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Chapter 3 · Proportional Reasoning-2

Pie chart बनाना: गिनतियों को कोणों में बदलना

Dividing a whole, and picturing it13 मिनट

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pie chart किसी पूरी मात्रा को अनुपात में बाँटना ही है, और पूरी मात्रा है एक पूरा चक्कर, 360 degree। 40 बच्चों के 5 grade 12, 10, 8, 6 और 4 हों, तो एक बच्चा 9 degree का, और टुकड़े 108, 90, 72, 54 और 36 degree के।

मुख्य idea

pie chart पिछले section का ही पूरे का बँटवारा है, बस एक बदलाव के साथ: पूरा 360° है। बाक़ी कुछ भी नया नहीं। और ठीक इसीलिए chapter का पहला क़दम — कोई भी कोण निकालने से पहले गिनती वाले ratio को सबसे सरल रूप में लाना — चित्र को नहीं बदल सकता: हर गिनती को एक ही संख्या से भाग देने पर उनका कुल भी उसी से भाग हो जाता है, इसलिए कुल में हर गिनती का हिस्सा, और इसलिए हर कोण, अछूता रहता है। chart fractions के एक समूह का चित्र है, और fractions काटने के बाद भी बचे रहते हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • गिनतियों की table को ratio में, और उस ratio को 360° तक जुड़ने वाले केंद्रीय कोणों के समूह में बदलना
  • पहले गिनती वाले ratio को उसके HCF से सरल करना, और दिखाना कि दोनों तरह से कोण बिल्कुल एक जैसे आते हैं
  • प्रति-item degree वाला rate और प्रति-भाग degree वाला rate निकालना, और बताना कि दोनों का आपस में क्या संबंध है
  • परकार और चाँदे से pie chart बनाना: पहले आधार त्रिज्या, फिर हर अगला कोण अभी-अभी खींची त्रिज्या से नापा हुआ
  • बने हुए chart को यह पक्का करके जाँचना कि कोण 360° पर बंद होते हैं
  • pie chart को उलटा पढ़ना: sector के कोण से पूरे के fraction तक, और fraction तथा एक जानी हुई गिनती से कुल तक
  • बिना label वाले sector का कोण label वाले sectors से निकालना
  • बताना कि pie chart से क्या नहीं पूछा जा सकता — जो वर्ग उसमें है ही नहीं, उसकी उस पर कोई reading नहीं होती
  • 24 घंटे के पूरे के सामने दो sectors वाला chart पढ़ना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
pie chartsectors में कटा वृत्त जिसके कोण उन मात्राओं के proportional हैं जिनके लिए वे हैंवृत्त आलेख / पाई चार्टइसी chapter में छपा, §3.5 (Part II p.60); section का छपा हुआ शीर्षक "A Slice of the Pie" है
slicechart के एक sector के लिए chapter का शब्दखंड / भागइसी chapter में छपा, §3.5 (Part II pp.60–62)
proportions of a wholeवे हिस्से जिन्हें दिखाने के लिए pie chart बनाया जाता हैपूर्ण के भागइसी chapter में छपा, §3.5 (Part II p.60)
HCFमहत्तम समापवर्तक, जिसे सबसे सरल रूप तक पहुँचने के लिए हर पद में से भाग देकर निकाला जाता हैम.स. / महत्तम समापवर्तकइसी chapter में छपा, §3.5 (Part II p.61)
simplest formHCF से भाग देने के बाद बचा equivalent ratioनिम्नतम रूपइसी chapter में छपा, §3.5 (Part II p.61)
radiusवृत्त के केंद्र से किनारे तक का रेखाखंड, वह रेखा जिससे हर नया कोण नापा जाता हैत्रिज्याइसी chapter में छपा, बनाने के क़दमों में (Part II p.61)
anti-clockwiseघूमने की वह दिशा जो बनाने के क़दम बताते हैंवामावर्तइसी chapter में छपा, बनाने का Step 2 (Part II p.61)
degrees per item360 बटा कुल गिनती, वह rate जो एक गिनती को एक कोण में बदलता है—इस पाठ का शब्द; chapter इसके बराबर वाला प्रति-भाग rate निकालता है और दोनों में से किसी को नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "pie chart तभी बन सकता है जब संख्याएँ जुड़कर 100 या 360 हों।" चालीस students से बढ़िया काम चलता है। कुल जो भी है, वही है, और 360 को उसके ratio में बाँटा जाता है। अभ्यास समूह के item 1 में संयोग से 360 लोग हैं, जिससे हिसाब किसी नियम जैसा दिखता है; यह संयोग है।
  • "ratio सरल करने से chart बदल जाता है।" नहीं बदल सकता। हर गिनती को 2 से भाग देने पर कुल भी आधा हो जाता है, इसलिए हर हिस्सा वैसा ही रहता है। 108° तक के दोनों रास्ते दिखाइए और आपत्ति ख़त्म।
  • "कोण ही प्रतिशत हैं।" पचास प्रतिशत 180° है, 50° नहीं। बदलने का rate 3.6° प्रति प्रतिशत है, और इसे एक बार निकाल लेना चाहिए।
  • "बड़े वृत्त का मतलब ज़्यादा students।" त्रिज्या कोई जानकारी नहीं रखती। एक जैसे कोणों वाले अलग-अलग आकार के दो charts बिल्कुल एक ही बात कहते हैं।
  • "हर sector पर उसका कोण छपा होता है।" Part II p.68 पर car वाले sector पर नहीं है, और उसे 360 से वापस निकालना ही पूरा काम है।
  • "अगर सवाल किसी वर्ग का नाम लेता है, तो chart में वह होना ही चाहिए।" taxis के बारे में पूछा गया है और वे chart पर नहीं हैं। ईमानदार जवाब यह है कि chart कोई नहीं दिखाता, और यह कहना एक हुनर है।
  • "sectors आकार के क्रम में चलते हैं।" कुछ भी इसे ज़रूरी नहीं बनाता, और दोनों छपे charts मिलकर यह बात दिखाते हैं: Part II p.60 वाला बना हुआ chart घटते क्रम में है (12, 10, 8, 6, 4), जबकि Part II p.68 वाला आने-जाने का chart नहीं। इसलिए p.60 वाला chart उलटा उदाहरण नहीं है — साफ़ कहिए कि उसका क्रम उसके बनाने वाले का चुनाव है, उस चीज़ का कोई नियम नहीं। यह भी ध्यान दें कि chapter के दोनों charts शुरुआती त्रिज्या पर अलग हैं पर दिशा पर नहीं — दोनों वामावर्त चलते हैं; section 6 देखें।
  • "chart पढ़ना, chart बनाने से अलग हुनर है।" यह वही proportion उलटा चलाना है: कोण बटा 360 हिस्सा है, और हिस्सा गुणा कुल गिनती है।
  • "सिर्फ़ दो चापों वाला chart, pie chart नहीं है।" Part II p.67 वाले नींद के छल्ले 24 घंटे के पूरे के सामने दो sectors वाले charts हैं। वही चीज़, कम कटान।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3.5 Q1, Figure it Out · 3.5 Q2, Figure it Out · 3.5 Q3, Figure it Out · 4 Q4, Figure it Out · 4 Q5

