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Chapter 3 · Proportional Reasoning-2

एक साथ तीन या ज़्यादा मात्राओं के ratios

Ratios with more than two terms11 मिनट

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8 चम्मच paprika, 4 काली मिर्च, 2 लहसुन और 1 नमक, ये 4 अलग मात्राएँ नहीं, एक ही ratio है जिसके 4 पद हैं। उसमें 6 वादे बंद हैं, और 2 चम्मच काली मिर्च से निकला एक गुणक पूरा मसाला तय कर देता है।

मुख्य idea

चार पदों वाला ratio ऐसा लगता है जैसे चार तुलनाओं का हिसाब रखना हो, पर असल में वह एक ही संख्या है जिसे ढूँढ़ना बाक़ी है। ऐसा ratio सिर्फ़ एक चीज़ की मनाही करता है — किसी एक मात्रा का बाक़ियों से अलग तरह scale होना — इसलिए किसी भी एक मात्रा को तय कर देने से साझा factor तय हो जाता है, और फिर वह factor बाक़ी हर मात्रा आपको मुफ़्त में दे देता है। इसीलिए ratio के रूप में बताया गया मिश्रण किसी भी आकार में बनाया जा सकता है और फिर भी वही मिश्रण रहता है — और इसीलिए उसमें किसी भी चीज़ का कोई आकार तब तक नहीं होता जब तक आप कोई एक मात्रा चुन न लें।

