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Chapter 3 · Proportional Reasoning-2

नक़्शे का scale एक ratio की तरह, और उससे क्या-क्या निकाला जा सकता है

Ratios with more than two terms11 मिनट

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नक्शे के कोने में छपा 1 के मुक़ाबले 60 लाख कोई तारीख़ या code नहीं, एक ratio है। उसके किसी पद पर इकाई नहीं लिखी, इसीलिए सेंटीमीटर वाला पैमाना हो या inch वाला, ज़मीन की दूरी वही आती है।

मुख्य idea

नक़्शे के कोने में दबी संख्या एक ऐसा ratio है जिसके दोनों पदों की इकाई एक ही है, और यही एक फ़ैसला उसे काम का बनाता है: इकाइयाँ कट जाने पर ratio एक शुद्ध संख्या रह जाता है, इसलिए वह centimetre वाले ruler, inch वाले ruler या अँगूठे की चौड़ाई, किसी के साथ भी चलता है। वह जो नहीं झेल पाता, वह है आकार बदलना — ratio सिर्फ़ उसी काग़ज़ के लिए सच है जिस पर वह छपा था, इसलिए चित्र को बड़ा या छोटा कीजिए और छपा हुआ RF उसके लिए सच नहीं रहता। इसी वजह से अलग-अलग scales पर बने दो नक़्शों से ज़मीन की एक ही दूरी आनी चाहिए — इस सवाल में ज़मीन की दूरी तय चीज़ है, और scale सिर्फ़ इसका हिसाब है कि चित्र ने उसे कितना छोटा किया।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि representative fraction किसी चित्र और उसके दिखाए गए ज़मीनी हिस्से के बारे में क्या दावा करता है
  • समझाना कि representative fraction के दोनों पद बिना इकाई के क्यों लिखे जाते हैं, और इससे किसी भी ruler के साथ क्या करना मुमकिन होता है
  • centimetre में दी गई ज़मीनी दूरी को metre और kilometre में बदलना, और वापस
  • दिए गए representative fraction को "page पर एक centimetre इतने kilometre के बराबर है" वाले काम के rate में बदलना
  • नक़्शे पर दो points के बीच की सीधी दूरी नापना और उसे नक़्शे के अपने ratio से ज़मीनी दूरी में बदलना
  • भौगोलिक दूरी और सड़क की दूरी में फ़र्क़ करना, और बताना कि नक़्शे का ratio इन दोनों में से कौन-सी देता है
  • पहले से कहना कि अलग-अलग scales वाले नक़्शों से ज़मीनी दूरी एक ही आनी चाहिए, और समझाना कि क्यों
  • किसी असली जगह का दिए गए ratio पर scale drawing बनाना, conversion को उलटी दिशा में करते हुए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
Representative Fractionवह ratio जो नक़्शा अपने ऊपर नापी गई लंबाई और ज़मीन पर उससे मेल खाती लंबाई के बीच बताता हैनिरूपक भिन्नइसी chapter में छपा, Part II §3.2 (Part II p.56), साथ में संक्षिप्त रूप RF दिया हुआ
RFवह संक्षिप्त रूप जो नक़्शा ख़ुद अपने representative fraction के लिए छापता हैआर.एफ.§3.2 में भी छपा और नक़्शे के चित्र के अंदर, नीचे दाईं ओर भी (Part II p.56)
geographical distanceदो जगहों के बीच की सीधी नापी गई दूरी, किसी रास्ते के साथ-साथ नहींभौगोलिक दूरीइसी chapter में छपा, Part II §3.2 (Part II p.56)
scale (of a map)representative fraction वाला ही विचार, नक़्शे के एक गुण की तरह नाम दिया हुआमापनी / पैमानाइसी chapter में छपा, Part II p.57, अलग-अलग scales वाले नक़्शों के सवाल में
LEGENDनक़्शे की वह कुंजी जो बताती है कि उसके चिह्न किस चीज़ के लिए हैंसंकेत सूचीPart II p.56 पर नक़्शे के अंदर चित्र की लिखावट; छपे हुए page पर पढ़ी गई और फिर 150 pixel प्रति inch वाली नज़दीकी image पर भी, क्योंकि यह text के रूप में नहीं निकलती; उसके नीचे की अकेली entry CITY है
working ratescale को "एक centimetre, n kilometre के बराबर है" के रूप में दोबारा लिखा हुआ—इस पाठ का शब्द; chapter यह बदलाव करता है पर इसे नाम नहीं देता

