकता है कि बड़ा घोल कोई नया नुस्खा है, पर इसी से पता चलता है कि ये उसी नुस्खे की बड़ी नकल है। जाँचिए, 4 का 3 बटा 2 गुना ठीक 6 है, और 2 का 3 बटा 2 गुना ठीक 3 है। अब रुककर देखिए, ये दोनों बातें एक साथ सच हैं। पहला तरीका 2 कहता है, और दूसरा तरीका 3 बटा 2 कहता है। ये एक संख्या नहीं हैं, और एक ही चीज़ भी नहीं नापतीं, 2 नुस्खे की बनावट बताता है, और 3 बटा 2 घोल का आकार।

ये अलग अलग चीज़ों से भाग भी देते हैं, अगर पहले घोल में दूध बिल्कुल न हो, तो पहला तरीका अटक जाता है, क्योंकि कुछ नहीं से भाग नहीं दिया जा सकता। पर दूसरा तरीका तब भी जवाब दे देता है, और अगर दूसरे घोल में मैदा न हो, तो दोनों तरीकों की जगह बदल जाती है। तो ये अलग अलग बातें हैं, फिर भी इनका फ़ैसला हमेशा एक ही होता है, ऐसा क्यों?

आप सोच सकते हैं कि ये अलग बातें हैं, पर अंदर से ये एक ही बात है। पहला तरीका लीजिए, 6 बटा 3 बराबर 4 बटा 2, अब दोनों तरफ़ को 3 से, और फिर 2 से गुणा कीजिए। बाएँ तरफ़ 3 कट जाता है, दाएँ तरफ़ 2 कट जाता है, और बचता है 6 गुणा 2 बराबर 4 गुणा 3 वाली बराबरी। अब दूसरा तरीका, 6 बटा 4 बराबर 3 बटा 2, अब 4 से, और फिर 2 से गुणा कीजिए।

यहाँ 4 और 2 कट जाते हैं, और बचता है 6 गुणा 2 बराबर 3 गुणा 4, यानी वही बात। एक तरफ़ 12 है, दूसरी तरफ़ भी 12, यानी दोनों तरीके भाग हटाते ही गुणा वाली एक ही बराबरी पर पहुँचते हैं। इसी को cross-multiplication कहते हैं, ये कोई जादू की तरकीब नहीं, बल्कि भाग हटाने के बाद जो बचता है, वही है। और इस्तेमाल इसी रूप का करना चाहिए, इसकी 2 वजहें हैं।

पहली वजह, इसमें भाग है ही नहीं, तो भाग देने में कोई गड़बड़ हो ही नहीं सकती। दूसरी वजह, आपको तय नहीं करना पड़ता कि कौन सा तरीका सोचा था, क्योंकि दोनों तरीके इसी पर सहमत हैं। पर एक हालत में ये जाँच, जाँच ही नहीं रहती, और ये साफ़ कहना ज़रूरी है। कुछ नहीं के सामने कुछ नहीं रखिए, और बगल में 3 और 5 का ratio, तो 5 को कुछ नहीं से गुणा करें तो कुछ नहीं, और 3 को कुछ नहीं से गुणा करें तो भी कुछ नहीं।

लग सकता है कि जाँच हाँ कहे तो सब ठीक है, यहाँ दोनों गुणा बराबर हैं, पर कुछ नहीं और कुछ नहीं का ratio कोई नुस्खा है ही नहीं। ऐसी 9 जोड़ियाँ जाँचिए, तो 9 में से 6 पर ये जाँच सही बैठती है, और 3 पर नहीं, और उन तीनों में कोई न कोई मात्रा ख़ाली है। यानी भाग से बचना एक सुविधा है, पर इससे ख़ाली मात्रा वाला मामला सुलझता नहीं।

इस गुणा वाली बराबरी की एक तस्वीर भी है, और उसे ध्यान से बनाना चाहिए। दोनों ratio बगल बगल लिखिए, पहले 6 और 3 वाला, फिर 4 और 2 वाला। अब ऊपर से एक मेहराब खींचिए, 6 से 2 तक, इन दोनों का गुणा 12 है। और नीचे से दूसरी मेहराब, 3 से 4 तक, इनका गुणा भी 12 है। ये दोनों मेहराबें एक के अंदर एक हैं, और कहीं भी एक दूसरे को नहीं काटतीं।

दोनों मेहराबें एक ratio के पहले पद को, दूसरे ratio के दूसरे पद से जोड़ती हैं। बस यही जोड़ी है, और cross-multiplication का मतलब बस इतना ही है। इसी बात को 2 अलग दिखने वाले रूपों में लिखा जाता है, और दोनों को एक साथ देखना ज़रूरी है। पहला रूप पहले पद को पहले पद से, और दूसरे को दूसरे से बाँटता है, जैसे 6 बटा 4 बराबर 3 बटा 2 वाली बराबरी।

ये आर पार वाला तरीका है, घोल के सामने घोल। दूसरा रूप ratio के अंदर ही बाँटता है, जैसे 6 बटा 3 बराबर 4 बटा 2, और ये भाग दोनों जोड़ियों में एक ही है। लग सकता है कि इनमें से बस एक ही रूप सही है, पर दोनों सही हैं, और कोई भी अकेला परिभाषा नहीं। एक से दूसरे पर जाना आसान है, 6 बटा 3 बराबर 4 बटा 2 में, 3 और 4 की जगह बदल दीजिए, तो 6 बटा 4 बराबर 3 बटा 2 मिलता है।

