PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 7, Proportional Reasoning-1PrepShorts

Chapter 7 · Proportional Reasoning-1

कुछ तस्वीरें छोटी-बड़ी करने पर ठीक क्यों दिखती हैं और कुछ खिंची हुई क्यों

What proportional change looks like12 मिनट

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एक बाघ की 5 तस्वीरें: 60 x 40, 30 x 20 और 90 x 60 एक जैसी दिखती हैं, 40 x 20 खिंची हुई और 60 x 60 दबी हुई। फ़र्क एक संख्या का है, चौड़ाई ÷ ऊँचाई: पहली 3 की 3/2 है, बाकी की 2 और 1।

मुख्य idea

किसी तस्वीर का size बदलना और उसका shape बदलना दो अलग काम हैं, और एक ही संख्या तय करती है कि तुमने इनमें से कौन-सा किया है। चौड़ाई और ऊँचाई दोनों को एक ही factor से गुणा करो तो shape बचा रहता है, क्योंकि साझा factor ठीक वही चीज़ है जिसे भागफल महसूस ही नहीं कर पाता। इसके बजाय दोनों में से उतने ही millimetre घटा दो तो shape को बदलना ही पड़ता है — और वह ऐसी दिशा में बदलता है जिसका अंदाज़ा देखने से पहले ही लगाया जा सकता है: बराबर घटाने से लंबी भुजा छोटी भुजा से और आगे निकल जाती है, इसलिए चौड़ी तस्वीर खिंची हुई दिखने लगती है, कभी ज़्यादा square जैसी नहीं। chapter के पाँच बाघ पाँच size नहीं हैं; वे एक ही shape की तीन copies और दो नाकामियाँ हैं, और गणित पहले से बता देता है कि कौन क्या है।

आपको क्या आना चाहिए

  • चौड़ाइयों और ऊँचाइयों की table पढ़ना और सिर्फ़ संख्याओं से तय करना कि कई rectangles में से किनका shape एक जैसा है
  • वह factor ढूँढ़ना जो एक चौड़ाई को दूसरी तक ले जाता है, और जाँचना कि वही factor पहली ऊँचाई को दूसरी तक ले जाता है या नहीं
  • एक उदाहरण पर दिखाना कि दो असमान लंबाइयों में से बराबर मात्रा घटाने पर उनकी तुलना वैसी नहीं रहती, और बताना कि तुलना किस तरफ़ खिसकती है
  • समझाना कि जो तस्वीर एक भुजा को जस का तस रखती है और दूसरी को बदलती है, वह बिगड़ी हुई क्यों दिखेगी ही
  • शब्द proportional को chapter के अर्थ में इस्तेमाल करना: दोनों मात्राएँ एक ही साझा factor से बदली गईं
  • कोई rectangle दिया हो तो उसी shape का एक बड़ा और एक छोटा rectangle बनाना, और इस्तेमाल किए गए factor का नाम लेकर बनावट को सही ठहराना
  • किसी असली चीज़ को नापना — blackboard, किसी सहपाठी के हाथ-पैर — और तुलना को दो अलग-अलग नापों की जगह संख्याओं की एक जोड़ी के रूप में लिखना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
similarएक ही shape का, भले ही size एक न हो — तीन मेल खाती तस्वीरों के लिए chapter का शब्दसमरूपइसी chapter में छपा (Part I, §7.1, p.159)
proportionalदोनों मात्राएँ एक ही factor से बदली गईंसमानुपातीइसी chapter में छपा (Part I, §7.1, p.160)
factorवह संख्या जिससे गुणा करके एक नाप से दूसरे नाप तक पहुँचते हैंगुणकइसी chapter में छपा (Part I, §7.1, p.160)
distortedshape में बदला हुआ, जिससे विषय ग़लत दिखता हैविकृतइसी chapter में छपा (Part I, §7.1, p.160)
elongatedएक दिशा में खिंचा हुआ — image B के बारे में chapter का निदानलंबित / खिंचा हुआइसी chapter में छपा (Part I, §7.1, p.160)
width and heightrectangle के दो नाप, जिन्हें chapter इसी क्रम में रखता है, पहला और दूसराचौड़ाई और ऊँचाईइसी chapter में छपा (Part I, §7.1, p.160)
shape-preserving changeऐसा resize जिसके बाद विषय पहचान में आता रहेआकार-संरक्षी परिवर्तनइस पाठ का शब्द; chapter proportional कहता है और यह नाम इस्तेमाल नहीं करता
aspect ratioचौड़ाई और ऊँचाई की वह तय तुलना जो कोई shape अपने साथ लिए चलता हैविस्तार अनुपातइस पाठ का शब्द; यह इस chapter में कहीं नहीं छपा, जिसका शब्द ratio है, जो एक page बाद आता है

