PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 3, Proportional Reasoning-2PrepShorts

Chapter 3 · Proportional Reasoning-2

जब एक मात्रा बढ़ती है और दूसरी उलटे factor से घटती है

Inverse proportion16 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

16 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 8 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

30 किलोमीटर प्रति घंटे से 3 घंटे का रास्ता 60 की रफ़्तार पर कितनी देर का? जाना पहचाना नियम कहता है 6 घंटे, जो असली जवाब का 4 गुना है। असली जवाब है 1.5 घंटे, क्योंकि यहाँ रफ़्तार गुणा समय स्थिर है, और वो स्थिर गुणनफल खुद सड़क है, 90 किलोमीटर।

मुख्य idea

मुख्य वाक्य — एक मात्रा को n से गुणा कीजिए और दूसरी n से भाग हो जाती है — एक लक्षण है, कारण नहीं। किसी जोड़ी को inversely proportional यह बात बनाती है कि स्थिति एक product को तय रखे हुए है, और वह product कभी संयोग नहीं होता: वह तय की जाने वाली दूरी है, किया जाने वाला कुल काम है, भरी जाने वाली टंकी है, खाया जाने वाला भोजन का भंडार है। Direct proportion एक quotient को बचाकर रखता है; inverse proportion एक product को। बचाकर रखी गई मात्रा ढूँढ़िए और कोई भी हिसाब करने से पहले आपको पता चल जाता है कि आपके हाथ में किस तरह का सवाल है — और इसीलिए inverse proportion वाले अभ्यासों में chapter जो बारह सवाल देता है, उनमें से तीन inverse proportion हैं ही नहीं, और दो और proportion के बारे में हैं ही नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • जोड़ी वाली values की table पढ़कर, हर जोड़ी को गुणा करके, तय करना कि जोड़ी inverse है या नहीं
  • परिभाषा वाले संबंध को तय product के रूप में बताना, और पहचानना कि दी गई स्थिति में वह constant असल में क्या है
  • तय product वाले रूप से संबंध का दो जोड़ियों वाला रूप निकालना, और वह तिरछा रूप भी जिसमें एक ratio दूसरे के उलटे के बराबर होता है
  • तय product वाले संबंध से किसी भी मात्रा की छूटी value निकालना
  • आधी भरी inverse proportion वाली table पूरी करना
  • बताई गई मात्राओं की जोड़ी में, स्थिति क्या तय रखती है उसका नाम लेकर, संबंध को direct, inverse या दोनों में से कोई नहीं, के रूप में छाँटना
  • दिखाना कि एक के बढ़ने पर दूसरी का घटना inverse proportion के लिए काफ़ी नहीं है, और कि table के पहले columns में मेल होने से कुछ तय नहीं होता — chapter की tables (i) और (ii) के हर column की जाँच करके, जिनकी x वाली पंक्ति और पहली दो y values साझा हैं
  • मिली-जुली दर वाला सवाल समयों को नहीं, दरों को जोड़कर हल करना, और समझाना कि समय क्यों नहीं जोड़े जा सकते
  • बताना कि inverse proportion वाला जवाब किन मान्यताओं पर टिका है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
inverse proportionsऐसे proportions जिनमें जोड़ी वाली मात्राओं का product तय रहता है, इसलिए एक के बढ़ने पर दूसरी घटती हैप्रतिलोम समानुपात / व्युत्क्रम समानुपातइसी chapter में छपा, §3.6 (Part II p.64), जहाँ chapter इसे नाम देता है वहाँ मोटे अक्षरों में
direct proportionsऐसे proportions जिनमें जोड़ी वाली मात्राओं का quotient तय रहता हैअनुलोम समानुपात / सीधा समानुपातइसी chapter में छपा, §3.6 (Part II p.63), मोटे अक्षरों में
rule of threeवह तरीक़ा जो proportion में तीन जानी हुई मात्राओं से चौथी निकालता हैत्रैराशिकइसी chapter में नाम दिया गया, §3.6 (Part II p.63); पहले Part I के छपे हुए Chapter 7, §7.4 में आया
statement of proportionalityअपने अज्ञात पद के साथ लिखा हुआ proportion, हल करने के लिए तैयारसमानुपात कथनइसी chapter में छपा, §3.6 (Part II p.63)
