सरलतम रूप, और उससे परखना कि दो ratios proportional हैं या नहीं

0:00एक ही तस्वीर, 5 अलग size में, A से लेकर E तक, हर एक चौड़ाई अनुपात ऊँचाई के रूप में लिखी हुई। इनमें A की चौड़ाई अनुपात ऊँचाई 60 अनुपात 40 है, और D की 90 अनुपात 60 है। क्या ये दोनों एक ही दावा करते हैं, इसे जाँचने का एक तरीका है वो factor ढूँढना जो A को D तक ले जाए। देखिए, 60 को 3 बटा 2 से गुणा करें तो 90 मिलता है, और 40 को 3 बटा 2 से गुणा करें तो 60 मिलता है।

0:29एक ही factor दोनों terms पर चला, तो दावा एक है। पर ये factor आँख से ढूँढना पड़ा, और वो पूरी संख्या भी नहीं निकला, एक भिन्न निकला। और A से B तक जाना हो, तो एक term पर 2 बटा 3 चाहिए, और दूसरे पर 1 बटा 2 चाहिए, कोई एक factor काम नहीं करता। हर जोड़ी के लिए ऐसी खोज करना भारी पड़ता है, तो क्या कोई तरीका है जिसमें factor ढूँढना ही न पड़े?

0:57तरीका उल्टा है, गुणा करने के बजाय दोनों terms को भाग दीजिए। भाग उस सबसे बड़ी संख्या से दीजिए जो दोनों terms में पूरी जाती है, यानी उनका HCF। यहाँ 60 और 40, दोनों में पूरी जाने वाली सबसे बड़ी संख्या 20 है, तो इनका HCF 20 है। अब 60 को 20 से भाग दें तो 3 बचता है, 40 को 20 से भाग दें तो 2 बचता है, और A सिमटकर 3 अनुपात 2 बन जाता है।

1:26अब D लीजिए, यानी 90 अनुपात 60, जिसका HCF 30 है। फिर 90 को 30 से भाग देने पर 3, और 60 को 30 से भाग देने पर 2 मिलता है, तो D भी उसी जोड़ी पर पहुँचता है, और कोई factor ढूँढना नहीं पड़ा। भाग देने से संख्याएँ छोटी होती हैं, पर दावा वही रहता है, ऊँचाई के हर 2 हिस्सों पर चौड़ाई के 3 हिस्से, पहले भी और बाद में भी।

1:51कई लोग मानते हैं कि छोटा करने से ratio बदल जाता है, पर बदलती सिर्फ़ संख्याएँ हैं, दावा नहीं। पर सबसे बड़ा common factor ही क्यों, कोई भी common factor क्यों नहीं? देखिए, 60 और 40 के common factors हैं 1, 2, 4, 5, 10 और 20, कुल 6 common factors। हर एक से A को भाग दें, तो 60 अनुपात 40, 30 अनुपात 20, 15 अनुपात 10, 12 अनुपात 8, 6 अनुपात 4, और आखिर में 3 अनुपात 2 मिलता है।

2:27इन 6 में से सिर्फ़ 1 नतीजे में आगे काटने को कुछ नहीं बचता, और वो 20 से भाग देने पर आता है। अब मान लीजिए कोई पहला common factor जो दिखे, उसी से भाग देकर रुक जाता है। तब A को 2 से भाग देकर 30 अनुपात 20 मिलता है, और D को 2 से भाग देकर 45 अनुपात 30 मिलता है। यानी A और D एक ही दावा करते हैं, फिर भी अलग अलग जोड़ियाँ हाथ आईं, और दोनों में अभी काटने को कुछ बचा है।

2:55तो कोई भी common factor किसी चीज़ का नाम नहीं देता, नाम सिर्फ़ सबसे बड़ा common factor देता है। अब 3 अनुपात 2 को देखिए, 3 और 2 दोनों में पूरा जाने वाला अकेला common factor 1 है। और 1 से भाग देने पर कुछ नहीं बदलता, तो यहाँ काटने को कुछ बचा ही नहीं। ऐसी जोड़ी को ratio का सरलतम रूप कहते हैं, यानी उसका simplest form। दरअसल HCF से भाग देने का यही मतलब है, एक ही कदम में वहाँ पहुँचना जहाँ काटने को कुछ न बचे।

3:27हमारी 5 तस्वीरों को देखें, तो 5 में से 0 तस्वीरें पहले से सरलतम रूप में थीं, हर एक में काटने को कुछ था। फिर C यानी 30 अनुपात 20 का HCF 10 है, और 10 से भाग देकर वो भी 3 अनुपात 2 बनता है। वहीं B यानी 40 अनुपात 20 सिमटकर 2 अनुपात 1 बनता है, और E यानी 60 अनुपात 60 सिमटकर 1 अनुपात 1 बनता है।

