PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 7, Proportional Reasoning-1
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60 : 40 का मतलब ये नहीं कि कुछ 60 चौड़ा है: ये एक दावा है, ऊँचाई के हर 2 हिस्सों पर चौड़ाई के 3। दोनों terms को गुणा करने से दावा वही रहता है, पर दोनों में बराबर जोड़ने से वो बदल जाता है।
मुख्य idea
ratio संख्याओं की जोड़ी नहीं है; वह इस तरह का दावा है कि "इसका इतना, उसके इतने के साथ जाता है", और संख्याओं की जोड़ी उसे कहने का बस एक तरीक़ा है। इसीलिए दोनों पदों को गुणा करने पर दावा बचा रहता है — तुम वही दर गिनती की बड़ी या छोटी इकाइयों में दोबारा कह रहे होते हो — और इसीलिए दोनों में जोड़ने पर वह नहीं बचता। दो असमान संख्याओं में एक ही मात्रा जोड़ने से उनके बीच का फ़ासला उनके आकार के मुक़ाबले सिकुड़ जाता है, इसलिए हर बार एक तरफ़ झुका ratio 1 : 1 की ओर खिंच आता है। ठीक इसी वजह से किसी बच्ची की उम्र का उसकी माँ की उम्र से ratio कभी वैसा नहीं रहता, हालाँकि दोनों के बीच का फ़ासला ज़रा भी नहीं बदलता: अंतर वह चीज़ है जो तय रहती है, और ratio वह चीज़ है जो तय नहीं रहती।
आपको क्या आना चाहिए
- दो मात्राओं की तुलना को colon वाले ratio के रूप में लिखना, उसी क्रम में जो सवाल माँगता है
- किसी दिए गए ratio का दावा शब्दों में बताना, "हर … पर … है" वाले रूप में
- ratio के पदों के नाम बताना और पहचानना कि हर पद कौन-सी मात्रा नापता है
- दिखाना कि कोई ratio और उसका उलटा दो अलग दावे हैं, और ऐसा उदाहरण देना जहाँ उलटने से जवाब बदल जाता है
- संख्याओं की ऐसी दूसरी जोड़ी बनाना जो दिए गए ratio वाला ही दावा करे, और समझाना कि क्यों
- दिए गए data पर दिखाना कि दोनों पदों में एक ही संख्या जोड़ने या घटाने से अलग दावा बनता है
- किसी बताए गए सवाल के लिए तय करना कि काम की तुलना अंतर है या ratio, और चुनाव का बचाव करना
- अलग-अलग तरह की दो मात्राओं की तुलना करना — लंबाई बनाम बोरियाँ, students बनाम kilogram — और ratio को दोनों इकाइयों के नाम के साथ बताना
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में मतलब | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| ratio | इस दावे का notation a : b कि एक मात्रा की a इकाइयाँ दूसरी की b इकाइयों के साथ जाती हैं | अनुपात | इसी chapter में छपा (Part I, §7.2, p.161) |
| terms | colon के दोनों तरफ़ लिखी दो संख्याएँ | पद | इसी chapter में छपा (Part I, §7.2, p.161) |
| first term, second term | जगह के हिसाब से नाम दिए गए पद, ताकि ratio के क्रम की बात की जा सके | प्रथम पद, द्वितीय पद | इसी chapter में छपा (Part I, §7.4, p.164) |
| proportional | एक साझा factor से जुड़े हुए, ताकि दो ratios एक ही दावा करें | समानुपाती | इसी chapter में छपा (Part I, §7.1, p.160) |