constantवह value जिस पर कोई product या quotient हर जोड़ी में टिका रहता हैअचरइसी chapter में छपा, §3.6 (Part II p.64) और फिर SUMMARY में (Part II p.69)
unit of workपूरा काम, एक मानकर लिया हुआ, ताकि किसी मज़दूर का प्रति घंटे का हिस्सा उसके fraction की तरह लिखा जा सकेकार्य की इकाईइसी chapter में छपा, §3.6, Example 6 (Part II p.66)
conserved quantityवह तीसरी मात्रा जिसे स्थिति तय रखती है, और जिसका तय रहना ही जोड़ी को किसी एक तरह proportional बनाता है—इस पाठ का शब्द; chapter ऐसी मात्रा दो बार पहचानता है और इस विचार को कभी नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Inverse proportion का मतलब है एक ऊपर जाता है और दूसरा नीचे।" ज़रूरी है, पर काफ़ी होने के आसपास भी नहीं। Part II p.65 पर table (ii) chapter की अपनी फ़ेल होने वाली table है — पर ध्यान दीजिए कि वह किसमें फ़ेल होती है: उलटी दिशा में चलने में नहीं (वह पूरे समय उलटी दिशा में नहीं चलती), बल्कि तय product में, और सिर्फ़ अपने आख़िरी दो columns में। इसे एक column जाँचकर रुक जाने वाली कमज़ोर आदत पर चोट करने के लिए इस्तेमाल कीजिए। इस chapter में ऐसी कोई table नहीं जो सचमुच पूरे रास्ते घटे और फिर भी फ़ेल हो, पर ऐसी table बनाना आसान है: x = 1, 2, 3, 4 के सामने y = 12, 6, 3, 1 पूरे रास्ते घटता है, फिर भी products 12, 12, 9 और 4 हैं। नाकामी परिभाषा से पहले दिखाइए, बाद में नहीं।
  • "ज़्यादा मज़दूरों वाला हर सवाल inverse है।" दूसरे अभ्यास समूह का item 2 ज़्यादा pencils ख़रीदने के बारे में है और direct है; item 7 ज़्यादा टंकियाँ भरने के बारे में है और direct है; item 10 दरें जोड़ने वाला है। इन्हें छाँटना ही वह हुनर है जिसकी समूह जाँच कर रहा है, और जिस student ने "मज़दूर मतलब inverse" सीखा है, वह तीन ग़लत करेगा।
  • "समय जोड़े जा सकते हैं।" 1 घंटे वाला Ram और 1.5 घंटे वाला Shyam मिलकर 2.5 घंटे नहीं बनाते, न 1.25। दरें जुड़ती हैं; समय नहीं। और समझदारी वाली जाँच मुफ़्त है — साथ में, दोनों में से तेज़ वाले के अकेले से भी जल्दी होना चाहिए।
  • "k बस एक अक्षर है।" k है 90 km। यह दो शहरों के बीच की सड़क है। जब students किसी सवाल में constant का नाम ले पाते हैं, तो वे अंदाज़ा लगाना छोड़ देते हैं कि proportion किस तरह का है।
  • "chapter का n और SUMMARY का n एक ही n है।" नहीं हैं, और जो व्याख्या दोनों को ज़ोर से पढ़ेगी, वह एक मिनट के अंदर अपनी ही बात काटेगी। तय product के लिए पूरे समय k इस्तेमाल कीजिए और एक बार कह दीजिए कि SUMMARY इसे n लिखता है।
  • "0.083333… सिर्फ़ लगभग 0.083333… के बराबर है।" दोनों ठीक एक बटा बारह हैं। decimal एक साफ़ fraction को लिखने का कटा हुआ तरीक़ा है, और जाँच सटीक है।
  • "मज़दूर दोगुने करने से समय हमेशा आधा हो जाता है।" सिर्फ़ तब, जब हर मज़दूर एक-दूसरे की जगह ले सके, कोई किसी के रास्ते में न आए और काम आसानी से बँट जाए। chapter मान्यताएँ दो बार पूछता है, Part II p.67 item 3 पर और Part II p.68 item 6 पर, और दोनों Math-Talk-style सवाल हैं जिनका कोई छपा जवाब नहीं। इन्हें सजावट मानने के बजाय गंभीरता से लीजिए।
  • "Inverse proportion रटने वाला एक अलग नियम है।" यह वही proportional सोच है, बस quotient की जगह product तय रखा गया है। एक वाक्य में पूरा chapter यही है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3.6 Q1, Figure it Out · 3.6 Q2, Figure it Out · 4 Q1, Figure it Out · 4 Q2, Figure it Out · 4 Q3, Figure it Out · 4 Q6, Figure it Out · 4 Q7, Figure it Out · 4 Q8, Figure it Out · 4 Q9, Figure it Out · 4 Q10, Figure it Out · 4 Q11, Figure it Out · 4 Q12

