PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 2, Power Play
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3 की power 7 असल में बस एक पंक्ति है: 7 बार 3। इसमें कहीं भी bracket लगाइए, जवाब नहीं बदलता, और exponents के तीनों नियम इसी से निकलते हैं।
मुख्य idea
exponent का एक भी नियम कोई नया तथ्य नहीं है। हर नियम बस यह बताता है कि एक जैसे factors की कतार के चारों ओर brackets कैसे लगाए जा सकते हैं — और brackets कहीं भी लगाने की छूट हमेशा थी, क्योंकि गुणा को इससे फ़र्क़ नहीं पड़ता कि समूह कैसे बने या क्रम क्या है। सात 3s की एक कतार को चार और तीन में काटो, और गिनतियाँ जुड़ जाती हैं। छह 4s की कतार को बराबर blocks में काटो और blocks के blocks गिनो, तो गिनतियाँ गुणा हो जाती हैं — और इसी वजह से दोनों exponents आपस में जगह बदल सकते हैं। चार 3s की कतार को चार 2s की कतार के बगल में रखो और एक-एक करके जोड़ियाँ बनाओ, तो दो powers गुणनफल की एक power बन जाती हैं। नियम brackets लगाना ही हैं; brackets लगाना मुफ़्त है; इसलिए नियमों की कोई क़ीमत नहीं और वे कभी नाकाम नहीं हो सकते।
आपको क्या आना चाहिए
- किसी power को एक ही base की दो powers के गुणनफल में बाँटना, एक से ज़्यादा तरीक़ों से, और उस बँटवारे को सही ठहराना
- एक ही base वाली powers के गुणा का नियम बताना और लगाना
- किसी एक power को ऐसे दोबारा लिखना कि उसका base ख़ुद एक power हो, दो या ज़्यादा अलग तरीक़ों से
- दिखाना कि power की power के दोनों exponents आपस में बदले जा सकते हैं, और बताना क्यों
- एक ही exponent वाली powers के गुणा का नियम बताना और लगाना
- एक ही exponent वाली powers के भाग का मेल खाता नियम बताना
- असमान powers के गुणनफल, जैसे 2⁴ × 3⁴, को एक ही power के रूप में लिखना
- पहचानना कि दिए गए expression को इनमें से कौन-से नियम चाहिए, और किस क्रम में
- ठीक-ठीक बताना कि अब तक हर नियम किन संख्याओं के लिए तय हुआ है
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ |
|---|---|---|---|
| power of a power | ऐसी power जिसका base ख़ुद power के रूप में लिखा हो, जैसे (4²)³ | घात की घात | इस chapter में छपा (Part I p.24) |
| counting numbers | संख्याएँ 1, 2, 3, … , और सिर्फ़ इन्हीं exponents के लिए ये तीनों नियम कहे गए हैं | गिनती की संख्याएँ | इस chapter में छपा (Part I pp.24–25) |
| letter-number | संख्या की जगह खड़ा letter, यहाँ किसी नियम को आम रूप में कहने के लिए | अक्षर-संख्या | इस chapter में छपा (Part I pp.22, 24) |
| base | वह संख्या जिसे ख़ुद से गुणा किया जा रहा है | आधार | इस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22) |
| exponent | base कितनी बार factor के रूप में आता है, उसकी गिनती | घातांक | इस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22) |
| regrouping | गुणनफल का मान बदले बिना उसके brackets दोबारा लगाना | पुनःसमूहन | इस chapter में छपा (Part I p.25) |