आपको क्या आना चाहिए

  • तीन या ज़्यादा सामग्रियों वाले मिश्रण को बताए गए क्रम में एक बहु-पद ratio के रूप में लिखना
  • बहु-पद ratio को जोड़ी-दर-जोड़ी दावों के समूह की तरह पढ़ना, और उसके किन्हीं दो पदों के बीच का दावा अलग करके बताना
  • scale किए गए मिश्रण की एक मात्रा दी हो, तो साझा factor निकालना और उससे बाक़ी हर मात्रा निकालना
  • समझाना कि एक ही साझा factor सभी पदों पर क्यों लगना चाहिए, और एक ठोस फ़ेल होने वाला उदाहरण देना जो दिखाए कि वरना क्या बिगड़ता है
  • chapter के double-colon notation से दो proportional बहु-पद ratios लिखना, और बताना कि वह किस बराबर quotients वाले संबंध के लिए है
  • ऐसे ratio के साथ काम करना जिसके पद पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं, और उसका पूर्ण संख्याओं वाला equivalent रूप बनाना
  • scale किए गए मिश्रण का कुल निकालना और बताना कि कुल, ratio की अपनी जानकारी का हिस्सा क्यों नहीं है
  • बताना कि n पदों वाला ratio कितनी स्वतंत्र जानकारियाँ रखता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
termsratio के अंदर, बताए गए क्रम में लिखी अलग-अलग मात्राएँपदइसी chapter में छपा, Part II §3.3 (Part II p.57), जहाँ chapter उनमें से चार गिनता है
proportional relationshipउन मात्राओं के बीच का संबंध जो सब एक ही साझा factor से बदलती हैंसमानुपाती संबंधइसी chapter में छपा, Part II §3.1 में और फिर §3.3 में (Part II pp.55, 57)
factorवह गुणक जिससे ratio का हर पद एक साथ बदला जाता हैगुणकइसी chapter में छपा, Part II §3.3 (Part II p.57)
partsवे इकाइयाँ जिनमें ratio गिनता है, हर एक एक पद के बराबरभागइसी chapter में छपा, Part II §3.3, Example 1 के हल में (Part II p.58)
Red : Blue : Whiteसामग्रियों का वह क्रम जो पेंट वाला उदाहरण कोई भी संख्या आने से पहले तय करता है—इसी chapter में छपा, Part II §3.3, Example 1 (Part II p.58); यहाँ इसलिए दिया है कि क्रम भी data का हिस्सा है
common factor of a mixtureवह एक गुणक जो बताए गए नुस्ख़े को असली घान पर ले जाता है—इस पाठ का शब्द; chapter इसके लिए सिर्फ़ शब्द factor इस्तेमाल करता है
whole-number twinऐसा equivalent ratio जिसके सारे decimals हटा दिए गए हों, सभी पदों को गुणा करके पाया गया—इस पाठ का शब्द; chapter इसका नाम कभी नहीं लेता, हालाँकि Example 3 (Part II p.59) बिना कुछ कहे ऐसे एक ratio, 20 : 30 : 60, तक पहुँच जाता है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "a : b : c सिर्फ़ पड़ोसियों की तुलना करता है।" वह हर जोड़ी की तुलना करता है। इस मसाले में धनिया और मेथी 8 : 1 है, और जो student यह संख्या नहीं निकाल सकता उसने ratio पढ़ा ही नहीं।
  • "8 : 4 : 2 : 1 बताता है कि मुझे कितना पाउडर मिलेगा।" वह मात्राओं के बारे में कुछ नहीं बताता। जब तक कोई एक मात्रा तय न हो, कोई कुल नहीं होता, और ठीक इसीलिए दोनों हल किए गए उदाहरण आपको एक मात्रा देकर शुरू होते हैं।
  • "ratio के पद पूर्ण संख्याएँ ही होने चाहिए।" इस chapter में 0.5 और 1.5 पद हैं। ratio सापेक्ष आकार का कथन है, और सापेक्ष आकारों का पूर्णांक होना ज़रूरी नहीं।
  • "तो 4 : 2 : 1 : 0.5, 8 : 4 : 2 : 1 से अलग और ख़राब नुस्ख़ा है।" दोनों एक ही नुस्ख़ा हैं। हर पद को दोगुना करके देखिए।
  • "मिर्च आधी करने का मतलब है मिर्च आधी करना।" इसका मतलब है पूरा घान आधा करना। इस section की यही सबसे आम ग़लती है और section 4 इसी के लिए है।
  • "scale करने के लिए हर सामग्री में बराबर मात्रा जोड़ी या घटाई जाती है।" 8, 4, 2, 1 में से हर एक से एक चम्मच हटाइए और मेथी पूरी तरह ग़ायब हो जाती है जबकि धनिया पर मुश्किल से फ़र्क़ पड़ता है। गुणा करने से ratio बना रहता है; जोड़ने से नहीं।
  • "सामग्रियों का क्रम कैसा भी रखा जा सकता है।" ratio लिख दिए जाने के बाद क्रम data है। Example 1 कोई संख्या आने से पहले रंगों का क्रम बता देता है, और 2 : 3 : 5 को सफ़ेद-लाल-नीला पढ़ने से अलग पेंट बनता है।
  • "4.5 बोरियाँ और आधा चम्मच ग़लतियाँ हैं।" हिसाब यही कहता है। आधी बोरी cement ख़रीदी जा सकती है या नहीं, यह अलग और असली सवाल है, और इसे छिपाने के बजाय इसी रूप में नाम देना ठीक है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,766 शब्द

यहाँ एक सूखा मसाला बन रहा है, जो एक साथ कई चीज़ों को पीसकर बनता है। इसमें 8 चम्मच paprika है, 4 चम्मच काली मिर्च, 2 चम्मच लहसुन, और 1 चम्मच नमक। किसी ratio में अगर सिर्फ़ 2 पद हों, तो वो बस एक चीज़ को दूसरी से तौलता है, और यहाँ वो कम पड़ जाता है। इसलिए इसे एक ही ratio में लिखते हैं, 8, 4, 2 और 1, यानी 4 पद, उसी क्रम में जिसमें चीज़ों के नाम लिए गए।

पहली नज़र में लगता है कि यहाँ 4 अलग अलग चीज़ों का हिसाब रखना है। पर असल में ये एक ही संख्या है, जो बस मिलने का इंतज़ार कर रही है। तो पहले पूछिए कि ये ratio असल में वादा क्या करता है। पहले paprika और काली मिर्च, 8 के मुक़ाबले 4, यानी 2 के मुक़ाबले 1 वाला वादा। काली मिर्च और लहसुन में भी 2 के मुक़ाबले 1 वाला वादा है, और लहसुन और नमक में भी।

