PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 2, Power Play
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5900 = 590 x 10 = 59 x 10^2 = 5.9 x 10^3 = 0.59 x 10^4. चारों सही हैं, तो exponent अकेले कुछ नहीं बताता, जब तक coefficient को 1 और 10 के बीच न बाँधा जाए।
मुख्य idea
बीस अंकों वाली संख्या इसलिए नहीं पढ़ी जाती कि अंक कठिन हैं, बल्कि इसलिए कि जो जानकारी असल में चाहिए — वह कितनी बड़ी है — वह अंकों की गिनती में रहती है, और आँख से उन्हें गिनना ठीक वही काम है जिसमें ग़लती होती है। Scientific notation उस गिनती को एक exponent में पहुँचा देता है, जहाँ वह एक नज़र में पढ़ी जा सकती है। लेकिन एक ही संख्या को गुणांक गुणा दस की power के रूप में अनगिनत तरीक़ों से लिखा जा सकता है, इसलिए किसी नियम के बिना exponent का कोई मतलब नहीं और उससे दो मात्राओं की तुलना नहीं हो सकती। गुणांक को 1 से लेकर 10 तक के दायरे में बाँध देने से exponent अनोखा हो जाता है — और तभी वह आकार का वह माप बनता है जिसे देने के लिए यह पूरा notation है। यह नियम साफ़-सफ़ाई नहीं है; यही exponent को भरोसे लायक़ बनाता है।
आपको क्या आना चाहिए
- किसी बड़ी पूर्ण संख्या को scientific notation में बदलना, और वापस
- गुणांक पर लगी शर्त बताना और कहना कि notation को उसकी ज़रूरत क्यों है
- दिखाना कि किसी दी गई संख्या के गुणांक-और-power वाले कई रूप होते हैं पर standard form सिर्फ़ एक
- standard form में लिखी दो संख्याओं की तुलना पहले exponents मिलाकर करना
- समझाना कि exponent में बदलाव गुणांक में बदलाव से ज़्यादा मायने क्यों रखता है
- गुणांक में रखे गए अंकों की गिनती को इस बात का कथन मानकर पढ़ना कि मात्रा कितनी अच्छी तरह पता है
- standard form में दी गई कई मात्राओं में से सबसे छोटी कौन-सी है, बिना हिसाब किए तय करना
- ऐसी number line पर कोई मात्रा रखना जिसका दूर वाला सिरा standard form में दी गई दूसरी मात्रा हो
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ |
|---|---|---|---|
| scientific notation | किसी संख्या को गुणांक गुणा दस की power के रूप में लिखना | वैज्ञानिक संकेतन | इस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.31) |
| scientific form | उसी चीज़ का chapter का दूसरा नाम | वैज्ञानिक रूप | इस chapter में छपा (Part I pp.31–32) |
| standard form | उसी का chapter का तीसरा नाम, गुणांक वाली शर्त के साथ | मानक रूप | इस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.31) |
| coefficient | expression का वह हिस्सा जो दस की power नहीं है | गुणांक | इस chapter में छपा (Part I p.31); उस page पर सिर्फ़ "scientific notation or scientific form" और "standard form" मोटे अक्षरों में हैं |
| exponent | वह power जिस पर दस को उठाया गया है; यहाँ वह कोई भी integer हो सकता है | घातांक | इस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22) |
| integer | पूर्ण संख्या, positive, negative या zero | पूर्णांक | इस chapter में छपा (Part I pp.29, 31) |
| rounded-off estimate | ऐसी मात्रा के लिए chapter का शब्द जो अपने अंकों से कम अंकों में बताई गई हो | सन्निकट अनुमान | इस chapter में छपा (Part I p.32) |
| order of size | अकेला exponent, जिसे इस बात का माप माना जाए कि मात्रा कितनी बड़ी है | परिमाण कोटि | इस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "0.59 × 10⁴ ग़लत है।" यह हिसाब से सही है और chapter इसे छापता है। बस यह standard form में नहीं है। "ग़लत" और "तय रूप में नहीं" को अलग रखो — जो students दोनों को एक मान लेते हैं, वे नियम के पीछे का तर्क नहीं समझ पाते।