| difference | घटाने से जो मिलता है — factor के मुक़ाबले chapter का विरोधी शब्द | अंतर | इसी chapter में छपा (Part I, §7.1, p.160) |
| per-statement | ratio का "हर … पर … है" वाला पाठ, ज़ोर से बोलकर | प्रति-कथन | इस पाठ का शब्द; chapter यह पाठ Part I p.161 पर एक रंगीन box में देता है, उसे नाम दिए बिना |
| rate | दो तरह की मात्राओं के बीच तय लेन-देन की तरह इस्तेमाल हुआ ratio | दर | यहाँ इस पाठ का शब्द; यह शब्द इस chapter में नहीं छपा |
Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "ratio पूरे का एक हिस्सा होता है।" Kesang के 6 गिलास बनाम 10 चम्मच चीनी किसी चीज़ का "6 बटा 10" वाला हिस्सा नहीं है; दोनों पद अलग तरह की चीज़ें गिनते हैं और कोई ऐसा पूरा नहीं है जिसके वे हिस्से हों। किसी पूरे को ratio में बाँटना अलग क़दम है और उसका अपना topic है।
- "दोनों में एक ही चीज़ जोड़ो तो ratio नहीं बदलता।" chapter का मुख्य निशाना यही है। class को Neelima की संख्याएँ दो और उन्हें एक बटा दस को चार बटा तेरह बनते देखने दो।
- "ratio बदल गया, तो उनकी उम्र का फ़ासला भी बदल गया।" फ़ासला ही वह अकेली चीज़ है जो नहीं बदल सकती। students आम तौर पर इन दोनों की अदला-बदली कर देते हैं।
- "ratio सिर्फ़ एक ही तरह की चीज़ों की तुलना कर सकता है।" cement की बोरियों के मुक़ाबले feet, चावल के kilogram के मुक़ाबले students, students के मुक़ाबले शिक्षक। दोनों पदों की इकाइयाँ आम तौर पर अलग होती हैं, और दोनों को ज़ोर से बोलना चाहिए।
- "7 : 12 और 12 : 7 एक हैं क्योंकि उनमें वही संख्याएँ हैं।" वे उलटे दावे हैं। class से हर एक को "हर … पर" वाले रूप में ज़ोर से बुलवाओ, फ़र्क़ सुनाई देने लगेगा।
- "कम बोरियाँ मतलब कमज़ोर दीवार।" छपा हुआ उदाहरण इसी आदत को तोड़ने के लिए है — जोड़ी के बजाय table का एक column देखकर तुलना करने की आदत।
- "ratio बताता है कि कितना है।" वह सिर्फ़ यह बताता है कि दोनों मात्राएँ साथ कैसे चलती हैं। 20 : 1 में ऐसा कुछ नहीं है जो बताए कि दीवार 20 feet लंबी है या 200 feet।
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पूरा transcript2,215 शब्द
जब किसी चीज़ की चौड़ाई और ऊँचाई, दोनों को एक ही factor से गुणा करें, तो उसकी shape वैसी की वैसी रहती है। ये बात सच है, पर इतना लंबा वाक्य बार बार बोलना भारी पड़ता है। इसलिए इसे छोटे में लिखते हैं, दोनों नापों के बीच एक colon लगाकर, और इसे ratio कहते हैं। जैसे एक ही तस्वीर, 5 अलग size में, हर एक चौड़ाई अनुपात ऊँचाई के रूप में लिखी हुई।
इनमें से 60 अनुपात 40, 30 अनुपात 20 और 90 अनुपात 60 की shape एक है, बाकी 2 तस्वीरों की नहीं। अब इन्हें 20, 10 और 30 से भाग दीजिए, तो हर बार 3 अनुपात 2 बचता है। पर colon सिर्फ़ नापों की जोड़ी लिखने का तरीका नहीं है। ये एक दावा है, कि ये चीज़ें आपस में किस हिसाब से साथ चलती हैं, और आगे सब कुछ इसी पर टिका है।
