PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 7, Proportional Reasoning-1PrepShorts

Chapter 7 · Proportional Reasoning-1

proportion वाला सवाल हल करना, और त्रैराशिक (Trairasika) यानी rule of three

Using proportions13 मिनट

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6 गिलास नींबू पानी में 10 चम्मच चीनी जाती है, तो 18 गिलास में कितनी? गिलास 3 गुना हुए, तो चीनी भी 3 गुना, यानी 30 चम्मच। 3 संख्याएँ चौथी को तय कर देती हैं, और यही rule of three है।

मुख्य idea

अगर दो मात्राएँ एक ही factor से आपस में बँधी हैं, तो proportion की चार संख्याओं में से तीन चौथी को तय कर देती हैं, और जानने को कुछ और नहीं बचता। cross multiplication रटने वाली कोई तरकीब नहीं है: वह वही साझा factor है, fractions के बिना लिखा हुआ, और इसीलिए यही नियम प्राचीन भारत में शब्दों में एक विधि की तरह पहले ही कहा जा चुका था और आज भी काम करता है। नियम से ज़्यादा अहम उसका नतीजा है। जिस पल दोनों मात्राएँ किसी तय factor के बजाय किसी तय गुणनफल से बँधी हों — ज़्यादा रफ़्तार, कम समय — rule of three पूरे भरोसे के साथ ग़लत जवाब देता है, और chapter जान-बूझकर ऐसा एक सवाल बाक़ियों के बगल में रखता है ताकि यह साफ़ दिखे।

आपको क्या आना चाहिए

  • "तीन ज्ञात, एक अज्ञात" वाली स्थिति को proportion की तरह लिखना, दोनों ratios में दोनों मात्राओं को एक ही क्रम में रखते हुए
  • संगत पदों के बीच परिवर्तन का factor ढूँढ़ना और उससे अज्ञात पद निकालना, तब भी जब वह factor 1 से छोटा fraction हो
  • proportionality की परिभाषा से cross-multiplication का नियम निकालना, और उससे चौथा पद निकालना
  • आर्यभट (Āryabhaṭa) के rule of three को chapter के चार संस्कृत नामों में बताना और हर नाम को a : b :: c : d में उसकी जगह से मिलाना
  • हल करने से पहले जाँचना कि proportion के दोनों ratios एक ही इकाइयाँ इस्तेमाल करते हैं
  • परखना कि कोई स्थिति ऐसी है या नहीं जिस पर rule of three लागू होता है, और न हो तो कारण बताना
  • ratios के रूप में दिए गए कई मिश्रणों की तुलना करना और उन्हें strength के हिसाब से क्रम में रखना
  • कई क़दमों वाला proportion सवाल हल करना जिसका पहला क़दम किसी चित्र से पढ़ा गया नाप हो

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
factor of changeवह संख्या जो पहले ratio के किसी पद को दूसरे ratio के संगत पद तक ले जाती हैपरिवर्तन गुणकइसी chapter में छपा (Part I, §7.4, p.162)
cross multiplicationएक ratio के हर पद को दूसरे ratio के दूर वाले पद से गुणा करना, ताकि ad = bcतिर्यक् गुणनइसी chapter में छपा (Part I, §7.4, p.168)
Rule of Threeऐसे सवाल का प्राचीन नाम जिसमें तीन ज्ञात मात्राएँ और एक अज्ञात हो, proportional रूप से जुड़ी हुईत्रैराशिक नियमइसी chapter में छपा (Part I, §7.4, p.168)
Trairasikaइसी नियम का संस्कृत नाम, जो chapter में उप-शीर्षक की तरह आता हैत्रैराशिकइसी chapter में छपा (Part I, §7.4, p.167)
pramāṇaमाप — पहला पद, aप्रमाणइसी chapter में छपा (Part I, §7.4, p.168)
phalaफल — दूसरा पद, bफलइसी chapter में छपा (Part I, §7.4, p.168)
ichchhāमाँग — तीसरा पद, cइच्छाइसी chapter में छपा (Part I, §7.4, p.168)
ichchhāphalaप्राप्ति — चौथा और अज्ञात पद, dइच्छाफलइसी chapter में छपा (Part I, §7.4, p.168)
decoctioncoffee का गाढ़ा अर्क जिसे दूध में मिलाया जाता हैकाढ़ा / डिकॉक्शनइसी chapter में छपा (Part I, §7.4, p.164)
fixed productदो मात्राओं के बीच का वह संबंध जिनका गुणनफल नहीं बदल सकता, जैसे एक ही सफ़र के लिए रफ़्तार और समयस्थिर गुणनफलइस पाठ का शब्द; chapter Part I p.171 पर ऐसा उदाहरण दिखाता है और उसे कोई नाम नहीं देता
inverse proportionउस संबंध का standard नामव्युत्क्रम समानुपातइस chapter में नहीं छपा; यह वाक्यांश "Proportional Reasoning-2" (Part II, छपा हुआ Chapter 3) का है, जहाँ उस file में शब्द खोजने पर यह मिलता है

