PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 2, The Baudhāyana-Pythagoras TheoremPrepShorts

Chapter 2 · The Baudhāyana-Pythagoras Theorem

theorem का इस्तेमाल: Līlāvatī की झील वाले कमल की समस्या

Integer triples, and beyond13 मिनट

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एक फूल पानी से 1 इकाई ऊपर है, और हवा उसे झुकाकर 3 इकाई दूर पानी पर लिटा देती है। बस इतना दिया है, और सवाल है कि झील कितनी गहरी है।

मुख्य idea

Līlāvatī की यह समस्या असंभव लगती है क्योंकि वह जो कुछ देती है, उसमें से कुछ भी वह चीज़ नहीं है जो वह माँगती है: तुम जानते हो कि फूल पानी से कितना ऊपर खड़ा था और हवा उसे कितनी दूर ले गई, और तुमसे ऐसी गहराई पूछी जाती है जिसे किसी ने नापा नहीं। यह हल हो सकती है क्योंकि झुका हुआ डंठल वही डंठल है — उसकी length नहीं बदली — इसलिए गहराई x और पूरा डंठल x + 1 एक ही अज्ञात के दो व्यंजक हैं, और theorem उन्हें 3 से बाँध देता है। फिर असली हैरानी: squares कट जाते हैं। जो समीकरण quadratic दिखता है वह linear है, और गहराई दो lines में निकल आती है। अपने अज्ञात का नाम ऐसे रखना कि एक ही राशि दो काम करे — यही चाल है, और यह जवाब से ज़्यादा क़ीमती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • शब्दों और चित्र में दी गई समस्या को नाम लिखे हुए right triangle में बदलना
  • अज्ञात को ऐसे चुनना कि समस्या की दूसरी राशि दूसरा अज्ञात बनने के बजाय उसी का व्यंजक बन जाए
  • वे मान्यताएँ बताना जिन पर हल टिका है, उस मान्यता समेत जो chapter बिना कहे छोड़ देता है
  • 3² + x² = (x + 1)² बनाना, उसे फैलाना, और x² वाले पदों को कटते देखना
  • बचा हुआ linear समीकरण हल करना और जवाब को वापस चित्र में पढ़ना
  • ध्यान देना कि पूरा हुआ triangle 3, 4, 5 है, और उसे §2.5 की सूची से जोड़ना
  • theorem को square के diagonal पर, और दो diagonals दिए होने पर rhombus पर लगाना
  • सही ठहराना कि right triangle की सबसे लंबी side हमेशा उसका hypotenuse होती है
  • शीर्षलंब गिराकर theorem को ऐसे triangle पर इस्तेमाल करना जो right नहीं है, जैसा समबाहु triangle वाला सवाल माँगता है

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
LīlāvatīBhāskarāchārya का गणित ग्रंथ, इस समस्या का स्रोतलीलावतीइसी chapter में छपा (Part II, §2.7, p.52)
Bhāskarāchāryaलेखक, जिन्हें chapter Bhāskara II भी कहता हैभास्कराचार्यइसी chapter में छपा (Part II, §2.7, p.52)
chakraसमस्या के दृश्य में बताए गए दो तरह के पक्षियों में से एकचक्रइसी chapter में italics में छपा (Part II, §2.7, p.52)
krauñchaसमस्या के दृश्य में बताया गया दूसरी तरह का पक्षीक्रौंचइसी chapter में italics में छपा (Part II, §2.7, p.52)
depth of the lakeपूछी गई राशि, जो पानी के नीचे वाले डंठल की length भी हैझील की गहराईइसी chapter में छपा (Part II, §2.7, p.52)
hypotenuseright triangle में right angle के सामने वाली sideकर्णइसी chapter में पहले छपा (Part II, §2.3, p.37)
perpendicularright angle बनाते हुए — पानी की सतह के सापेक्ष रुके हुए डंठल के लिए इस्तेमाललंबवतइसी chapter में छपा (Part II, §2.7, p.52)
rhombusचार बराबर sides वाली चार-भुजी figureसमचतुर्भुजइसी chapter में छपा (Part II, p.53, Figure it Out no.3)
diagonalsrhombus के सामने वाले कोनों को जोड़ने वाले दो segments, जो exercise में दिए गए हैंविकर्णइसी chapter में छपा (Part II, p.53, Figure it Out no.3)
equilateral triangleतीनों sides बराबर वाला triangle, आख़िरी exercise का विषयसमबाहु त्रिभुजइसी chapter में छपा (Part II, p.54, Figure it Out no.9)
altitudeकिसी शीर्ष से सामने वाली side पर डाला गया लंबशीर्षलंबइसी chapter में छपा (Part II, p.54, Figure it Out no.9)
rigid lengthयह मान्यता कि झुका हुआ डंठल सीधे खड़े डंठल जितना ही लंबा हैअपरिवर्तनीय लंबाईइस पाठ का शब्द; यह मान्यता chapter में इस्तेमाल होती है पर कभी कही नहीं जाती

