PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 7, Proportional Reasoning-1PrepShorts

Chapter 7 · Proportional Reasoning-1

इकाई बदलना, भेस बदले हुए proportion के सिवा कुछ नहीं

Using proportions14 मिनट

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1 किलो चाय का पैकेट 800 कप देता है, और 200 ग्राम का पैकेट 200 कप। वज़न और कप का ratio लिखें, तो वही पैकेट किलो में 1 अनुपात 800 है और ग्राम में 5 अनुपात 4: चाय वही, सरलतम रूप अलग, क्योंकि ratio के terms अपनी इकाइयाँ साथ लेकर चलते हैं।

मुख्य idea

इकाई बदलना (conversion) एक ऐसा ratio है जिस पर एक बार सहमति हो गई और जो कभी नहीं बदलता, इसलिए इकाइयाँ बदलना वही rule of three है जिसकी चार में से तीन संख्याएँ पहले से पता हैं — इसीलिए इसके लिए किसी नई मशीनरी की ज़रूरत नहीं। इसे ज़रूरत है एक चेतावनी की, जो chapter दो बार देता है: ratio के पद अपनी इकाइयाँ साथ लेकर चलते हैं, इसलिए वही दो मात्राएँ, उन्हें कैसे लिखा गया इसके हिसाब से, अलग-अलग सरलतम रूप पाती हैं, और दो ratios की तुलना तब तक नहीं हो सकती जब तक उनके पद इकाइयों पर सहमत न हों। और chapter की अपनी सूची में एक conversion ऐसा है जो proportion है ही नहीं: Celsius और Fahrenheit इस पर असहमत हैं कि zero कहाँ बैठता है, इसलिए कोई अकेला factor एक को दूसरे तक नहीं ले जा सकता, और तापमान पर cross multiplication पूरे भरोसे के साथ ग़लत होता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दो ratios की तुलना से पहले ratio के पदों को एक साझा इकाई में दोबारा लिखना
  • दिखाना कि किसी एक पद की इकाई बदलने पर ratio का सरलतम रूप बदल जाता है, और समझाना कि यह विरोधाभास क्यों नहीं है
  • बताए गए conversion को proportion के एक ratio की तरह लेना, और उससे किसी नाप को किसी भी दिशा में बदलना
  • साझा मात्रा की क़ीमत निकालकर तय करना कि दो ख़रीदों में से कौन सस्ती है
  • क्षेत्रफल बदलना, और समझाना कि क्षेत्रफल का factor लंबाई के factor का वर्ग क्यों होता है
  • chapter की acre, hectare और square-foot वाली प्रविष्टियों से plot का आकार बदलना और फिर प्रति-acre दर लगाना
  • millilitres, cubic centimetres और litres के बीच बदलना, और बताना कि ये conversions नाप नहीं, परिभाषाएँ क्यों हैं
  • chapter के सूत्रों से तापमान बदलना, और दिखाना कि proportional तर्क तापमान के लिए ग़लत जवाब देता है
  • दो जगहों या दो चीज़ों की तुलना कुल से नहीं, प्रति इकाई दर से करना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
unit conversionकिसी नाप को मात्रा बदले बिना अलग इकाई में दोबारा लिखनामात्रक परिवर्तनइसी chapter में §7.6 के शीर्षक के रूप में छपा (Part I, p.175)
acreज़मीन का एक क्षेत्रफल, इस chapter में 43,560 square feet बताया गयाएकड़इसी chapter में छपा (Part I, §7.6, p.176)
hectareज़मीन का एक क्षेत्रफल, 10,000 square metres और 2.471 acres भी बताया गयाहेक्टेयरइसी chapter में छपा (Part I, §7.6, p.176)
cubic centimetre (cc)आयतन की वह इकाई जिसे chapter एक millilitre के बराबर बताता हैघन सेंटीमीटरइसी chapter में छपा (Part I, §7.6, p.176)
Celsiusतापमान का वह पैमाना जिस पर पानी का जमाव बिंदु 0 हैसेल्सियसइसी chapter में छपा (Part I, §7.6, p.176)
Fahrenheitतापमान का वह पैमाना जिस पर वही बिंदु 32 पढ़ा जाता हैफ़ारेनहाइटइसी chapter में छपा (Part I, §7.6, p.176)
tonneखाद वाले सवाल में इस्तेमाल हुई द्रव्यमान की इकाईटनइसी chapter में छपा (Part I, p.177, exercise item 8)
conversion factorदो इकाइयों के बीच का तय ratio, जिसे proportion के एक ratio की तरह इस्तेमाल किया जाता हैपरिवर्तन गुणकइस पाठ का शब्द; chapter conversions की सूची देता है और उन्हें कोई समूहवाचक नाम नहीं देता
rate per unitकिसी मात्रा को दूसरी की एक इकाई से भाग देना, दो स्थितियों की तुलना के लिएप्रति इकाई दरइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा
shifted scaleदो पैमाने जो एक-दूसरे के proportional गिनते हैं पर अलग-अलग zero से शुरू होते हैंविस्थापित पैमानातापमान वाले उदाहरण के लिए इस पाठ का शब्द; chapter बस इतना कहता है कि यह conversion ज़्यादा पेचीदा है