पर ये तो सिर्फ़ पड़ोसी जोड़ियाँ हैं, और 4 पदों से 6 जोड़ियाँ बनती हैं, 3 नहीं। अब दूर वाली जोड़ियाँ, paprika और लहसुन में 8 के मुक़ाबले 2, यानी 4 के मुक़ाबले 1 वाला वादा है। काली मिर्च और नमक में भी 4 के मुक़ाबले 1 वाला वादा है। और paprika और नमक, जो एक दूसरे से सबसे दूर हैं, उनमें 8 के मुक़ाबले 1 वाला वादा है। तो इस एक ratio में असल में 6 वादे एक साथ बंद हैं, 3 पास वाले और 3 दूर वाले।

कई लोग मान लेते हैं कि ऐसा ratio सिर्फ़ पड़ोसियों की तुलना करता है। ऐसी पढ़ाई 6 में से 3 वादों पर तो ठीक है, पर बाकी 3 को पूरा छोड़ देती है। छूटते हैं पहला और तीसरा, पहला और चौथा, और दूसरा और चौथा पद। और ये छूटे हुए वादे भी उतने ही पक्के हैं, जितने पास वाले। यानी ratio ने जो कहा, उसका आधा हिस्सा ही ग़ायब हो गया।

अगर आप paprika और नमक के बीच 8 के मुक़ाबले 1 नहीं निकाल सकते, तो आपने ये ratio पढ़ा ही नहीं। एक बात और, इस ratio में क्रम भी एक जानकारी है। पहला पद paprika का है, दूसरा काली मिर्च का, तीसरा लहसुन का, और चौथा नमक का। अगर पहले दोनों पदों की संख्याएँ आपस में बदल दें, तो 6 में से 5 वादे बदल जाते हैं। और पूरा क्रम उल्टा कर दें, तो 6 में से 6 वादे बदल जाते हैं, और नमक paprika का 8 गुना हो जाता है।

यानी वही संख्याएँ, ग़लत क्रम में, एक बिल्कुल अलग मसाला बना देती हैं। अब मान लीजिए किसी के पास वही मसाला बनाने के लिए सिर्फ़ 2 चम्मच काली मिर्च है। नुस्खे में काली मिर्च 4 चम्मच है, और 2 को 4 से भाग दें तो आधा मिलता है। बस यही एक संख्या पूरा जवाब है। तो सब कुछ आधा कीजिए, paprika 4 चम्मच, काली मिर्च 2, लहसुन 1, और नमक आधा चम्मच।

इसे ratio में लिखें, तो ये 4, 2, 1 और 0 दशमलव 5 बनता है। और जाँचिए, 6 में से 6 वादे वैसे के वैसे हैं, बस मात्रा छोटी हुई है। मसाला वही है, स्वाद वही है, बस कटोरा छोटा हो गया है। पदों में से कोई भी लीजिए, नुस्खे से भाग देने पर हर बार वही आधा मिलता है। ये गुणक हर पद पर क्यों लगना चाहिए? मान लीजिए नमक को आधा करना भूल गए, तो मसाला बना 4, 2, 1 और 1 वाला।

जिन 3 वादों में नमक नहीं आता, वो अब भी वही हैं, paprika और काली मिर्च 2 के मुक़ाबले 1, काली मिर्च और लहसुन भी 2 के मुक़ाबले 1, और paprika और लहसुन 4 के मुक़ाबले 1 पर। पर जिन 3 वादों में नमक है, वो तीनों आधे हो गए। लहसुन और नमक 2 के मुक़ाबले 1 से गिरकर 1 के मुक़ाबले 1 हो गए, काली मिर्च और नमक 4 से 2 पर, और paprika और नमक 8 से 4 पर।

यानी बाकी 3 चीज़ों के मुक़ाबले नमक अब दोगुना है, और मसाला ज़रूरत से ज़्यादा नमकीन है। और ये बात सिर्फ़ नमक की नहीं है। हर पद 6 में से ठीक 3 जोड़ियों में आता है, और ऐसा 4 में से 4 पदों के साथ है। इसलिए कोई भी एक पद बाकियों से अलग चले, तो ठीक वही 3 वादे टूटते हैं जिनमें वो है, और कोई नहीं। मसलन, अगर सिर्फ़ लहसुन को आधा न करें, तो लहसुन वाले 3 वादे टूटेंगे, और paprika, काली मिर्च और नमक के बीच के 3 वादे बचे रहेंगे।