ध्यान दीजिए, 60 अनुपात 40 ये नहीं कहता कि कोई चीज़ 60 मिलीमीटर चौड़ी है। ये कहता है कि ऊँचाई के हर 2 हिस्सों के साथ, चौड़ाई के 3 हिस्से चलते हैं। क्योंकि 60 है 20 गुणा 3, और 40 है 20 गुणा 2, यानी चौड़ाई के 3 और ऊँचाई के 2, ऐसे 20 जोड़े। जब इसे इस तरह पढ़ा जाता है, तो ये निशान सजावट नहीं रहता, एक वाक्य बन जाता है जिस पर बहस हो सकती है।
और 30 अनुपात 20 ठीक यही बात कहता है, और यही बात 90 अनुपात 60 कहता है। अलग अलग size की तस्वीरें, पर दावा एक, बस अलग अलग ढंग से लिखा हुआ। और देखिए, इस दावे में ये जानकारी है ही नहीं कि चीज़ कितनी बड़ी है। हर बोरी सीमेंट पर 20 फ़ुट दीवार का मतलब, 1 बोरी पर 20 फ़ुट भी हो सकता है, और 10 बोरी पर 200 फ़ुट भी।
इन दोनों संख्याओं के अपने नाम हैं, इन्हें terms कहते हैं, पहला term और दूसरा term। हर term किसी चीज़ का नाप है, और उस चीज़ का नाम बताना उतना ही ज़रूरी है जितना संख्या बताना। अगर हर 2 केलों के साथ 3 सेब हों, तो ये 3 बटा 2 आता है। और हर 40 मिलीमीटर ऊँचाई के साथ 60 मिलीमीटर चौड़ाई हो, तो ये भी 3 बटा 2 आता है।
संख्या एक ही आई, पर दावे बिल्कुल अलग हैं, अलग चीज़ों के बारे में। क्योंकि पहले में पहला term सेब गिनता है और दूसरा केले, जबकि दूसरे में दोनों terms मिलीमीटर नापते हैं। तो संख्याएँ लिख देने से ratio पूरा नहीं होता, उनकी इकाइयाँ भी साथ चाहिए। इकाइयाँ हटा दीजिए, तो हाथ में सिर्फ़ गणित का एक टुकड़ा बचता है, किसी चीज़ के बारे में कोई बात नहीं। एक और आम गलतफ़हमी ये है, कि ratio किसी पूरे का एक हिस्सा होता है।
मान लीजिए नींबू पानी में 6 गिलास पानी और 10 चम्मच चीनी जाती है, यानी 6 अनुपात 10 का दावा। इसे 10 में से 6 पढ़ना गलत है, जैसे किसी चीज़ के 10 हिस्सों में से 6 हिस्से हों। यहाँ कोई पूरा है ही नहीं, गिलास और चम्मच अलग अलग चीज़ें गिनते हैं। गिलासों में से चम्मच घटाए भी नहीं जा सकते, उसका कोई मतलब ही नहीं बनता। दोनों को 2 से भाग दीजिए, तो 3 अनुपात 5 मिलता है, यानी हर 5 चम्मच चीनी पर 3 गिलास पानी।
ये किसी पूरे का हिस्सा नहीं, ये बताता है कि पानी और चीनी किस हिसाब से साथ जाते हैं। किसी ratio को उल्टा कर दीजिए, तो आपने उसे पलटा नहीं, कुछ और ही कह दिया। एक तरफ़ 7 अनुपात 12 रखिए, और दूसरी तरफ़ 12 अनुपात 7 रखिए। पहला कहता है, हर 12 गिलास पानी में 7 चम्मच चीनी, यानी हर गिलास में 1 चम्मच से कम। दूसरा कहता है, हर 7 गिलास पानी में 12 चम्मच चीनी, यानी हर गिलास में 1 चम्मच से ज़्यादा।
संख्याएँ वही हैं, पर एक फीका है और दूसरा बहुत मीठा, ये उल्टे दावे हैं। उन 5 तस्वीरों में से सिर्फ़ 1 ऐसी है जो उल्टा पढ़ने पर भी वही संख्या देती है, और वो है वर्ग वाली तस्वीर E। पर उल्टा करने पर उसका भी दावा वही नहीं रहता, क्योंकि चौड़ाई और ऊँचाई अलग अलग नाप हैं। यानी ratio की एक दिशा होती है, पहले term से दूसरे term की ओर, और colon कोई comma नहीं है।
