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Chapter 2 · Power Play

कल्पना से बड़ी मात्रा को पकड़ने का अकेला सहारा: दस की सबसे पास वाली power

Making sense of very large numbers16 मिनट

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2 के बाद 16 शून्य: इस संख्या को कोई मन में नहीं देख सकता। पर उसका exponent, 16, 10 की powers की सीढ़ी पर एक पायदान है, और पायदानों पर असली चीज़ें रखी जा सकती हैं, 2 सफ़ेद गैंडों से लेकर 820 करोड़ लोगों और 2 गुणा 10 की power 16 चींटियों तक।

मुख्य idea

कुछ हज़ार के पार किसी मात्रा के अंकों से कोई समझ नहीं बनती — पर उसके exponent से बनती है, क्योंकि exponent एक सीढ़ी पर एक जगह है, और उस सीढ़ी के पायदानों को उन चीज़ों से जोड़ा जा सकता है जो तुमने सच में देखी हैं। इसलिए किसी बहुत बड़ी मात्रा को दस की सबसे पास वाली power तक round करने में वह लगभग कुछ नहीं खोता जो तुम इस्तेमाल कर रहे थे, और वह एक चीज़ मिल जाती है जो चाहिए: तुलना की क्षमता। तीन पायदान दूर की दो मात्राओं में हज़ार गुना का फ़र्क़ होता है, और exponents का वह घटाना ही तुलना है। chapter ऐसी दो सीढ़ियाँ बनाता है, एक जीवों की और एक अवधियों की, और दोनों की पूरी बात यही है कि जिस संख्या की तुम कल्पना नहीं कर सकते, उसे भी उसकी जगह पर रखा जा सकता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताई गई मात्रा को scientific notation में लिखना और उसके सबसे पास वाली दस की power का नाम लेना
  • किसी मात्रा को दस की powers की सीढ़ी पर रखना और उस जगह को सही ठहराना
  • दो मात्राओं की तुलना उनके exponents घटाकर करना, और नतीजा अनुपात के रूप में बताना
  • standard form की दो मात्राओं से प्रति इकाई आँकड़ा निकालना — हर B के लिए कितने A
  • किसी अवधि को seconds में बदलना और उसे दस की powers की सीढ़ी पर रखना
  • बताना कि "10ⁿ की कोटि का" क्या दावा करता है, और क्या नहीं
  • किसी मात्रा के exponent को उसका आकार और उसके गुणांक को बारीक सुधार मानकर पढ़ना
  • समझाना कि किसी अनजानी मात्रा को किसी जानी-पहचानी मात्रा से जोड़ना ही उसके आकार की समझ पाने का अकेला रास्ता क्यों है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
scientific notation1 और 10 के बीच का गुणांक गुणा दस की powerवैज्ञानिक संकेतनइस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.31)
lakh / crore / arab10⁵, 10⁷ और 10⁹ के भारतीय नामलाख / करोड़ / अरबइस chapter में छपा (Part I pp.36, 43)
million / billion / trillion10⁶, 10⁹ और 10¹² के अंतरराष्ट्रीय नाममिलियन / बिलियन / ट्रिलियनइस chapter में छपा (Part I pp.36, 38, 43)
kharab / neel / padma10¹¹, 10¹³ और 10¹⁵ के भारतीय नाम, जीवों की सूची में इस्तेमाल हुएखरब / नील / पद्मइस chapter में छपा (Part I pp.38, 43)