| generalised form | letters से लिखे जाने के बाद किसी नियम के लिए chapter का नाम | व्यापक रूप | इस chapter में छपा (Part I p.25) |
| exponent law | इस topic के तीनों नियमों का साझा नाम | घातांक का नियम | इस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, chapter हर नियम को बिना "law" कहे बताता है |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।
लोग कहाँ चूकते हैं
- **"nᵃ × nᵇ = nᵃᵇ."** chapter की सामग्री में सबसे आम ग़लती, और इसे खोलकर लिखने से फ़ैसला हो जाता है: चार 3s के बगल में तीन 3s सात 3s हैं, बारह नहीं। दावा करने से पहले खोलकर लिखो।
- "2⁴ × 3⁴ = 6⁸." bases जुड़ते हैं; exponent नहीं। दमयंती के तालाब इसे ठोस बनाने के लिए ही हैं — फूल एक बार गिने गए, इसलिए जोड़ियाँ चार हैं, आठ नहीं।
- "2³ × 3⁴ को भी जोड़ा जा सकता है।" किसी भी नियम से नहीं: bases भी अलग हैं और exponents भी। जो students तीसरा नियम उसकी शर्त के बिना सीखते हैं, वे उसे हर जगह लगा देते हैं। एक ऐसा उदाहरण दिखाओ जिसमें कुछ भी नहीं जुड़ सकता।
- "(4³)² का मतलब 4³ गुणा 2 है।" इसका मतलब है 4³ को ख़ुद से गुणा करना। छहों 4 एक बार लिखकर देखो, उलझन बचती ही नहीं।
- "(4³)² और (4²)³ अलग संख्याएँ हैं।" वे वही छह factors हैं, अलग तरह से brackets में। छपे हुए page पर दोनों 4096 आते हैं।
- "तालाब दिन 15 पर आधा ढका था।" तीस दिनों का आधा, तालाब का आधा नहीं है। गिनती रोज़ दुगुनी होती है, इसलिए तालाब अपना दूसरा आधा हिस्सा आख़िरी दिन में भरता है। यह chapter का अपना जाल है, और बड़ों पर भी काम करता है।
- "नियम रटने वाली परिभाषाएँ हैं।" हर नियम page पर factors के चित्र से निकाला गया था। जो व्याख्या तीनों नियम गिनाकर आगे बढ़ जाती है, उसने बचा-खुचा सिखाया और असली बात छोड़ दी।
- "ये नियम किसी भी exponent के लिए सही हैं।" अभी नहीं। chapter सावधानी से गिनती की संख्याएँ कहता है, और बड़ा सवाल सिर्फ़ Part I p.29 पर पूछता है।
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पूरा transcript1,833 शब्द
एक पेड़ सोचिए जिसमें 7 levels हैं, और हर level पर हर शाख 3 हिस्सों में बँटती है। नीचे तक पहुँचने के रास्ते 3 की power 7 हैं, यानी 2187 रास्ते। अब पेड़ को भूल जाइए, और देखिए कि ये power असल में है क्या। ये बस एक सीधी पंक्ति है। पंक्ति में 7 बार 3 लिखा है, एक के बगल में एक, गुणा होने के इंतज़ार में। इसके अलावा इसमें और कुछ भी नहीं है।
और आज की पूरी बात एक वाक्य में ये है। आप इस पंक्ति में brackets कहीं भी लगा सकते हैं। गुणा को इससे फ़र्क नहीं पड़ता कि आप चीज़ों को कैसे समूह में रखें, या किस क्रम में लें। आगे आने वाले तीनों नियम, बस bracket लगाने की अलग अलग जगहें हैं। तो चलिए, इस पंक्ति में एक bracket लगाइए। शुरू के 4 गुणनखंड एक bracket में, और आख़िरी 3 गुणनखंड दूसरे bracket में।