3:53तो 5 में से 3 तस्वीरें, A, C और D, एक ही जोड़ी पर रुकती हैं, 3 अनुपात 2 पर। ये संयोग नहीं है कि A, C और D एक ही जोड़ी पर रुकते हैं। अब A के terms को HCF गुणा बची हुई जोड़ी के रूप में लिखिए, 60 है 20 गुणा 3, और 40 है 20 गुणा 2 के बराबर। इस परिवार का हर सदस्य, 3 और 2 को किसी एक संख्या से गुणा करके ही बनता है।

4:23जैसे A को दुगना करें, तो 120 अनुपात 80 बनता है, जिसका HCF 40 है, यानी 20 का दुगना। अब 40 से भाग दें, तो 120 अनुपात 80 फिर उसी 3 अनुपात 2 पर लौट आता है। हर सदस्य उसी जोड़ी को किसी संख्या से बढ़ाकर बना है, और HCF से भाग देना ठीक वही बढ़ाना उल्टा कर देता है। बहुत सारे परिवारों के 1100 सदस्य लेकर देखें, तो 1100 में से 1100 अपनी ही जोड़ी पर लौटते हैं, एक भी कहीं और नहीं जाता।

4:57इसीलिए simplest form सिर्फ़ ratio लिखने का साफ़ तरीका नहीं है, ये पूरे परिवार का नाम है। और ये नाम उस परिवार का सबसे छोटा सदस्य भी है, जिसके दोनों terms पूरी संख्याएँ हों। अब जाँच सीधी हो जाती है, अगर दोनों ratios का simplest form एक है, तो वो समानुपात में हैं। और अगर नाम अलग हैं, तो कोई भी एक factor एक ratio को दूसरे तक नहीं ले जा सकता।

5:23ये कोई अच्छा संकेत भर नहीं, जिसके बाद factor ढूँढकर पक्का करना पड़े, ये अपने आप में पूरी जाँच है। तस्वीरों की क्रम वाली हर जोड़ी पर, नाम का मिलना और एक factor का मिलना, 20 में से 20 बार एक ही जवाब देते हैं। समानुपात लिखने का एक खास निशान है, double colon, जो दोनों ratios के बीच लगता है। जैसे 60 अनुपात 40, double colon, 90 अनुपात 60, यानी 60 अनुपात 40 वही दावा करता है जो 90 अनुपात 60 करता है।

5:55इसी तरह 60 अनुपात 40 और 30 अनुपात 20 के बीच भी ये निशान लग सकता है, क्योंकि उनका सरलतम रूप भी एक है। अब 5 तस्वीरों को उनके नाम से छाँटते हैं। यहाँ A, C और D का सरलतम रूप 3 अनुपात 2 है, B का सरलतम रूप 2 अनुपात 1 है, और E का सरलतम रूप 1 अनुपात 1 है। तस्वीरों की क्रम वाली 20 जोड़ियों में से 6 जोड़ियाँ समानुपात में हैं।

6:26ये 6 जोड़ियाँ वही हैं जो A, C और D को आपस में जोड़ती हैं, और B और E अपने अपने परिवार में अकेले हैं। एक लुभावना पर गलत नियम ये है, कि जिन ratios में एक का पहला term दूसरे के पहले term का पूरा गुणज हो, उन्हें समानुपात मान लिया जाए। ये नियम A और E को समानुपात कहता है, क्योंकि दोनों का पहला term 60 है, जबकि उनके नाम अलग हैं।

6:52और ये A और D को नकार देता है, क्योंकि 90 पूरा गुणज नहीं है 60 का, जबकि वो समानुपात में हैं। कुल 20 में से 14 जोड़ियों पर ये नियम ठीक बैठता है और 6 पर गलत, यानी ये दोनों दिशाओं में गलती करता है। अब ऐसी संख्याएँ, जिनमें factor आँख से नहीं दिखता, जैसे 3 अनुपात 4 और 72 अनुपात 96 की जोड़ी। पहले, 3 अनुपात 4 में काटने को कुछ नहीं है, वो पहले से सरलतम रूप में है।

7:21अब 72 और 96 के common factors हैं 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 और 24, कुल 8 common factors। इनमें सबसे बड़ा 24 है, और ये वो factor नहीं जो सबसे पहले नज़र आए। तो 72 को 24 से भाग दें तो 3, और 96 को 24 से भाग दें तो 4, यानी 72 अनुपात 96 का सरलतम रूप 3 अनुपात 4 है। यहाँ 8 में से सिर्फ़ 1 भाग, 24 वाला, एक ही कदम में सरलतम रूप तक पहुँचाता है।