quadrillion10¹⁵ का अंतरराष्ट्रीय नामक्वाड्रिलियनइस chapter में छपा (Part I pp.38, 43)
exponentवह power जिस पर दस को उठाया गया है, और यहाँ आकार का मापघातांकइस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22)
estimateगिनकर नहीं, तर्क से पहुँचा गया मानअनुमानपूरे Part I pp.36–42 में छपा
order ofकिसी मात्रा को सिर्फ़ उसके exponent से बताने के लिए chapter की भाषाकोटिइस chapter में छपा (Part I pp.40, 42)
ladder of powersहर पायदान पर दस की एक power, असली मात्राओं के पैमाने की तरह इस्तेमालघातों की सीढ़ीइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, chapter powers को हाशिये में नीचे की ओर रखता है पर इस बनावट को नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "दस की power तक round करने से जवाब खो जाता है।" अंक खोते हैं, जिन्हें तुम इस्तेमाल नहीं कर रहे थे। किसी की भी समझ 4.15 lakh हाथियों और 4 lakh में फ़र्क़ नहीं कर पाती; हर कोई 10⁵ और 10⁹ में फ़र्क़ बता सकता है।
  • "10¹⁶ बस 10¹⁵ से थोड़ा ज़्यादा है।" यह दस गुना ज़्यादा है। हर पायदान दस गुना की छलाँग है, और सीढ़ी का बराबर फ़ासला ही इसे भूलना आसान बनाता है। हर बार चढ़ते हुए गुणक बोलकर कहो।
  • "चींटियाँ रेत के कणों से ज़्यादा हैं या उलटा — कौन जाने।" चींटियाँ 10¹⁶ पर हैं और रेत 10²¹ पर, पाँच पायदान दूर, इसलिए हर चींटी पर क़रीब एक lakh कण हैं। chapter की रेत के महलों वाली पंक्ति इसी तुलना को जीवंत बनाती है।
  • "इतने बड़े आकार पर आकलन बस अंदाज़ा है।" यह बताई गई कल्पनाओं वाला, model से निकला आँकड़ा है — पानी की बूँदों की गिनती साफ़ तौर पर एक millilitre में 16 बूँदों पर बनी है। कल्पना इसलिए छापी गई है कि आकलन उसी पर टिका है।
  • "10² seconds की कोटि का मतलब क़रीब 100 seconds है।" इसका मतलब है उस दशक में कहीं — cartoon का अपना दायरा 120 से 900 तक जाता है। कोटि एक पायदान का दावा करती है, किसी मान का नहीं।
  • "exponent बड़ा है, तो चीज़ भी बड़ी होगी।" ये गिनतियाँ और अवधियाँ हैं, आकार नहीं। page की अपनी सीढ़ी धरती पर पानी की बूँदों को 2 × 10²⁵ पर और दिखने वाले ब्रह्मांड के तारों को 2 × 10²³ पर रखती है — हर तारे पर क़रीब सौ बूँदें — और कोई भी बूँद तारे के आकार के आसपास भी नहीं। गिनती और आकार एक-दूसरे से आज़ाद हैं, और इसी वजह से सीढ़ी को ध्यान से पढ़ना पड़ता है।
  • "एक ही पायदान पर बैठी दो मात्राएँ बराबर हैं।" 3.5 × 10⁷ पर ऊँट और 5.8 × 10⁷ पर घोड़े एक पायदान बाँटते हैं और उनमें दो-तिहाई का फ़र्क़ है। पायदान दशक तय करता है; गुणक उसे बारीक करता है।
  • "इनकी तुलना घटाकर की जा सकती है।" 4 × 10⁵ को 8 × 10⁹ में से घटाने से लगभग कुछ पता नहीं चलता। भाग देने से पता चलता है कि हर हाथी पर 20,000 लोग हैं। इस पैमाने पर तुलना हमेशा अनुपात होती है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2.5 Q14