पूरा transcript2,097 शब्द

एक class में 40 बच्चे हैं, और उन्हें कुल मिलाकर 5 अलग अलग grade मिले हैं। इनमें 12 बच्चों को A मिला, 10 बच्चों को B, 8 बच्चों को C, 6 बच्चों को D, और 4 बच्चों को E मिला। इन्हें एक कतार में लिखी संख्याओं की तरह छोड़ा जा सकता है, या इनकी एक तस्वीर बनाई जा सकती है। तस्वीर यानी एक गोला, जिसके टुकड़े किए गए हैं, हर grade का एक टुकड़ा, और सबसे बड़ा टुकड़ा उस grade का जो सबसे ज़्यादा बच्चों को मिला।

और इस तस्वीर की असली बात ये है कि ये गिनती की तस्वीर नहीं है, ये हिस्सों की तस्वीर है। हिस्से का मतलब है कि पूरी class का कितना भाग किस grade के पास गया। जैसे A वाले 12 बच्चे पूरी class के 40 में से 12 हैं, और A का टुकड़ा यही 40 में से 12 वाला भाग दिखाता है। गिनती बदल सकती है और हिस्सा फिर भी वैसा का वैसा रह सकता है।

आज की पूरी बात इसी एक फ़र्क पर टिकी है, इसलिए इसे पकड़कर रखिए। पहले ये सोचिए कि किसी टुकड़े को बड़ा असल में क्या बनाता है? गोले का नाप तो नहीं, क्योंकि गोला बड़ा बनाने से class में कोई बच्चा नहीं बढ़ता। किसी टुकड़े के पास असल में एक ही चीज़ होती है, केंद्र पर बना उसका angle। तो नियम यही हो सकता है कि angle गिनती के पीछे चले, दुगुने बच्चे हों तो दुगुना angle।