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है, सिवाय चार संस्कृत शब्दों के, जिन्हें chapter ख़ुद अपने अर्थों के साथ लिप्यंतरण में देता है। Ganita Prakash कक्षा 8 का Hindi संस्करण नहीं देखा गया।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "cross multiplication रटने वाला नियम है।" परिभाषा से वह algebra की बस एक line दूर है। उसे निकालकर दिखाओ; जिस class ने व्युत्पत्ति देखी है वह ग़लत जोड़ी को गुणा नहीं करती।
  • "ratios को किसी भी तरफ़ से लिखूँ, चल जाता है।" दोनों ratios में वही दो मात्राएँ उसी क्रम में होनी चाहिए। car वाले सवाल पर chapter की अपनी पहली कोशिश दिखाती है कि बेमेल कैसा दिखता है — वहाँ इकाइयों में, और वही अनुशासन क्रम का बेमेल भी पकड़ता है।
  • "factor का पूरी संख्या होना ज़रूरी है।" Example 7 की तीन ख़ाली जगहों में तीन बटा सात का factor है, और चावल वाला उदाहरण दो-तिहाई इस्तेमाल करता है।
  • "एक से छोटे factor का मतलब है कि मुझसे ग़लती हुई।" कम students, कम चावल। factor ठीक तभी 1 से छोटा होता है जब मात्रा घटती है।
  • "किसी कहानी की कोई भी चार संख्याएँ proportion में रखी जा सकती हैं।" यह chapter की अपनी चेतावनी है और section 11 के होने की वजह। अगर एक मात्रा दुगुनी करने से दूसरी दुगुनी नहीं होती, तो वहाँ rule of three का कोई काम नहीं।
  • "तेज़ मतलब ज़्यादा, इसलिए जवाब बढ़ेगा।" रफ़्तार वाले सवालों की सबसे आम ग़लती, और chapter इसे जान-बूझकर सामने रखता है।
  • "18 और गिलास का मतलब कुल 18 गिलास।" वाक्य को दो बार ज़ोर से पढ़ो। गणित के हिसाब से दोनों पढ़तें ठीक हैं; chapter की सिर्फ़ एक है।
  • "बड़े pack हमेशा सस्ते पड़ते हैं।" chapter की अपनी shampoo वाली table कुछ और कहती है। संख्याओं को बोलने दो।
  • "3.78 buses मतलब 3 buses।" गाड़ियों की गिनती को बच्चों को पीछे छोड़े बिना नीचे की ओर round नहीं किया जा सकता।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 2 Q2, Figure it Out · 7.6 Q2, Figure it Out · 7.6 Q5, Figure it Out · 7.6 Q11

पूरा transcript1,943 शब्द

कॉफ़ी का एक कप सोचिए, जिसका स्वाद हर बार एक जैसा होना चाहिए। साधारण कप में 15 मिलीलीटर कॉफ़ी और 35 मिलीलीटर दूध जाता है। कड़क कप में 20 मिलीलीटर कॉफ़ी और 30 मिलीलीटर दूध, और हल्के कप में 10 मिलीलीटर कॉफ़ी और 40 मिलीलीटर दूध। कोई इन्हें चखते हुए हिसाब नहीं लगाता, फिर भी इन्हें कड़क से हल्के तक लगाना आसान है। अब ratio में लिखें, तो 15 अनुपात 35 को HCF 5 से भाग देकर 3 अनुपात 7 बनता है।

कड़क कप 20 अनुपात 30, यानी 2 अनुपात 3 है, और हल्का कप 10 अनुपात 40, यानी 1 अनुपात 4 है। कड़क का मतलब है, जितना दूध है उसके हिसाब से ज़्यादा कॉफ़ी, और हल्के का मतलब है कम कॉफ़ी। इन कपों में एक सुविधा छिपी हुई है, जिस पर ध्यान कम जाता है। देखिए, 15 और 35 का जोड़ 50 है, 20 और 30 का जोड़ 50 है, और 10 और 40 का जोड़ भी यही है।