पूरा transcript2,411 शब्द

यहाँ एक संख्या है, 2 के बाद पूरे 16 शून्य। इसे मन में देखने की कोशिश कीजिए, ये कितनी बड़ी है? कुछ भी सामने नहीं आया होगा, और मेरे सामने भी कुछ नहीं आया। जब कोई संख्या हज़ारों से आगे निकल जाती है, तो उसके अंक उसके आकार का कोई एहसास नहीं देते। पर संख्या का एक हिस्सा अब भी काम करता है, उसके अंकों की गिनती, यानी उसका exponent।

ये संख्या 2 गुणा 10 की power 16 है, और इसमें कुल 17 अंक हैं। तो हम एक सीढ़ी बनाते हैं, जिसमें 10 की हर power के लिए एक पायदान हो। और हर पायदान पर कोई असली चीज़ रखते हैं, जिसे किसी ने गिना हो या जिसका अंदाज़ा लगाया हो। आख़िर तक इस संख्या को भी सीढ़ी पर खड़े होने की अपनी जगह मिल जाएगी। सबसे नीचे का पायदान है 10 की power 0, जो 1 के बराबर है।

यहाँ गिनती अब भी काम करती है, चीज़ें उँगलियों पर गिनी जा सकती हैं। एक खास किस्म के सफ़ेद गैंडे, जिनमें से अब सिर्फ़ 2 ज़िंदा बचे हैं। इसे scientific notation में लिखें, तो ये 2 गुणा 10 की power 0 है। सिर्फ़ 2 चीज़ों को आप आराम से मन में देख सकते हैं, इसीलिए हम यहीं से शुरू करते हैं। पायदान 0 पर 1 से लेकर 9 तक की हर गिनती खड़ी होती है।

और 10 पर पहुँचते ही आप अगले पायदान पर होते हैं। तो पायदान कोई एक संख्या नहीं, बल्कि एक पूरा दायरा है, और ये बात आगे बहुत काम आएगी। एक पायदान ऊपर चढ़िए, तो हर चीज़ नीचे वाले पायदान से 10 गुना हो जाती है। नीचे 10 की power 0 से ऊपर 16 तक, सभी 16 कदमों में ये बढ़त ठीक 10 गुना है। हर कदम पर इसे मन में दोहराइए, क्योंकि सीढ़ी बराबर दूरी पर बनी है, और बराबर दूरी ये बात भुला देती है।

पायदान 1 पर हैं एक दुर्लभ किस्म के gibbon बंदर, कुल 42, यानी 4 दशमलव 2 गुणा 10 की power 1 के बराबर। पायदान 2 पर हैं kakapo, उड़ न सकने वाले तोते, कुल 242, यानी 2 दशमलव 4 2 गुणा 10 की power 2 के बराबर। पायदान 3 पर हैं दुनिया की सबसे बड़ी छिपकलियाँ, लगभग 3000, यानी 3 गुणा 10 की power 3 के बराबर। पायदान 4 पर हैं लंबी टाँगों वाले maned wolf, लगभग 17000, यानी 1 दशमलव 7 गुणा 10 की power 4 के बराबर।

सिर्फ़ 4 पायदानों में हम उँगलियों पर गिनी जाने वाली संख्या से यहाँ तक पहुँच गए। अगर 17000 तक एक सेकंड में एक की रफ़्तार से गिनें, तो लगभग 5 घंटे लगेंगे, ठीक ठीक 4 घंटे 43 मिनट। सीढ़ी लंबी नहीं हुई, हमने बस 4 कदम लिए, और यही इस पूरे विचार की नींव है। पायदान 5 पर हैं एक महाद्वीप के जंगली हाथी, लगभग 415000, यानी 4 दशमलव 1 5 गुणा 10 की power 5 के बराबर।

पायदान 6 पर हैं alligators, लगभग 50 लाख, यानी 5 गुणा 10 की power 6 के बराबर। यहाँ आकर कोई भी तस्वीर मदद करना बंद कर देती है। आँख से कोई 4 लाख और 50 लाख का फ़र्क नहीं देख सकता, पर 1 पायदान का फ़र्क हर कोई देख लेता है। पायदान 7 पर 2 चीज़ें हैं, ऊँट लगभग 3 दशमलव 5 करोड़, और घोड़े लगभग 5 दशमलव 8 करोड़।

पायदान एक ही है, फिर भी घोड़े ऊँटों से लगभग 2 बटा 3 ज़्यादा हैं। यानी पायदान दायरा तय करता है, और 10 के आगे वाली संख्या, coefficient, उसे और बारीक करती है। एक पायदान पर खड़ी 2 चीज़ें बराबर नहीं होतीं, बस एक दूसरे से तुलना के लायक होती हैं। पायदान 8 पर हैं भैंसें, लगभग 20 करोड़, यानी 2 गुणा 10 की power 8 के बराबर। पायदान 9 पर पहुँचिए, और यहाँ हम ख़ुद खड़े हैं।

दुनिया में लगभग 820 करोड़ लोग हैं, यानी 8 दशमलव 2 गुणा 10 की power 9 के बराबर। इसी पायदान पर हैं लगभग 130 करोड़ starling चिड़ियाँ, यानी 1 दशमलव 3 गुणा 10 की power 9 के बराबर। हिंदी के नाम हर बार 2 पायदान चढ़ते हैं, लाख है 10 की power 5, करोड़ 10 की power 7, और अरब 10 की power 9 के बराबर। यानी हर नया नाम पिछले से 100 गुना है, और 820 करोड़ को 8 अरब 20 करोड़ भी कह सकते हैं।

