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Chapter 2 · Power Play

Zero और negative exponents: नया मतलब गढ़ना नहीं, पुराने नियम को आगे बढ़ाना

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2 की power शून्य 1 क्यों है? किसी ने ये तय नहीं किया। भाग का नियम बचाना है, तो इसके सिवा कोई और value बचती ही नहीं।

मुख्य idea

किसी ने यह तय नहीं किया कि 2⁰ का मान 1 होना चाहिए क्योंकि वह साफ़-सुथरा दिखता था। यह मान मजबूरी में आता है। factors काटने से गिनती वाले exponents के लिए भाग का नियम साबित होता है; फिर वही नियम बचाने लायक़ अकेली चीज़ रह जाता है, और उसे बचाने में कोई विकल्प नहीं बचता — 2⁰ को वही होना पड़ेगा जो 2⁴ ÷ 2⁴ है, यानी 1, और 2⁻¹ को वही होना पड़ेगा जो 2⁴ ÷ 2⁵ है, यानी आधा। तो zero या negative exponent गुणा का कोई नया प्रकार नहीं है जिसके लिए किसी को मतलब गढ़ना पड़ा। यह वह अकेला मान है जो पहले से साबित एक नियम को टूटने से बचाता है, और इसी वजह से वही symbols अपनी परिभाषा की सीमा के पार भी काम करते रहते हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • साझा base वाली powers के भाग का नियम factors काटकर निकालना
  • chapter उस नियम के साथ जो शर्तें जोड़ता है वे बताना, और कहना कि zero base बाहर क्यों रखा गया है
  • समझाना कि 2⁰ का मान चुना नहीं गया, मजबूरी में आया है
  • बताना कि किसी भी nonzero base पर exponent 0 लगाने से 1 मिलता है, और इसे सही ठहराना
  • negative exponent और reciprocal के बीच दोनों दिशाओं में बदलना
  • एक ही base के positive और negative exponents मिले expressions का मान निकालना
  • ऐसी powers के गुणनफल या भागफल को सरल करना जिनके exponents letters हैं
  • बताना कि इस section के आख़िर में chapter कौन-सा सवाल खुला छोड़ता है, और वह क्यों मायने रखता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
generalised formletters से लिखे जाने के बाद किसी नियम के लिए chapter का नामव्यापक रूपइस chapter में छपा (Part I pp.27–29)
counting numbersसंख्याएँ 1, 2, 3, … , chapter के नियम बस इतना ही मानकर चलते हैंगिनती की संख्याएँइस chapter में छपा (Part I pp.27–28)
integersपूर्ण संख्याएँ और उनके negatives साथ में, जिनके बारे में chapter आगे पूछता हैपूर्णांकइस chapter में छपा (Part I p.29)
exponentfactors की गिनती, जिसे अब zero या negative होने की छूट हैघातांकइस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22)
baseवह संख्या जिसे ख़ुद से गुणा किया जा रहा है, यहाँ उसका 0 होना मना हैआधारइस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22)
equivalent formnegative exponent को उसके बिना दोबारा लिखने के लिए chapter की भाषातुल्य रूपइस chapter में छपा (Part I p.29)
reciprocal1 को किसी संख्या से भागव्युत्क्रमइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, chapter fraction लिखता है और उसे कभी नाम नहीं देता
extension by consistencyऐसा मान चुनना कि पहले से तय नियम सही बना रहेसंगति द्वारा विस्तारइस पाठ का शब्द, उस क़दम के लिए जो यह पूरा topic उठाता है; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "2⁰ का मान 0 है, क्योंकि गुणा करने को कुछ है ही नहीं।" ख़ाली गुणनफल 1 है, 0 नहीं, और इसकी वजह नियम है, ख़ालीपन के बारे में कोई रिवाज नहीं। 2⁴ ÷ 2⁴ करके देखो: इसमें किसी को शक नहीं कि किसी संख्या को उसी से भाग देने पर 1 आता है।
  • "2⁻¹ का मान −2 है।" minus exponent पर बैठा है, मान पर नहीं। positive base का negative exponent कभी negative संख्या नहीं देता। 2⁻¹ = ½ और −2 को अगल-बगल रखो।
  • "negative exponent का मतलब है base से एक बार भाग देना।" इसका मतलब है 1 से शुरू करके exponent जितनी बार कहे उतनी बार भाग देना। 2⁻⁶ एक बटा चौंसठ है, आधा नहीं।
  • "0⁰ भी बाक़ी सबकी तरह 1 है।" chapter के नियम हर बार base 0 को बाहर रखते हैं, और वजह ठीक यहीं है: derivation xᵃ से भाग देकर चलती है, जो x का मान 0 होने पर मना है। chapter के अपने Math Talk सवाल का जवाब दो, उसे छोड़ो मत।
  • "बड़ी power को सिर्फ़ छोटी power से भाग दिया जा सकता है।" यह रोक chapter के नियम वाले पहले कथन में है, और यह पूरा topic उसी रोक को हटाने के बारे में है। दिखाओ कि वह वहाँ क्यों थी और कैसे हटती है।
  • "ये नई परिभाषाएँ हैं जिन्हें पुरानी के साथ रटना है।" ये वही अकेले मान हैं जो पहले से साबित नियम से मेल खाते हैं। तर्क यही है, और जो व्याख्या इसके बिना 2⁰ = 1 बता देती है, उसने वजह की जगह एक तथ्य सिखाया है।
  • "1 बटा 10⁻³ के लिए नया नियम चाहिए।" इसके लिए reciprocal का reciprocal चाहिए, जिसे chapter दो पंक्तियों में निकाल देता है। हल करके दिखाओ।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2.5 Q1, Figure it Out · 2.5 Q5

