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Chapter 2 · Power Play

Exponential notation: बार-बार का गुणा, एक बार में लिखा हुआ

Why powers grow so fast, and how to write them13 मिनट

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0.001 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2: ये सही है, पर इसे कोई पढ़ना नहीं चाहता। तो गिनती को ही लिख दीजिए, 2 की power 7, और मोटाई 0.128 सेंटीमीटर।

मुख्य idea

सात 2s लिखने की जगह 2⁷ लिखना आलसियों का shortcut नहीं है। यह factors की गिनती को उसका अपना symbol दे देता है, और जैसे ही गिनती ऐसी जगह बैठ जाती है जहाँ दिखे, बार-बार के गुणा के बारे में जो कुछ भी पूछना हो, वह उसी गिनती के बारे में सवाल बन जाता है। chapter यह notation दो तरह से कमाता है: power वह संख्या है जो किसी तय चीज़ को बार-बार गुणा करने से मिलती है, और वह यह भी है कि बार-बार किया गया चुनाव कितने तरीक़ों से निकल सकता है — राजा के पेड़ की शाखाएँ और ताले की settings एक ही हिसाब हैं, बस दूसरे सिरे से देखे हुए। base बताता है कि क्या दोहराया जा रहा है; exponent गिनता है कि कितनी बार; और यही बँटवारा आगे के हर नियम को मुमकिन बनाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बराबर factors के गुणनफल को exponential form में दोबारा लिखना, और exponential form को फिर से गुणनफल में खोलना
  • दी गई power का base और exponent बताना, और power को उन तरीक़ों से बोलकर पढ़ना जिन्हें chapter मानता है
  • division ladder के बाद किसी संख्या का prime factorisation exponential form में लिखना
  • negative base वाली power का मान निकालना और exponent से sign का अंदाज़ा लगाना
  • संख्याओं की एक ही जोड़ी के लिए बार-बार जोड़ने और बार-बार गुणा करने में फ़र्क़ करना
  • दो अलग letters की powers का गुणनफल लिखना, जैसे a³b², और उसे बोलकर पढ़ना
  • ऐसी शाखाओं वाली बनावट की पत्तियाँ गिनना जिसमें हर node उतने ही तरीक़ों से बँटता है, और गिनती को power के रूप में लिखना
  • तय slots और विकल्पों वाले ताले की settings गिनना, और गिनती को power के रूप में लिखना
  • किसी स्थिति में power क्या गिनती है यह बताना, सिर्फ़ उसका मान निकालना नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
exponential formबराबर factors का गुणनफल, जो exponent वाले base के रूप में लिखा गया होचरघातांकी रूपइस chapter में छपा (Part I p.22)
exponential notationउस रूप को लिखने का तरीक़ाचरघातांकी संकेतनइस chapter में छपा, §2.2 के शीर्षक में और Part I p.22 पर
baseवह संख्या जिसे ख़ुद से गुणा किया जा रहा हैआधारइस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22)
exponentbase कितनी बार factor के रूप में आता है, उसकी गिनतीघातांकइस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22)
powerexponent के लिए chapter का दूसरा शब्द, और पूरे expression के लिए भीघातइस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22)