जैसे A के 12 बच्चे D के 6 बच्चों के 2 गुना हैं, तो A का angle भी D के angle का 2 गुना होगा। और जिनकी गिनती बराबर हो, उन्हें बराबर angle मिलता है, बिना किसी छूट के। अब देखिए कि गोला बाँटने के लिए कितना देता है, पूरे 360 degree, न कम और न ज़्यादा। इसका मतलब ये एक जाना पहचाना सवाल है, किसी पूरी मात्रा को दिए हुए अनुपात में बाँटना।

यहाँ पूरी मात्रा है 360 degree, और अनुपात वही है जो बच्चों की गिनती का है। इसके अलावा इसमें कुछ भी नया नहीं है, तरीका वही पुराना और भरोसेमंद है। बस इतना ध्यान रखना है कि यहाँ पूरी मात्रा का मतलब है एक पूरा चक्कर। तो पहले कुल निकालिए, ये 5 गिनतियाँ जुड़कर पूरे 40 बच्चे बनती हैं। ध्यान दीजिए, ये 40 कहीं लिखा हुआ नहीं था, इसे जोड़कर निकालना पड़ा।

अब 360 degree को 40 बच्चों में बाँटिए, तो एक बच्चे के हिस्से में 9 degree आते हैं। ये 9 degree एक बच्चे का हिस्सा है, और इसके बाद का सारा काम बस गुणा है। तो A के 12 बच्चे यानी 12 गुना 9, यानी 108 degree का टुकड़ा। इसी तरह B के 10 बच्चे 90 degree, और C के 8 बच्चे 72 degree। फिर D के 6 बच्चे 54 degree, और E के 4 बच्चे 36 degree।

और ध्यान दीजिए, कहीं ये शर्त नहीं थी कि कुल 100 हो, या कुल 360 हो। कुल 40 था और काम आराम से चल गया, कोई भी कुल होता तो भी चलता। इस video में 6 chart हैं, सबके कुल अलग अलग हैं, फिर भी 6 में से 6 chart 360 degree पर पूरे बंद होते हैं। कुल जो भी हो, 360 degree को उन्हीं गिनतियों के अनुपात में बाँटा जाता है।

तो पहला कदम यही है, कुल निकालिए, और 360 degree को उस कुल से भाग दीजिए। पर ज़्यादातर लोग ऐसे नहीं करते, वो पहले एक और कदम उठाते हैं, और ये समझना ज़रूरी है कि वो कदम सुरक्षित क्यों है। गिनतियाँ देखिए, 5 में से 5 गिनतियाँ सम हैं, सब 2 से पूरी बँटती हैं। इनका सबसे बड़ा साझा गुणनखंड, यानी HCF, यहाँ 2 है। तो सबको 2 से भाग दीजिए, 12 का 6, 10 का 5, 8 का 4, 6 का 3, और 4 का 2 बचता है।

पर इसी बीच कुल के साथ क्या हुआ, 40 बच्चे अब 20 भाग बन गए। कुल भी आधा हुआ, और होना ही था, क्योंकि कुल इन्हीं गिनतियों को जोड़कर बना है। इससे दर बदल जाती है, 360 degree बटा 20 भाग, यानी एक भाग के 18 degree। अब दर 18 है, 9 नहीं, तो क्या chart बदल गया? देखिए, A के 6 भाग गुणा 18, यानी 108 degree, बिल्कुल वही angle।

बाक़ी grade भी देख लीजिए, 5 में से 5 angle बिल्कुल वही निकलते हैं। दर दुगुनी हुई और गिनती आधी, और ये दोनों एक दूसरे को ठीक काट देते हैं। यहाँ शब्दों पर ध्यान दीजिए, 18 असल में 9 का 2 गुना है। वैसे 18 और 9 का फ़र्क भी 9 है, पर वो इन संख्याओं का संयोग है, असली रिश्ता गुना वाला है, क्योंकि 1 भाग में 2 बच्चे हैं।

अब देखिए कि ये चलना ही क्यों था, और यही इस video का असली विचार है। ये chart हिस्से दिखाता है, और कोई भी टुकड़ा अपनी गिनती बटा कुल होता है। जैसे A का हिस्सा 12 बटा 40 है, और घटाने के बाद 6 बटा 20, और दोनों का मतलब है 3 बटा 10 हिस्सा। हर गिनती को 2 से भाग दिया तो कुल भी 2 से बँट गया, ऊपर भी 2 और नीचे भी 2, और ये कट जाते हैं।

हिस्सा 5 में से 5 grade पर वही रहता है, और angle हिस्सा ही है, तो angle भी वही रहता है। और 360 degree का 3 बटा 10 हिस्सा पूरे 108 degree का होता है। यही बात उलटी तरफ़ भी, हर गिनती को 3 से गुणा कीजिए, तो भी 5 में से 5 angle अपनी जगह से नहीं हिलते। पर ये तभी चलता है जब भाग हर एक गिनती तक पहुँचे।