पूरा transcript1,949 शब्द

एक पट्टी सोचिए, जो पूरे 16 units लंबी है। पूरे 16 का मतलब है 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2, इसलिए इसे 2 की power 4 कह सकते हैं। अब इस पट्टी का आधा हिस्सा मिटा दीजिए। अब पट्टी में 8 units बचे हैं। जो बचा है, उसका भी आधा मिटाइए, तो 4 units बचते हैं। एक बार और आधा कीजिए, तो 2 units रह जाते हैं। अब तक कुछ भी हैरानी वाला नहीं हुआ है।

पर ध्यान से देखिए कि ये मिटाना लिखावट के साथ क्या कर रहा है। आधा करना 2 से भाग देना है, और 2 ख़ुद 2 की एक power है। इसलिए यहाँ हर कदम, 2 की एक power को 2 की दूसरी power से भाग देना है। तो हर कदम पर exponent के साथ क्या होता है? तीसरे कदम को अलग से लीजिए। यहाँ 2 की power 4 को, 2 के cube से भाग देना है।

आप कोई नियम याद करने की कोशिश कर सकते हैं। पर ऐसा मत कीजिए, यहाँ किसी नियम की ज़रूरत ही नहीं है। दोनों को पूरा खोलकर लिखिए। ऊपर 4 बार 2 लिखा है, और नीचे 3 बार 2 लिखा है। अब ऊपर और नीचे के 2 को एक एक करके काटिए, जैसे किसी भी fraction में करते हैं। ऐसी 3 जोड़ियाँ कट जाती हैं, और ऊपर बस एक 2 खड़ा रह जाता है।

जवाब 2 है, और हमने कुछ भी याद नहीं किया। बस काटा, और जो बचा वही जवाब था। बाक़ी कदमों के साथ भी यही कीजिए, तो एक pattern दिखने लगता है। ऊपर 4 बार 2, नीचे एक बार 2, तो ऊपर 3 बार 2 बचते हैं, यानी 8 बनता है। ऊपर 4 बार 2, नीचे 2 बार 2, तो 2 बार 2 बचते हैं, यानी 4 बनता है। ऊपर 4 बार 2, नीचे 3 बार 2, तो एक 2 बचता है, यानी जवाब 2 है।