letter-numberकिसी expression में संख्या की जगह खड़ा letterअक्षर-संख्याइस chapter में छपा (Part I pp.22, 24)
prime factorsवे primes जिनका गुणनफल वह संख्या हैअभाज्य गुणनखंडइस chapter में छपा (Part I pp.22–23)
squared / cubedexponent 2 और exponent 3 के लिए रखी गई पढ़तेंवर्ग / घनइस chapter में छपा (Part I pp.21–22)
branch countराजा के पेड़ का एक node कितने तरीक़ों से बँटता है, वह संख्याशाखा संख्याइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, chapter पेड़ बनाता है और सिर्फ़ उसके levels पर नाम लिखता है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "exponent बताता है कि कितनी बार गुणा करना है।" वह बताता है कि कितने factors हैं। गुणा उससे एक बार कम होता है, इसीलिए 2¹ का मान 2 है, 4 नहीं। "कितने 2s" वाली भाषा student को इस जाल से बचाए रखती है, इसलिए समझाते समय उसी को चुनो। लेकिन उनसे यह मत कहो कि दूसरी भाषा ग़लत है: chapter ख़ुद nᵃ को n को ख़ुद से a बार गुणा करना लिखता है, Part I p.22 पर और फिर Part I p.46 वाली SUMMARY में, और exam में यही शब्द आएँगे। सुरक्षित रूप सिखाओ, और साफ़ कहो कि किताब के रूप का मतलब भी वही है, बशर्ते तुम operations नहीं, factors गिनो।
  • **"nᵃ का मतलब n × a है।"** chapter यह जाल छह विकल्पों वाले सवाल के विकल्प (i) और (iii) के रूप में page पर रखता है, और फिर उस पंक्ति में जो 4 + 4 + 4 की तुलना 4 × 4 × 4 से करती है। दोनों का हिसाब करके दिखाओ।
  • "negative base से जवाब negative आता है।" सिर्फ़ odd exponent के लिए। chapter (−1)⁵ और (−1)⁵⁶ अगल-बगल इसीलिए पूछता है कि फ़ैसला exponent के सम-विषम होने से हो, base के sign से नहीं।
  • "(−2)⁴ और −2⁴ एक ही चीज़ हैं।" नहीं हैं, और (−2)⁴ = 16 जाँचने को कहने वाली chapter की माँग इन्हें अलग करने की सही जगह है। brackets पूरा वज़न उठाते हैं।
  • "exponential form वाला prime factorisation कोई अलग factorisation है।" यह primes की वही सूची है, बस गिनी हुई। दोनों तरह से 32400 के दस prime factors हैं।
  • "पेड़ का जवाब 3 × 4 है।" तीन-तीन शाखाओं वाले चार levels से 3⁴ मिलता है, 12 नहीं। पेड़ वह चित्र है जिससे यह ग़लती नामुमकिन हो जाती है, इसीलिए उसे बनाकर देखना चाहिए, सिर्फ़ शब्दों में नहीं।
  • "ज़्यादा slots वाला ताला ज़्यादा symbols वाले ताले से सुरक्षित है।" दोनों मदद करते हैं, पर बराबर नहीं — Estu का 6-slot letters वाला ताला 5-slot digits वाले ताले के सामने ठीक यही तुलना माँगता है। इसे सवाल रहने दो, फ़ैसला नहीं।
  • "1,00,000 passwords का मतलब 1,00,000 कोशिशें।" chapter कहता है कि ताला आख़िरी वाले पर खुला, इसलिए कोशिशों की गिनती passwords की गिनती के बराबर सिर्फ़ सबसे बुरी हालत में होती है। इस पर एक वाक्य काफ़ी है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2.2 Q1, Figure it Out · 2.2 Q2, Figure it Out · 2.2 Q3, Figure it Out · 2.5 Q9, Figure it Out · 2.5 Q11, Figure it Out · 2.5 Q12