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "ratio का सरलतम रूप दोनों मात्राओं का गुण है।" वह दोनों संख्याओं का गुण है, और संख्याएँ इकाइयों पर निर्भर हैं। chapter के चाय वाले packet के दो अलग सरलतम रूप हैं, इस पर निर्भर कि उसका वज़न grams में लिखा गया या kilograms में।
  • "बड़ा packet, प्रति इकाई सस्ता।" chapter का चाय वाला data कहता है कि 1 kg वाला packet बेहतर ख़रीद है और उसकी shampoo वाली table (Part I p.171) कहती है कि 6 mL वाला sachet। हिसाब लगाओ, मान मत लो।
  • "आख़िर में इकाई बदल लेंगे।" proportion बनाने से पहले इकाई बदलो। car वाले सवाल पर chapter की अपनी पहली कोशिश सावधान करने वाला उदाहरण है।
  • "अगर 1 metre, 3.281 feet है तो 1 square metre, 3.281 square feet है।" chapter के exercises में क्षेत्रफल की सबसे आम ग़लती। factor का वर्ग होता है, क्योंकि गुणा की जा रही दोनों लंबाइयाँ बदलनी पड़ती हैं।
  • "acre एक metric इकाई है", या "hectare और acre एक ही हैं।" chapter की अपनी सूची के हिसाब से एक hectare लगभग ढाई acres है।
  • "एक millilitre लगभग एक cubic centimetre है।" परिभाषा से वह ठीक-ठीक एक है। सूची की आयतन वाली प्रविष्टियाँ समझौते हैं, नाप नहीं, और यह ज़ोर से कहने लायक़ है।
  • "तापमान भी बाक़ी सब की तरह factor से बदलता है।" नहीं बदलता, और वजह यह नहीं कि factor बेढब है — वजह यह है कि दोनों पैमाने अपने zero अलग-अलग जगह रखते हैं। ग़लत तरीक़ा चलाओ और उसे नाकाम होने दो।
  • "कौन-सी जगह ज़्यादा भीड़ वाली है, यह बताने के लिए दो कुल काफ़ी हैं।" बड़ा शहर, बड़ी जनसंख्या, कोई नतीजा नहीं। पहले भाग दो।

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पूरा transcript2,139 शब्द

चाय के 2 पैकेट हैं, 2 अलग जगहों से, और एक सीधा सा सवाल है। छोटा खेत 200 ग्राम के पैकेट बेचता है, और उसके एक पैकेट से 200 कप चाय बनती है। बड़ा बागान 1 किलो के पैकेट बेचता है, और उसके एक पैकेट से 800 कप चाय बनती है। तो किस चाय से उतने ही वज़न में ज़्यादा कप बनते हैं? दोनों को वज़न और कप के ratio की तरह लिखें, तो पहला 200 अनुपात 200 है, यानी 1 अनुपात 1 बनता है।