अब सवाल ये है कि किन्हीं ratios को एक ही दावा कब मानें? एक आसान जाँच मन में आती है, कि अगर संख्याएँ एक जैसी हों, तो दावा भी एक होगा। इस जाँच को उन 5 तस्वीरों की हर क्रमवार जोड़ी पर चलाइए, तो कुल 20 जोड़ियाँ बनती हैं। ये जाँच सभी 20 जोड़ियों को अलग बताती है, क्योंकि किसी तस्वीर की संख्याएँ किसी दूसरी तस्वीर से नहीं मिलतीं। उनमें से 14 जोड़ियों पर ये जाँच ठीक बैठती है, पर 6 जोड़ियों पर गलत।
वो 6 जोड़ियाँ A, C और D की आपसी जोड़ियाँ हैं, जो दिखती अलग हैं पर एक ही दावा करती हैं। और 7 अनुपात 12 और 12 अनुपात 7 पर ये उल्टी तरफ़ फिसलती है, संख्याएँ एक जैसी, दावे उल्टे। तो संख्याएँ मिलाना असली जाँच नहीं है, दावा मिलाना असली जाँच है। एक आदमी और एक औरत, दोनों मिस्त्री हैं, और एक अहाते की दीवार आपस में बाँट लेते हैं।
वो लंबी तरफ़ बनाता है, 60 फ़ुट, और उसमें 3 बोरी सीमेंट लगती है। वो छोटी तरफ़ बनाती है, 40 फ़ुट, और उसमें 2 बोरी सीमेंट लगती है। आदमी सोचता है कि औरत वाली दीवार कमज़ोर होगी, क्योंकि उसमें कम सीमेंट गया। उसने वो किया जो बहुत स्वाभाविक लगता है, पर गलत है, उसने सिर्फ़ बोरियाँ गिनीं, फ़ुट के साथ जोड़ी नहीं मिलाई। आदमी की दीवार में 60 बटा 3, यानी हर बोरी पर 20 फ़ुट दीवार बनी है।
औरत की दीवार में 40 बटा 2, यानी यहाँ भी हर बोरी पर 20 फ़ुट दीवार बनी है। औरत के हिसाब से 60 फ़ुट बनाने में भी ठीक 3 बोरियाँ लगतीं। संख्याएँ अलग, दावा एक, और यही आदमी की चिंता का पूरा जवाब है। किसी ratio के दोनों terms का एक ही तरह की चीज़ नापना ज़रूरी नहीं है। फ़ुट दीवार और बोरी सीमेंट, शिक्षक और छात्र, कॉफ़ी के मिलीलीटर और दूध के मिलीलीटर।
एक स्कूल में 5 शिक्षक और 170 छात्र हैं, तो इनका ratio 5 अनुपात 170 लिखा जाता है। दोनों को 5 से भाग दीजिए, तो 1 अनुपात 34 मिलता है, यानी हर शिक्षक पर 34 छात्र। दूसरे स्कूल में 4 शिक्षक और 140 छात्र हैं, यानी 1 अनुपात 35, हर शिक्षक पर 35 छात्र। ये अलग दावा है, दूसरे स्कूल में हर शिक्षक पर 1 छात्र ज़्यादा है। अब कॉफ़ी के 3 कप लीजिए, 15 अनुपात 35, 20 अनुपात 30, और 10 अनुपात 40, कॉफ़ी अनुपात दूध, मिलीलीटर में।
छोटे करें तो 3 अनुपात 7, 2 अनुपात 3, और 1 अनुपात 4 बनते हैं, और हर कप में कुल 50 मिलीलीटर है। मात्रा हर कप में बराबर है, फिर भी इनमें से कोई भी जोड़ी एक दावा नहीं करती। इसलिए दोनों इकाइयाँ हर बार बोलिए, नहीं तो आपका दावा आपके सिवा किसी के काम का नहीं। अब वो गलती देखिए, जो ratio के साथ सबसे आम है। तस्वीर A लीजिए, 60 अनुपात 40, और दोनों नापों में से 20 घटा दीजिए।
मिलता है 40 अनुपात 20, और देखने में ये कोई बुरा काम नहीं लगता। पर 3 बटा 2 चुपचाप 2 बन गया, और 2 किसी भी तरह 3 बटा 2 नहीं है। अब उल्टा कीजिए, दोनों में 20 जोड़ दीजिए, तो 80 अनुपात 60 मिलता है, यानी 4 बटा 3 आता है। बराबरी, यानी 1 अनुपात 1, से देखें तो घटाने पर दावा दूर गया, और जोड़ने पर पास आया।