7:55कोई 2 से भाग देकर रुक जाए, तो 36 अनुपात 48 हाथ आता है, जो देखने में 3 अनुपात 4 जैसा बिल्कुल नहीं लगता। नाम एक है, तो 3 अनुपात 4 double colon 72 अनुपात 96 सच है, और इनके बीच का factor 24 है। अब 6 दावे, हर एक double colon के साथ, और हर एक को परखना है। पहला, 4 अनुपात 7 double colon 12 अनुपात 21, 12 और 21 का HCF 3 है, तो वो 4 अनुपात 7 बनता है, दावा सच।

8:31दूसरा, 8 अनुपात 3 double colon 24 अनुपात 6, 24 और 6 का HCF 6 है, सरलतम रूप 4 अनुपात 1 आता है, जो 8 अनुपात 3 नहीं, दावा गलत। तीसरा, 7 अनुपात 12 double colon 12 अनुपात 7, दोनों पहले से सरलतम रूप में हैं, संख्याएँ वही पर क्रम उल्टा। ये दावा गलत है, और 6 में से अकेला यही दावा है जो सिर्फ़ दिशा की वजह से गिरता है, हिसाब की वजह से नहीं।

9:00चौथा, 21 अनुपात 6 double colon 35 अनुपात 10, पहले का HCF 3 और दूसरे का 5, दोनों 7 अनुपात 2 पर पहुँचते हैं, दावा सच। पाँचवाँ, 12 अनुपात 18 double colon 28 अनुपात 12, HCF 6 और 4, सरलतम रूप 2 अनुपात 3 और 7 अनुपात 3, दावा गलत। छठा, 24 अनुपात 8 double colon 9 अनुपात 3, HCF 8 और 3, दोनों 3 अनुपात 1 पर पहुँचते हैं, दावा सच।

9:38तो 6 में से 3 दावे सच हैं, पहला, चौथा और छठा, और ये फ़ैसला शक्ल देखकर नहीं, हर एक को छोटा करके हुआ। और पहले term वाला गलत नियम यहाँ 6 में से सिर्फ़ 3 दावों पर ठीक बैठता है, यानी आधी बार अंदाज़ा। अब इस मशीन को उल्टा चलाते हैं, 4 अनुपात 9 से शुरू करके उसका परिवार बनाते हैं। पहले, 4 अनुपात 9 में काटने को कुछ नहीं है, तो वो खुद इस परिवार का नाम है।

10:07दोनों terms को 2 से गुणा करें तो 8 अनुपात 18, और 3 से गुणा करें तो 12 अनुपात 27 मिलता है। फिर 5 से गुणा करें तो 20 अनुपात 45, और 10 से गुणा करें तो 40 अनुपात 90 मिलता है। इन 4 में से 4 सदस्य, अपने HCF से भाग देने पर, वापस 4 अनुपात 9 पर लौटते हैं। असल में 1 से 199 तक के गुणक लें, तो 199 में से 199 बार दावा वही रहता है, ये सूची कभी खत्म नहीं होती।

10:40इसीलिए अलग अलग लोगों की सूचियाँ अलग होती हैं, और फिर भी हर सूची ठीक हो सकती है। अब कुछ खाली जगहें, जिन्हें इस तरह भरना है कि हर जोड़ी 18 अनुपात 24 के साथ समानुपात में हो। यहाँ 18 और 24 का HCF 6 है, तो 18 अनुपात 24 का सरलतम रूप 3 अनुपात 4 है। पहले term में 3 जितनी बार आता है, दूसरे term में 4 उतनी ही बार आना चाहिए।

11:09तो 3 के साथ 4, 12 के साथ 16, और 27 के साथ 36 आता है, ये सब पूरी संख्याएँ निकलती हैं। पर 20 के साथ मुश्किल है, क्योंकि 20 में 3 पूरी बार नहीं जाता। देखिए, 20 गुणा 4 होता है 80, और 80 को 3 से भाग दें तो 26 आता है, और 2 बचता है। तो खाली जगह में 26 और 2 बटा 3 आता है, एक मिश्र संख्या, कोई गलती नहीं।

11:35ये मान लेना कि खाली जगह हमेशा पूरी संख्या से भरेगी, ठीक यहीं गलत साबित होता है। और 20 अनुपात 26 और 2 बटा 3 वही दावा करता है, यानी पहले term के हर 3 हिस्सों पर दूसरे के 4 हिस्से। अब एक ईंटों की दीवार, जिसमें कुछ ईंटें रंगीन हैं और बाकी सादी। रंगीन ईंटें एक तिकोना आकार बनाती हैं, ऊपर की पंक्ति में 3, बीच की पंक्ति में 2, और नीचे की पंक्ति में 1 रंगीन ईंट।