हिंदी column में भूगोल और गणित की पढ़ाई में चलने वाली standard हिंदी शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "दूसरी संख्या जितनी बड़ी, नक़्शा उतना बड़ा।" बात उलटी है। बड़े दूसरे पद का मतलब है कि ज़मीन को ज़्यादा ज़ोर से छोटा किया गया, इसलिए page पर ज़्यादा इलाक़ा आता है और कम बारीकी बचती है। 1 : 50 और 1 : 60,00,000 को साथ रखिए और पूछिए कि इनमें से कौन एक कुर्सी दिखा सकता है।
  • "1 : 60,00,000 का मतलब है एक centimetre पर साठ लाख kilometre।" दूसरा पद वही इकाई ले लेता है जिसमें आपने पहला नापा। साठ लाख centimetre, kilometre नहीं — और ratio को बिना इकाई के लिखने की पूरी वजह यही है कि वह किसी इकाई से बँधने से इनकार करता है।
  • "तो RF सिर्फ़ centimetre में चलता है।" inch में नापिए और वही ratio आपको ज़मीनी दूरी inch में बता देगा। संख्या नहीं बदलती; आप उसे जो इकाई देते हैं, वह बदलती है।
  • "नक़्शे की दूरी उतनी है जितना मुझे गाड़ी चलानी पड़ेगी।" chapter ख़ुद इस ओर ध्यान दिलाता है। दो शहरों के बीच की सीधी रेखा उनके बीच जो कुछ भी है, उसे पार कर जाती है।
  • "अलग scale पर बना नक़्शा अलग असली दूरी देगा।" अगर ऐसा होता, तो दोनों में से एक नक़्शा ग़लत होता। ज़मीनी दूरी वह है जो दोनों नक़्शे बता रहे हैं; scale सिर्फ़ छोटा करने वाला factor है।
  • "अगर नक़्शे पर ratio छपा है, तो नक़्शा उसी पर बना है।" इस page पर नहीं: उसी चित्र के एक कोने में RF है और दूसरे कोने में चेतावनी। section 9 देखें। छपे हुए चित्र पर भरोसा करने के बारे में यह सचमुच काम की सीख है।
  • "नक़्शे का ratio, नुस्ख़े वाले ratio से अलग तरह की चीज़ है।" दोनों एक ही इकाई वाली दो मात्राएँ हैं जिनकी तुलना सापेक्ष आकार से होती है। नक़्शे वाला ratio बस एक चित्र की तुलना उस चीज़ से करता है जिसका वह चित्र है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,781 शब्द

किसी भी नक्शे के एक कोने में अक्सर एक छोटी सी संख्या छपी होती है, जिसे ज़्यादातर लोग पढ़ते ही नहीं। वो संख्या कुछ ऐसी दिखती है, 1 के मुक़ाबले 60 लाख। ये कोई तारीख़ नहीं है, और कोई code भी नहीं, ये एक ratio है। और नक्शे पर छपी सारी चीज़ों में, यही सबसे काम की चीज़ है। इसके बिना नक्शा बस एक तस्वीर है, और इसके साथ वो एक औज़ार बन जाता है, जिससे नापा जा सकता है।

तो सवाल ये है, ये 1 और ये 60 लाख, आख़िर किस चीज़ के हैं? ये संख्या बस इतना कहती है, कि कागज़ पर नापी गई 1 इकाई, ज़मीन पर उसी इकाई की 60 लाख इकाइयों के बराबर है। यानी कागज़ पर 1 सेंटीमीटर, और ज़मीन पर 60 लाख सेंटीमीटर। इसमें सारा वज़न इन शब्दों पर है, उसी इकाई की। एक आम चूक है, इसे 1 सेंटीमीटर के मुक़ाबले 60 लाख किलोमीटर पढ़ लेना।

वो पढ़ाई असली दूरी से 1 लाख गुना ज़्यादा बता देती है। और 1 लाख ठीक उतने ही सेंटीमीटर हैं जितने 1 किलोमीटर में होते हैं, क्योंकि 100 गुणा 1000 से 1 लाख ही बनता है। तो ये छोटी सी चूक नहीं है, ये पूरी सीढ़ी एक ही कदम में चढ़ जाना है। अब देखिए कि यहाँ क्या नहीं लिखा है, किसी भी पद के साथ कोई इकाई नहीं लिखी।