ऊपर की गिनती हर बार 4 ही थी। नीचे की गिनती पहले 1, फिर 2, फिर 3 थी। और बची हुई गिनती पहले 3, फिर 2, फिर 1 थी। ये घटाना है, और इसके पीछे एक वजह है। एक जोड़ी काटने से ऊपर से एक गुणनखंड जाता है, और नीचे से भी एक गुणनखंड जाता है। इसलिए exponent इसलिए नहीं घटते कि किसी ने ऐसा कह दिया। वो इसलिए घटते हैं, क्योंकि काटने से गिनती ठीक इतनी ही घटती है।

अब यही बात letters में एक बार लिख लीजिए। अगर n की power a को n की power b से भाग दें, तो n की power a minus b मिलता है। अब इसे ऐसी चीज़ पर आज़माइए जिसे आप खोलकर लिखना नहीं चाहेंगे। मान लीजिए 2 की power 100 को, 2 की power 25 से भाग देना है। गिनतियाँ घटाइए, 100 में से 25 घटाने पर 75 बचते हैं। जवाब है 2 की power 75, और आपको कोई 2 लिखना ही नहीं पड़ा।

पर ध्यान दीजिए, ये नियम कुछ शर्तों के साथ आता है। और बाक़ी पूरा video इन्हीं शर्तों में छिपा है। पहली शर्त ये है कि base शून्य नहीं हो सकता। दूसरी शर्त, दोनों गिनतियाँ गिनती की संख्याएँ होनी चाहिए, जैसे 1, 2, 3 और आगे। तीसरी शर्त, ऊपर की गिनती नीचे की गिनती से बड़ी होनी चाहिए। इनमें से हर शर्त इसलिए है क्योंकि नियम कैसे निकला, न कि इसलिए कि नियम कैसे चलता है।

वो तीसरी शर्त चुपके से कुछ और भी कर रही है। वो एक सवाल पूछने से ही रोक देती है। अगर ऊपर की गिनती हमेशा बड़ी होनी चाहिए, तो आप 2 की power 4 भाग 2 की power 4 लिख ही नहीं सकते। तो चलिए, ये सवाल फिर भी पूछते हैं। गिनतियाँ घटाइए, 4 में से 4 घटाने पर शून्य बचता है। तो 2 की power शून्य आख़िर क्या हो सकता है?

सच्चा जवाब ये है कि अभी इसका कोई मतलब ही नहीं है। क्योंकि किसी ने नहीं बताया कि बिना किसी 2 वाली पंक्ति का मतलब क्या है। आप कुछ भी नहीं को आपस में गुणा करके कोई जवाब नहीं पढ़ सकते। यहाँ कोई छिपा हुआ तथ्य नहीं है, जो खोजे जाने का इंतज़ार कर रहा हो। तो हम इसे खोजने नहीं जा रहे हैं। हम इसे मानने पर मजबूर किए जाएँगे।

हमारे पास बस एक सहारा है, वो नियम जो हम साबित कर चुके हैं, उसे बचाए रखना है। वो नियम गुणनखंड काटने से निकला था, और जो नियम किसी एक जगह पर रुक जाए, वो अच्छा नियम नहीं है। इसलिए 2 की power शून्य जो भी हो, उसे 2 की power 4 भाग 2 की power 4 के बराबर होना ही पड़ेगा। और उस भाग के जवाब पर कोई बहस नहीं करता।

ऊपर 4 बार 2, नीचे 4 बार 2, सबको काट दीजिए, तो board ख़ाली हो जाता है। ऊपर का हिस्सा 16 है, नीचे का हिस्सा भी 16 है, और 16 भाग 16 का जवाब 1 है। जब सब कुछ कट जाए, तो बचा हुआ जवाब शून्य नहीं, बल्कि 1 होता है। तो 2 की power शून्य का जवाब 1 है। और ध्यान दीजिए, न किसी ने कुछ तय किया, न कोई चुनाव हुआ।