- "नियम 1 से 10 है, तो 10 × 10³ की इजाज़त है।" ऊपर वाला सिरा बाहर है; गुणांक को 10 से नीचे ही रहना है। अगर 10 की इजाज़त होती, तो 10000 के दो standard forms होते, 10 × 10³ और 1 × 10⁴, और exponent अनोखा नहीं रहता।
- "exponent zeros गिनता है।" वह गिनता है कि तुमने point को कितनी जगह खिसकाया। 5.9 × 10³ के गुणांक में एक भी zero नहीं है, और 20800 में तीन zeros हैं पर exponent 4 है।
- "गुणांक में ज़्यादा अंक मतलब ज़्यादा सटीक।" ज़्यादा अंक सटीकता का ज़्यादा बड़ा दावा है। जिस आबादी को तुम सिर्फ़ निकटतम हज़ार तक जानते हो, उसके लिए 1.42395 × 10⁵ लिखना precision नहीं, अपनी जानकारी के बारे में एक झूठा कथन है।
- "बड़ा गुणांक मतलब बड़ी संख्या।" सिर्फ़ एक ही exponent के अंदर। 9.9 × 10¹¹ छोटा है 1.1 × 10¹² से। हर बार पहले exponent देखो।
- "एक ही exponent वाली दो संख्याएँ लगभग बराबर होती हैं।" उनमें लगभग दस गुना तक का फ़र्क़ हो सकता है। chapter की सूरज–Saturn और Saturn–Uranus वाली दूरियों का exponent एक है और वे सच में पास-पास हैं; यह उन दो संख्याओं के बारे में तथ्य है, कोई नियम नहीं।
- "standard form बड़ी संख्याओं के लिए है।" exponent negative भी हो सकता है, और परिभाषा यह साफ़ कहती है। छोटी मात्रा भी इसी तरह लिखी जाती है।
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पूरा transcript1,856 शब्द
यहाँ 3 मात्राएँ हैं, और इनमें से किसी को भी ठीक-ठीक पढ़ पाना लगभग नामुमकिन है। और यही इस पूरी बात की जड़ है। पहली मात्रा metres में एक दूरी है, 3 के बाद पूरे 20 शून्य। यानी इस संख्या में कुल 21 अंक हैं। दूसरी मात्रा तारों की गिनती है, 1 के बाद 11 शून्य, यानी 12 अंक। तीसरी मात्रा kilograms में एक द्रव्यमान है, जो 5, 9, 7 और 6 से शुरू होता है।
उसके बाद 21 शून्य और आते हैं, यानी कुल 25 अंक। इन्हें आँख से मिलाने की कोशिश कीजिए, तो आप संख्याएँ नहीं मिला रहे होते। आप तो बस अंक गिन रहे होते हैं। और ऐसी बड़ी मात्रा के बारे में जो बात सच में जाननी है, कि वो कितनी बड़ी है, वो इसी गिनती में छिपी है। और लिखी हुई संख्या में यही गिनती देखना सबसे मुश्किल है। अब देखिए कि गिनती में एक छोटी सी चूक की कीमत क्या है।
मान लीजिए किसी दूरी को 50000 metres लिखना था, पर किसी ने 5000 metres पढ़ लिया। एक तरफ़ 5 के बाद 4 शून्य हैं, और दूसरी तरफ़ 5 के बाद 3 शून्य। दोनों में फ़र्क बस एक अंक का है। पर दूरी में पूरे 10 गुना का फ़र्क है। आप इन्हें दूसरी तरह भी लिख सकते हैं, 5 गुणा 10 की power 4 और 5 गुणा 10 की power 3 के रूप में।
दोनों में coefficient वही है, और exponent में बस 1 का फ़र्क है। और exponent में 1 का कदम हमेशा ठीक 10 गुना होता है। तो अंकों की उस गिनती को exponent में रख दीजिए, जहाँ वो एक नज़र में पढ़ी जा सके। यही पूरा विचार है, पर अभी ये काम नहीं करता। अब 5900 को अलग-अलग तरह से लिखकर देखिए। ये 590 गुणा 10 है, और ये सही है।
ये 59 गुणा 10 की power 2 के बराबर भी है, और ये भी सही है। ये 5 दशमलव 9 गुणा 10 की power 3 के बराबर है, ये भी बिल्कुल सही है। और ये 0 दशमलव 5 9 गुणा 10 की power 4 के बराबर है, ये भी सही है। यानी 4 coefficients, 4 exponents, पर संख्या एक ही है, और हर line सच है। पर ये दोनों हिस्से आपस में क्या कर रहे हैं?