हर कप में कुल 50 मिलीलीटर है, तो सिर्फ़ कॉफ़ी देखकर बताया जा सकता है कि कौन कड़क है। कप का माप वही है, तो जितनी ज़्यादा कॉफ़ी, उतना कड़क स्वाद। अब एक तालिका लीजिए, जिसमें 5 मिश्रण हैं, हर एक कॉफ़ी अनुपात दूध के रूप में। ये हैं 300 अनुपात 600, 150 अनुपात 500, 200 अनुपात 400, 24 अनुपात 56, और 100 अनुपात 300 के मिश्रण। इनके कुल माप हैं 900, 650, 600, 80 और 400 मिलीलीटर, इनमें कोई भी आपस में बराबर नहीं।

कुल माप अलग अलग हैं, तो सिर्फ़ कॉफ़ी देखने वाला तरीका यहाँ काम नहीं करता। अब हर मिश्रण को साधारण कप के 3 अनुपात 7 से मिलाना है। तरीका ये है, कॉफ़ी को 7 से गुणा कीजिए और दूध को 3 से, और दोनों गुणनफलों की तुलना कीजिए। पहले मिश्रण में 300 गुणा 7 है 2100, और 600 गुणा 3 है 1800, कॉफ़ी वाला गुणनफल बड़ा है, तो ये कड़क है।

दूसरे मिश्रण में 1050 और 1500 आते हैं, कॉफ़ी वाला गुणनफल छोटा है, तो ये हल्का है। तीसरे में 1400 और 1200, यानी कड़क, और पाँचवें में 700 और 900, यानी हल्का। चौथे में 24 गुणा 7 और 56 गुणा 3, दोनों 168 हैं, यानी ये ठीक साधारण कप वाला मिश्रण है। और 24 अनुपात 56 को छोटा करें, तो वो 3 अनुपात 7 ही निकलता है, बस मात्रा बिल्कुल अलग है।

तो 5 में से 2 मिश्रण कड़क हैं, 2 हल्के हैं, और 1 बिल्कुल साधारण। ध्यान दीजिए, 150 मिलीलीटर कॉफ़ी वाला मिश्रण, 24 मिलीलीटर वाले से कहीं ज़्यादा कॉफ़ी रखता है, फिर भी वही हल्का है। नींबू पानी के 6 गिलास में 10 चम्मच चीनी लगी। अब कोई उसी स्वाद के 18 गिलास और माँगता है। यहाँ 4 में से 3 संख्याएँ पता हैं और 1 नहीं, सवाल का पूरा ढाँचा बस इतना है।

यानी 6 अनुपात 10, double colon, 18 अनुपात खाली जगह। देखिए, 18 है 6 का 3 गुना, तो पहले ratio से दूसरे तक ले जाने वाला factor 3 है। वही 3 दूसरे term पर लगाइए, 10 गुणा 3, यानी 30 चम्मच। जाँच के लिए, 6 गुणा 30 होता है 180, और 10 गुणा 18 का गुणनफल वही 180 है। पर सवाल को ध्यान से देखिए, 18 गिलास और, यानी पहले के 6 के अलावा 18 नए गिलास।

इस तरह पढ़ें तो जवाब है 30 चम्मच और चीनी। कोई इसे कुल 24 गिलास पढ़े, तो factor 24 बटा 6, यानी 4 होता है, और जवाब 40 चम्मच आता है। और देखिए, पहले के 10 और नए 30 मिलकर 40 चम्मच होते हैं, यानी कुल 24 गिलास पर दोनों पढ़ाइयाँ मिल जाती हैं। तो 40 वाला जवाब लापरवाही नहीं, सवाल को अलग तरह से पढ़ना है। हल करने से पहले ये तय करना कि सवाल असल में क्या पूछ रहा है, हिसाब का ही हिस्सा है।

कहीं नहीं लिखा कि factor पूरी संख्या ही होगा। अब 14 अनुपात 21 से शुरू करके, 3 खाली जगहें भरते हैं। पहली, खाली जगह अनुपात 42, यहाँ 42 है 21 का 2 गुना, तो खाली जगह में 14 गुणा 2, यानी 28 आता है। दूसरी, 6 अनुपात खाली जगह, यहाँ 6 है 14 का 3 बटा 7 हिस्सा। तो जोड़ीदार भी 21 का 3 बटा 7 हिस्सा होगा, जो 9 बनता है।

तीसरी, 2 अनुपात खाली जगह, यहाँ 2 है 14 का 1 बटा 7, तो जवाब 21 का 1 बटा 7, यानी 3 आता है। इन 3 में से 2 factors 1 से छोटे हैं, और तरीके को इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ा। और ये सब जोड़ियाँ, 14 अनुपात 21 की तरह, HCF से भाग देने पर 2 अनुपात 3 ही बनती हैं। एक स्कूल के 120 बच्चों के दोपहर के खाने में 15 किलो चावल लगता है।