एक पद की चूक आधा ratio तोड़ देती है, और वो भी ठीक उसका अपना आधा। कोई सोच सकता है कि मसाला छोटा करने के लिए हर चीज़ से एक चम्मच निकाल दो। तब बचता है 7, 3, 1 और 0, यानी नमक पूरा ग़ायब। और बाकी 3 चीज़ों के बीच के 3 वादे भी टूट जाते हैं, paprika और काली मिर्च अब 7 बटा 3 पर है, 2 पर नहीं।

जबकि आधा करने पर 6 में से 6 वादे बचे रहे थे। किसी ratio को गुणा बचाता है, जोड़ना या घटाना उसे तोड़ देता है। जो अभी हुआ, उसे लिखने का एक छोटा तरीका भी है। दोनों मसालों के बीच दोहरे colon का निशान लगाते हैं, जिसका मतलब है कि दोनों पद दर पद एक ही अनुपात में हैं। उसके पीछे भागों की एक कड़ी छिपी है, 8 बटा 4, 4 बटा 2, 2 बटा 1, और आख़िर में 1 को 0 दशमलव 5 से भाग।

इनमें से हर एक ठीक 2 है, 4 में से 4 बार। यही साझा 2 बताता है कि नुस्खा इस मसाले का ठीक दोगुना है, कड़ी का असली मतलब यही है। नमकीन मसाले पर यही कड़ी 2, 2, 2 और फिर 1 देती है, और एक संख्या पर टिकती ही नहीं। यही जाँच है, और जाँच में फ़ेल होना ऐसा दिखता है। अब नमक वाले उस पद की बात करते हैं, जो सिर्फ़ आधा चम्मच है।

बहुत से लोग मानते हैं कि ratio के पद पूरी संख्याएँ ही होने चाहिए, पर ये ठीक नहीं है। आधा चम्मच नमक एक असली मात्रा है, जिसे नापकर डाला जा सकता है। आधा चम्मच, आधा लीटर, आधी बोरी, ऐसी मात्राएँ तो रोज़ नापी जाती हैं। किसी ratio में दशमलव कोई ग़लती नहीं, वो भी एक पद है, और बाकी पदों जैसा ही बर्ताव करता है। फिर भी, दशमलव अक्सर नुस्खे के बारे में नहीं, बल्कि इस बारे में बताता है कि कौन सा मसाला पहले सामने आया।

आधे मसाले के हर पद को दोगुना कीजिए, तो सीधे 8, 4, 2 और 1 वापस मिलता है। यानी वो आधा, नुस्खे का हिस्सा कभी था ही नहीं। कंक्रीट में सीमेंट, रेत और बजरी का नुस्खा है, सीमेंट 1, रेत 1 दशमलव 5 और बजरी 3 भाग। हर पद को दोगुना करें, तो यही नुस्खा 2, 3 और 6 बन जाता है, बिना किसी दशमलव के। और 20, 30 और 60 वाला मिश्रण भी यही नुस्खा है, बस 10 गुना बड़ा।

मात्रा काफ़ी बड़ी हो, तो पूरी संख्याओं वाला रूप अपने आप सामने आ जाता है। अब यही तरीका एक नए सवाल पर, जहाँ जानी हुई मात्रा किसी और जगह है। बैंगनी रंग का एक shade लाल, नीले और सफ़ेद को 2, 3 और 5 के हिसाब से मिलाकर बनता है। किसी के पास 10 लीटर सफ़ेद रंग है, और वो उसे पूरा इस्तेमाल करना चाहता है। ध्यान दीजिए, मसाले में जानी हुई मात्रा दूसरा पद थी, यहाँ वो आख़िरी पद है।