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "बड़ी वाली और छोटी वाली अलग दिखनी ही चाहिए।" यहाँ size वह चीज़ नहीं है जिसे परखा जा रहा है। A और C में दो गुने का फ़र्क़ है और उनका shape एक है; A और B में इससे कम फ़र्क़ है और उनका shape एक नहीं।
  • "वे अलग इसलिए दिखती हैं क्योंकि एक square है।" chapter यह व्याख्या ख़ुद उठाता है और फिर उसे गिरा देता है: दूसरी बिगड़ी हुई तस्वीर rectangle है। जो ग़लत व्याख्या एक उदाहरण पर टिक जाए, वही इस section का आम जाल है।
  • "बराबर अंतर, बराबर बदलाव।" हर भुजा से 20 mm घटाना बराबरी वाला लगता है, पर है नहीं। बीस, चालीस का आधा है और साठ का एक-तिहाई; वही घटाना दोनों नापों के लिए अलग-अलग आकार की घटना है।
  • "दोनों में से घटाने पर shape ज़्यादा square हो जाता है।" होता इसका उलटा है, हमेशा — section 6 इसे साबित करता है। students दिशा का अंदाज़ा लगभग हमेशा ग़लत लगाते हैं, इसलिए तस्वीर दिखाने से पहले उनसे अंदाज़ा लगवाओ।
  • "सिर्फ़ पूरी संख्या वाले factors गिने जाते हैं।" A से D का factor तीन बटा दो है, और A से C का factor आधा। factor कोई भी गुणक हो सकता है।
  • "हर rectangle हर दूसरे rectangle से similar होता है।" बराबर कोण काफ़ी नहीं हैं; दोनों भुजाओं की लंबाइयाँ भी आपस में बँधी होनी चाहिए।
  • "चौड़ाई वह है जो आड़ी हो।" बाघों के लिए सही, Part I p.166 के तिरछे rectangles के लिए बेकार, और किसी अंग के लिए तो बेकार से भी बदतर। संख्याओं की जोड़ी इस आधार पर बनाओ कि हर एक क्या नापती है, इस पर नहीं कि वह किस दिशा में है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 7.4 Q4, Figure it Out · 7.4 Q5, Figure it Out · 7.4 Q7

पूरा transcript1,856 शब्द

ये एक बाघ की तस्वीर है, और यहाँ वही तस्वीर 5 बार, 5 अलग size में बनी है। बिना कुछ नापे ही दिखता है कि 5 में से 3 तस्वीरें एक जैसी हैं, बस छोटी या बड़ी। बाकी 2 गलत दिखती हैं, एक दबी हुई और एक खिंची हुई। आपकी आँख को इसका पूरा यकीन है, पर आँख ये नहीं बता सकती कि क्यों। तो सवाल ये नहीं कि कौन सी ठीक दिखती हैं, सवाल ये है कि ठीक वाली तस्वीरों में ऐसा क्या साझा है जो बाकी में नहीं?

और जवाब निकलेगा एक अकेली संख्या, जो हर तस्वीर अपने साथ लेकर चलती है। वही संख्या तय करती है कि आपने तस्वीर का size बदला, या उसकी shape बदल दी। पहली बात जो सबके मन में आती है, वो ये है। गलत तस्वीरों में से एक वर्ग बन गई है, और बाघ वर्ग जैसा नहीं होता, इसलिए वो अजीब दिखती है। ये बात अच्छी लगती है, ठीक बैठती है, पर जवाब ये नहीं है।

क्योंकि दूसरी गलत तस्वीर वर्ग नहीं है, वो एक rectangle है, ऊँचाई से ज़्यादा चौड़ी, बिल्कुल ठीक वाली तस्वीरों की तरह। तो 5 में से सिर्फ़ 1 तस्वीर वर्ग है, जबकि गलत दिखने वाली 2 हैं, यानी वर्ग वाली बात 2 में से सिर्फ़ 1 को समझाती है। जो बात पहले उदाहरण पर टिके और दूसरे पर गिर जाए, वो असली वजह नहीं है। वो बस एक इत्तफ़ाक है, जो अभी तक पकड़ा नहीं गया।