पर दोनों को आधा कर दें, तो 30 अनुपात 20 मिलता है, और दावा ठीक वहीं रहता है। गुणा करने से दावा वहीं रहता है, पर बराबर जोड़ने या घटाने से वो हिल जाता है। और गणित खुद आपको कोई चेतावनी नहीं देता कि ये काम अलग अलग तरह से चलते हैं। एक लड़की 3 साल की है, और उसकी माँ 30 साल की है। यानी 3 अनुपात 30, और 30 बटा 3 है 10, तो ये 1 अनुपात 10 का दावा है।
फिर 9 साल बाद लड़की 12 साल की हो जाती है, और माँ 39 साल की। अब 12 अनुपात 39 है, दोनों को 3 से भाग दें, तो 4 अनुपात 13 बचता है। कौन बड़ा है, ये तिरछा गुणा बताता है, 1 गुणा 13 है 13, और 4 गुणा 10 है 40, तो 4 बटा 13 बड़ा है। दोनों terms में 9 जुड़े, ये वही गणित है जो तस्वीर A के साथ हुआ, बस घटाने की जगह जोड़ना।
और 15 साल बीतें, तो लड़की 27 साल की और माँ 54 साल की, यानी 27 अनुपात 54, जो 1 अनुपात 2 है। यानी 1 बटा 10, फिर 4 बटा 13, फिर 1 बटा 2, दावा बराबरी की ओर खिसकता जा रहा है। किसी ने इसके साथ कुछ नहीं किया, ये बस बीतते सालों का काम है। हमेशा बराबरी की ओर, किसी और तरफ़ कभी नहीं, इसकी वजह ये है।
अब a अनुपात b को, a प्लस k अनुपात b प्लस k के सामने रखिए, और तिरछा गुणा कीजिए। दोनों का फ़र्क निकलता है k गुणा, b माइनस a, बस एक कदम में। ये धनात्मक है जब भी दूसरा term बड़ा हो, यानी जब दावा एक तरफ़ झुका हो। लड़की और माँ पर देखिए, 30 गुणा 12 से 360 मिलता है, और 3 गुणा 39 से 117 मिलता है। इनका फ़र्क 243 है, और ठीक इतना ही 9 गुणा 27 आता है।
ऐसे 660 झुके हुए दावों और जोड़ी गई मात्राओं पर जाँचिए, तो हर एक बराबरी के पास आता है। और 660 उल्टी तरफ़ झुके मामलों पर भी, यानी सभी 1320 मामले बराबरी के पास आते हैं। घटाना उल्टी तरफ़ धकेलता है, बराबरी से दूर, पर एक शर्त के साथ। घटाई गई मात्रा छोटे term से कम रहे, तो 220 में से सभी 220 मामलों में दावा दूर जाता है। जैसे 4 अनुपात 9 में से 3 घटाइए, तो 1 अनुपात 6 मिलता है, जो बराबरी से और दूर है।
अब ठीक 4 घटाइए, तो 0 अनुपात 5 बचता है, पहला term ही खत्म, कहने को कुछ नहीं। और 6 घटाइए, तो पहला term माइनस 2 हो जाता है, जो किसी चीज़ की गिनती नहीं। इसलिए जब भी घटाने वाला नियम बोलें, उसकी शर्त साथ बोलिए, शर्त नियम का ही हिस्सा है। जब ratio खिसक रहा था, तब एक चीज़ बिल्कुल नहीं हिली, उसे ढूँढना ज़रूरी है। माँ और बेटी में, 30 माइनस 3 है 27, और 39 माइनस 12 है फिर से 27 साल।
आगे के 50 में से 50 सालों में फ़र्क 27 साल रहता है, और ratio एक भी साल में वैसा नहीं रहता। दोनों terms में बराबर जोड़ना, फ़र्क को छू भी नहीं सकता। और ratio को वैसा का वैसा छोड़ भी नहीं सकता। लोग इन दोनों को अक्सर आपस में बदल देते हैं, और यही पूरी गलतफ़हमी है। अब पूरी बात उल्टी चलाइए, एक लड़की 1 साल की है और उसका भाई 5 साल का है।