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 Part II का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, standard शब्दावली मानें। व्यक्तिवाचक नामों का Devanagari रूप chapter की roman spelling का लिप्यंतरण है।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "जानकारी काफ़ी नहीं है।" chapter ख़ुद ज़ोर से कहता है कि ऐसा लगता है, जिससे यह वह दुर्लभ गलतफ़हमी बन जाती है जिसे textbook ख़ुद उठाती है। जवाब यह है कि एक अज्ञात दो राशियों को ढक लेता है, इसलिए एक समीकरण काफ़ी है।
  • **"गहराई को x कहो और डंठल को y।"** दो अज्ञात और एक समीकरण, और समस्या अटक जाती है। उसे अटकते देखना सिखाने वाला है; हल यह ध्यान देना है कि डंठल गहराई से 1 ज़्यादा है।
  • **"(x + 1)² बराबर x² + 1 है।"** इस समस्या की सबसे आम algebra वाली तबाही, और यह उसे बर्बाद कर देती है — बीच वाला पद 2x ही वह अकेली जगह है जहाँ अज्ञात कटने के बाद बचता है। इसे धीरे-धीरे फैलाओ।
  • **"इसमें x² है, इसलिए इसके लिए ऐसे तरीक़े चाहिए जो हमारे पास नहीं हैं।"** x² दोनों तरफ़ आता है और चला जाता है। ऐसा करने से पहले यह बता दो, ताकि student इसकी राह देखे।
  • "3 hypotenuse है — वह horizontal वाली है।" hypotenuse x + 1 है, झुका हुआ डंठल, क्योंकि right angle पानी की सतह और सीधे खड़े डंठल के बीच है। इसे गलत करने पर 3² + (x + 1)² = x² मिलता है, यानी 9 = −1 − 2x, इसलिए x = −5 — एक negative गहराई, जो दिखाने लायक़ एक काम का गलत जवाब है।
  • "मुड़ने पर डंठल लंबा हो जाता है।" छपी हुई समस्या में कहीं नहीं कहा गया कि डंठल अपनी length बनाए रखता है, और पूरा हल इसी पर टिका है। यह मान्यता ज़ोर से कहो; chapter सिर्फ़ perpendicular वाली मान्यता बताता है।
  • "hypotenuse चित्र में तिरछी side है।" Part II p.53 पर अलग-अलग चित्रों में right angle ऊपर, नीचे-बाएँ और एकदम बाईं तरफ़ आता है, और छह में से तीन में लिखी हुई side leg नहीं, hypotenuse है — वे जिन पर 40/41, 10/√200 और 27/45 लिखा है। पहले right-angle का निशान ढूँढ़ने की आदत सिखाओ।
  • "theorem सिर्फ़ right triangles पर इस्तेमाल हो सकता है।" इसे किसी भी ऐसी figure पर इस्तेमाल कर सकते हो जिसे right triangles में काटा जा सके: अपने diagonals से बँटा rhombus, शीर्षलंब से बँटा समबाहु triangle. section 11 इसी के लिए है।
  • "हर पूर्ण संख्या grid-square का संभव area है।" 3 नहीं है। वजह बताने से पहले class को कोशिश करने और नाकाम होने दो।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q2, Figure it Out · 4 Q8, Figure it Out · 4 Q9