दूसरा 1 अनुपात 800 है, और यहीं कुछ चुपचाप गड़बड़ हो चुका है। एक ratio के बाईं तरफ़ ग्राम हैं और दूसरे के बाईं तरफ़ किलो, और संख्याएँ ये बात कहीं नहीं बतातीं। तो दूसरा पैकेट फिर से लिखते हैं, इस बार उसका वज़न ग्राम में। एक किलो में 1000 ग्राम होते हैं, तो इस बार ratio में 1000 अनुपात 800 आता है। और 1000 अनुपात 800 को HCF 200 से छोटा करें, तो 5 अनुपात 4 बनता है।

वही पैकेट, वही वज़न, वही चाय, और उतने ही कप। एक तरह लिखें तो सरलतम रूप 1 अनुपात 800 है, और दूसरी तरह लिखें तो 5 अनुपात 4 बनता है। चाय की एक पत्ती नहीं बदली, बदली सिर्फ़ वो इकाई जिसमें पहली संख्या गिनी गई। ये विरोधाभास जैसा लगता है, पर असल में है नहीं। सरलतम रूप मात्राओं के बारे में कोई तथ्य नहीं, वो संख्याओं के बारे में तथ्य है।

और संख्याएँ इस पर टिकी हैं कि लिखने से पहले किस इकाई में गिनना तय किया गया। यानी जब तक terms की इकाइयाँ न बताई जाएँ, ratio आधी बात ही कहता है। इकाइयाँ मिलाने के बाद 1 अनुपात 1 और 5 अनुपात 4 सच में अलग हैं, तो दोनों पैकेट proportion में नहीं हैं। पर इकाइयाँ मिलने से पहले ये सवाल ईमानदारी से पूछा ही नहीं जा सकता था। जिस कदम ने इसे ठीक किया वो एक conversion था, और conversion भी बाकी ratios जैसा ही एक ratio है।

एक किलो अनुपात 1000 ग्राम, ये एक ऐसा ratio है जिसे सबने एक बार मान लिया। उसके साथ कोई नाप रखें, तो proportion के 4 terms बनते हैं, जिनमें से 3 पहले से पता हैं। यानी ये rule of three है, जिसका ज़्यादातर काम पहले से हो चुका है। जैसे 3 किलो के लिए 1 अनुपात 1000 और 3 अनुपात खाली जगह रखें, तो खाली जगह में 3000 ग्राम आता है।

उल्टी तरफ़ जाएँ तो 2500 ग्राम को 1000 से भाग देकर 5 बटा 2 किलो मिलता है। गाड़ी की चाल बदलती है, चाय के कप बदलते हैं, पर एक किलो के ग्राम कभी नहीं बदलते। जाते हुए गुणा और लौटते हुए भाग, और इस video के 9 में से 9 conversions पर ये आना जाना वहीं लौटा देता है जहाँ से चले थे। अब असली सवाल, किस चाय से उतने ही वज़न में ज़्यादा कप बनते हैं?

उतना ही वज़न चाहिए, तो एक वज़न चुनते हैं, जैसे 1 किलो, और दोनों जगह गिनते हैं। बागान का 1 किलो सीधे 800 कप देता है, क्योंकि उसका एक पैकेट ही 1 किलो का है। छोटे खेत के 200 ग्राम से 200 कप बनते हैं, और 1 किलो में ऐसे 5 पैकेट आते हैं। तो 5 गुणा 200, यानी छोटे खेत का 1 किलो 1000 कप देता है। एक तरफ़ 1000 कप और दूसरी तरफ़ 800 कप, यानी छोटे खेत की चाय 1 बटा 4 ज़्यादा कप देती है।

जबकि पैकेट देखकर उल्टा लगता था, 200 कप सामने 800 कप, सिर्फ़ इसलिए कि पैकेट अलग आकार के हैं। यही जाल एक और सवाल में भी है, एक गाड़ी 150 मिनट में 90 किलोमीटर चलती है। उसी चाल से वो 4 घंटे में कितनी दूर जाएगी? सबसे पहले मन में आता है कि 150 के सामने 4 रख दें। पर ये समय एक इकाई में नहीं हैं, एक मिनट में है और दूसरा घंटों में।