पूरा transcript2,484 शब्द

एक motorcycle किसी सड़क का पूरा रास्ता 30 किलोमीटर प्रति घंटे की रफ़्तार से 3 घंटे में तय करती है। अब वही सड़क 60 किलोमीटर प्रति घंटे की रफ़्तार से तय करनी है, तो इसमें कितना समय लगेगा? ऐसे सवालों के लिए एक जाना पहचाना नियम है, कि 30 का 60 से जो अनुपात है, वही अनुपात 3 घंटे का किसी अनजान समय से हो। इस नियम से तिरछा गुणा कीजिए, तो जवाब आता है 6 घंटे, और ये जवाब गलत है।

सोचिए, रफ़्तार दुगुनी हुई और समय भी दुगुना हो गया, ये असली जवाब का 4 गुना है, और वो भी उल्टी दिशा में। असली जवाब है 1 दशमलव 5 घंटे, यानी पहले वाले समय का ठीक आधा। नियम ने कोई चूक नहीं की, वो इस सवाल का नियम ही नहीं था, और कुछ ऐसा चाहिए जो उसे इस्तेमाल करने से पहले ही आपको रोक दे। अब उसी सड़क को 4 अलग अलग तरीकों से तय करके देखते हैं।

पैदल चलें, 5 किलोमीटर प्रति घंटे पर, तो पूरे 18 घंटे लगते हैं। और cycle से 15 की रफ़्तार पर पूरा रास्ता 6 घंटे में कटता है। वहीं motorcycle से 30 की रफ़्तार पर 3 घंटे, और car से 60 की रफ़्तार पर 1 दशमलव 5 घंटे लगते हैं। रफ़्तारें देखिए, पहले 5, फिर 15, फिर 30, और फिर 60, यानी हर कदम पर ऊपर जाती हुई। और समय देखिए, पहले 18 घंटे, फिर 6, फिर 3, और फिर 1 दशमलव 5 घंटे, यानी हर कदम पर नीचे आता हुआ।

सड़क तो हर बार वही है, तो कुछ न कुछ बचा रहना चाहिए, सवाल ये है कि ठीक ठीक क्या? पहले पैदल और cycle की तुलना कीजिए, 15 तो 5 का 3 गुना है, यानी cycle की रफ़्तार 3 गुना। और समय का क्या हुआ? 18 घंटे घटकर 6 घंटे रह गए, यानी पहले का 1 बटा 3 हिस्सा। अब motorcycle को cycle से मिलाइए, रफ़्तार में 30 तो 15 का 2 गुना है, और समय में 3 घंटे तो 6 घंटे का आधा।

और car को cycle से मिलाइए, तो ऊपर 4 गुना और नीचे 1 बटा 4 गुना। रफ़्तार वाला हर गुणक, समय वाले अपने ठीक reciprocal के ऊपर बैठा है, 3 में से 3 जोड़ियों में। मिलता जुलता कोई अंक नहीं, बल्कि ठीक ठीक reciprocal, और ये जोड़ी याद रखने लायक है। पर ये जोड़ी एक लक्षण है, असली वजह इससे एक कदम आगे बैठी है। अब हर column की दोनों संख्याओं का गुणा कीजिए, ऊपर वाली को नीचे वाली से।