पहला bracket 3 की power 4 है, यानी 81 बनता है। दूसरा bracket 3 की power 3 है, यानी 27 बनता है। और 81 गुणा 27 का जवाब 2187 आता है। यही जवाब हमारे पास पहले से था, क्योंकि हमने पंक्ति में न कोई 3 जोड़ा, न कोई 3 हटाया। अब bracket के अंदर की गिनतियों को देखिए। एक तरफ़ 4, दूसरी तरफ़ 3, और दोनों मिलकर 7 बनते हैं।
ये bracket जवाब नहीं बदल सकता, क्योंकि उसने पंक्ति नहीं बदली। उसने exponents के साथ बस इतना किया कि 7 को 2 हिस्सों में बाँट दिया। अब bracket को किसी और जगह लगाइए। इस बार पहले bracket में 2 गुणनखंड रखिए, और दूसरे में 5 गुणनखंड। तब 9 गुणा 243 बनता है। और जवाब फिर से 2187 ही आता है। इस पंक्ति को काटने की कुल 6 जगहें हैं, और ये रहीं सारी।
पहली जगह 1 और 6 की है, यानी 3 गुणा 729 बनता है। दूसरी जगह 2 और 5 की, यानी 9 गुणा 243 बनता है। तीसरी जगह 3 और 4 की, यानी 27 गुणा 81 बनता है। बाक़ी जगहें यही जोड़ियाँ हैं, उल्टी तरफ़ से पढ़ी हुईं। यानी 6 अलग दिखने वाले गुणा, और हर बार वही एक जवाब, क्योंकि पंक्ति हमेशा एक ही थी। अब letters लेकर देखिए, तो ये बात छूट ही नहीं सकती।
पहले p की power 4 खोलकर लिखिए, यानी p, p, p, p। फिर p की power 6, यानी p, p, p, p, p, p। अब दोनों को साथ रख दीजिए, और गिनिए कि कितने p हुए। कुल मिलाकर 10 बार p आता है। यानी जवाब p की power 10 है। आपको ये जानने की ज़रूरत नहीं पड़ी कि p क्या है, और कोई हिसाब भी नहीं करना पड़ा। और बताइए, आपको क्या नहीं मिला?
आपको p की power 24 नहीं मिली। क्योंकि 4 के बगल में 6 रखने से 10 बनता है, 24 नहीं। तो ये रहा हमारा पहला नियम। यानी n की power a, गुणा n की power b, बराबर है n की power, a जोड़ b के। और इसका कारण कोई ऐसा नियम नहीं जिस पर आँख मूँदकर भरोसा करना पड़े। कारण बस इतना है कि a बार n की पंक्ति, और उसके बाद b बार n की पंक्ति, मिलकर a जोड़ b बार n की पंक्ति है।
पूरा तर्क बस इतना ही है। और ये 2 से 12 तक हर base के लिए चलता है, क्योंकि तर्क में base की कीमत कभी आई ही नहीं। इस पूरे विषय की सबसे आम ग़लती है, इन दोनों गिनतियों को जोड़ने की बजाय गुणा कर देना। सही जवाब, यानी 3 की power 7, 2187 है। जबकि 3 की power 12, 5 लाख से भी ज़्यादा है। पंक्ति खोलकर देख लें, तो ये बात कुछ ही पलों में साफ़ हो जाती है।
ध्यान दीजिए, ये तभी चलता है जब दोनों power एक ही base की हों। जैसे 2 का cube गुणा 5 का square, 200 है, और यहाँ कोई पंक्ति नहीं जुड़ती, क्योंकि गुणनखंड अलग अलग हैं। अब पंक्ति को एक अलग तरीके से काटिए। इस बार पंक्ति में 6 बार 4 लीजिए। एक काट की जगह, पंक्ति को बराबर blocks में बाँटिए। अगर 3 गुणनखंडों के blocks बनाएँ, तो 2 blocks बनते हैं, और हर block की कीमत 64 है।
और 64 गुणा 64 का जवाब 4096 आता है। अगर 2 गुणनखंडों के blocks बनाएँ, तो 3 blocks बनते हैं, और हर एक की कीमत 16 है। और 16 गुणा 16 गुणा 16 का जवाब भी 4096 ही है। वही 6 बार 4, और वही जवाब। हमने बस blocks की दीवारें अलग जगह खड़ी की थीं। पर 4 गुणनखंडों के blocks नहीं बनते, क्योंकि 6 गुणनखंड 4 से पूरे नहीं बँटते।