तो देखना छोड़िए, और नापिए। तस्वीर A की चौड़ाई 60 मिलीमीटर है और ऊँचाई 40 मिलीमीटर। तस्वीर B की चौड़ाई 40 और ऊँचाई 20 है, और C की चौड़ाई 30, ऊँचाई 20 है। तस्वीर D की चौड़ाई 90 और ऊँचाई 60 है, और E की चौड़ाई 60, ऊँचाई भी 60 है। अब ये 10 संख्याएँ अपने आप में जवाब नहीं हैं, ये बस नापने का काम है। जवाब ये है कि हर जोड़ी के साथ आप क्या करते हैं।

चौड़ाई को ऊँचाई से भाग दीजिए, तो हर तस्वीर 2 संख्याओं की जगह एक संख्या दे देती है। तस्वीर A के लिए 60 बटा 40, यानी 3 बटा 2 आता है। तस्वीर C के लिए 30 बटा 20, यानी फिर से 3 बटा 2, और D के लिए 90 बटा 60, यानी फिर 3 बटा 2 आता है। तस्वीर B के लिए 40 बटा 20, यानी 2 आता है, और E के लिए 60 बटा 60, यानी 1 आता है।

इसमें कोई अंदाज़ा नहीं लगाना पड़ा, बस भाग देना पड़ा। तो A, C और D की संख्या 3 बटा 2 है, B की 2 है, और E की 1 है। तो आँख ने जो 3 तस्वीरें चुनी थीं, ठीक वही 3 एक संख्या साझा करती हैं, और जिन 2 को उसने ठुकराया, ठीक वही 2 अलग हैं। आँख यही नाप रही थी, बस बता नहीं पा रही थी कि क्या नाप रही है।

अब देखिए कि A से ठीक वाली तस्वीरों तक कैसे पहुँचते हैं। तस्वीर A की चौड़ाई 60 और ऊँचाई 40 है, C की 30 और 20, यानी चौड़ाई आधी हुई और ऊँचाई भी आधी हुई। एक ही factor, 1 बटा 2, दोनों पर लगा। तस्वीर A से D तक, 60 से 90 और 40 से 60, यानी चौड़ाई पर 3 बटा 2 और ऊँचाई पर भी 3 बटा 2 का factor लगा।

फिर एक ही factor, और उसका पूरी संख्या होना ज़रूरी नहीं। अब A से B, चौड़ाई 60 से 40, यानी 2 बटा 3, पर ऊँचाई 40 से 20, यानी 1 बटा 2 का factor। यहाँ 2 अलग factors लगे, ऐसी कोई एक संख्या नहीं जिससे A को गुणा करके B मिले, और B की पूरी परेशानी यही है। और ये भी देखा जा सकता है कि एक factor क्यों काम करता है।

तस्वीर की संख्या एक भाग है, चौड़ाई भाग ऊँचाई। किसी भाग में ऊपर और नीचे दोनों को एक ही संख्या से गुणा करें, तो भाग पर कोई असर नहीं पड़ता। जैसे 90 असल में 60 गुणा 3 बटा 2 है, और 60 असल में 40 गुणा 3 बटा 2, तो ये 3 बटा 2 ऊपर और नीचे दोनों जगह है, और कट जाता है। तस्वीर A को 2 से गुणा कीजिए, तो 120 और 80 मिलते हैं, और 120 बटा 80 फिर से 3 बटा 2 है।

और 3 बटा 4 से गुणा करें, तो 45 और 30 मिलते हैं, और संख्या फिर वही 3 बटा 2 रहती है। इन 5 तस्वीरों की 20 क्रमवार जोड़ियों में से 6 में एक ही factor लगता है, और ये ठीक वही 6 जोड़ियाँ हैं जिनकी shape एक है। तो proportional का मतलब ये नहीं कि तस्वीर बड़ी हुई, मतलब ये है कि दोनों नाप एक ही संख्या से गुणा हुए।

अब वो गलती जो इंसाफ़ जैसी लगती है, पर है नहीं। तस्वीर A की चौड़ाई से 20 मिलीमीटर घटाइए, और ऊँचाई से भी 20 मिलीमीटर। तो चौड़ाई 60 से 40 हो जाती है, ऊँचाई 40 से 20, और ये ठीक तस्वीर B है, वही जिसे आँख ने ठुकराया। और इसकी वजह गणित है, सुंदरता नहीं। ऊँचाई के लिए 20 उसका आधा है, पर चौड़ाई के लिए 20 सिर्फ़ 1 बटा 3 हिस्सा है।

एक ही घटाव छोटी भुजा के लिए बहुत बड़ी घटना है, और लंबी भुजा के लिए छोटी। तो छोटी भुजा अपने हिसाब से ज़्यादा खोती है, संख्या 3 बटा 2 से बढ़कर 2 हो जाती है, और तस्वीर खिंची हुई निकलती है। अब देखने से पहले अंदाज़ा लगाइए, बराबर घटाने से तस्वीर ज़्यादा वर्ग जैसी बनती है, या ज़्यादा लंबी? ज़्यादातर लोग कहते हैं वर्ग जैसी, पर होती हमेशा लंबी है।

तस्वीर D लीजिए, 90 और 60, और दोनों से 20 घटाइए, तो 70 और 40 बचते हैं। अब 70 बटा 40, यानी 7 बटा 4, और ये 3 बटा 2 से बड़ा है। यानी D भी लंबी हो गई, ठीक वैसे ही जैसे A हुई थी। बराबर घटाने से फ़र्क मिटता नहीं, बढ़ जाता है। पर 2 उदाहरण सबूत नहीं होते, सबूत अब देखते हैं। अब सबूत, एक पंक्ति में।

चौड़ाई w, ऊँचाई h, और दोनों से k घटाइए, फिर w बटा h की तुलना w माइनस k बटा h माइनस k से कीजिए। दोनों को तिरछा गुणा कीजिए, तो उनका फ़र्क k गुणा w माइनस h निकलता है। संख्याओं में, w बराबर 60, h बराबर 40 और k बराबर 20 पर, 40 गुणा 40 बराबर 1600, और 60 गुणा 20 बराबर 1200 आता है। फ़र्क 1600 माइनस 1200, यानी 400, और k गुणा w माइनस h, यानी 20 गुणा 20, वही 400 देता है।

अगर चौड़ाई ऊँचाई से बड़ी है, और k धनात्मक है, तो ये फ़र्क धनात्मक है, यानी नई संख्या बड़ी होती है। ये फ़र्क को न ठीक करता है, न वैसा छोड़ता है, हमेशा बढ़ा देता है। इसीलिए चौड़ी तस्वीर ऐसे छोटी करने पर खिंची हुई दिखती है, वर्ग जैसी कभी नहीं। अब वो हिस्सा जिसे छोड़ देना आसान है, पर छोड़ना नहीं चाहिए। इस सबूत के लिए k को छोटी भुजा से कम होना चाहिए, सजावट के लिए नहीं, क्योंकि वरना बात झूठी है।

हर चौड़ाई, ऊँचाई और छोटी भुजा से कम हर k पर जाँचें, तो नियम 1140 में से 1140 बार ठीक बैठता है। और k ठीक छोटी भुजा जितना हो, तो 60 और 40 से 40 घटाकर 20 बटा 0 बचता है, जिसका कोई मतलब नहीं। और k छोटी भुजा से ज़्यादा हो, तो नतीजा पलट जाता है, दूसरे 1140 मामलों में से एक में भी फ़र्क नहीं बढ़ता। वही algebra, और एक संख्या के उस पार, उल्टा जवाब।

जो नियम अपनी शर्त साथ लेकर न चले, वो नियम नहीं, बस एक बात है जो वहाँ चल गई जहाँ आपने आज़माई। तस्वीर बिगाड़ने का एक दूसरा तरीका भी है, और वो और भी आसान है। एक भुजा को वैसा ही रखिए, और दूसरी को बदल दीजिए। तस्वीर A की चौड़ाई 60 पर रखिए, और ऊँचाई 40 से बढ़ाकर 60 कर दीजिए, तो E बनती है। चौड़ाई का factor 1 है, ऊँचाई का factor 3 बटा 2, फिर से 2 अलग संख्याएँ, तो shape को बदलना ही था।

और दिशा देखिए, इस बार संख्या 3 बटा 2 से घटकर 1 हुई, और बाघ खिंचा नहीं, दबा हुआ निकला। दोनों गलतियाँ असल में एक ही गलती हैं, एक factor की जगह 2 factors। वर्ग होना कभी असली परेशानी नहीं था, वो बस एक लक्षण था, और भरोसेमंद लक्षण भी नहीं। एक चेतावनी, जो तस्वीरों से आगे बढ़ते ही ज़रूरी हो जाती है। यहाँ 5 rectangles अलग अलग ढंग से तिरछे रखे हैं, इनमें से किनकी shape एक है?

पहला 6 मिलीमीटर चौड़ा और 18 ऊँचा है, और चौथा 39 चौड़ा और 13 ऊँचा। चौड़ाई बटा ऊँचाई से एक के लिए 1 बटा 3 आता है और दूसरे के लिए 3, तो लगेगा कि दोनों अलग हैं। पर एक को चौथाई चक्कर घुमाइए, तो दोनों एक दूसरे पर बैठ जाते हैं, लंबी भुजा बटा छोटी भुजा दोनों के लिए 3 है। चौड़ाई का मतलब आड़ी भुजा, और आड़ा होना shape की खूबी नहीं, बस इस बात की है कि shape इस वक़्त कैसे रखी है।

अपनी 2 संख्याओं को इस हिसाब से जोड़िए कि हर एक क्या नापती है, इससे नहीं कि वो किस तरफ़ है। दूसरी बात, खींचे हुए चित्र से पढ़ी गई shape में नापने की गलती होती है, तो मेल खाना हमेशा इस बात का दावा है कि कितना करीब। तीसरे rectangle की भुजाएँ 51 और 41 बटा 2 हैं, यानी संख्या 102 बटा 41, और आख़िरी की 35 बटा 2 और 7, यानी 5 बटा 2 आती है।

ये दोनों बराबर नहीं हैं, पर 1 बटा 100 से भी कम के फ़र्क से मिलते हैं। अब 1 बटा 50 की छूट के साथ, लंबी बटा छोटी से पढ़ने पर ये 5 rectangles 3 समूहों में बँटते हैं, 3 वाली जोड़ी, 5 बटा 2 वाली जोड़ी, और एक जो किसी से नहीं मिलता। और चौड़ाई बटा ऊँचाई से पढ़ें, तो 4 समूह बनते हैं, क्योंकि खड़ा rectangle अपने लेटे हुए साथी से अलग गिना जाता है।

छूट बहुत ढीली कर दीजिए, तो सब कुछ सब से मिल जाता है, और उससे कुछ पता नहीं चलता। और छूट आगे नहीं बढ़ती, 100 बटा 100, 102 बटा 100 और 104 बटा 100 में हर पड़ोसी 2 बटा 100 दूर है, पर दोनों सिरे 4 बटा 100 दूर। तो पहला और दूसरा मिलते हैं, दूसरा और तीसरा मिलते हैं, पर पहला और तीसरा 1 बटा 50 के अंदर नहीं मिलते।

आख़िर में, किसी size के बजाय किसी shape के हिसाब से चित्र बनाना। एक rectangle 35 मिलीमीटर चौड़ा और 21 ऊँचा है, यानी उसकी संख्या 5 बटा 3 है। इसे 2 से गुणा कीजिए, तो 70 और 42 मिलते हैं, और आधा करें तो 35 बटा 2 और 21 बटा 2 मिलते हैं। दोनों की संख्या फिर वही 5 बटा 3 है, क्योंकि दोनों बार एक ही factor दोनों भुजाओं पर लगा।

तो जब आप किसी shape के हिसाब से चित्र बनाएँ, तो वो factor लिख दीजिए जो आपने इस्तेमाल किया। हर किसी का चित्र अलग size का होगा, और हर एक ठीक हो सकता है। अपनी कक्षा का बोर्ड नापिए, चौड़ाई और ऊँचाई की जोड़ी लिखिए, और कॉपी में उसी shape का छोटा rectangle बनाइए। यानी proportional का फ़ायदा ये है कि आप किसी को shape सौंप सकते हैं, बिना उसे ruler सौंपे।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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