12:05ये नमूना हर 5 कॉलम के बाद दोहराता है, तो एक दोहराव 5 कॉलम चौड़ा और 3 पंक्तियाँ ऊँचा है। एक दोहराव में 15 ईंटें हैं, जिनमें 6 रंगीन और 9 सादी। तो सादी अनुपात रंगीन 9 अनुपात 6 है, और HCF 3 से भाग देने पर ये 3 अनुपात 2 बनता है। दीवार दोनों ओर चलती रहती है, और जितने भी पूरे दोहराव जोड़ें, ratio वही रहता है। इसलिए ratio पढ़ने से पहले, दोहराने वाला टुकड़ा ढूँढना ज़रूरी है।

12:38मान लीजिए दीवार का 17 कॉलम चौड़ा एक टुकड़ा दिखे, और कोई उसकी हर ईंट गिन ले। यहाँ 17 है 3 गुणा 5, और 2 बचे, यानी 3 पूरे दोहराव और 2 सादे कॉलम। ईंट दर ईंट गिनने पर 33 सादी और 18 रंगीन मिलती हैं, यानी ratio 33 अनुपात 18 बनता है। अब 33 और 18 का HCF 3 है, तो ये 11 अनुपात 6 बनता है, जो 3 अनुपात 2 नहीं है।

13:08ये गिनती उस टुकड़े का जवाब है जो सामने आ गया, दीवार का नहीं। दीवार किनारे के बाद भी चलती है, इसलिए दिखने वाली ईंटें गिनना उस सवाल का जवाब है जो किसी ने पूछा ही नहीं। गिनना ही है तो पूरे दोहराव गिनिए, 15 कॉलम लें तो 27 सादी और 18 रंगीन, और सरलतम रूप फिर से 3 अनुपात 2 निकलता है। दूसरी दीवार ऊँची है, 7 पंक्तियों की, और उसकी रंगीन ईंटें आपस में जुड़े षट्भुजों की एक कड़ी बनाती हैं।

13:40यहाँ नमूना हर 4 कॉलम के बाद दोहराता है, तो एक दोहराव 4 कॉलम गुणा 7 पंक्तियाँ, यानी 28 ईंटें। इनमें 12 रंगीन और 16 सादी हैं, तो सादी अनुपात रंगीन 16 अनुपात 12 है। और 16 और 12 का HCF 4 है, तो इस दीवार का नाम 4 अनुपात 3 है। अब 17 कॉलम के टुकड़े में 4 पूरे दोहराव और 1 सादा कॉलम आता है। हर ईंट गिनें तो 71 सादी और 48 रंगीन मिलती हैं, और 71 अनुपात 48 में काटने को कुछ है ही नहीं।

14:17वो पहले से सरलतम रूप में है, फिर भी गलत है, क्योंकि उसका नाम 4 अनुपात 3 नहीं है। पर 12 कॉलम, यानी 3 पूरे दोहराव गिनें, तो 48 सादी और 36 रंगीन, और सरलतम रूप फिर से 4 अनुपात 3 आता है। टुकड़ा गिनने से 2 में से 2 दीवारें गलत निकलीं, और पूरे दोहराव गिनने से 2 में से 2 ठीक। एक मापा हुआ ratio, 600 मिलीलीटर संतरे का रस और 900 मिलीलीटर सेब का रस मिलाया गया।

14:48सवाल संतरा अनुपात सेब पूछता है, तो पहला term 600 और दूसरा term 900 है। अब 600 और 900 का HCF 300 है, तो ये ratio 2 अनुपात 3 बनता है। यानी संतरे के रस के हर 2 हिस्सों के साथ, सेब के रस के 3 हिस्से। उल्टा लिखें, 900 अनुपात 600, तो वो 3 अनुपात 2 बनता है, जो अलग दावा है, समानुपात में नहीं। इसलिए ratio में क्रम वही रखिए जो सवाल में माँगा गया है।

15:21आखिर में, ये देखना कि simplest form क्या नहीं बताता। यहाँ C है 30 अनुपात 20, और D है 90 अनुपात 60, और दोनों का सरलतम रूप 3 अनुपात 2 है। पर D का हर term, C के term का 3 गुना है, यानी D कहीं बड़ी तस्वीर है। नाम 3 अनुपात 2 ये नहीं बताता कि तस्वीर 30 मिलीमीटर चौड़ी है या 90 मिलीमीटर। नाम सिर्फ़ ये बताता है कि चीज़ें किस हिसाब से साथ चलती हैं, कितनी हैं, ये नहीं।

15:53तो किसी ratio को उसके HCF से भाग दीजिए, जो बचे वो उसके पूरे परिवार का नाम है। नाम एक हों तो ratios समानुपात में हैं, खाली जगह पूरी संख्या न भी निकले, और नमूने में दोहराव गिनिए, टुकड़ा नहीं।