देखिए, exponent जब 1 बढ़ता है, तो coefficient 10 से भाग हो जाता है। ये दोनों एक दूसरे के बदले चलते हैं, 3 में से 3 कदमों में। इनमें से कोई भी line ग़लत नहीं है, बस दशमलव की जगह अलग है। इसका मतलब है कि अकेला exponent आपको कुछ नहीं बताता। मैं इस संख्या के लिए लगभग कोई भी exponent चुन सकता हूँ, और हिसाब फिर भी सही रहेगा।
अगर 2 लोग एक ही मात्रा को अलग exponents से लिखें, तो exponent आकार नहीं नाप सकता। इसलिए coefficient पर एक बंदिश लगाइए। शर्त ये है कि coefficient कम से कम 1 हो, और 10 से छोटा हो। उन 4 lines में से कौन सी इस शर्त को मानती है? सिर्फ़ एक, 5 दशमलव 9 गुणा 10 की power 3 वाली। पहले वाले 590 और 59, दोनों coefficients 10 से बड़े हैं।
और 0 दशमलव 5 9 बहुत छोटा है, coefficient 1 से नीचे चला गया है। पर ये ग़लत नहीं है, बस तय किए गए रूप में नहीं है, और ये दोनों अलग बातें हैं। अब नियम का वो हिस्सा, जो बारीकी जैसा लगता है, पर है नहीं। शर्त है 10 से छोटा, 10 के बराबर भी नहीं। ऊपर वाले सिरे को बाहर क्यों रखा गया है? अब 1000 को इस नियम से लिखकर देखिए।
इस नियम से इसका बस एक रूप है, जो 1 गुणा 10 की power 3 वाला है। अगर coefficient 10 तक जा सके, तो एक दूसरा रूप भी मिल जाता है, 10 गुणा 10 की power 2 वाला। एक संख्या के 2 रूप, और exponent फिर से पक्का नहीं रहा। संख्याओं के एक पूरे समूह को ढीले नियम से जाँचिए, तो जिनके 2 रूप बनते हैं, वो ठीक 10 की powers ही हैं।
इन 17 संख्याओं में से 5 के 2 रूप निकले, और वो सब की सब 10 की powers हैं। तो बाहर रखा गया सिरा सिर्फ़ सफ़ाई के लिए नहीं है। यही रूप को अकेला बनाता है, और जो रूप अकेला न हो, वो कुछ नाप नहीं सकता। तो अब ये रहा वो पूरा रूप। एक coefficient, और उसे गुणा 10 की कोई power। पहला हिस्सा, coefficient, कम से कम 1 और 10 से छोटा होता है।
दूसरा हिस्सा, exponent, कोई भी पूरी संख्या हो सकती है, positive, negative या शून्य। इसके 3 नाम हैं, scientific notation, scientific form और standard form, और तीनों का मतलब यही है। इस रूप में 5900 को 5 दशमलव 9 गुणा 10 की power 3 लिखते हैं। और 20800 को 2 दशमलव 0 8 गुणा 10 की power 4 लिखते हैं। और 80 लाख को 8 गुणा 10 की power 6 लिखते हैं।
अब बीच वाले को ध्यान से देखिए। संख्या 20800 में 3 शून्य हैं, पर उसका exponent 4 है। असल में exponent शून्य नहीं गिनता, वो बताता है कि दशमलव कितनी जगह खिसका। अब इस रूप का कौन सा हिस्सा ज़्यादा ज़रूरी है? एक शहर की आबादी 2 करोड़ है, यानी 2 गुणा 10 की power 7 लोग। अब एक अंक बदलिए, 2 को 3 कर दीजिए। तो आबादी 3 करोड़ हो गई, यानी शहर 1 दशमलव 5 गुना हो गया।