कोई जगह ख़ास नहीं है, और कुछ भी उलट पलट करने की ज़रूरत नहीं। पर क्रम पर ध्यान रहे, अगर कोई 2, 3 और 5 को सफ़ेद, लाल और नीला पढ़ ले, तो लाल 15 लीटर और नीला 25 लीटर निकलेगा। ये बिल्कुल अलग रंग होगा, क्योंकि क्रम भी नुस्खे का हिस्सा है। इस तरीके में बस 2 ही कदम हैं। पहला, जो मात्रा आपके पास है, उसे उसके अपने पद से भाग दीजिए, 10 लीटर सफ़ेद को 5 भागों से, तो 1 भाग 2 लीटर का।

यही 2 गुणक है, और ढूँढना बस इसी को था। दूसरा, हर पद को इससे गुणा कीजिए, लाल 2 भाग यानी 4 लीटर, नीला 3 भाग यानी 6 लीटर। और सफ़ेद 5 भाग यानी 10 लीटर, वही जिससे शुरू किया था, और ये अपने आप में एक जाँच है। एक भाग से एक हिस्से की मात्रा, फिर हर चीज़ के लिए एक गुणा, ratio कितना भी लंबा हो, तरीका यही है।

तो इससे कुल कितना बैंगनी रंग बनेगा? लाल 4, नीला 6 और सफ़ेद 10, कुल मिलाकर 20 लीटर। पर देखिए ये 20 कहाँ से आया, ये मिश्रण से आया, ratio में ये कभी था ही नहीं। उसी बैंगनी रंग के 4 अलग मिश्रण बनाइए, सफ़ेद 5, 10, 20 और 100 लीटर लेकर। तो कुल बनता है 10, 20, 40 और 200 लीटर, और 4 में से 4 मिश्रण हर वादा निभाते हैं।

मिश्रण बड़ा हो या छोटा, रंग वही बैंगनी रहता है, क्योंकि उसके वादे वही हैं। नुस्खे के अपने पद जोड़ें तो 10 आता है, जो 4 में से सिर्फ़ 1 मिश्रण से मेल खाता है। तो जब तक कोई एक मात्रा तय न करे, कुल जैसी कोई चीज़ होती ही नहीं, और इसीलिए ऐसे सवाल में एक मात्रा पहले से दी जाती है। एक और उदाहरण, जिसका एक पद आपको खटक सकता है।

किसी खंभे के लिए कंक्रीट में सीमेंट 1, रेत 1 दशमलव 5 और बजरी 3 भाग लगते हैं, और पास में 3 बोरी सीमेंट है। सीमेंट 1 भाग है और बोरियाँ 3 हैं, तो गुणक 3 हुआ। तो सीमेंट 3 बोरी, रेत 4 दशमलव 5 बोरी, और बजरी 9 बोरी। ये आधी बोरी न ग़लती है, न गोल करने का नतीजा, आधा तो नुस्खे में पहले से था, गुणा ने उसे बस आगे बढ़ाया।

आधी बोरी सच में खरीदी जा सकती है या नहीं, ये अलग सवाल है, और ईमानदारी से उसे अलग ही रखना चाहिए। कुल मिलाकर सीमेंट 3, रेत 4 दशमलव 5 और बजरी 9 बोरी, यानी 16 दशमलव 5 बोरी मिश्रण। तो 4 पदों वाला ratio असल में कितनी जानकारी देता है? जवाब है 4 नहीं, सिर्फ़ 3 संख्याएँ। दूसरे, तीसरे और चौथे पद की तुलना पहले से तय कर दीजिए, तो पूरा ratio तय हो जाता है, क्योंकि सबको एक साथ बढ़ाने से कुछ नहीं बदलता।

इसी तरह 3 पदों वाला ratio 2 संख्याएँ देता है, और 2 पदों वाला सिर्फ़ 1, यानी जितना दिखता है उससे एक कम। इसीलिए एक नापी हुई मात्रा काम पूरा कर देती है, न ज़्यादा, न कम। नुस्खे में मिश्रण से ठीक एक संख्या कम थी, और नाप वही संख्या है। कोई ratio मात्राओं की सूची नहीं है, वो एक बनावट है, और जब तक आप कोई एक मात्रा न चुनें, उसका कोई आकार ही नहीं होता।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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