पूरा transcript1,977 शब्द

यहाँ एक झील है, और उसमें से एक कमल का फूल उगा है, जो पानी से 1 इकाई ऊपर खड़ा है। फिर हवा का एक झोंका आता है, और फूल को झुका देता है, जब तक फूल पानी की सतह को छू नहीं लेता। देखिए, फूल पानी को वहाँ छूता है, जो उसकी पुरानी जगह से 3 इकाई दूर है। सवाल ये है कि ये झील कितनी गहरी है? हमारे पास बस यही 2 संख्याएँ हैं, ऊपर का 1 और दूरी का 3, और कुछ भी नहीं।

अब देखिए कि असल में नापा क्या गया है, तो मामला बिल्कुल नामुमकिन लगता है। गहराई किसी ने नहीं नापी, क्योंकि वही तो पूछी जा रही है। तने की लंबाई भी किसी ने नहीं नापी, और कोई दूसरा नाप भी नहीं लिया गया। ऊपर देखिए, वो 1 इकाई तो पानी के ऊपर की हवा के बारे में है, पानी के बारे में है ही नहीं। तो पहली नज़र में लग सकता है कि यहाँ जानकारी पूरी नहीं है।

पर क्या ये बात सच में सही है? चलिए, ठीक से जाँचकर देखते हैं, क्योंकि जवाब हैरान करने वाला है। पहली नज़र में लग सकता है कि हर चीज़ को अलग नाम देना ठीक है, तो गहराई को x कहिए, और पूरे तने को y कहिए। यहाँ तना, पानी की सतह और नीचे तक की गहराई, मिलकर 90 degree के कोने वाला triangle बनाते हैं, तो 3 गुणा 3 और x गुणा x का जोड़, y गुणा y के बराबर है।

यानी equation एक है, पर अनजान चीज़ें 2 हैं, अब देखिए इसकी क़ीमत क्या है। मान लीजिए गहराई 1 है, तो 9 और 1 का जोड़ 10 है, यानी तने का square 10 होगा, और इसमें कोई दिक़्क़त नहीं। अब गहराई 2 मानिए, तो 9 और 4 का जोड़ 13 है, ये भी चल जाता है। ऐसे 1 से 8 तक की हर गहराई आज़माइए, तो 8 में से 8 गहराइयाँ चल जाती हैं, क्योंकि y जो चाहे बन सकता है।

तो क्या ये equation कुछ भी तय करती है? नहीं, ये एक भी गहराई को बाहर नहीं करती, यानी ये कोई मुश्किल सवाल नहीं, ये तो सवाल ही नहीं है। अब असली चाल देखिए, पूरा सवाल इसी पर टिका है। क्या तने को सच में अलग नाम चाहिए? झुका हुआ तना वही पुराना तना है, न किसी ने उसे काटा, न वो बढ़ा। इसलिए तना कोई दूसरी अनजान चीज़ नहीं है, वो गहराई के बराबर, और ऊपर वाला 1 मिलाकर है।

यहाँ देखिए, पूरा तना, x में 1 जोड़कर बनता है। यानी एक ही नाम, 2 काम कर रहा है, x गहराई है, और x में 1 जोड़कर पूरा तना। अब इसी एक बात के साथ, गहराइयाँ फिर से आज़माते हैं। यहाँ गहराई 1 पर ज़रूरत 10 की है, पर 2 इकाई लंबे तने का square सिर्फ़ 4 है, इसलिए ये बाहर। यहाँ गहराई 2 पर तने का square 13 चाहिए, और 3 इकाई लंबे तने से 9 ही मिलता है, ये भी बाहर।