अब 2 को वापस रखिए, और 7 को 8 कर दीजिए। अब आबादी सीधे 20 करोड़ हो गई। एक बदलाव ने शहर को 1 दशमलव 5 गुना किया, और दूसरे ने 10 गुना। और दोनों में बदला बस एक ही अंक। इसलिए इस रूप में लिखी मात्राओं की तुलना करते समय पहले exponent देखिए, हर बार। बड़े coefficient वाली संख्या भी छोटी हो सकती है। जैसे 9 दशमलव 9 गुणा 10 की power 11 लीजिए।
ये 1 दशमलव 1 गुणा 10 की power 12 से छोटी है, क्योंकि इसका exponent कम है। अब एक ऐसा सवाल, जो आम संख्याओं के बारे में कोई नहीं पूछता। आख़िर coefficient में कितने अंक रखने चाहिए? मान लीजिए किसी कस्बे की आबादी 142395 लिखी है। ऐसे लिखकर आपने दावा किया कि आप इसे आख़िरी इंसान तक जानते हैं। अगर आप बस इतना जानते हैं कि ये लगभग 142000 है, तो 1 दशमलव 4 2 गुणा 10 की power 5 लिखिए।
अगर बस लगभग 140000 पता है, तो 1 दशमलव 4 गुणा 10 की power 5 लिखिए। यहाँ 3 अंक का मतलब है कि आप आबादी को दोनों तरफ़ 500 के अंदर तक जानते हैं। और 2 अंक का मतलब है, दोनों तरफ़ 5000 के अंदर तक। ये अंक सजावट नहीं हैं, इनमें से हर अंक एक दावा है। ज़्यादा अंक का मतलब ज़्यादा सही होना नहीं, बल्कि एक बड़ा दावा है, और जिस दावे को आप साबित न कर सकें, वो सटीकता नहीं है।
इस पर एक चुटकुला है, जो असल में हिसाब का एक सवाल है। एक museum में कोई guide से पूछता है कि ये पुराना कंकाल कितना पुराना है। जवाब मिलता है, 7 करोड़ और 15 साल। जब मैंने यहाँ काम शुरू किया था, तब ये 7 करोड़ साल का था, और मुझे यहाँ 15 साल हो गए। पर 7 करोड़, जिसका बस पहला अंक पक्का है, 15 साल को देख ही नहीं सकता।
ऐसी रिपोर्ट 6 करोड़ 50 लाख और 7 करोड़ 50 लाख के बीच की किसी भी उम्र को अलग नहीं पहचान सकती। यानी ये दायरा पूरे 1 करोड़ साल चौड़ा है। जवाब 15 साल से तभी बदलेगा, जब उम्र के पहले 7 अंक पक्के हों। और इसका मतलब है उम्र को 5 साल के अंदर तक जानना। किसी कंकाल की उम्र कोई 5 साल के अंदर नहीं जानता, इसलिए वो 15 साल जोड़े ही नहीं जा सकते।
ये हिसाब की बात है, बाल की खाल निकालना नहीं। अब 3 दूरियाँ लीजिए, सब metres में। सूरज से शनि तक, 1 दशमलव 4 3 3 5 गुणा 10 की power 12 metres। शनि से यूरेनस तक, 1 दशमलव 4 3 9 गुणा 10 की power 12 metres। और सूरज से पृथ्वी तक, 1 दशमलव 4 9 6 गुणा 10 की power 11 metres। इनमें सबसे छोटी दूरी कौन सी है?