इन blocks के blocks के लिए एक अलग लिखावट है। पहला, 3 गुणनखंडों वाले 2 blocks, यानी 4 के cube का square। दूसरा, 2 गुणनखंडों वाले 3 blocks, यानी 4 के square का cube। और यहाँ एक बात पर ध्यान देना ज़रूरी है। यानी 4 के cube का square, 4 के cube गुणा 2 नहीं होता। वो तो सिर्फ़ 128 होगा। इसका मतलब है, 4 का cube, ख़ुद से गुणा।
एक बार 6 बार 4 खोलकर लिखिए, और ये उलझन टिक नहीं पाती। गिनती देखिए, 3 के 2 blocks यानी 6 गुणनखंड, और 2 के 3 blocks भी 6 गुणनखंड। यानी blocks की गिनती, गुणा हर block का आकार। इस बार गिनतियाँ गुणा होती हैं। इसी तरह 7 की power 4, 7 के square का square है, यानी 49 गुणा 49, जो 2401 होता है। इसी वजह से दोनों गिनतियाँ अपनी जगह बदल सकती हैं।
अब पंक्ति में 10 बार 2 लीजिए। इन्हें 5 जोड़ियों में काटिए, तो 2 के square की 5 copies मिलती हैं। उन्हीं 10 को, 5 गुणनखंडों वाले 2 blocks में काटिए, तो 2 की power 5 की 2 copies मिलती हैं। दोनों का जवाब 1024 है, और होना ही था, क्योंकि पंक्ति अपनी जगह से हिली ही नहीं। तो n की power a की power b, बराबर है n की power b की power a के, और दोनों बराबर हैं n की power, a गुणा b के।
इससे ये भी पता चलता है कि किसी power का base ख़ुद power कैसे बनाया जाए, और कितने तरीकों से। जैसे exponent 6 हो, तो जोड़ियाँ हैं 1 और 6, 2 और 3, 3 और 2, और 6 और 1, कुल 4 तरीके। यानी exponent को बाँटने के तरीके, उसके गुणनखंड करने के तरीके ही हैं। जैसे 8 की power 6, 64 का cube भी है, और 512 का square भी।
अब एक तालाब की बात करते हैं। इसमें एक lotus है, फूल हर दिन दुगुने होते हैं, और दिन 30 पर पूरा तालाब ढक जाता है। तो बताइए, तालाब आधा किस दिन ढका था? जवाब दिन 15 नहीं है। दिन 29, क्योंकि दिन 29 पर जो था, वो रात भर में दुगुना हुआ, और आधे का दुगुना पूरा होता है। दिन 15 पर तो तालाब का बस 32768 हिस्सों में से 1 हिस्सा ढका होता है।
ये सवाल बड़ों को भी उलझा देता है, क्योंकि आधे दिनों का मतलब आधा तालाब नहीं होता। अब इसके बगल में दूसरा तालाब रखिए, जिसमें फूल हर दिन 3 गुना होते हैं। दुगुने वाले तालाब में एक फूल डालिए, और 4 दिन रुकिए, तो 2 की power 4, यानी 16 फूल। वो सभी 16 फूल 3 गुने वाले तालाब में ले जाइए, और 4 दिन रुकिए, तो गिनती 4 बार 3 से गुणा होती है।
यानी 16 गुणा 81 फूल। कुल मिलाकर 1296 फूल होते हैं। अब उल्टा कीजिए, पहले 3 गुने वाला तालाब, जिससे 81 फूल बनते हैं, फिर 4 दिन दुगुने होना। यानी 81 गुणा 16 फूल। और जवाब फिर वही 1296 फूल है। बेशक जवाब तो वही होना ही था। पर देखिए कि दूसरा तरीका हमें क्या दिखाता है। आपके पास 4 बार 3 की एक पंक्ति है, और 4 बार 2 की एक पंक्ति।
इन्हें जोड़ियों में मिलाइए, पहले के साथ पहला, दूसरे के साथ दूसरा, और आगे भी ऐसे ही। हर जोड़ी 3 गुणा 2 है। यानी हर जोड़ी से एक 6 बनता है। जोड़ियाँ 4 हैं, इसलिए पंक्ति में 4 बार 6 आता है। यानी जवाब 6 की power 4 बनता है। इसीलिए 2 की power 4 गुणा 3 की power 4, 6 की power 4 है, 6 की power 8 नहीं।