मान लीजिए कोई सिर्फ़ A को आधा कर दे, तो A के 6 बच्चे रह जाते हैं, और बाक़ी गिनतियाँ वैसी ही रहती हैं। अब कुल 40 नहीं रहा, अब कुल 34 है। जो टुकड़ा आधा किया वो सिकुड़ता है, और 4 में से 4 बाक़ी टुकड़े बड़े हो जाते हैं। और सबसे ख़तरनाक बात, ये ग़लत chart भी 360 degree पर पूरा बंद होता है, तो जोड़कर जाँचने से ये ग़लती नहीं पकड़ी जाती।

इस video के 6 chart पर आज़माइए, तो ये तरीका 6 में से सिर्फ़ 2 पर सही बैठता है, उन पर जिनमें 1 से बड़ा कोई साझा गुणनखंड है ही नहीं। सबको घटाना सुरक्षित है, पर किसी एक को घटाना सुरक्षित नहीं। अब इसे सच में बनाते हैं, क्योंकि इसका एक तरीका है, और उसमें ग़लती करना आसान है। पहले compass से गोला बनाइए, केंद्र पर निशान लगाइए, और केंद्र से किनारे तक एक radius खींचिए।

ये radius किसी भी दिशा में हो सकता है, ये चुनाव पूरी तरह आपका है। अब protractor ऐसे रखिए कि उसका बीच ठीक केंद्र पर हो, और उसका आधार ठीक उस radius के ऊपर। घड़ी की उल्टी दिशा में 108 degree नापिए, और दूसरा radius खींचिए, यही A का टुकड़ा है। ज़्यादातर ग़लती यहीं होती है, protractor ठीक से न बैठे तो angle खिसक जाता है। अब वो कदम, जिसे लोग सबसे ज़्यादा चूक जाते हैं।

अगला angle, यानी 90 degree, उसी radius से नापा जाता है जो अभी खींचा, शुरू वाले radius से नहीं। फिर C के लिए 72 degree, D के लिए 54 degree, और E के लिए 36 degree। इस तरह नए radius 108 degree पर, फिर 198 degree पर, फिर 270 degree पर, और फिर 324 degree पर पड़ते हैं। अगर हर angle शुरू वाले radius से नापें, तो सारे 5 radius पहले 108 degree के अंदर ही रह जाते हैं, और गोले का 252 degree हिस्सा ख़ाली छूट जाता है।

तो नया टुकड़ा वहीं से शुरू होता है जहाँ पिछला ख़त्म हुआ था, यही टुकड़ों को एक दूसरे पर चढ़ने से रोकता है। आख़िरी 36 degree आपको ठीक उसी radius पर वापस ले आते हैं जहाँ से शुरू किया था। जोड़कर देखिए, 108 और 90 और 72 और 54 और 36 मिलकर पूरे 360 degree। यानी गोला ठीक पूरा बंद हो गया। अगर E का टुकड़ा छूट जाए, तो जोड़ 324 degree पर रुक जाता है, और गोला खुला रह जाता है।

ये जाँच सजावट नहीं है, आख़िरी radius पहले वाले से न मिले तो ऊपर कहीं ग़लती है, और ये रंग भरने से पहले पता चल जाता है। एक और आज़ाद चुनाव, टुकड़ों का बड़े से छोटे क्रम में होना ज़रूरी नहीं, यहाँ के 4 में से सिर्फ़ 2 chart उस क्रम में हैं। अब पूरी बात उलटी घुमाइए, कोई आपको बना बनाया chart दे, तो उससे क्या निकलता है? वही अनुपात, उल्टा चलाकर, किसी टुकड़े का angle बटा 360 degree उसका हिस्सा है।

और वो हिस्सा गुणा कुल, उस टुकड़े की गिनती है। तो 90 degree का टुकड़ा 1 बटा 4 है, और 40 बच्चों की class में वो 10 बच्चे हैं। और 108 degree का टुकड़ा 3 बटा 10 है, यानी 40 में से 12 बच्चे, ठीक A वाले। और दूसरी दिशा ज़्यादा काम की है, किसी टुकड़े का हिस्सा और उसकी गिनती पता हो, तो वो कुल भी निकल आता है जो किसी ने बताया ही नहीं।