बारिश वाले दिन सिर्फ़ 80 बच्चे स्कूल आते हैं। यानी 120 अनुपात 15, double colon, 80 अनुपात एक खाली जगह। यहाँ factor है 80 बटा 120, जो छोटा करके 2 बटा 3 बनता है। और 15 का 2 बटा 3 हिस्सा है 10, तो 10 किलो चावल चाहिए। जवाब कम हुआ, और उसकी वजह साफ़ है, factor 1 से छोटा है। अगर factor 1 से छोटा है, तो ये कोई गलती नहीं, कम बच्चे यानी कम खाना।

जाँच वही है, 120 गुणा 10 और 15 गुणा 80, दोनों 1200 होते हैं। ये सारे सवाल एक ही चाल थे, तो इसे एक बार हमेशा के लिए लिख लेते हैं। मान लीजिए a अनुपात b, double colon, c अनुपात d है। तीसरा term पहले का किसी factor गुना है, यानी c बराबर f गुणा a। चौथा term दूसरे का वही factor गुना है, यानी d बराबर f गुणा b।

तो f है c बटा a, और वही f है d बटा b, यानी c बटा a बराबर d बटा b। दोनों तरफ़ a गुणा b से गुणा करें, तो भिन्न हट जाते हैं, और b गुणा c बराबर a गुणा d बचता है। यही cross multiplication है, कोई रटने वाली चाल नहीं, बस साझा factor, बिना भिन्न के लिखा हुआ। और कॉफ़ी की तालिका में 7 और 3 वाला गुणा भी यही था, a गुणा d और b गुणा c की तुलना।

इसे पलटें, तो d बराबर b गुणा c, बटा a हो जाता है। अब चौथा term सीधे उन 3 संख्याओं से निकलता है, जो दी गई हैं। नींबू पानी पर, 10 गुणा 18 है 180, और 6 से भाग देकर 30 मिलता है। चावल पर, 15 गुणा 80 है 1200, और 120 से भाग देकर 10 मिलता है। दूसरी खाली जगह पर, 21 गुणा 6 है 126, और 14 से भाग देकर 9 मिलता है।

वही 3 जवाब मिले, और पहले कोई factor ढूँढना नहीं पड़ा। दोनों रास्ते एक ही संख्या पर पहुँचते हैं, क्योंकि असल में दोनों एक ही बात हैं। ये तरीका बहुत पुराना है, colon या अनजानी संख्या के लिए letter लिखने से बहुत पहले, इसे एक वाक्य में कहा जाता था। उसमें 3 जानी हुई मात्राओं और 1 अनजानी मात्रा के अलग अलग नाम थे। प्रमाण, यानी पैमाना, फल, यानी नतीजा, इच्छा, यानी जो चाहिए, और इच्छाफल, यानी जो ढूँढना है।

ये पहला, दूसरा और तीसरा term हैं, और चौथा वो term जिसे ढूँढना है। नियम एक वाक्य का है, फल को इच्छा से गुणा कीजिए, और प्रमाण से भाग दीजिए। नींबू पानी में प्रमाण 6 गिलास, फल 10 चम्मच, इच्छा 18 गिलास, और इच्छाफल 30 चम्मच है। यानी d बराबर b गुणा c बटा a, बस शब्दों में, नया सिर्फ़ लिखने का ढंग है, तरीका नहीं। एक कार 150 मिनट में 90 किलोमीटर चलती है।

उसी रफ़्तार से वो 4 घंटे में कितनी दूर जाएगी? पहली कोशिश में लिखा जाता है, 150 अनुपात 90, double colon, 4 अनुपात खाली जगह। ये पहली कोशिश गलत है, और इसकी गलती हिसाब में नहीं है। यहाँ 150 मिनट में है और 4 घंटों में, यानी पहला और तीसरा term एक ही चीज़ नहीं नापते। इसे ऐसे ही हल करें, तो जवाब आता है कि 4 घंटे में कार सिर्फ़ 2 और 2 बटा 5 किलोमीटर चली, जो साफ़ तौर पर बेतुका है।

इसलिए हल करने से पहले, दोनों ratios में इकाइयाँ एक जैसी होनी चाहिए। अब 4 घंटे यानी 4 गुणा 60, कुल 240 मिनट। अब ये बनता है 150 अनुपात 90, double colon, 240 अनुपात खाली जगह। यहाँ factor है 240 बटा 150, जो 8 बटा 5 बनता है। और 90 का 8 बटा 5 गुना है 144, तो कार 144 किलोमीटर जाएगी। जाँच के लिए, 150 गुणा 144 और 90 गुणा 240, दोनों 21600 होते हैं।