ये value बस दबाव से अपने आप बाहर निकल आई। और इसमें 4 की कोई ख़ास बात नहीं थी। देखिए, 2 की power 9 को 2 की power 9 से भाग दीजिए, तो भी जवाब 1 आता है। और 2 की power 600 को 2 की power 600 से भाग दीजिए, तो भी जवाब 1 है। इन सबमें गिनतियों का अंतर शून्य है, और हर बार जवाब 1 ही है।

इस बात को ठीक ठीक कहना ज़रूरी है। नियम सिर्फ़ इतना नहीं कहता कि 2 की power शून्य, 1 हो सकता है। वो कोई और value बचने ही नहीं देता। अगर आप कहें कि ये शून्य है, या 2 है, या minus 1 है, या आधा है, तो हर बार नियम कहीं न कहीं टूट जाएगा। और 2 की भी कोई ख़ास बात नहीं थी। कोई भी base लीजिए, बस वो शून्य न हो, तो उसकी power शून्य हमेशा 1 होती है।

जैसे 7 की power शून्य भी 1 है, और 10 की power शून्य भी 1 है। अब 16 units वाली पट्टी पर वापस चलिए, और आधा करते रहिए। पट्टी को 4 बार आधा करने पर 1 unit बचा था। पाँचवीं बार आधा करने से आपको कोई नहीं रोकता। अब बस आधा unit बचता है। नियम से, ये 2 की power 4 भाग 2 की power 5 है, और 4 में से 5 घटाने पर minus 1 आता है।

तो दूसरा मना किया हुआ सवाल, बस आगे चलते रहने से सामने आ गया। अब बताइए, 2 की power minus 1 क्या है? यहाँ भी वही तरीका है, और वही सहारा। खोलकर लिखिए, ऊपर 4 बार 2 हैं, और नीचे 5 बार 2 हैं। अब 4 जोड़ियाँ काटिए, तो नीचे एक अकेला 2 बच जाता है। ऊपर कुछ नहीं बचा, यानी 1, और नीचे 2 बचा, तो जवाब 1 बटा 2 है।

यानी जवाब आधा है, बिल्कुल उतना जितनी पट्टी बची है। तो 2 की power minus 1 आधा है, और फिर से किसी ने इसे चुना नहीं। आधा करते रहिए, और पट्टी हर बार आधी होती जाती है। अब 16 units से शुरू करके पूरे 10 बार आधा कीजिए। गिनतियाँ घटाइए, 4 में से 10 घटाने पर minus 6 आता है। खोलकर लिखें तो ऊपर 4 बार 2, नीचे 10 बार 2, और काटने के बाद नीचे 6 बार 2 बचते हैं।

नीचे बचे 6 बार 2 का गुणा 64 है, तो जवाब 1 बटा 64 है। यानी 2 की power minus 6, 1 बटा 64 है। ये 1 बटा 6 नहीं है, और आधा भी नहीं है। यहाँ exponent अब भी गुणनखंड ही गिनता है, बस गुणनखंड भाग की line के नीचे चले गए हैं। यहाँ लोग अक्सर 2 ग़लतियाँ करते हैं। पहली, minus का निशान exponent पर है, जवाब पर नहीं।

जैसे, 2 की power minus 1 आधा है, minus 2 नहीं। किसी भी positive base की हर negative power, positive ही रहती है। दूसरी ग़लती, minus 6 का मतलब एक बार भाग देना नहीं है। इसका मतलब है पूरे 6 बार भाग देना। तो पूरी बात एक छोटे से वाक्य में आ जाती है। छोटे में, n की power minus a, 1 बटा n की power a होता है। जैसे 10 की power minus 3, 1 बटा 1000 है।