अब इसे काम पर लगाते हैं, बच्चे स्कूल कैसे पहुँचते हैं, इस पर एक survey हुआ है। पैदल, bus, scooter, car और cycle, यानी 5 तरीके और 5 टुकड़े। इनमें से 4 टुकड़ों पर angle लिखे हैं, पैदल वाले पर 90 degree, bus वाले पर 120 degree, scooter वाले पर 60 degree, और cycle वाले पर भी 60 degree। पर car वाले टुकड़े पर कोई संख्या नहीं लिखी, और सवाल का पूरा मतलब यही है।

पर वो पहले से पता है, वो 4 angle जुड़कर 330 degree होते हैं, और गोला 360 degree का है, तो car का टुकड़ा 30 degree का है। और 360 degree में से 30 degree यानी 1 बटा 12 हिस्सा, ऐसे 12 टुकड़े मिलकर पूरा गोला भरते हैं। तो अगर 18 बच्चे car से आते हैं, और 18 सबका 1 बटा 12 है, तो 18 गुना 12, यानी 216 बच्चों से पूछा गया।

एक ख़ाली टुकड़ा और एक गिनती, और पूरे survey का नाप हाथ में आ गया। उसी chart से 2 बातें और, और दूसरी वाली ख़ास तौर पर याद रखने लायक है। सबसे आम है bus, 120 degree के साथ, यानी 216 बच्चों का 1 बटा 3, कुल 72 बच्चे। और scooter और cycle बराबर हैं, दोनों 60 degree के, और हर एक में 36 बच्चे। पैदल वाले 54 बच्चे भी जोड़िए, तो 5 गिनतियाँ मिलकर फिर से 216 बच्चे बनती हैं।

अब सवाल ये है कि कितने बच्चे taxi से आते हैं? रुकिए, यहाँ taxi का कोई टुकड़ा ही नहीं है, survey में 5 तरीके पूछे गए थे और taxi उनमें था ही नहीं। तो जवाब कोई गिनती नहीं है, बस इतना कि ये तस्वीर taxi के बारे में पूरी तरह चुप है। कोई भी chart सिर्फ़ उन्हीं चीज़ों के बारे में बताता है जो उसमें हैं, और संख्या गढ़ने से इनकार करना एक हुनर है।

पूरी मात्रा का लोगों की गिनती होना भी ज़रूरी नहीं है। मान लीजिए TV channel की पसंद प्रतिशत में दी है, मनोरंजन 50, खेल 25, समाचार 15 और जानकारी 10 प्रतिशत। ये जुड़कर 100 बनते हैं, और 100 प्रतिशत को पूरे 360 degree पर फैलाना है। तो एक प्रतिशत 3 दशमलव 6 degree का हुआ। इसलिए 50 प्रतिशत का टुकड़ा 180 degree है, 50 degree नहीं। फिर 25 प्रतिशत 90 degree, 15 प्रतिशत 54 degree, और 10 प्रतिशत 36 degree, और ये भी 360 degree पर बंद होते हैं।

और 6 अलग प्रतिशत पर आज़माइए, तो प्रतिशत को सीधे degree मानना 6 में से सिर्फ़ 1 पर सही बैठता है, उस पर जहाँ टुकड़ा है ही नहीं। अब एक चेतावनी, मान लीजिए 360 लोगों से पूछा गया कि उन्हें कौन सा मौसम पसंद है। गर्मी को 90 लोग, वसंत को 120 लोग, और बाक़ी सर्दी को, यानी 360 लोगों में से 90 और 120 घटाकर 150 लोग। यहाँ दर ठीक 1 degree एक व्यक्ति है, तो हर मौसम का angle उसकी गिनती के बराबर निकलता है।

ये 360 नाम की संख्या का संयोग है, नियम नहीं, इस video के 6 कुल में से सिर्फ़ 1 ऐसा करता है। या पूरी मात्रा एक दिन हो, 24 घंटे पूरे गोले पर, यानी एक घंटा 15 degree का। तो 8 घंटे की नींद वाला हिस्सा 120 degree घेरता है, यानी दिन का 1 बटा 3, और जागने वाले 240 degree उसे बंद करते हैं। तो pie chart किसी पूरी मात्रा को दिए हुए अनुपात में बाँटना ही है, और पूरी मात्रा है एक पूरा चक्कर।

पहले कुल निकालिए, फिर 360 degree बटा कुल से दर। हर गिनती को दर से गुणा कीजिए, और जाँचिए कि गोला 360 degree पर बंद होता है। चाहें तो पहले घटा लीजिए, पर सबको एक साथ, किसी एक को अकेले नहीं। और किसी chart से सिर्फ़ उन्हीं चीज़ों के बारे में पूछिए जो उसमें दिखाई गई हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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