अब ध्यान से देखिए, 8 दशमलव 2 से 10 बस 1 दशमलव 8 दूर है, जबकि 1 से ये 7 दशमलव 2 ऊपर है। तो 10 की जो power हमारे सबसे पास है, वो 10 की power 10 है, यानी ऊपर वाला पायदान। फिर भी हम पायदान 9 पर ही खड़े हैं। ये कोई गलती नहीं है, पायदान एक दायरा है, सबसे पास वाली power नहीं। असल में 100 करोड़ से लेकर 1000 करोड़ से ज़रा कम तक, सब कुछ पायदान 9 पर खड़ा होता है।

अगर ये starlings 10000 के झुंड बनाएँ, तो 1 दशमलव 3 गुणा 10 की power 5 झुंड बनेंगे, क्योंकि 9 में से 4 घटाने पर 5 बचता है। अब वो काम, जिसके लिए ये सीढ़ी असल में बनाई गई थी। हर एक हाथी के बदले कितने इंसान हैं? दोनों को गोल कीजिए, 800 करोड़ लोग, और 4 लाख हाथी। लोग पायदान 9 पर हैं, और हाथी पायदान 5 पर। अब 9 में से 5 घटाइए, तो बचते हैं 4 पायदान।

और 4 पायदान का फ़र्क यानी 10 की power 4 गुना, और आगे की संख्याओं में 8 को 4 से भाग दें तो 2, यानी हर हाथी के बदले 20000 लोग। यानी exponents का ये घटाना तुलना तक पहुँचने का कोई छोटा रास्ता नहीं है, ये ख़ुद तुलना है। बिना गोल किए देखिए, 820 करोड़ को 415000 से भाग दें, तो लगभग 19759 आता है। और इसे एक अंक तक गोल करें, तो फिर से 20000 ही आता है।

यानी जो अंक हमने छोड़ दिए थे, जवाब उनमें था ही नहीं। अब दूसरा तरीका आज़माइए, और उसे नाकाम होते देखिए। लोगों की गिनती में से हाथियों की गिनती घटाइए। तो 800 करोड़ में से 4 लाख घटाने पर बचते हैं 799 करोड़ 96 लाख। ये अब भी पायदान 9 पर है, वहीं जहाँ लोग पहले से खड़े थे। और एक अंक तक गोल करें, तो ये वही 800 करोड़ है, बिल्कुल वैसा ही।

हाथियों का असर तभी दिखता है, जब आप पूरे 5 अंक लिखें। तो इतनी बड़ी संख्याओं में घटाना बस इतना बताता है कि कौन बड़ा है, और कुछ नहीं। भाग देना बताता है कि एक हाथी के सामने 20000 इंसान हैं। यहाँ से ऊपर हर तुलना एक अनुपात है, और सीढ़ी पर अनुपात का मतलब है पायदानों का फ़र्क। चढ़ते रहिए, उन चीज़ों से भी आगे जिनसे आप कभी मिल सकें।

पायदान 10 पर हैं इस वक़्त ज़िंदा मुर्गियाँ, लगभग 3300 करोड़, यानी 3 दशमलव 3 गुणा 10 की power 10 के बराबर। पायदान 12 पर हैं पेड़, लगभग 3 लाख करोड़, यानी 3 गुणा 10 की power 12 के बराबर। ध्यान दीजिए, यहाँ हमने पायदान 11 छोड़ दिया। वो गायब नहीं है, बस हमारे पास उस पर रखने को कुछ नहीं था, और यही बात पायदान 13 की भी है।

पायदान 14 पर हैं मच्छर, लगभग 1 दशमलव 1 गुणा 10 की power 14, और krill नाम के छोटे समुद्री जीव, लगभग 5 गुणा 10 की power 14 के बराबर। पायदान 15 पर हैं beetles, यानी भृंग, लगभग 1 गुणा 10 की power 15 के बराबर। और पायदान 16 पर हैं चींटियाँ, 2 गुणा 10 की power 16 के बराबर। ये वही संख्या है जिससे हमने शुरू किया था, 2 के बाद 16 शून्य, और अब उसे खड़े होने की जगह मिल गई।

अगर हर पेड़ पर लगभग 10 की power 4 पत्ते हों, तो कुल पत्ते होंगे 3 गुणा 10 की power 16 के बराबर। गुणा करने पर exponents जुड़ते हैं, 12 और 4 मिलकर 16, ठीक चींटियों वाला पायदान। यानी पत्ते चींटियों के बस 3 बटा 2 गुना हैं, और दोनों एक ही पायदान पर हैं। पायदान 21 पर हैं धरती के सारे समुद्र तटों और रेगिस्तानों के रेत के कण, लगभग 10 की power 21 के बराबर।