पैदल में 5 गुना 18 बनता है 90, और cycle में 15 गुना 6 से भी 90 बनता है। फिर motorcycle में 30 गुना 3 से 90, और car में 60 गुना 1 दशमलव 5 से फिर वही 90 आता है। यानी 4 अलग सफ़र, और सबके नीचे एक ही संख्या, 4 में से 4 column में वही 90 मिलता है। और ये संख्या संयोग नहीं है, इसकी इकाई देखिए, किलोमीटर प्रति घंटा गुणा घंटा।

घंटे कट जाते हैं और बचता है किलोमीटर, तो ये 90 कोई खाली संख्या नहीं, ये खुद सड़क है, पूरे 90 किलोमीटर। यानी दोनों जगहों के बीच की दूरी, जो आप किसी भी तरह जाएँ, कभी नहीं बदलती। और किसी गुणक को उसके reciprocal से गुणा करें तो 1 आता है, इसलिए गुणनफल अपनी जगह से हिलता ही नहीं। तो इसे लिख डालिए, एक मात्रा गुणा दूसरी मात्रा बराबर एक स्थिर संख्या, और उस स्थिर संख्या का नाम k रखिए।

यही परिभाषा है, और इस विषय में बाकी सब इसी एक बात के अलग अलग कपड़े हैं। कोई भी 2 column लीजिए, दोनों का गुणनफल k है, तो वो आपस में भी बराबर हैं। सवाल हल करते समय असल में यही रूप काम आता है, पहले column का गुणनफल बराबर दूसरे column का गुणनफल। इसे थोड़ा पलटिए तो एक तीसरा रूप निकलता है, 2 रफ़्तारों का अनुपात, उनके समयों के उलटे अनुपात के बराबर।

पैदल को car से मिलाकर देखिए, रफ़्तारों में ये अनुपात बनता है 5 बटा 60 का। और समय उलटी तरफ़ से, यानी car के 1 दशमलव 5 घंटे को पैदल के 18 घंटे से भाग दीजिए। दोनों बराबर निकलते हैं, और ठीक 1 बटा 12 के बराबर, सिर्फ़ लगभग नहीं। किसी calculator पर ये एक लंबा दशमलव बनकर दिखता है, पर वो दशमलव इसी भिन्न का कटा हुआ रूप है, असली मान ठीक 1 बटा 12 है।

और ये जाँच सचमुच जाँच है, क्योंकि जो table inverse नहीं, उस पर दोनों तरफ़ अलग अलग जवाब आते हैं। अब एक जाल आता है, और इसमें जान बूझकर कदम रखना फ़ायदे का सौदा है। ज़्यादातर लोग inverse proportion को ऐसे याद रखते हैं, कि एक ऊपर जाए तो दूसरी नीचे आए। ये बात ज़रूरी तो है, पर काफ़ी बिल्कुल नहीं। ये table देखिए, ऊपर पहले 2, फिर 4, फिर 8, और नीचे पहले 12, फिर 6, फिर 5 लिखा है।

ऊपर वाली हर कदम पर बढ़ती है, और नीचे वाली हर कदम पर घटती है, 2 में से 2 कदमों पर। अब गुणा कीजिए, 2 गुना 12 बराबर 24, 4 गुना 6 बराबर 24, पर 8 गुना 5 से आता है 40, जो अलग है। यानी 40 और 24 बराबर नहीं, तो कोई स्थिर गुणनफल नहीं, कोई k नहीं, और ये inverse proportion नहीं, चाहे जैसे भी चले। और उलटे अनुपात वाली जाँच भी इसे पकड़ लेती है, पहले और आखिरी column पर एक तरफ़ 1 बटा 4 आता है, और दूसरी तरफ़ 5 बटा 12 आता है।