ये कोई भूल नहीं है, ये जानबूझकर ऐसा बनाया गया है। क्योंकि आप इस ratio को जो इकाई देते हैं, ये वही इकाई वापस लौटा देता है। मान लीजिए कागज़ पर किसी फ़ासले को आपने 2 दशमलव 4 1 सेंटीमीटर नापा। उसे 60 लाख से गुणा कीजिए, तो जवाब भी सेंटीमीटर में ही आता है। अब वही फ़ासला inch वाले पैमाने से नापिए, तो पढ़ाई आधी से भी कम आती है।

क्योंकि एक inch में 2 दशमलव 5 4 सेंटीमीटर होते हैं, इसलिए ये फ़ासला एक inch से भी कम निकलता है। इसे भी 60 लाख से गुणा करके किलोमीटर में बदलिए, तो ठीक वही दूरी मिलती है, 144 दशमलव 6 किलोमीटर, दोनों बार। कागज़ पर दोनों पढ़ाइयाँ अलग संख्याएँ हैं, पर दोनों जगहों के बीच की ज़मीन वही है। तो चलिए ये बदलाव एक बार ठीक से कर लेते हैं, ताकि दोबारा करना ही न पड़े।

कागज़ का 1 सेंटीमीटर, ज़मीन के 60 लाख सेंटीमीटर के बराबर है। एक मीटर में 100 सेंटीमीटर होते हैं, तो 100 से भाग दीजिए, और जवाब आता है 60000 मीटर। और एक किलोमीटर में 1000 मीटर होते हैं, तो 1000 से भाग दीजिए, और 60000 मीटर बन जाते हैं 60 किलोमीटर। बस 2 बार भाग दिया गया, और कुछ नहीं हुआ। असली काम ratio ने पहली ही पंक्ति में कर दिया था, बाकी बस इकाइयों के नाम बदलने का हिसाब था।

इससे एक ऐसी पंक्ति निकलती है, जो पैमाना उठाने से पहले ही लिख लेनी चाहिए। कागज़ पर 1 सेंटीमीटर, यानी ज़मीन पर 60 किलोमीटर। इसे काम की दर कहते हैं, और कोने वाली संख्या आपको बस यही देती है। अब उस नक्शे पर आप जो भी नापेंगे, उसका जवाब बस एक गुणा की दूरी पर है। और ध्यान दीजिए, पूरी बात में इकाई का नाम सिर्फ़ इसी पंक्ति में आया है, क्योंकि इकाई सिर्फ़ यहीं चुनी गई।

तो इसी ratio वाला एक नक्शा लेते हैं, और उस पर कुछ कस्बों के बीच का सीधा फ़ासला पैमाने से नापते हैं। पहली जोड़ी के कस्बे कागज़ पर 2 दशमलव 4 1 सेंटीमीटर दूर निकलते हैं। इसे 60 से गुणा करें, तो 144 दशमलव 6, यानी लगभग 145 किलोमीटर मिलता है। दूसरी जोड़ी और दूर है, कागज़ पर 4 दशमलव 8 8 सेंटीमीटर, जो लगभग 293 किलोमीटर बनता है। एक नाप, एक गुणा, और एक जवाब, औज़ार ठीक वैसे ही काम कर रहा है जैसे उसे करना चाहिए।

पर ज़रा सोचिए कि अभी असल में नापा क्या गया है। कस्बों के बीच रखा पैमाना उनका सीधा फ़ासला नापता है, किसी सड़क की लंबाई नहीं। यहाँ उन्हीं कस्बों के बीच 4 अलग अलग रास्ते बने हैं। इनमें से एक रास्ता सीधे फ़ासले से 30 प्रतिशत लंबा है, एक 21 प्रतिशत, और एक 60 प्रतिशत लंबा। और एक रास्ता ऐसा भी है जो बिल्कुल सीधा चलता है, उसमें कोई घुमाव नहीं।