गहराई 3 पर ज़रूरत 18 की है, और 4 इकाई लंबे तने से 16 मिलता है, फिर बाहर। तो 8 गहराइयों में से कितनी बचती हैं? सिर्फ़ 8 में से 1, और वो कौन सी है, ये हिसाब ख़ुद बताएगा। आगे बढ़ने से पहले साफ़ कर लेते हैं, कि ये हल 2 बातों को मानकर चल रहा है। देखिए, पहली बात ये कि फूल सीधा खड़ा था, यानी तना पानी की सतह से 90 degree का कोना बनाता था।

इसके बिना कोई 90 degree वाला triangle नहीं बनता, और theorem के पास पकड़ने को कुछ नहीं बचता। दूसरी बात ज़्यादा चुपचाप है, और लग सकता है कि इसे कहने की ज़रूरत ही नहीं, इसलिए लोग अक्सर इसे भूल जाते हैं। यहाँ देखिए, तना झुककर भी उतना ही लंबा रहता है जितना सीधा था, वो खिंचता नहीं। ये बात इतनी ज़रूरी क्यों है? क्योंकि इसी से एक नाम 2 लंबाइयों का काम करता है, और अगर तना खिंचता, तो पूरा तरीका ढह जाता।

अब 90 degree का कोना ढूँढिए, और ध्यान से, क्योंकि यहीं सबसे ज़्यादा लोग गड़बड़ करते हैं। देखिए, ये कोना वहाँ है, जहाँ सीधा खड़ा तना पानी की सतह से मिलता था। तो छोटी भुजाएँ गहराई और 3 वाली दूरी हैं, और कोने के सामने वाली भुजा, यानी hypotenuse, झुका हुआ तना है। पहली नज़र में लग सकता है कि 3 वाली भुजा सामने है, क्योंकि वो लेटी हुई है, पर लेटे होने से इसका कोई लेना देना नहीं।

अगर कोना ग़लत जगह मान लें, तो क्या होगा? मान लीजिए कोना वहाँ माना, जहाँ फूल पानी को छूता है, तो गहराई उसके सामने आ जाती है, और हिसाब से गहराई माइनस 5 निकलती है। माइनस वाली गहराई कोई छोटी चूक नहीं, ये equation का कहना है कि तस्वीर ही ग़लत बनी थी। और अगर 3 को कोने के सामने रखें, तो x गुणा x एक ही तरफ़ 2 बार आ जाता है, और कुछ भी नहीं कटता।

अब लिखते हैं, 3 गुणा 3 और x गुणा x का जोड़, तने के square के बराबर है, यानी x में 1 जोड़कर जो बने, उसके square के बराबर। बराबर के निशान के दूसरी तरफ़ वाला हिस्सा धीरे से खोलिए, क्योंकि दूसरी बड़ी ग़लती यहीं होती है। ध्यान रहे, x में 1 जोड़कर square करने पर, x गुणा x में बस 1 जुड़ा नहीं मिलता। यहाँ देखिए, असल में वो x गुणा x, फिर 2 गुणा x, और फिर 1 है।

क्या बीच वाला हिस्सा, जिसमें x को 2 से गुणा किया है, सिर्फ़ सजावट है? बिल्कुल नहीं, यहाँ x की जगह 3 रखिए, तो 4 गुणा 4 यानी 16 मिलता है, जबकि 3 गुणा 3 और 1 से सिर्फ़ 10, यानी 6 कम, जो ठीक 2 गुणा 3 है। और 8 में से 8 गहराइयों पर, ये कमी ठीक 2 गुणा x निकलती है, कहीं भी ग़ायब नहीं होती। इस बीच वाले हिस्से को पकड़कर रखिए, क्योंकि आगे x सिर्फ़ यहीं बचेगा।