और घटने का मतलब है हर कदम पर घटना, सिर्फ़ एक बार घट जाना नहीं। जो पंक्ति नीचे वाली संख्या को एक जैसा बनाए रखे, वो घट नहीं रही। और जो पहले घटे और फिर चढ़ जाए, वो भी घटती हुई पंक्ति नहीं है। इसलिए सिर्फ़ पहला कदम देखकर ये फ़ैसला नहीं हो सकता, पूरी पंक्ति देखनी पड़ती है। और जैसा अभी देखा, पूरी तरह घटने वाली पंक्ति भी inverse की परीक्षा में फ़ेल हो सकती है।

दूसरा जाल ज़्यादा बारीक है, और ये मतलब के बारे में नहीं, जाँचने के तरीके के बारे में है। यहाँ 2 tables हैं, और दोनों की ऊपर वाली पंक्ति बिल्कुल एक जैसी है, 40, फिर 80, फिर 25, और फिर 16 लिखा है। नीचे के पहले 2 column भी एक जैसे हैं, पहले 20 और फिर 10, उसके बाद रास्ते अलग होते हैं। पहली table में आगे 32 और फिर 50 आते हैं, दूसरी में 12 दशमलव 5 और फिर 8 आते हैं।

पहली table का गुणनफल हर column में 800 है, 4 में से 4 column में, तो ये inverse है। दूसरी के गुणनफल हैं 800 और 800, फिर 312 दशमलव 5, और फिर 128 का गुणनफल। एक column जाँचिए तो दोनों में फ़र्क नहीं दिखता, 2 column जाँचिए तो भी कोई फ़र्क नहीं दिखता। और दूसरी table तो पूरे रास्ते घटती भी नहीं, ऊपर वाली संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में रखें, तो नीचे वाली 3 में से 2 कदमों पर चढ़ती है।

अब तीसरी table देखिए, ऊपर 30, फिर 90, फिर 150, फिर 10, और नीचे 15, फिर 5, फिर 3, फिर 45 है। इसके हर column का गुणनफल 450 है, 4 में से 4 column में, तो ये भी inverse है, और इसकी ऊपर वाली पंक्ति पहली 2 tables से अलग है। अब इस video की 5 tables पर 2 आदतें नापकर देखिए। घटने को ही परिभाषा मानें, तो 5 में से 4 tables पर फ़ैसला ठीक आता है, और जिस 1 पर चूकता है, वो वही है जो उसे पकड़ने के लिए बनाई गई थी।

पहले 2 column देखकर फ़ैसला करें, तो 5 में से सिर्फ़ 3 पर ठीक, यानी 2 tables उसे धोखा दे जाती हैं। जिस जाँच को कोई table धोखा नहीं दे सकती, वो परिभाषा ही है, हर column का गुणनफल। अब उलटी दिशा से, एक table जिसके बारे में पहले से पता है कि वो inverse है। उसमें 16 के नीचे 9 लिखा है, तो k है 16 गुना 9, यानी 144, और बाकी हर खाना इसी से भरता है।

ऊपर 12 हो तो नीचे 144 को 12 से भाग देकर 12 आता है, और ऊपर 48 हो तो नीचे 3 आता है। और ऊपर 36 हो तो नीचे 144 को 36 से भाग देकर 4 आता है, और भरने के बाद 4 में से 4 column का गुणनफल 144 है। भरने का काम हर बार एक ही भाग है, k को जानी हुई संख्या से भाग दीजिए। जब आप स्थिर गुणनफल ढूँढना सीख जाते हैं, तो अलग दिखने वाले 3 सवाल एक जैसे लगने लगते हैं।

पहला सवाल, 20 मज़दूर एक सड़क 4 दिन में बनाते हैं, 20 गुना 4 बराबर 80, यानी 80 मज़दूर-दिन का काम। तो 10 मज़दूर उसी सड़क में 8 दिन लेंगे, यानी आधे मज़दूर, और दुगुने दिन। दूसरा सवाल, 2 pump एक टंकी 18 घंटे में भरते हैं, यानी 36 pump-घंटे की टंकी, तो 4 pump उसे 9 घंटे में भरेंगे। तीसरा सवाल, 80 बच्चों का खाना 15 दिन चलता है, यानी 1200 बच्चा-दिन का खाना, तो 100 बच्चों के लिए वो 12 दिन चलेगा।