एक और रास्ता भी है, कार हर 60 मिनट में 36 किलोमीटर चलती है, और 4 घंटे में 4 गुणा 36, यानी वही 144 किलोमीटर। इकाइयाँ मिलाते ही बेतुका जवाब ठीक हो गया, हिसाब का तरीका वही रहा। अब एक पुराना सवाल, जिसमें हर संख्या अटपटी है। केसर के 2 और 1 बटा 2 माप से, 3 बटा 7 बर्तन रंग बनता है। तो 9 बर्तन रंग के लिए कितना केसर चाहिए?

यानी 3 बटा 7 अनुपात 2 और 1 बटा 2, double colon, 9 अनुपात खाली जगह। यहाँ factor है 9 को 3 बटा 7 से भाग देना, यानी 9 गुणा 7 बटा 3, जो 21 बनता है। और 2 और 1 बटा 2 का 21 गुना है 52 और 1 बटा 2, तो इतने माप केसर चाहिए। जाँच भी वही है, दोनों तिरछे गुणनफल 45 बटा 2 निकलते हैं। भिन्नों की वजह से तरीका ज़रा भी नहीं बदला, ये सिर्फ़ देखने में मुश्किल लगता है।

पिछली बार 3 बसों में 162 लोग गए, और हर बस पूरी भरी हुई थी। यानी हर बस में 162 बटा 3, यानी 54 लोग बैठते हैं। इस बार 204 लोग जाने हैं, तो कितनी बसें चाहिए? यहाँ 162 अनुपात 3, double colon, 204 अनुपात खाली जगह से जवाब आता है 3 गुणा 204 बटा 162, जो 34 बटा 9 बसें बनता है। ये 3 और 7 बटा 9 है, कोई पूरी संख्या नहीं।

बसें टुकड़ों में नहीं आतीं, और 3 बसों में सिर्फ़ 162 लोग बैठते हैं, यानी 42 लोग छूट जाएँगे। तो 4 बसें चाहिए, जिनमें 216 सीटें हैं, यानी 12 सीटें खाली रहेंगी। यहाँ नीचे की ओर गोल करना गलत होता, क्योंकि गिनती लोगों की है, और कोई पीछे नहीं छूट सकता। अब देखिए, ये पूरा तरीका कैसे टूटता है। एक सवार एक सड़क को 50 किलोमीटर प्रति घंटा की रफ़्तार से 2 घंटे में पार करता है।

उसी सड़क पर 75 किलोमीटर प्रति घंटा की रफ़्तार से कितना समय लगेगा? पहले की तरह लिखें, तो 50 अनुपात 2, double colon, 75 अनुपात खाली जगह। नियम बिना रुके, बिना कोई शिकायत किए जवाब देता है, 3 घंटे। मतलब, पहले से तेज़ चलो, और 1 घंटा ज़्यादा लगाओ। जवाब थोड़ा सा गलत नहीं, बल्कि उल्टी दिशा में गया, और नियम ने कोई चेतावनी नहीं दी। आखिर इस सवाल में ऐसा अलग क्या है?

जिन सवालों में नियम चला, उनमें दोनों मात्राएँ एक साझा factor से बँधी थीं, गिलास 3 गुना, तो चीनी भी 3 गुना। यहाँ दोनों मात्राएँ एक तय गुणनफल से बँधी हैं। जो नहीं बदलता, वो सड़क है, 50 गुणा 2 यानी 100 किलोमीटर, और वो 100 ही रहती है। तो 75 गुणा असली समय भी 100 होगा, यानी समय 4 बटा 3 घंटे है, जो 80 मिनट बनता है। तेज़ चलने पर कम समय, यानी वही जो कोई भी हिसाब से पहले कह देता।

रफ़्तार 25 हो तो 4 घंटे, 50 पर 2 घंटे, 100 पर 1 घंटा, और हर बार गुणनफल 100 ही रहता है। बैलों की एक जोड़ी 1 एकड़ में 6 घंटे लेती है, तो 20 एकड़ में 120 घंटे लगते हैं। उनसे 4 गुना तेज़ मशीन 30 घंटे लेगी, जबकि rule of three 480 घंटे बताता। तो ratio लिखने से पहले जाँचने की बात एक ही है, एक मात्रा बढ़े तो दूसरी भी साथ बढ़ती है, या उनका गुणनफल तय रहता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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