तो equation अब ऐसी है, बाएँ तरफ़ 9 और x गुणा x, और दाएँ तरफ़ x गुणा x, 2 गुणा x और 1 का जोड़। इसमें x गुणा x है, और लग सकता है कि इसके लिए कोई बड़ा तरीका चाहिए, जो अभी हमारे पास नहीं। पर ज़रा देखिए, ये दोनों हैं कहाँ? देखिए, एक बाएँ तरफ़ है, और एक दाएँ तरफ़, और दोनों बिल्कुल एक जैसे हैं। दोनों तरफ़ से x गुणा x हटा दीजिए, तो दोनों ग़ायब हो जाते हैं।

अब बाएँ तरफ़ 9 बचता है, और दाएँ तरफ़ 2 गुणा x प्लस 1, यानी मुश्किल हिस्सा ग़ायब हो गया। अब दोनों तरफ़ से 1 घटाइए, तो बाएँ तरफ़ 8 बचता है, और दाएँ तरफ़ 2 गुणा x। इसलिए x बराबर 4, यानी झील 4 इकाई गहरी है। अब ये जवाब वापस तस्वीर में रखते हैं, और देखते हैं कि triangle क्या निकला। यहाँ गहराई 4 है, दूरी 3 है, और पूरा तना 4 और 1 मिलाकर 5 है।

यहाँ जाँच भी कर लेते हैं, 9 और 16 का जोड़ 25 है, जो 5 गुणा 5 है। यानी ये वही 3, 4 और 5 वाला triple है, फूल वाली पहेली के आख़िर में। किसी ने इसे सोचकर नहीं रखा, ये हिसाब से अपने आप निकल आया। तो असली मुश्किल कहाँ थी? सारी मुश्किल नाम रखने में थी, सही नाम के बाद हिसाब बहुत छोटा निकला। यही औज़ार कुछ और सवाल भी तुरंत खोल देता है।

मान लीजिए एक square की भुजा 5 है, तो उसकी diagonal कितनी लंबी है? यहाँ diagonal, square को बीच से बराबर काटती है, और कटे triangle की छोटी भुजाएँ 5 और 5 हैं, तो 25 और 25 मिलकर 50 बनते हैं। पर 50 किसी पूरी संख्या का square नहीं है, और लग सकता है कि अब कुछ नहीं हो सकता, इसलिए उसे घेरते हैं। देखिए, 7 गुणा 7 से 49 मिलता है, और 8 गुणा 8 से 64, तो diagonal 7 और 8 के बीच है।

और कसकर देखिए, 7 दशमलव 1 का उसी से गुणा 50 दशमलव 4 1 है, जो ज़्यादा है, इसलिए diagonal 7 दशमलव 0 और 7 दशमलव 1 के बीच है। अब एक rhombus लीजिए, जिसकी दोनों diagonals 24 और 70 लंबी हैं। इसकी भुजा कितनी लंबी होगी? किसी भी rhombus की diagonals एक दूसरे को ठीक आधा आधा काटती हैं, और 90 degree पर मिलती हैं। इसलिए यहाँ हर भुजा एक ऐसे कोने के सामने है, जिसकी छोटी भुजाएँ 12 और 35 हैं।

देखिए, 144 और 1225 का जोड़ 1369 है, और ये ठीक 37 गुणा 37 है। यानी भुजा 37 है, और 12, 35 और 37 एक और triple है, जो बिना बुलाए आ गया। क्या कोने के सामने वाली भुजा हमेशा सबसे लंबी होती है? हाँ, क्योंकि उसका square बाकी दोनों के squares का जोड़ है, इसलिए वो दोनों में से हर एक से बड़ा है। जैसे यहाँ 3, 4 और 5 में, 25 बड़ा है 9 से भी, और 16 से भी।