यानी 80 मज़दूर-दिन, 36 pump-घंटे और 1200 बच्चा-दिन, 3 अलग संख्याएँ, 3 अलग इकाइयाँ, और काम एक ही। स्थिर गुणनफल और उसकी इकाई का नाम ले लीजिए, तो सवाल हल होने से पहले ही समझ में आ जाता है। अब एक सवाल जो दिखता वैसा ही है, पर चलता बिल्कुल अलग तरह से है। एक व्यक्ति सब्ज़ियों का एक ढेर 1 घंटे में काट लेता है, दूसरे को उसी ढेर में 1 दशमलव 5 घंटे लगते हैं, दोनों मिलकर कितना समय लेंगे?

समय जोड़ें तो 2 दशमलव 5 घंटे आते हैं, पर ये गलत है, ये तो दोनों में से हर एक के अकेले काम से भी धीमा है। एक ही काम पर 2 लोग लगें, तो वो किसी एक के अकेले काम से ज़्यादा समय नहीं ले सकते। समय नहीं जुड़ते, दरें जुड़ती हैं, क्योंकि एक घंटे में किया गया काम एक मात्रा है, और मात्राएँ जमा होती हैं। पहला व्यक्ति एक घंटे में पूरा काम कर लेता है, और दूसरा एक घंटे में उस काम का 2 बटा 3 हिस्सा करता है।

मिलकर वो एक घंटे में 5 बटा 3 काम करते हैं, जो पूरे एक काम से ज़्यादा है। इसी से पता चल जाता है कि जवाब एक घंटे से कम होगा, अब इसे पलटिए, 3 बटा 5 घंटा, यानी 36 मिनट। और इसकी जाँच मुफ़्त है, जवाब को दोनों से तेज़ होना चाहिए, सिर्फ़ धीमे वाले से नहीं, और 36 मिनट 2 में से 2 से तेज़ है। कोई 1 दशमलव 2 5 घंटे जैसा जवाब धीमे वाले से तेज़ है, पर तेज़ वाले से हारता है, यानी 2 में से सिर्फ़ 1 को हराता है, इसलिए वो जवाब ही नहीं।

और समय जोड़कर मिले 2 दशमलव 5 घंटे, असली 36 मिनट के 4 गुने से भी ज़्यादा हैं। यही तरीका 2 नलों पर, एक नल टंकी को 3 घंटे में भरता है, और दूसरा उसी टंकी को 2 घंटे में। एक घंटे में पहला नल 1 बटा 3 टंकी भरता है, और दूसरा 1 बटा 2 टंकी। मिलकर एक घंटे में 5 बटा 6 टंकी, तो पूरी टंकी भरने में 6 बटा 5 घंटे लगते हैं।

और 6 बटा 5 घंटे यानी पूरा 1 घंटा और 12 मिनट, जो दोनों नलों से तेज़ है, जैसा होना चाहिए। स्थिर गुणनफल हाथ में हो, तो ऐसे ज़्यादातर सवाल बस एक कदम के होते हैं। एक टंकी 20 परिवारों को 6 दिन पानी देती है, यानी 120 परिवार-दिन, तो 30 परिवारों को 4 दिन पानी मिलेगा। जैसे 3 लोग एक बाड़ 4 दिन में रंगते हैं, यानी 12 व्यक्ति-दिन, तो 4 लोग उसे 3 दिन में रंगेंगे।

फिर 12 कुर्सियों की 25 पंक्तियाँ यानी 300 कुर्सियाँ, तो एक पंक्ति में 20 कुर्सियाँ हों तो 15 पंक्तियाँ बनती हैं। स्कूल के एक दिन में 45 मिनट के 8 period यानी 360 मिनट, इन्हें 9 period में बाँटें तो एक period 40 मिनट का होगा। एक काम में 42 मशीनें 63 दिन लगाती हैं, यानी 2646 मशीन-दिन, तो 54 दिन में खत्म करना हो तो 49 मशीनें चाहिए। और 60 की रफ़्तार से 2 घंटे चलने वाली car 120 किलोमीटर तय करती है, तो 80 की रफ़्तार पर उसे 1 दशमलव 5 घंटे लगेंगे।