और 7 की power minus 2, 1 बटा 49 है। ये उल्टा भी पढ़ा जा सकता है, जो लोगों को हैरान करता है। यानी 1 को 10 की power minus 3 से भाग दीजिए, तो ये 1 को 1 बटा 1000 से भाग देना है। इसका जवाब 1000 आता है, जो 10 का cube है। अब तीनों नियम एक line में रखकर देखिए। एक ही base की powers का गुणा हो, तो गिनतियाँ जुड़ती हैं।

किसी power की power ली जाए, तो गिनतियाँ आपस में गुणा होती हैं। एक ही base की powers का भाग हो, तो गिनतियाँ घटती हैं। जैसे 2 की power minus 4 को, 2 की power 7 से गुणा कीजिए। गिनतियाँ जोड़िए, minus 4 और 7 मिलकर 3 बनते हैं, और 2 का cube 8 है। अब 3 का square, 3 की power minus 5, और 3 की power 6, तीनों का गुणा कीजिए।

गिनतियाँ जोड़िए, 2, minus 5 और 6 मिलकर 3 बनते हैं, और 3 का cube 27 है। अब कुछ बराबर रूप भी देखिए, जिनमें कोई negative exponent नहीं है। पहला, 2 की power minus 4, 1 बटा 16 है। दूसरा, 10 की power minus 5, 1 बटा 1 लाख है। तीसरा, minus 7 की power minus 2, 1 बटा 49 है। और चौथा, minus 5 की power minus 3, minus 1 बटा 125 है।

निशान base का होता है, और गिनती exponent की होती है। और एक आख़िरी सवाल, जो पहली नज़र में चालाकी लगता है, 2 की power 4 को minus 4 की power minus 2 से गुणा करना। ये 16 गुणा 1 बटा 16 है, यानी जवाब 1 है। एक शर्त अब भी बिना वजह बताए बैठी है, कि base शून्य नहीं हो सकता। ये कोई बेवजह की सख़्ती नहीं है। ज़रा देखिए कि value आई कहाँ से थी।

याद कीजिए, 2 की power शून्य इसलिए 1 है, क्योंकि 2 की power 4 भाग 2 की power 4 का जवाब 1 है। अब यही तर्क base शून्य के साथ चलाइए। शून्य की power 4 शून्य ही है, इसलिए ऊपर भी शून्य है और नीचे भी शून्य है। यानी शून्य बटा शून्य, और ऐसी कोई संख्या होती ही नहीं। इसलिए ये तर्क कोई अजीब जवाब नहीं देता, ये चल ही नहीं पाता।

जवाब तय करने के लिए एक भाग ज़रूरी था, और शून्य से भाग दिया ही नहीं जा सकता। इसलिए कोई भी value मजबूर नहीं होती, और base शून्य के लिए ये power सच में बिना मतलब की रहती है। यही बात negative exponent पर भी लागू होती है, क्योंकि वहाँ भी शून्य से भाग देना पड़ता। यही असली वजह है, और ये कहने से बिल्कुल अलग है कि बस अजीब लगता है।

तो आज क्या हुआ, उसे एक बार पीछे मुड़कर देखिए। गुणनखंड काटने से भाग का नियम निकला, और उसमें गिनतियाँ घटती हैं। उस नियम को बचाने के लिए, 2 की power शून्य को 1 होना पड़ा, और 2 की power minus 1 को आधा। और base शून्य पर ये तर्क चल ही नहीं सकता, क्योंकि वहाँ शून्य से भाग देना पड़ता। पर एक बात अब भी खुली है, और यहीं रुकना ठीक है।

आज सब कुछ ऐसे नियम से शुरू हुआ, जो सिर्फ़ गिनती की संख्याओं के लिए साबित हुआ था। और हमने पूरा video ऐसे exponent इस्तेमाल करने में लगाया, जो न गिनती की संख्या हैं, न positive। क्या तीनों नियम हर पूरी संख्या पर सच में चलते हैं, चाहे वो plus हो या minus? ये मान लेने से पहले, ये सवाल ख़ुद से ज़रूर पूछिए।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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