हर एक चींटी के हिस्से में रेत के कितने कण आते हैं? चींटियाँ पायदान 16 पर, और रेत पायदान 21 पर, यानी 5 पायदान का फ़र्क। तो सीढ़ी कहती है, हर चींटी के लिए लगभग 1 लाख कण। पर आगे की संख्याएँ भी लीजिए, 1 को 2 से भाग, तो जवाब 50000 कण आता है। ये दोनों जवाब एक पायदान पर भी नहीं हैं, 50000 पायदान 4 पर है, और 1 लाख पायदान 5 पर।

पायदानों वाला तरीका 2 गुना चूक गया, और बगल वाले पायदान पर जा पहुँचा। ये कोई कमी नहीं है, यही तो इस तरीके का वादा है। किसी भी order of magnitude वाले जवाब का वादा बस इतना है कि वो 10 गुना के अंदर सही होगा, इससे ज़्यादा का वादा उसने कभी किया ही नहीं। जिस मात्रा की आप तस्वीर भी नहीं बना सकते, उसके बारे में 10 गुना के अंदर जानना बहुत बड़ी बात है।

अब सबसे ऊपर के पास के 2 पायदान, जहाँ तक किसी ने गिनने की कोशिश की है। दिखाई देने वाले ब्रह्मांड के तारे, लगभग 2 गुणा 10 की power 23 के बराबर। और धरती पर पानी की बूँदें, हर millilitre में 16 बूँदें मानकर, लगभग 2 गुणा 10 की power 25 के बराबर। ये अंदाज़ा अपनी मान्यता पर टिका है, इसीलिए वो मान्यता खुलकर बताई गई है। अब 25 में से 23 घटाइए, 2 पायदान, यानी हर तारे के बदले लगभग 100 बूँदें।

और यहीं ये सीढ़ी एक जाल बिछाती है, एक बूँद किसी तारे जितनी बड़ी तो बिल्कुल नहीं होती। ये सीढ़ी गिनती नापती है, आकार कभी नहीं, और ये 2 बिल्कुल अलग सवाल हैं। गलत सवाल पढ़ लिया, तो आप पूरे भरोसे से कोई बेतुका निष्कर्ष निकाल लेंगे। एक और तुलना, हर इंसान के बदले लगभग 24 लाख चींटियाँ, यानी 2 दशमलव 4 गुणा 10 की power 6 के बराबर। सीढ़ी को इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि वो क्या गिन रही है।

तो एक दूसरी सीढ़ी बनाइए, इस बार seconds में। पायदान 0 पर है ऊपर उछाली गई गेंद, जो बस कुछ seconds हवा में रहती है। पायदान 1 पर, खून को पूरे शरीर का एक चक्कर लगाने में 10 से 20 seconds लगते हैं। पायदान 2 पर, सूरज की रोशनी हम तक लगभग 8 मिनट में पहुँचती है, यानी 480 seconds। पायदान 3 पर, एक satellite धरती का एक चक्कर लगभग 90 मिनट में लगाता है, यानी 5400 seconds।

इसे scientific notation में लिखें, तो ये 5 दशमलव 4 गुणा 10 की power 3 के बराबर है। पायदान 4 पर है एक पूरा दिन, यानी 86400 seconds। ध्यान दीजिए, 2 घंटे यानी 7200 seconds अभी पायदान 3 पर ही हैं, पर 3 घंटे यानी 10800 seconds पायदान 4 पर पहुँच जाते हैं। ये सब अलग अलग इकाइयों में थे, पर एक ही इकाई में बदलते ही सीढ़ी ने सबको जगह दे दी।

अब एक असली बहस, जिसे ये सीढ़ी सुलझा देती है। मान लीजिए noodles का एक पैकेट कहता है कि वो 2 मिनट में बन जाते हैं। पर 2 मिनट में किसी के noodles नहीं पकते, असल में लगभग 10 मिनट लगते हैं। यानी 2 मिनट हुए 120 seconds, और 10 मिनट हुए 600 seconds। एक दूसरे का 5 गुना है, फिर भी दोनों पायदान 2 पर खड़े हैं। तो पैकेट कह सकता था, 10 की power 2 seconds के order का समय, और वो दोनों हालात में सही होता।