क्योंकि जोड़ियाँ 4 बनीं, 8 नहीं। और 6 की power 8 तो 16 लाख से भी ज़्यादा है, आसपास भी नहीं। और ये जोड़ियाँ तभी बनती हैं जब दोनों पंक्तियाँ बराबर लंबी हों। तो ये रहा हमारा तीसरा नियम। यानी m की power a, गुणा n की power a, बराबर है m गुणा n की power a के, जब दोनों गिनतियाँ बराबर हों। जैसे 2 की power 5 गुणा 5 की power 5, 10 की power 5 है, यानी 1 लाख।
और भाग के लिए ये उल्टा चलता है, 10 की power 4 भाग 5 की power 4, 2 की power 4 है। यानी ठीक 16, बिना कुछ बचे। ये भी जोड़ियों से ही निकलता है, क्योंकि हर 10 को 5 से भाग दें तो 2 बचता है, और ऐसी 4 जोड़ियाँ हैं। पर शर्त पर ध्यान दीजिए। देखिए, 2 का cube गुणा 3 की power 4, 648 है, और यहाँ कुछ भी नहीं मिलता।
यहाँ base अलग हैं, और गिनतियाँ भी अलग हैं, इसलिए न कोई जोड़ी बनती है, न कोई पंक्ति जुड़ती है। और 648 न तो 6 की power है, न किसी और संख्या की। अब कुछ मान, जिन्हें आप इन नियमों से ख़ुद निकाल सकते हैं। पहला, 2 की power 9, जिसे 2 की power 4 गुणा 2 की power 5 में काट सकते हैं, यानी 16 गुणा 32, जो 512 है।
दूसरा, 5 की power 7, यानी 5 का cube गुणा 5 की power 4, यानी 125 गुणा 625, जो 78125 है। तीसरा, 4 की power 6, जिसे आप पहले ही 2 तरीकों से 4096 बना चुके हैं। और 7 की power 15 का base power बनाने के 4 तरीके हैं, क्योंकि 15 के गुणनखंड 1, 3, 5 और 15 हैं। जैसे 7 की power 15, 7 के cube की power 5 है, और 7 की power 5 का cube भी।
और 2 का cube गुणा 3 का cube, 6 का cube है, यानी 216 बनता है। पीछे हटकर देखिए, हमने असल में क्या साबित किया? जवाब है, कुछ भी नया नहीं। इन तीनों नियमों में से एक भी संख्याओं के बारे में नया तथ्य नहीं है। हर नियम बस ये बताता है कि एक जैसे गुणनखंडों की पंक्ति में bracket कहाँ लग सकता है, और bracket तो हमेशा कहीं भी लग सकता था।
इसीलिए ये नियम ग़लत नहीं हो सकते, और इन्हें रटने की ज़रूरत नहीं। पंक्ति खोलिए, और नियम कुछ ही पलों में सामने आ जाता है। और कोई नियम भूल जाएँ, तो उसे फिर से बनाया जा सकता है। पर एक चेतावनी भी है। इस पूरी चर्चा में हर गिनती एक गिनती की संख्या थी, जैसे 1, 2, 3 और आगे। एक पंक्ति में 4 गुणनखंड हो सकते हैं। पर उसमें शून्य गुणनखंड नहीं हो सकते, न minus 2, न आधा गुणनखंड।
तब इनका मतलब क्या होगा, ये एक असली सवाल है, और इसका जवाब अभी बाक़ी है।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Exponential notation: repeated multiplication written onceकक्षा 8 · Ch 2, Power Play
आगे फिर कहाँ आता है
- Zero and negative exponents: extending the rule rather than inventing a meaningकक्षा 8 · Ch 2, Power Play
- Reading a power line: multiplication as movement along a scaleकक्षा 8 · Ch 2, Power Play
- Naming the powers of ten: the Lalitavistara list, the million-to-decillion names, and the googolकक्षा 8 · Ch 2, Power Play