ऐसे लिखें तो 150 अनुपात 4 छोटा होकर 75 अनुपात 2 बनता है, एक साफ़ सुथरा तथ्य, पर किसी चीज़ के बारे में नहीं। तो proportion लिखने से पहले conversion करना है, 4 घंटे यानी 4 गुणा 60, यानी 240 मिनट। अब 150 अनुपात 240 छोटा होकर 5 अनुपात 8 बनता है, और दूरी को इसी factor से बढ़ाया जा सकता है। ज़्यादातर conversions एक सूची से आते हैं, और सूची पर भरोसे से पहले उसे ध्यान से पढ़ना चाहिए।

लंबाई में, एक मीटर बराबर 3 दशमलव 2 8 1 फ़ुट। क्षेत्रफल में, एक वर्ग मीटर बराबर 10 दशमलव 7 6 4 वर्ग फ़ुट, और एक एकड़ में पूरे 43560 वर्ग फ़ुट होते हैं। फिर एक हेक्टेयर बराबर 10000 वर्ग मीटर, और यही सूची उसे 2 दशमलव 4 7 1 एकड़ भी कहती है। आयतन में, एक मिलीलीटर बराबर 1 घन सेंटीमीटर, और एक लीटर बराबर 1000 मिलीलीटर, और आख़िरी खाने में तापमान है।

इन 7 संख्याओं में से 4 परिभाषाएँ हैं और 3 नापकर गोल की गई संख्याएँ, और ये अलग तरह के तथ्य हैं। एक एकड़ ठीक 43560 वर्ग फ़ुट है, क्योंकि एकड़ को यही तय किया गया। पर 3 दशमलव 2 8 1 एक रुका हुआ दशमलव है, असली संख्या आगे भी चलती है, तो उसकी छोटी सी गलती आगे तक जाती है। उस सूची की एक संख्या बाकियों से आज़ाद नहीं है, और उसे ढूँढना यहाँ की सबसे आम गलती सिखाता है।

अगर एक मीटर बराबर 3 दशमलव 2 8 1 फ़ुट है, तो एक वर्ग मीटर में कितने वर्ग फ़ुट हैं? ज़्यादातर लोग जवाब देते हैं 3 दशमलव 2 8 1, और ये बहुत गलत है। एक वर्ग मीटर, 1 मीटर लंबा और 1 मीटर चौड़ा होता है, और दोनों लंबाइयाँ बदलनी पड़ती हैं। तो सही factor वो है जो 3 दशमलव 2 8 1 को खुद से गुणा करके मिलता है।

जवाब आता है 10 दशमलव 7 6 4 9 6 1 वर्ग फ़ुट। और सूची का क्षेत्रफल वाला आँकड़ा यही है, 1 बटा 1000 वर्ग फ़ुट के अंदर। गलत जवाब असली से करीब 7 दशमलव 4 8 वर्ग फ़ुट कम पड़ता है। यानी क्षेत्रफल का factor कोई दूसरी नाप नहीं, ये लंबाई के factor का वर्ग है। इसे गिनकर भी देखा जा सकता है, एक वर्ग मीटर को फ़ुट के खानों में बाँटते हैं।

दोनों तरफ़ 3 पूरे फ़ुट हैं, और बचता है 0 दशमलव 2 8 1 फ़ुट का एक पतला टुकड़ा। तो बीच में 3 गुणा 3, यानी 9 पूरे वर्ग फ़ुट हैं। किनारों पर 2 पट्टियाँ हैं, जो 3 फ़ुट लंबी और 0 दशमलव 2 8 1 फ़ुट चौड़ी हैं। दोनों पट्टियाँ मिलकर 1 दशमलव 6 8 6 वर्ग फ़ुट बनाती हैं। और कोने में एक छोटा सा खाना बचता है, जो 0 दशमलव 0 7 8 9 6 1 वर्ग फ़ुट का है।