और दोनों को भाग हटाकर लिखिए, तो दोनों 6 गुणा 2 बराबर 3 गुणा 4 पर पहुँचते हैं, यही इनकी साझा जड़ है। अब 2 ग़लतफ़हमियाँ, जिनमें लगता है कि ratio बचा रहता है, पर असल में नहीं बचता। पहली, दोनों पदों में बराबर मात्रा जोड़ना, यहाँ 6 और 3 में 1 कप जोड़ें, तो 7 और 4 मिलता है। जाँचिए, 6 गुणा 4 से 24 आता है, और 3 गुणा 7 से 21, ये बराबर नहीं, तो नुस्खा बदल गया।

तो क्या नुस्खा बचाने का कोई और तरीका है? देखिए, दोनों को 2 से गुणा करें, तो 12 और 6 मिलता है। जाँचिए, 6 गुणा 6 से 36 आता है, और 3 गुणा 12 से भी 36, ये बराबर हैं। असल में ratio गुणा करने से बचता है, जोड़ने से कभी नहीं। दूसरी ग़लतफ़हमी, बराबर फ़र्क़ का मतलब बराबर ratio। देखिए, 6 और 3 में फ़र्क़ 3 है, और 8 और 5 में भी फ़र्क़ 3 है।

पर 6 और 3 का ratio 2 और 1 जैसा है, जबकि 8 को 5 से भाग दें, तो 2 नहीं आता। इस सोच को 6 असली जोड़ियों पर आज़माइए, तो 6 में से बस 1 बार ये सही निकलती है। और जिस बार ये सही निकली, वहाँ भी जवाब नहीं था, यानी हाँ वाला एक भी जवाब ये सही नहीं बताती। अब देखिए, ये जाँच एक फ़ेल होने वाले घोल पर कैसे काम आती है।

मान लीजिए दूसरा रसोइया 4 कप मैदा और 3 कप दूध लेता। शायद लगे कि थोड़ा सा फ़र्क़ चल जाएगा, पर देखिए, 6 गुणा 3 से 18 आता है, और 3 गुणा 4 से 12, ये बराबर नहीं, तो जवाब नहीं है। पर गड़बड़ किस तरफ़ है? यहाँ 4 बटा 3 छोटा है 2 से, यानी मैदे के हिसाब से दूध ज़्यादा है। इसे ठीक करने के ठीक 2 तरीके हैं, और वही गुणा वाली बराबरी दोनों तरीके देती है।

मैदा 4 कप पर रखें, तो दूध 2 कप करना होगा, या दूध 3 कप पर रखें, तो मैदा 6 कप करना होगा। एक जाँच, 2 मरम्मतें, और बीच में कोई अंदाज़ा नहीं। यही बराबरी एक और काम करती है, और असल में सबसे ज़्यादा यही काम आता है। मान लीजिए 5 मज़दूर एक दिन में 4500 ईंटें उठाते हैं, और एक दिन में 18000 ईंटें उठानी हैं, तो कितने मज़दूर चाहिए?

इसे ऐसे लिखिए, 4500 और 18000 का ratio, 5 और अनजान संख्या के ratio के बराबर है। देखिए किसकी तुलना किससे हो रही है, ईंटों की ईंटों से, और मज़दूरों की मज़दूरों से। इसलिए दोनों ratio बिना इकाई की सादी संख्याएँ हैं, और तभी इन्हें बराबर रखा जा सकता है। अब cross-multiplication कीजिए, तो जवाब 20 मज़दूर निकलता है। आर पार देखें, तो 18000 ईंटें 4500 ईंटों की 4 गुनी हैं, और 20 मज़दूर भी 5 मज़दूरों के 4 गुने।

और ऊपर से नीचे देखें, तो दोनों तरफ़ एक मज़दूर पर 900 ईंटें आती हैं। आख़िर में, एक ईमानदार बात। लग सकता है कि जाँच पास हुई तो स्वाद भी एक जैसा होगा, पर इस जाँच ने बस इतना बताया कि दोनों घोलों में मैदे और दूध का ratio एक है। मान लीजिए पहले रसोइये ने 2 चम्मच चीनी और 5 चम्मच मक्खन भी डाला, और दूसरे ने 1 चम्मच चीनी और 1 चम्मच मक्खन।

तो क्या जाँच बदली? देखिए, मैदे और दूध की जाँच अब भी पहले जैसी ही है, उसमें कुछ नहीं बदला। पर चीनी और मक्खन देखिए, 2 गुणा 1 से 2 आता है, और 5 गुणा 1 से 5, ये मेल नहीं खाते, तो स्वाद एक जैसा नहीं होगा। मैदे और दूध का मेल, बस मैदे और दूध के बारे में बात है, जिसका नाम नहीं लिया, वो कुछ भी हो सकता है।

औज़ार मज़बूत है, पर दायरा छोटा, जिसकी तुलना की, बस उसी के बारे में कुछ साबित हुआ। तो पूरी बात एक बार फिर से देखिए। ऊपर से नीचे पढ़ें तो 2 मिलता है, आर पार पढ़ें तो 3 बटा 2, और दोनों के नीचे 6 गुणा 2 बराबर 3 गुणा 4 वाली एक ही बराबरी। इसलिए cross-multiplication रटने की चीज़ नहीं, ये वो रूप है जिसे कोई तरीका चुनना नहीं पड़ता।

और इसी से हम कह पाते हैं कि ये घोल बस बड़ा किया गया है, नए सिरे से अलग नुस्खे से नहीं मिलाया गया।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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