तीनों coefficients 1 दशमलव 4 से शुरू होते हैं, और एक जैसे दिखते हैं। तो इन्हें छोड़िए, और सिर्फ़ exponents पढ़िए। पढ़ें तो exponents आते हैं 12, 12 और 11, इसी क्रम में। जिसका exponent 11 है, वही सबसे छोटी है, और ये बिना किसी हिसाब के तय हो जाता है। बाकी दोनों का exponent एक ही है, इसलिए सिर्फ़ उनके coefficients देखने पड़ेंगे। सूरज से शनि का coefficient, 1 दशमलव 4 3 3 5, दूसरे वाले से छोटा है।
इसलिए उन दोनों में सूरज से शनि वाली दूरी छोटी है। अब एक line खींचिए, बाएँ सिरे पर सूरज, और दाएँ सिरे पर शनि। पृथ्वी इस line पर कहाँ आएगी? ज़्यादातर लोग इसे बीच के आसपास रखना चाहते हैं। पर exponents कुछ और ही कहते हैं। यहाँ exponents 12 और 11 हैं, यानी बस एक कदम का फ़र्क। और एक कदम का मतलब है 10 गुना। तो पृथ्वी line पर लगभग 1 बटा 10 की दूरी पर बैठती है, बाएँ सिरे के पास।
ठीक-ठीक देखें, तो ये 1 बटा 10 से ज़रा सा आगे है, पर 1 बटा 5 से काफ़ी पीछे। आपने कुछ भी हिसाब नहीं लगाया, बस एक अंक पढ़ा। ये वही है जो coefficient वाले नियम ने आपको दिया। अब 4 संख्याएँ बदलिए, और इनमें से एक में जाल छिपा है। पहली संख्या 59853 है, और दूसरी संख्या 65950 है। तीसरी संख्या 3430000 है, और चौथी 7004 करोड़। चाहें तो रुककर सोचिए, इन्हें standard form में कैसे लिखेंगे?
पहली संख्या बनती है 5 दशमलव 9 8 5 3 गुणा 10 की power 4 से। दूसरी बनती है 6 दशमलव 5 9 5 गुणा 10 की power 4 से। तीसरी बनती है 3 दशमलव 4 3 गुणा 10 की power 6 से। और चौथी बनती है 7 दशमलव 0 0 4 गुणा 10 की power 10 से। इस आख़िरी को ध्यान से देखिए, संख्या के आख़िर वाले शून्य exponent में चले जाते हैं और गायब हो जाते हैं।
पर बीच वाले शून्य कहीं नहीं जा सकते। उन्हें हटा दिया, तो 7 दशमलव 4 गुणा 10 की power 10 बनता है, जो 396 करोड़ ज़्यादा है, यानी बिल्कुल अलग मात्रा। तो अब पूरे नियम को एक साथ देखिए। नियम ये है, coefficient कम से कम 1 और 10 से छोटा, और exponent कोई भी पूरी संख्या। पहली नज़र में ये सिर्फ़ सफ़ाई का नियम लगता है। इसके बिना एक मात्रा के अनगिनत रूप होते हैं, और exponent बस किसी की मर्ज़ी होता है।
इसके साथ हर positive मात्रा का ठीक एक ही रूप होता है। और जब रूप एक ही हो, तो exponent वो चीज़ बन जाता है जिसके लिए ये पूरा तरीका बना, एक पढ़ने लायक संख्या जो बताती है कि कोई चीज़ कितनी बड़ी है। इसीलिए 3 दूरियों में सबसे छोटी चुनने के लिए कोई हिसाब नहीं चाहिए। और इसीलिए 7 करोड़ में 15 साल नहीं जोड़े जा सकते। ये नियम सफ़ाई नहीं है, ये वो चीज़ है जो exponent को भरोसे लायक बनाती है।
अगली बार कोई बहुत बड़ी संख्या दिखे, तो पहले पूछिए, इसका exponent क्या है?
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
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आगे फिर कहाँ आता है
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