अब 9 पूरे खाने, पट्टियाँ और कोना जोड़ें, तो फिर वही 10 दशमलव 7 6 4 9 6 1 वर्ग फ़ुट मिलता है। गलत जवाब सिर्फ़ एक लंबाई बदलता है, और दूसरी लंबाई को भूल जाता है। हेक्टेयर वाली संख्या भी आज़ाद नहीं है। एक हेक्टेयर में 10000 वर्ग मीटर हैं, और एक वर्ग मीटर 10 दशमलव 7 6 4 वर्ग फ़ुट का है। तो एक हेक्टेयर में 107640 वर्ग फ़ुट हुए।

इसे एक एकड़ के वर्ग फ़ुट से भाग दें, तो जवाब आता है 2 दशमलव 4 7 1 1 एकड़। दशमलव के बाद 3 अंकों तक गोल करें, तो ये सूची का 2 दशमलव 4 7 1 एकड़ ही है। तो सूची की 7 संख्याओं में से 2 बाकी संख्याओं से निकल आती हैं, और 43560 वाली संख्या बहुत काम करती है। अब एकड़ वाली यही संख्या एक खेत में काम आती है, एक खेत 200 फ़ुट चौड़ा और 500 फ़ुट लंबा है।

उसका क्षेत्रफल 200 गुणा 500, यानी 100000 वर्ग फ़ुट है। पहले वर्ग फ़ुट में ही निकालना पड़ा, क्योंकि सूची एकड़ को वर्ग फ़ुट में ही देती है। अब 100000 को 43560 से भाग दें, तो करीब 2 दशमलव 3 एकड़ मिलता है। अच्छी खेती में एक एकड़ पर 10 टन गोबर की खाद डाली जाती है। तो इस खेत को करीब 22 दशमलव 9 6 टन खाद चाहिए, यानी 23 टन से थोड़ी कम।

यहाँ एक एकड़ अनुपात 10 टन एक ratio है, और खेत के एकड़ उसमें तीसरा term हैं। अब उल्टी दिशा से, मान लीजिए एक एकड़ खेत को एक मौसम में 1500000 लीटर पानी चाहिए। तो उसी हिसाब से 2400 वर्ग फ़ुट के एक बगीचे को कितना पानी चाहिए? पहले 2400 वर्ग फ़ुट को एकड़ में बदलते हैं, ये 2400 बटा 43560, यानी 20 बटा 363 एकड़ है। प्रतिशत में ये एक एकड़ का करीब 5 दशमलव 5 प्रतिशत है।

तो पानी 1500000 लीटर का 20 बटा 363 हिस्सा है, यानी करीब 82600 लीटर। दी गई सारी संख्याएँ पूरी थीं, 3 में से 3, फिर भी जवाब पूरी संख्या नहीं निकलता, और इसमें कुछ गलत नहीं है। आयतन में किसी ने ये कदम जानबूझकर आसान बनाया है। एक मिलीलीटर ठीक 1 घन सेंटीमीटर है, लगभग नहीं, ठीक, और जानबूझकर। और एक लीटर दोनों में से किसी के भी 1000 के बराबर है।

एक नल 500 मिलीलीटर का मग 15 सेकंड में भरता है, तो 10 लीटर की बाल्टी कितनी देर में भरेगा? बाल्टी के 10 लीटर, यानी 10000 मिलीलीटर, यानी 500 मिलीलीटर वाले 20 मग। तो 20 गुणा 15, यानी 300 सेकंड, जो 5 मिनट होते हैं। सारी मुश्किल लीटर से मिलीलीटर वाले एक कदम में थी। कोई दिया हुआ ratio भी conversion का काम कर सकता है। बराबर आयतन के सोने और पानी के वज़न 37 अनुपात 2 में होते हैं।