यानी फिर वही 1 दशमलव 5 घंटे, जिस सवाल से ये पूरी बात शुरू हुई। यानी 6 सवाल, 6 स्थिर गुणनफल, और 6 में से 6 सवालों में नई जोड़ी का गुणनफल वही रहता है। पर कम और ज़्यादा वाला हर सवाल inverse नहीं होता, और असली परीक्षा इन्हीं हमशक्लों में है। मान लीजिए 24 pencils का वज़न 120 ग्राम है, तो 20 pencils का वज़न कितना होगा? कम pencils, कम वज़न, ये inverse नहीं, direct है, क्योंकि यहाँ स्थिर है एक pencil का वज़न, जो 5 ग्राम है।

तो 20 pencils का वज़न 100 ग्राम होगा, गुणा भाग वाले पुराने तरीके से। अब एक pump 6 घंटे में 2 टंकियाँ भरता है, तो 5 टंकियों में उसे कितना समय लगेगा? ज़्यादा टंकियाँ, ज़्यादा घंटे, ये भी direct है, यहाँ स्थिर है एक टंकी का समय, 3 घंटे, और जवाब है 15 घंटे। अब 6 हालात लीजिए, और हर एक के बारे में पूछिए कि उसमें स्थिर क्या है।

नल और टंकी भरने का समय, एक दीवार पर रंगने वाले और लगने वाले दिन, और ईंधन और तय की गई दूरी। फिर एक ही रास्ते पर cycle की रफ़्तार और समय, रस्सी की लंबाई और उसका वज़न, और पन्ने और पढ़ने का समय। इनमें 6 में से 3 inverse हैं, और ये ठीक वही 3 हैं जो कोई गुणनफल स्थिर रखते हैं, एक टंकी, एक दीवार, एक रास्ता। बाकी 6 में से 3 direct हैं, वो एक भागफल स्थिर रखते हैं, ईंधन प्रति किलोमीटर, वज़न प्रति मीटर, और पढ़ने की रफ़्तार।

और सिर्फ़ 1 column वाली table कुछ तय नहीं करती, क्योंकि एक अकेली जोड़ी स्थिर गुणनफल और स्थिर भागफल दोनों रखती है। तो पूरा विषय एक सवाल में, ये हालात किस चीज़ को स्थिर रख रहे हैं? अगर भागफल स्थिर है, जैसे एक pencil का वज़न या पढ़ने की रफ़्तार, तो मात्राएँ direct proportion में हैं। अगर गुणनफल स्थिर है, जैसे एक सड़क, एक दीवार, एक टंकी या खाने का एक भंडार, तो वो inverse proportion में हैं।

और अगर कुछ भी स्थिर नहीं, तो वो इनमें से कोई नहीं, जैसे 24 और 40 वाले गुणनफलों की वो बनाई हुई table, और तब कोई तिरछा गुणा मदद नहीं करता। और सफ़र वाली table inverse है पर direct नहीं, क्योंकि रफ़्तार बटे समय वाला भागफल 4 में से 4 column में अलग अलग है। आखिर में एक ईमानदार बात, इन जवाबों के पीछे कुछ मान्यताएँ छुपी हैं, जो किसी ने लिखी नहीं।

कि 10 मज़दूर भी उतने ही अच्छे हैं जितने 20, कि कोई किसी के रास्ते में नहीं आता, और काम आराम से बँट जाता है। आधे मज़दूर करने से दिन दुगुने तभी होते हैं, जब ये सारी बातें सच हों, वरना नहीं। गणित बिल्कुल पक्का है, पर जिस दुनिया का ये model है वो उतनी पक्की नहीं, और कौन सा हिस्सा कौन सा है, ये बताना भी जवाब का हिस्सा है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab