PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 7, Proportional Reasoning-1PrepShorts

Chapter 7 · Proportional Reasoning-1

किसी पूरे को दिए गए ratio में बाँटना

Using proportions13 मिनट

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12 गोटियाँ 3 अनुपात 1 में बाँटनी हैं, तो एक को 3 और दूसरे को 1 देकर रुकना जवाब नहीं, 8 गोटियाँ अब भी मेज़ पर हैं। ratio चीज़ें नहीं, समूह गिनता है: 3 और 1 मिलाकर 4 समूह, एक समूह 3 का, तो 9 और 3।

मुख्य idea

ratio चीज़ें नहीं, समूह गिनता है। जब कहा जाए कि 3 : 1 के ratio में बाँटो, तो असल में कहा जा रहा है कि एक हिस्सा तीन बराबर समूहों से बना है और दूसरा उसी आकार के एक समूह से — इसलिए पूरा चार समूह है, और जैसे ही पूरे को चार से भाग दिया, हिस्से पसंद का मामला नहीं रहते। ratio को समूहों की गिनती में बदलने वाला यही एक क़दम पूरा तरीक़ा है, और यह दोनों बातें समझाता है: अकेला ratio कभी क्यों नहीं बता सकता कि किसे कितना मिलेगा, और पूरा तय हो जाने पर जवाब इकलौता जवाब क्यों है: जो दो हिस्से जुड़कर पूरा बनाएँ और दिए गए ratio में हों, उनके लिए समूह का ठीक एक ही आकार बचता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी दी गई मात्रा को बताए गए ratio में दो हिस्सों में बाँटना, समूह का आकार अलग क़दम के रूप में दिखाते हुए
  • समझाना कि समूहों की संख्या ratio के पदों का जोड़ क्यों होती है
  • दोनों हिस्सों के ratio को छोटा करके वापस दिए गए ratio तक लाकर जवाब जाँचना
  • आम रूप — m × x / (m + n) और n × x / (m + n) — इस्तेमाल करना और बताना कि हर factor क्या गिन रहा है
  • किसी मिश्रण के कुल और उसके ratio से उसकी मात्राएँ निकालना
  • किसी मिश्रण को सिर्फ़ एक सामग्री में जोड़कर नए ratio में बदलना, पहले यह पहचानकर कि कौन-सी मात्रा नहीं बदलती
  • एक ही ratio और अलग-अलग पूरे वाले दो सवालों से दिखाना कि अकेला ratio हिस्से तय नहीं करता
  • पहचानना कि कब बाँटने वाले सवाल को ऐसी मान्यता चाहिए जो सवाल में लिखी नहीं है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
wholeबाँटी जा रही कुल मात्रासंपूर्ण / कुलइसी chapter में छपा (Part I, §7.5, p.173), जहाँ चित्र में यह उद्धरण चिह्नों में लिखा है
partsवे दो हिस्से जिनमें पूरे को बाँटा जाता हैभागइसी chapter में छपा (Part I, §7.5, p.173)
countersactivity में इस्तेमाल होने वाली गिनने लायक़ चीज़ें — सिक्के, बीज या कंकड़गोटियाँइसी chapter में छपा (Part I, §7.5, p.172)
simplest formछोटा किया हुआ ratio, जो यहाँ सवाल रखने और जवाब जाँचने, दोनों में इस्तेमाल होता हैसरलतम रूपइसी chapter में छपा (Part I, §7.3, p.161)
group sizeउन बराबर समूहों का साझा आकार जिन्हें ratio गिनता हैसमूह का आकारइस chapter में वर्णन है पर नाम नहीं; Part I p.174 हर समूह के आकार की बात करता है, उसे शब्द बनाए बिना
number of groupsratio के पदों का जोड़समूहों की संख्याइसी chapter में छपा (Part I, §7.5, pp.173–174)
unchanged quantityवह सामग्री जो मिश्रण ठीक करते समय तय रहती हैअपरिवर्तित राशिExample 12 के आधार के लिए इस पाठ का शब्द; chapter में इसका कोई नाम नहीं

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "3 : 1 के ratio में बाँटने का मतलब है एक को 3 और दूसरे को 1 देना।" यह बाँटने का एक दौर है, जवाब नहीं, जब तक पूरा संयोग से 4 न हो।
  • "ratio मुझे हिस्से बता देता है।" जब तक पूरा न बताया जाए, नहीं बताता। chapter तीन pages के भीतर 3 : 1 को 12 गोटियों पर भी लगाता है और ₹4,000 पर भी।
  • "बड़े पद से भाग दो।" भाजक पदों का जोड़ है, क्योंकि पूरे में उतने ही समूह हैं।
  • "2 से भाग दो, क्योंकि दो लोग हैं।" सिर्फ़ 1 : 1 के लिए। दोनों लोगों को बराबर समूह नहीं मिलते; उन्हें बराबर आकार के समूह असमान संख्या में मिलते हैं।
  • "3 : 1 का मतलब तीन-चौथाई और एक-चौथाई है, इसलिए ratio fractions की एक जोड़ी है।" fractions ratio में से निकलते हैं, वे ratio नहीं हैं। समूह वाला क़दम दिखता रहे, वरना students ग़लत हर का अंदाज़ा लगाएँगे।
  • "मिश्रण को 3 : 1 से 5 : 2 करने के लिए दोनों सामग्रियाँ बदलो।" सवाल कहता है कि सिर्फ़ cement जोड़ा जाता है, इसलिए रेत आधार है। ग़लत आधार चुनना Example 12 पर सबसे आम ग़लती है।
  • "मिश्रण में जोड़ना ratio के दोनों पदों में जोड़ने जैसा ही है।" पीली paint जोड़ना सिर्फ़ एक पद में जोड़ता है। यहीं यह topic और ratio-अंतर-नहीं-है वाला topic मिलते हैं।
  • "जवाब पूरी चीज़ों में ही आना चाहिए।" गोटियों और चावल के cups के लिए आता है; किसी लंबाई के लिए ज़रूरी नहीं — 152 cm की ऊँचाई को 4 : 6 में बाँटने पर 60.8 cm और 91.2 cm मिलते हैं, और जवाब फिर भी सही है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 7.5 Q1, Figure it Out · 7.5 Q2, Figure it Out · 7.5 Q3, Figure it Out · 7.5 Q4, Figure it Out · 7.5 Q5, Figure it Out · 7.6 Q4, Figure it Out · 7.6 Q12

पूरा transcript1,969 शब्द

मेज़ पर 12 गोटियाँ रखिए, और उन्हें 2 लोगों के बीच बाँटना है। सबसे सीधा बँटवारा 6 और 6 का है, जिसका ratio 6 अनुपात 6, यानी 1 अनुपात 1 बनता है। पर ये अकेला तरीका नहीं, 3 और 9, 8 और 4, या 2 और 10 के बँटवारे भी उतने ही अच्छे हैं। छोटा करने पर इनके ratio 1 अनुपात 3, 2 अनुपात 1, और 1 अनुपात 5 बनते हैं।

और 5 और 7 का बँटवारा भी है, जिसका ratio छोटा होता ही नहीं, क्योंकि 5 और 7 का HCF 1 है। दोनों तरफ़ कम से कम 1 गोटी रहे, तो 12 गोटियाँ बाँटने के 11 अलग तरीके बनते हैं। तो सवाल ये नहीं कि बँटवारे कितने हैं, सवाल ये है कि ratio हुक्म बनकर आए, तो वो करने को क्या कहता है। एक ratio किसी हो चुके बँटवारे का बयान भी हो सकता है।

जैसे 9 और 3 एक हो चुका बँटवारा है, और HCF 3 से छोटा करने पर वो 3 अनुपात 1 है। पर यही 3 अनुपात 1 उल्टी तरफ़ से भी आ सकता है, एक हुक्म बनकर। हुक्म ये है, इन 12 गोटियों को 3 अनुपात 1 में बाँटना है। अब तक कुछ बँटा नहीं है, और कुछ निकालना बाकी है। ज़्यादातर लोग यहाँ पहला कदम गलत उठाते हैं, एक को 3 गोटियाँ और दूसरे को 1 गोटी देकर रुक जाते हैं।

पर 3 और 1 मिलाकर सिर्फ़ 4 गोटियाँ बँटीं, और 8 गोटियाँ अब भी मेज़ पर पड़ी हैं। असल में 3 और 1 देना जवाब नहीं, ये बाँटने की सिर्फ़ एक बारी है। तो बाँटते रहिए, 3 आपको, 1 मुझे, और मेज़ पर 8 गोटियाँ बचीं। फिर 3 आपको, 1 मुझे, और मेज़ पर 4 गोटियाँ बचीं। फिर 3 आपको, 1 मुझे, और अब मेज़ बिल्कुल खाली है। कुल 3 बारियाँ हुईं, तो 9 गोटियाँ एक तरफ़ गईं और 3 गोटियाँ दूसरी तरफ़।

तो जवाब 9 और 3 है, और ध्यान दीजिए, ये जवाब किसी ने चुना नहीं। बाँटना वहीं रुका जहाँ गोटियाँ खत्म हुईं, और जवाब उसी ने तय किया। अब देखिए कि ये बाँटना असल में कर क्या रहा था। हर बारी में मेज़ से 4 गोटियाँ उठीं, 3 एक को और 1 दूसरे को, और ऐसा 3 में से 3 बारियों में हुआ। ये 4 किसी ने लिखा नहीं था, ये बस 3 और 1 का जोड़ है।

यानी 12 गोटियाँ, 4 गोटियों वाले 3 ढेरों में टूट गईं। इन्हीं 12 को दूसरी तरह देखें, तो ये 3 गोटियों वाले 4 समूह हैं। एक को इनमें से 3 समूह मिले, और दूसरे को 1 समूह मिला। तो ratio चीज़ें नहीं गिनता, वो समूह गिनता है। अब इसे एक तस्वीर में रखते हैं, ऊपर से नीचे तक। सबसे ऊपर पूरा ढेर है, यानी 12 गोटियाँ। उसके नीचे ratio है, 3 अनुपात 1, जो 3 और 1 मिलाकर 4 समूह बनता है।

फिर एक समूह का आकार, 12 को 4 से भाग देकर 3 गोटियाँ। और सबसे नीचे दोनों हिस्से, 3 गुणा 3 यानी 9, और 1 गुणा 3 यानी 3 गोटियाँ। सारा खेल बीच वाले कदम का है, और सवाल में उस भाग का ज़िक्र तक नहीं होता। तो ratio के terms जोड़िए, और यही जोड़ बताता है कि कितने समूहों में बाँटना है। अब एक बड़ा सवाल, 42 गोटियों को 4 अनुपात 3 में बाँटना।

बाँट भी सकते हैं, हर बारी में 4 और 3, यानी 7 गोटियाँ उठेंगी, और 42 पूरी होने में 6 बारियाँ लगेंगी। ये तरीका चलता है, बस धीमा है, और असली दिक्कत धीमापन भी नहीं है। अब 10 गोटियाँ लीजिए, और उन्हें 3 अनुपात 1 में बाँटना है। पहली बारी के बाद 6 गोटियाँ बचीं, और दूसरी बारी के बाद 2 गोटियाँ। अगली बारी को 4 गोटियाँ चाहिए, और 2 गोटियाँ उसके लिए काफ़ी नहीं, तो बाँटना यहीं अटक गया।

तो बाँटना असल तरीका था ही नहीं, वो बस तरीके को धीरे धीरे होते हुए देखने का ज़रिया था। समूहों पर लौटिए, और 42 का सवाल मुश्किल नहीं रहता। यहाँ 4 अनुपात 3 का मतलब है, 4 और 3 मिलाकर 7 समूह। अब 42 को 7 से भाग दें तो 6 आता है, यानी एक समूह 6 गोटियों का है। एक हिस्सा इनमें से 4 समूह है, और दूसरा हिस्सा 3 समूह।

तो 4 गुणा 6 यानी 24, और 3 गुणा 6 यानी 18 गोटियाँ। एक भी गोटी बाँटे बिना 24 और 18 मिल गए, और इनका जोड़ फिर 42 है। और जिन 10 गोटियों पर बाँटना अटका था, उनमें 4 समूह हैं, यानी एक समूह 2 और 1 बटा 2 का। तो हिस्से हैं 7 और 1 बटा 2, और 2 और 1 बटा 2, जिनका जोड़ फिर 10 बनता है।

कुछ गलत आदतें बार बार दिखती हैं, और 42 पर वो साफ़ पकड़ में आती हैं। पहली आदत है बड़े term से भाग देना, यानी 42 को 4 से भाग देकर 21 बटा 2 का एक समूह। तब हिस्से बनते हैं 42 और 63 बटा 2, जिनका जोड़ 73 और 1 बटा 2 है, जो 42 से कहीं ज़्यादा है। दूसरी आदत है कि 2 लोग हैं, तो 2 से भाग, यानी 21 और 21 गोटियाँ।

पर 21 और 21 का ratio 1 अनुपात 1 है, 4 अनुपात 3 नहीं। और 4 और 3 देकर रुक जाएँ, तो 35 गोटियाँ बिना बँटे रह जाती हैं। और 6 अलग बँटवारों पर जाँचें, तो terms ही दे देना 6 में से 2 पर सही बैठता है, आधा करना 1 पर, और बड़े term वाला भाग किसी पर नहीं। भाग हमेशा terms के जोड़ से होता है, क्योंकि पूरे में उतने ही समूह हैं।

अब इसे किसी भी पूरे और किसी भी ratio के लिए लिखते हैं। पूरे के लिए x लिखते हैं, और ratio के लिए m अनुपात n। तब समूहों की गिनती है m जमा n। और एक समूह का आकार है x बटा, m जमा n। फिर दोनों हिस्से हैं m गुणा उतना, और n गुणा उतना। इस video के 13 बँटवारों पर ये formula 13 में से 13 बार वही हिस्से देता है, जो समूह गिनकर मिले।

इसे इस्तेमाल करने के लिए बस इतना देखना है कि m जमा n समूहों की गिनती है, उठाई जा सकने वाली चीज़ों की नहीं। जवाब पर भरोसे के लिए 2 जाँचें हैं, और ये एक ही जाँच दोबारा नहीं है। पहली जाँच, दोनों हिस्से जोड़ने पर पूरा वापस मिले। दूसरी जाँच, दोनों हिस्से छोटे करने पर वही ratio वापस मिले। इनमें से कोई एक जाँच अकेले, गलत जवाब को भी पास कर सकती है।

जैसे 6 और 6 का जोड़ 12 है, पर ratio 1 अनुपात 1, तो ये पहली जाँच में पास और दूसरी में फ़ेल है। और 6 और 2 छोटा होकर 3 अनुपात 1 है, पर जोड़ सिर्फ़ 8, तो ये दूसरी जाँच में पास और पहली में फ़ेल है। सिर्फ़ 9 और 3 दोनों जाँचें पास करता है, और ये किस्मत की बात नहीं। समूह के आकार 1 से 12 तक आज़माएँ, तो 12 में से सिर्फ़ 1 आकार दोनों शर्तें पूरी करता है, और वो 3 है।

अब 2 टोलियों ने बोतलें इकट्ठी कीं, एक टोली ने 75000 और दूसरी ने 25000 बोतलें। उन बोतलों से 4000 कॉपियाँ बनीं, जो उसी हिसाब से बँटनी हैं जिस हिसाब से बोतलें आई थीं। अब 75000 अनुपात 25000 को HCF 25000 से छोटा करें, तो 3 अनुपात 1 बनता है। यानी फिर वही गोटियों वाली बात, कुल 4 समूह। पर अब एक समूह है 4000 को 4 से भाग देकर, यानी 1000 कॉपियाँ।

तो हिस्से हैं 3000 कॉपियाँ और 1000 कॉपियाँ, जिनका जोड़ 4000 कॉपियाँ है। गोटियों में एक समूह 3 का था, यहाँ 1000 का, ratio वही, समूह वही, पर हिस्से बिल्कुल अलग। यानी ratio अकेले हिस्से नहीं बताता, पूरा कितना है, ये बताना ही पड़ता है। अब 40 किलो के मसाले में रेत और सीमेंट 3 अनुपात 1 में हैं। कुल 4 समूह, एक समूह 10 किलो का, तो 30 किलो रेत और 10 किलो सीमेंट।

अब इसे 5 अनुपात 2 बनाना है, और सिर्फ़ सीमेंट डाला जा सकता है। रेत को कोई नहीं छूता, तो 30 वो संख्या है जिसके हिसाब से बाकी सब बैठेगा। और 5 अनुपात 2 में दूसरी मात्रा, पहली मात्रा की 2 बटा 5 होती है। यानी 30 का 2 बटा 5 है 12, तो 12 किलो सीमेंट चाहिए, और 10 किलो पहले से है। तो 2 किलो सीमेंट डालिए, और अब 30 अनुपात 12 को HCF 6 से छोटा करें, तो 5 अनुपात 2 बनता है।

इस कदम ने एक ही ratio के अंदर के terms की तुलना की, 2 ratios की आपस में नहीं। सबसे आम गलती है, गलत चीज़ को स्थिर मान लेना। अगर सीमेंट को 10 किलो पर रोकें, तो 5 अनुपात 2 के लिए रेत 5 बटा 2 गुणा 10, यानी 25 किलो चाहिए। पर रेत तो पहले से 30 किलो है, और कुछ डालकर 30 को 25 नहीं बनाया जा सकता।

एक और गलती है, ratio की दोनों संख्याओं में 2 जोड़ देना। पर 3 अनुपात 1 के दोनों terms में 2 जोड़ें, तो 5 अनुपात 3 बनता है, 5 अनुपात 2 नहीं। मसाले में कुछ डालना एक ही मात्रा को बदलता है, ratio के दोनों terms को नहीं। इसलिए पहला सवाल यही है कि कौन सी मात्रा नहीं बदल रही। अब कुछ सवाल, और इनमें आखिरी वाला बाकियों जैसा नहीं है।

पहला, 4500 बीज 2 अनुपात 3 में, यानी 5 समूह, एक समूह 900 का, तो 1800 और 2700 बीज। फिर 240 मिलीलीटर की बोतल में acid और पानी 1 अनुपात 5 में, यानी 6 समूह, एक समूह 40 का, तो 40 और 200 मिलीलीटर। फिर 40 मिलीलीटर हरा रंग, नीला और पीला 3 अनुपात 5 में, यानी 8 समूह, एक समूह 5 का, तो 15 और 25 मिलीलीटर। इसमें 20 मिलीलीटर पीला और डालें, तो 15 अनुपात 45 बनता है, यानी 1 अनुपात 3 का नया रंग।

और 6 कप चावल और दाल 2 अनुपात 1 में, यानी 3 समूह, एक समूह 2 कप का, तो 4 कप और 2 कप। ये सारे जवाब जोड़ने पर अपना पूरा देते हैं, और छोटे होकर अपना ratio। अब एक बाल्टी नारंगी रंग लीजिए, 3 हिस्से लाल और 5 हिस्से पीला। इसमें एक और बाल्टी पीला रंग डाला गया, तो नया ratio क्या है? जवाब इस पर टिका है कि दूसरी बाल्टी कितनी बड़ी है, और सवाल ये बताता ही नहीं।

बाल्टियाँ बराबर हों, तो 8 हिस्से पीला और जुड़ता है, और ratio 3 अनुपात 13 बनता है। दूसरी बाल्टी आधी हो, तो 4 हिस्से जुड़ते हैं, 3 अनुपात 9, यानी 1 अनुपात 3 बनता है। और दूसरी बाल्टी दुगनी हो, तो 16 हिस्से जुड़ते हैं, 3 अनुपात 21, यानी 1 अनुपात 7 बनता है। यानी 3 अंदाज़े और 3 अलग जवाब, तो जवाब हिसाब में नहीं, एक मान्यता में छिपा है।

इसलिए शुरू करने से पहले अपनी मान्यता साफ़ लिख लेना अच्छी आदत है। एक सारस 155 सेंटीमीटर लंबा है, और उसकी गर्दन और बाकी शरीर 4 अनुपात 6 में हैं। यहाँ 4 जमा 6 यानी 10 समूह, और एक समूह 15 और 1 बटा 2 सेंटीमीटर का। तो गर्दन 62 सेंटीमीटर और बाकी शरीर 93 सेंटीमीटर, जिनका जोड़ 155 सेंटीमीटर है। पर 4 अनुपात 6 सरलतम रूप में नहीं है, छोटा करें तो ये 2 अनुपात 3 बनता है।

अब 2 अनुपात 3 पर 5 समूह हैं, एक समूह 31 का, और हिस्से फिर वही 62 और 93 सेंटीमीटर। समूहों की गिनती और समूह का आकार बदला, पर हिस्से नहीं बदले। और ratio हर ऊँचाई पर लगता है, 100 सेंटीमीटर के सारस पर 2 अनुपात 3 से 40 और 60 सेंटीमीटर मिलते हैं। तो ratio चीज़ें नहीं गिनता, वो बराबर आकार के समूह गिनता है। फिर terms का जोड़ समूहों की गिनती देता है, और पूरे को उससे भाग देने पर एक समूह मिलता है।

फिर हिस्से हैं m समूह और n समूह, और जाँच है जोड़ और ratio, दोनों। और ratio अकेले हिस्से तय नहीं करता, पर पूरा मिलते ही हिस्से सिर्फ़ एक तरह से बनते हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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