लड़की किस उम्र में होगी, जब दोनों की उम्रें 1 अनुपात 2 में हों? फ़र्क 4 साल है, और पूरी ज़िंदगी 4 साल ही रहेगा। तो भाई कब उसका दुगना होगा, ये पूछना असल में ये पूछना है कि फ़र्क कब उसकी उम्र के बराबर होगा। यानी जब वो 4 साल की हो, और भाई 8 साल का, तब 4 अनुपात 8, जो 1 अनुपात 2 है। उससे पहले 1 अनुपात 5, 2 अनुपात 6, और 3 अनुपात 7, ये सब आधे से कम हैं।
और उसके बाद 5 अनुपात 9, आधे से ऊपर, और फिर वो कभी आधे पर वापस नहीं आता। जब वो 8 साल की हो, तो 8 अनुपात 12, यानी 2 अनुपात 3, और 12 साल पर 12 अनुपात 16, यानी 3 अनुपात 4 होता है। पूरे 80 सालों में 1 अनुपात 2 सिर्फ़ एक बार आता है, और 1 अनुपात 1 कभी नहीं आता। सवाल एक, जवाब एक, और जवाब मिलने की वजह फ़र्क है, ratio नहीं।
तो काम का सवाल ये है, फ़र्क कब सही औज़ार है, और ratio कब? उम्रों में फ़र्क टिकता है और ratio नहीं, इसलिए वहाँ फ़र्क काम आता है। दीवार और बोरियों में कोई फ़र्क है ही नहीं, फ़ुट में से बोरियाँ घटाने का कोई मतलब नहीं। वहाँ ratio ही अकेली तुलना है, और वही ठीक तुलना है। कॉफ़ी के कप में दोनों terms मिलीलीटर हैं, तो फ़र्क निकलता है, 35 माइनस 15, यानी 20 मिलीलीटर।
अब वही कप दुगना बनाइए, 30 अनुपात 70, स्वाद वही, दावा वही। पर फ़र्क 20 से 40 हो गया, तो फ़र्क निकल आने से वो सही औज़ार नहीं बन जाता। अगर आप चाहते हैं कि आपका ratio कोई और इस्तेमाल कर सके, तो पन्ने पर कुछ बातें साफ़ होनी चाहिए। कौन सी चीज़ पहले है, हर term किस चीज़ का नाप है, और ऐसा कुछ नहीं जो आपने दिखाया ही नहीं।
जैसे 60 फ़ुट दीवार अनुपात 3 बोरी सीमेंट, यानी 20 अनुपात 1 बनता है। और 20 अनुपात 1, 200 अनुपात 10, और 2000 अनुपात 100, ये सब एक ही दावा हैं। यानी ratio ये नहीं बताता कि दीवार कितनी लंबी है, उसका काम ये है ही नहीं। वो बताता है कि दोनों चीज़ें किस हिसाब से साथ चलती हैं, और ये ठीक से कह दिया, तो इतना काफ़ी है। गुणा उस दावे को वैसा रखता है, बराबर जोड़ना और घटाना उसे बदल देते हैं, और फ़र्क वो चीज़ है जो टिकी रहती है।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Why some resized images look right and others look stretchedकक्षा 8 · Ch 7, Proportional Reasoning-1
आगे फिर कहाँ आता है
- Simplest form, and using it to test whether two ratios are proportionalकक्षा 8 · Ch 7, Proportional Reasoning-1
- Solving a proportion problem, and the Trairasika rule of threeकक्षा 8 · Ch 7, Proportional Reasoning-1
- Sharing a whole in a given ratioकक्षा 8 · Ch 7, Proportional Reasoning-1
- Direct proportion restated: the quotient that stays constantकक्षा 8 · Ch 3, Proportional Reasoning-2
- Map scale as a ratio, and what it lets you computeकक्षा 8 · Ch 3, Proportional Reasoning-2
- Ratios of three or more quantities at onceकक्षा 8 · Ch 3, Proportional Reasoning-2