और एक लीटर पानी का वज़न 1 किलो होता है। तो एक लीटर सोने का वज़न 37 बटा 2, यानी 18 दशमलव 5 किलो है। यहाँ पानी ने वही किया जो सूची करती है, उसने एक इकाई को दूसरी इकाई से जोड़ दिया। और फिर तापमान आता है, उसी सूची में, पर बिल्कुल अलग किस्म की चीज़। पानी Celsius पर 0 पर जमता है, और Fahrenheit पर 32 पर। और Celsius पर 100 पर उबलता है, Fahrenheit पर 212 पर।

अब 25 degree Celsius लेते हैं, और उबलने वाली जोड़ी को proportion की तरह लगाते हैं। तब 25 गुणा 212 को 100 से भाग देने पर 53 आता है। सूची का formula है, Fahrenheit बराबर 9 बटा 5 गुणा Celsius, जमा 32, और 25 पर ये ठीक 77 देता है। तो proportion 24 degree से चूका, और उसने कोई चेतावनी भी नहीं दी। उल्टा चलें तो 77 में से 32 घटाकर 5 बटा 9 से गुणा करने पर फिर 25 मिलता है।

गड़बड़ ये है कि दोनों पैमाने इस पर सहमत नहीं कि गिनती कहाँ से शुरू होती है, और अकेला factor ये खिसकाव नहीं उठा सकता। अब Celsius के 0 पर proportion 32 degree से चूकता है, 25 पर 24 से, 50 पर 16 से, और 75 पर 8 से। हर 25 degree पर गलती 8 घटती है, और 100 पर गलती बचती ही नहीं। यानी 5 में से सिर्फ़ 1 तापमान पर proportion सही है, उसी पर जिससे वो बना था।

कोई भी proportion कहता है कि एक को दुगुना करें तो दूसरा भी दुगुना होगा। पर 25 पर 77 है, और 50 पर 122 है, 154 नहीं। जो proportion में है वो है Celsius, और Fahrenheit में से 32 घटाकर बची संख्या। तो Celsius के 25 पर वो 77 घटा 32, यानी 45 है, और 25 अनुपात 45 छोटा होकर 5 अनुपात 9 बनता है। उबलने पर भी 212 घटा 32 यानी 180 मिलता है, और 100 अनुपात 180 फिर से 5 अनुपात 9 है।

तो पहले शुरुआत खिसकाते हैं, और उसके बाद factor लगाते हैं। मीटर, लीटर, एकड़ और तापमान के 4 पैमानों पर 12 मापों में से 10 पर अकेला factor सही है, और सारी चूक तापमान पर है। आख़िरी आदत, जो असल में वही पुरानी आदत है, बस नए कपड़ों में। एक शहर 1484 वर्ग किलोमीटर में फैला है, और उसमें करीब 30000000 लोग रहते हैं। दूसरा शहर 550 वर्ग किलोमीटर का है, और उसमें करीब 20000000 लोग रहते हैं।

सवाल ये नहीं कि कौन सा शहर बड़ा है, सवाल ये है कि भीड़ किसमें ज़्यादा है? कुल लोगों की गिनती में पहला शहर आगे है। पर पहले शहर के लोगों को 1484 से भाग दें, तो प्रति वर्ग किलोमीटर करीब 20200 लोग आते हैं। और 20000000 को 550 से भाग दें, तो प्रति वर्ग किलोमीटर करीब 36400 लोग आते हैं। दूसरे शहर में भीड़ करीब 1 दशमलव 8 गुना है, और कुल गिनती उल्टी तरफ़ इशारा कर रही थी।

तुलना से पहले भाग देना, और proportion लिखने से पहले conversion करना, असल में एक ही बात है। चाय में एक किलो पर कप गिने, और शहरों में एक वर्ग किलोमीटर पर लोग। असल में conversion एक ऐसा ratio है जिसे सबने एक बार मान लिया, इसलिए उसके लिए कोई नया तरीका नहीं चाहिए। बस पहले इकाइयाँ मिलानी हैं, क्षेत्रफल में factor का वर्ग लेना है, और तापमान में पहले शुरुआत खिसकानी है।

किसी भी ratio के terms अपनी इकाइयाँ साथ लेकर चलते हैं, और उसका सरलतम रूप उन्हीं इकाइयों पर टिका है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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