पहली नज़र में लग सकता है कि कोई भी भुजा सबसे लंबी हो सकती है, पर छोटी भुजा 4, सिर्फ़ 3 से बड़ी है, 5 से नहीं। यहाँ जाँचे गए 4 में से 4 triangles में, सामने वाली भुजा दोनों से बड़ी निकली। अब एक आदत बनाइए, कुछ भी लिखने से पहले, 90 degree का कोना ढूँढिए। यहाँ 6 triangles हैं, अलग अलग दिशाओं में घूमे हुए, और हर एक की 2 भुजाओं पर नाप लिखा है।

पर हर एक में जोड़ना है या घटाना, ये कैसे पता चलेगा? इनमें से 6 में से 3 में, नाप वाली भुजा कोने के सामने है, वहाँ घटाना है, और बाकी में जोड़ना। जैसे छोटी भुजाएँ 7 और 9 हों, तो 49 और 81 मिलकर 130 बनते हैं। पर अगर छोटी भुजा 40 हो, और सामने वाली 41, तो 1681 में से 1600 घटाकर 81 बचता है, जो 9 गुणा 9 है।

यानी तीसरी भुजा 9 है, और 9, 40 और 41 मिलकर एक और triple बनाते हैं। और छोटी भुजा 27 के साथ सामने वाली 45 हो, तो 2025 में से 729 घटाकर 1296 बचता है, जो 36 गुणा 36 है। और 27, 36 और 45, असल में 3, 4 और 5 का ही 9 गुना है। घटाने की जगह जोड़ देना छोटी चूक नहीं, उससे बिल्कुल दूसरा triangle बन जाता है।

और अगर figure में 90 degree का कोना है ही नहीं, तो एक बना लीजिए। जैसे यहाँ एक triangle है, जिसकी तीनों भुजाएँ 6 हैं, इसमें ऐसा कोई कोना नहीं। ऊपर वाले कोने से नीचे की भुजा तक, सीधी लंबवत ऊँचाई उतारिए, तो अब ऐसे 2 कोने बन गए। ये ऊँचाई नीचे की भुजा को कहाँ काटती है? ठीक बीच में, यानी 3 और 3 पर, और सामने वाली भुजा 6 है।

तो ऊँचाई का square, 36 में से 9 घटाकर, 27 निकलता है। पर 27 किसी पूरी संख्या का square नहीं, वो 25 और 36 के बीच है, इसलिए ऊँचाई 5 और 6 के बीच है। आख़िर में एक और बात, बिंदुओं की एक जाली पर। यहाँ एक square बनाइए जिसके कोने बिंदुओं पर हों, अगर एक कोने से अगले तक 1 आगे और 1 ऊपर जाएँ, तो क्षेत्रफल 2 आता है।

अगर 2 आगे जाएँ और ऊपर बिल्कुल नहीं, तो क्षेत्रफल 4 आता है, और 2 आगे और 1 ऊपर जाएँ, तो क्षेत्रफल 5 आता है। लग सकता है कि हर क्षेत्रफल बन सकता है, तो क्या क्षेत्रफल 3 वाला square भी बनेगा? नहीं, क्योंकि क्षेत्रफल हमेशा एक square और दूसरे square का जोड़ होता है, और 3 ऐसा जोड़ नहीं है। अब 16 तक के सारे क्षेत्रफल खोजिए, तो 16 में से 9 बन सकते हैं, और 7 नहीं बन सकते।

आख़िरी बात, जो इस झील से आगे भी काम आती है, उस चीज़ को ढूँढिए जो पहले से किसी जानी हुई चीज़ से बनी है। तो क्या इस सवाल में असली बात जवाब था? नहीं, असली बात नाम रखना था, जवाब तो उसके बाद अपने आप आ गया। यहाँ एक नाम ने 2 लंबाइयों का काम किया, और जिस सवाल में कोई रास्ता नहीं दिखता था, वो छोटा सा हिसाब बन गया।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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