रास्ते 4 हैं और उनकी लंबाइयाँ अलग हैं, फिर भी नक्शा इन सबके लिए एक ही संख्या देता है, क्योंकि उसने कोई रास्ता देखा ही नहीं। किसी सड़क के बारे में नक्शा बस इतना वादा कर सकता है, कि सड़क सीधे फ़ासले जितनी लंबी तो कम से कम होगी ही। वो कितनी लंबी है, ये नक्शे की बात नहीं, ज़मीन की बात है, और कोने की कोई भी संख्या ये नहीं बता सकती।

अब इस पूरी बात को एक जाँच से परखते हैं। वही कस्बे, पर 4 अलग नक्शों पर, जो सच में 4 अलग पैमानों पर बने हैं। एक नक्शा आधे आकार का है, उस पर फ़ासला आधा नपता है, और उसका ratio है 1 के मुक़ाबले 1 करोड़ 20 लाख। दूसरे नक्शे पर फ़ासला 5 गुना लंबा नपता है, और उसका ratio है 1 के मुक़ाबले 12 लाख। एक और नक्शा 1 के मुक़ाबले 50 लाख पर बना है।

और 4 में से 4 नक्शे ज़मीन की वही दूरी देते हैं, 144 दशमलव 6 किलोमीटर। ये संयोग नहीं है, क्योंकि ज़मीन की दूरी इस सवाल में तय चीज़ है। पैमाना तो बस ये बताता है कि उस कागज़ ने ज़मीन को कितना छोटा किया, ज़्यादा छोटा करें तो नाप कम आता है, और ये बदलाव आपस में ठीक कट जाते हैं। तो अगर कभी अलग पैमानों वाले नक्शे दूरी पर असहमत हों, तो उनमें से कोई एक नक्शा गलत है।

अब वो एक चीज़, जिसे कोने वाला ratio झेल नहीं सकता। ये ratio सिर्फ़ उसी कागज़ पर सच है जिस पर वो छपा, किसी और कागज़ पर नहीं। नक्शे को photocopy मशीन से 4 बटा 5 पर छोटा कीजिए, तो फ़ासले छोटे हो जाते हैं, पर कोने की संख्या वैसी ही रहती है। अब वो कागज़ कहता है 1 के मुक़ाबले 60 लाख, पर असल में वो 1 के मुक़ाबले 75 लाख पर बना है।

इसलिए वो लगभग 116 किलोमीटर बताता है, जबकि असली जवाब लगभग 145 किलोमीटर है। उसी नक्शे को 3 बटा 2 पर बड़ा कीजिए, तो वो असल में 1 के मुक़ाबले 40 लाख पर है, और लगभग 217 किलोमीटर बताता है। तो कोई सोच सकता है कि अलग पैमाने का मतलब है, असली दूरी भी अलग। इस सोच को इन 6 नक्शों पर परखिए, तो ये 6 में से सिर्फ़ 1 पर बैठती है, उसी छपे हुए नक्शे पर, जहाँ कुछ भी नहीं बदला।

बाकी 5 नक्शों पर ये गलत है, क्योंकि 3 सच्चे नक्शे दूसरे पैमानों पर बने हैं, और फिर भी वही दूरी देते हैं। और copy किए गए 2 नक्शों का छपा पैमाना कभी बदला ही नहीं, फिर भी उनका जवाब बदल गया। अब इस पूरे विषय की सबसे काम की आदत, नक्शे को खुद उसी से जाँचना। जिस नक्शे पर अभी फ़ासले नापे गए, उस पर latitude के निशान हर 2 degree पर लिखे हैं, 8 से 18 तक।

यानी ऊपर से नीचे तक पूरे 10 degree का फ़ासला। और 10 degree की लंबाई पहले से पता है, उसके लिए नक्शे के बाहर से कुछ नहीं चाहिए। मीटर को इस तरह तय किया गया था, कि ध्रुवों से होकर धरती का पूरा घेरा 40000 किलोमीटर हो। वो घेरा 360 degree का है, तो 1 degree लगभग 111 किलोमीटर का होता है। तो 10 degree हुए लगभग 1111 दशमलव 1 किलोमीटर, और उस नक्शे पर ये 9 दशमलव 2 सेंटीमीटर में फैले हैं।