क्योंकि order एक दायरे का दावा करता है, 100 seconds से लेकर 1000 seconds से ज़रा कम तक। इसका मतलब लगभग 100 seconds नहीं है, और इसे ऐसे पढ़ना सबसे आम गलती है। पैकेट धुंधला नहीं था, वो बिल्कुल सटीक था, और गलत था, जो और भी बुरा है। अब समय की इस सीढ़ी पर और ऊपर चढ़िए। सुनने में 10 लाख seconds बहुत ज़्यादा लगते हैं, पर ये बस लगभग 11 दशमलव 6 दिन हैं।

यानी पूरे 2 हफ़्ते से भी कम। और 100 करोड़ seconds, यानी 10 की power 9, लगभग 31 दशमलव 7 साल हैं। तो ये पायदान एक इंसानी ज़िंदगी के order का है। उससे 3 पायदान नीचे, 2 हफ़्ते से कम, यानी एक ज़िंदगी और उस पखवाड़े में 1000 गुना का फ़र्क। अब सबसे ऊपर, ब्रह्मांड लगभग 1380 करोड़ साल पुराना है, यानी 13 दशमलव 8 billion साल। इसे seconds में बदलें, तो ये लगभग 4 दशमलव 4 गुणा 10 की power 17 के बराबर है।

यानी 10 की power 18 seconds पहले कोई ब्रह्मांड था ही नहीं। एक ज़िंदगी से बस 8 पायदान ऊपर, हर चीज़ का पूरा इतिहास। और अगर आप तारों को एक सेकंड में एक की रफ़्तार से गिनें, तो लगभग 6 दशमलव 3 गुणा 10 की power 15 साल लगेंगे। ये ब्रह्मांड की उम्र से 5 पायदान ऊपर है, यानी उसकी उम्र का लगभग 460000 गुना। आख़िर में एक बात, जो सीढ़ी कर सकती है, पर अकेला हिसाब नहीं।

कोई आपको बताते हैं कि उनकी उम्र 6970710 है। पर वो इकाई बताना ही भूल गए। ये उम्र किस इकाई में हो सकती है? अगर seconds मानें, तो ये 0 दशमलव 2 2 1 साल हैं, ऐसे कोई अपनी उम्र नहीं बताता। अगर घंटे मानें, तो 796 साल, इतना कोई नहीं जीता। अगर दिन मानें, तो 19100 साल, ये तो बिल्कुल नहीं। और अगर मिनट मानें, तो 13 दशमलव 3 साल, यानी 13 साल और लगभग 3 महीने, ये किसी बच्चे की उम्र है।

ये 4 जवाब सीढ़ी पर 4 अलग पायदानों पर पड़ते हैं, जो कुल 5 पायदानों में फैले हुए हैं। अब तक की सबसे लंबी दर्ज इंसानी उम्र 122 साल है। इन 4 में से सिर्फ़ 1 जवाब किसी इंसानी उम्र के दायरे में आता है। तो इकाई मिनट थी, 4 उम्मीदवार सीढ़ी पर रखे गए, और 3 गिर गए। यही इस सीढ़ी का असली काम है। जो मात्रा मन में देखी नहीं जा सकती, उसे भी सीढ़ी पर रखा जा सकता है।

और फिर उसे किसी जानी पहचानी चीज़ के सामने रखकर देखा जा सकता है। तुलना भाग से होती है, और सीढ़ी पर भाग का मतलब है पायदानों को घटाना। और गुणा का मतलब है पायदानों को जोड़ना, जैसे पेड़ और उनके पत्ते। और याद रखिए, पायदान एक दायरा है, इसीलिए 820 करोड़ भी पायदान 9 पर ही खड़े हैं। किसी मात्रा का order 10 गुना के अंदर का वादा करता है, इससे ज़्यादा नहीं।

आपको अंक नहीं मिलेंगे, पर आप उन्हें कभी इस्तेमाल भी नहीं कर रहे थे। आपको पायदान मिलता है, और किसी बड़ी संख्या का असली मतलब उसी में है। अगली बार कोई बहुत बड़ी संख्या दिखे, तो पहले पूछिए, ये किस पायदान पर खड़ी है?

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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