पूरा transcript1,999 शब्द

एक काग़ज़ लीजिए जो 0.001 सेंटीमीटर मोटा है, और उसे 7 बार आधा मोड़िए, तब वो कितना मोटा होगा? पूरा लिखें तो 0.001 सेंटीमीटर, गुणा 2, गुणा 2, गुणा 2, गुणा 2, गुणा 2, गुणा 2, और गुणा 2 आता है। ये सही है, पर इसे कोई लिखना नहीं चाहता। और इससे भी बुरा, इसे कोई पढ़ना नहीं चाहता। जो लिखा है वो समझने के लिए आपको 2 गिनने पड़ते हैं, और अगर एक 2 कम लिखा होता, तो आपको पता भी नहीं चलता।

इसलिए हम गिनती को ही लिख देते हैं। यानी 2 की power 7, और मोटाई निकलती है 0.128 सेंटीमीटर। और उस 7 के बारे में एक बात ध्यान देने लायक है। वो 7 सवाल में पहले से मौजूद था, उस लंबी पंक्ति की लंबाई में छिपा हुआ, जहाँ उसे कोई देख नहीं पाता था। नई लिखावट में वो गिनती सामने आ जाती है, एक छोटी संख्या बनकर, ऊपर कोने में।

इसके 2 रूप आप पहले से जानते हैं, बस पूरे विचार के बिना। किसी चीज़ की 2 copies का गुणा करें, तो उसे square कहते हैं। और 3 copies का गुणा cube कहलाता है। और वहाँ रुकने की कोई वजह नहीं है। अब n की 4 copies का गुणा करें, तो वो n की power 4 है। और n की 7 copies हों, तो वो n की power 7 कहलाता है।

और अगर गिनती पता न हो, तो उसे a कह दीजिए, और लिखिए n की power a। अब ध्यान से देखिए कि वो छोटी संख्या असल में गिनती किसकी करती है। वो गुणनखंडों को गिनती है, यानी पंक्ति में n कितने खड़े हैं। वो ये नहीं गिनती कि आपने कितनी बार गुणा किया। गुणा उससे एक बार कम होता है, क्योंकि 7 गुणनखंडों के बीच 6 गुणा के चिह्न होते हैं।

इसीलिए n की power 1 बस n है, n गुणा n नहीं। वैसे n को a बार ख़ुद से गुणा करना, ये वाक्य भी आपको मिलेगा, और गुणनखंड गिनें तो उसका मतलब भी यही है। अब 5 की power 4 लेते हैं। खोलकर लिखें तो ये 5 गुणा 5 गुणा 5 गुणा 5 है, जिसका जवाब 625 आता है। नीचे वाले 5 का नाम base है, वो बताता है कि किसे दोहराया जा रहा है।

कंधे पर बैठे 4 का नाम exponent है, वो गिनता है कि कितनी बार। इस exponent को power भी कहते हैं, और पूरे 5 की power 4 को भी power ही कहा जाता है। इस तरह लिखा गया 625, exponential form में है। इसे पढ़ने के कई तरीके हैं, 5 raised to the power 4, 5 की power 4, या 5 की चौथी power। सबका मतलब एक ही है, 5 की 4 copies का गुणा।

और 5 की powers का पूरा परिवार भी है, 5, 25, 125 और 625 तक। और एक जानी पहचानी संख्या यहाँ लौट आती है। याद कीजिए, 2 की 10 copies का गुणा, यानी 2 की power 10, 1024 होता है। काग़ज़ को 10 बार मोड़ें, तो उसकी मोटाई में भी यही 1024 इकाइयाँ आती हैं। अब एक सवाल, जिसे पहले ग़लत करना फ़ायदेमंद है। शुरुआती मोटाई को v कहिए। बताइए, 10 मोड़ों के बाद मोटाई इनमें से कौन सी है?

पहला विकल्प 10 v, दूसरा 10 जोड़ v, और तीसरा 2 गुणा 10 गुणा v है। चौथा 2 की power 10, पाँचवाँ 2 की power 10 गुणा v, और छठा 10 का square गुणा v है। मोटाई को 0.001 सेंटीमीटर की इकाइयों में गिनें, तो हमारे काग़ज़ के लिए v बराबर 1 है। तब ये 6 विकल्प देते हैं 10, 11, 20, 1024, 1024 और 100 इकाइयाँ। इनमें से 2 सही जवाब पर पहुँचते हैं, इसलिए हमारा काग़ज़ इनमें फ़ैसला नहीं कर सकता।

तो काग़ज़ बदल दीजिए, और v को 3 इकाई कर दीजिए। अब जवाब आते हैं 30, 13, 60, 1024, 3072 और 300 इकाइयाँ। और अब सिर्फ़ एक ही सही बचता है, 2 की power 10 गुणा v। अकेला 2 की power 10 एक कोरी संख्या है, जबकि यहाँ जवाब में मोटाई आनी चाहिए। और 2 से 100 तक कोई भी v लीजिए, बचता हर बार यही एक विकल्प है। इन ग़लत जवाबों में से कई के पीछे एक ही उलझन है।