भाग देने पर मिलता है, 1 सेंटीमीटर पर लगभग 121 किलोमीटर, जबकि कोने की संख्या के हिसाब से ये 60 किलोमीटर होना चाहिए था। यानी नक्शा असल में 1 के मुक़ाबले 1 करोड़ 20 लाख से थोड़ा ऊपर बना है, छपे हुए ratio का लगभग ठीक दोगुना। इसी से समझ आता है कि कस्बों की दोनों दूरियाँ आधी क्यों निकलीं। नक्शे की अपनी दर से, पहली जोड़ी लगभग 291 किलोमीटर दूर है।

और दूसरी जोड़ी लगभग 590 किलोमीटर, यानी पहले वाले जवाबों का लगभग ठीक दोगुना। नापने में कोई गलती नहीं थी, गलती उस संख्या में थी जो कोने में छपी थी, क्योंकि नक्शा उस पर बना ही नहीं था। इसलिए किसी छपे ratio पर आँख मूँदकर भरोसा मत कीजिए, पहले उसे नक्शे के अपने निशानों से जाँच लीजिए। और इस जाँच के अंदर भी एक जाल छिपा है। नक्शे का बाहरी घेरा, latitude के लिखे निशानों से थोड़ा बड़ा होता है।

अगर निशानों की जगह उस घेरे से नापें, तो 9 दशमलव 2 सेंटीमीटर के बदले 9 दशमलव 5 सेंटीमीटर को 10 degree मान लेते हैं। तब दर निकलती है 1 सेंटीमीटर पर लगभग 117 किलोमीटर, यानी 3 दशमलव 2 प्रतिशत कम। इसलिए नाप लिखे हुए निशानों से निशानों तक लीजिए, बाहरी घेरे से नहीं। अब तक ratio एक ही दिशा में चला है, कागज़ पर नापो और ज़मीन की दूरी पाओ।

उल्टी दिशा में चलाइए, तो आप नक्शा पढ़ नहीं रहे, बल्कि बना रहे हैं। मान लीजिए एक कमरे का नक्शा 1 के मुक़ाबले 50 पर बनाना है। कमरे की 6 मीटर लंबी दीवार 600 सेंटीमीटर है, और 600 को 50 से भाग दें तो 12 आता है, तो दीवार 12 सेंटीमीटर की बनेगी। कमरे का 3 मीटर लंबा blackboard, कागज़ पर 6 सेंटीमीटर का बनता है। और आधे मीटर की कुर्सी, कागज़ पर बस 1 सेंटीमीटर की बनती है।

यहाँ ratio वही है, पर काम उल्टा, नक्शा पढ़ने में गुणा होता है, और नक्शा बनाने में भाग। आख़िर में एक सवाल, जिस पर लगभग सब अटक जाते हैं। कौन सा नक्शा ज़्यादा दिखाता है, 1 के मुक़ाबले 50 वाला, या 1 के मुक़ाबले 60 लाख वाला? मन कहता है कि बड़ी संख्या मतलब बड़ा नक्शा, पर बात इसकी उल्टी है। दूसरा पद बताता है कि ज़मीन को कितना दबाकर छोटा किया गया, जितना ज़्यादा दबाया, उतना ज़्यादा इलाका कागज़ पर आया, और उतनी ही कम बारीकी बची।

और 60 लाख वाले नक्शे पर वही कुर्सी, सिर्फ़ 1 बटा 120000 सेंटीमीटर की रह जाती है। वो छोटी भर नहीं होगी, वो वहाँ दिखेगी ही नहीं। पूरी 6 मीटर की दीवार भी उस नक्शे पर 1 बटा 10000 सेंटीमीटर की होगी, यानी उस कुर्सी से भी छोटी जो 1 के मुक़ाबले 50 पर बनी थी। तो कोने का ratio कागज़ की एक शीट के बारे में एक वादा है।

वो बताता है कि उस कागज़ की 1 इकाई ज़मीन की कितनी इकाइयों के बराबर है, इकाई चाहे जो भी हो। वो सड़क नहीं नापता, सिर्फ़ सीधा फ़ासला, और copy होते ही वो सच नहीं रहता। और जब शक हो, तो नक्शे को उसी के निशानों से जाँचिए, जैसे इसी नक्शे पर 1 सेंटीमीटर के 121 और 60 किलोमीटर का फ़र्क पकड़ में आया। नक्शा क्या दिखा सकता है और क्या नहीं, ये सब उसी कोने की संख्या में छिपा है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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