अगर 4 को 3 बार जोड़ें, तो 12 आता है। पर 4 की 3 copies का गुणा करें, तो 64 आता है। वही 2 संख्याएँ, और जवाब एक दूसरे के आसपास भी नहीं। यानी n गुणा a, n की power a नहीं है। अगर 1 से 10 तक की हर जोड़ी जाँचें, तो ये सिर्फ़ 2 हालात में बराबर होते हैं। पहला, जब exponent 1 हो, जो असल में कोई मामला ही नहीं।

दूसरा 2 का square, जहाँ 2 और 2 को जोड़ें या गुणा करें, जवाब 4 ही आता है। शायद यही एक संयोग इस उलझन की जड़ है। पर ये संयोग है, और इसके अलावा ऐसा कोई और नहीं। और अगर base ऋणात्मक हो, तो क्या होगा? मान लीजिए base minus 4 है, और उसकी 3 copies हैं। पहले minus 4 गुणा minus 4 से 16 आता है, और फिर minus 4 से गुणा करने पर minus 64 मिलता है।

यानी ऋणात्मक base से ऋणात्मक जवाब आ सकता है। पर हमेशा नहीं, और फ़ैसला base नहीं करता। देखिए, minus 1 की power 5, minus 1 है। पर minus 1 की power 56, plus 1 है। जवाब का sign exponent तय करता है, odd हो तो minus, even हो तो plus, और ये हर ऋणात्मक base के लिए सच है। यहाँ brackets भी असली काम करते हैं। जब minus 2 bracket में हो, तो उसकी power 4, plus 16 है।

पर जब minus bracket के बाहर हो, तो 2 की power 4 पहले बनती है, और जवाब minus 16 आता है। क्योंकि वो minus कभी दोहराने में शामिल ही नहीं हुआ। और शून्य की कितनी भी copies का गुणा करें, जवाब शून्य ही रहता है। ये लिखावट असली काम prime factors में दिखाती है। अब 32400 लीजिए, और उसमें से primes निकालते जाइए। पहले उसे 4 बार आधा कीजिए, यानी 2 से 4 बार भाग दीजिए।

फिर 3 निकालिए, वो भी पूरे 4 बार। फिर 5 निकालिए, 2 बार, और आप 1 पर पहुँच जाते हैं। कुल मिलाकर 10 prime factors निकले। सीधा लिखें तो ये 10 संख्याओं की एक लंबी पंक्ति है। गिनकर लिखें तो ये है 2 की power 4, गुणा 3 की power 4, गुणा 5 का square। और primes किस क्रम में निकालें, उससे जवाब नहीं बदलता। अगर 3 से पहले 5 निकालें, तो रास्ते में 405 और 81 जैसी अलग संख्याएँ आती हैं।

रास्ता अलग है, पर वही 10 primes ख़र्च होते हैं, और आख़िर में वही 3 गिनतियाँ। इसी तरह 3600 को लिखें, तो 2 की power 4, गुणा 3 का square, गुणा 5 का square आता है। और letters भी यही लिखावट बिना बदले अपना लेते हैं। यानी a की 3 copies और b की 2 copies, सबका गुणा, लिखा जाता है a का cube b का square। यानी कुल 5 गुणनखंड, 3 एक चीज़ के और 2 दूसरी के।

दोनों गिनतियाँ अलग रहती हैं, क्योंकि दोनों base अलग चीज़ें हैं। अब इनमें संख्याएँ रखकर देखिए कि क्या होता है। मान लीजिए a बराबर 2 और b बराबर 5 है, तो a का cube b का square 200 होता है। गिनतियाँ बदल दें, a का square और b की power 4, तो वही letters 2500 देते हैं। और ये दोनों तभी बराबर होते हैं जब a, b का square हो, जैसे a बराबर 4 और b बराबर 2 हो।

यानी letters वही, गिनतियाँ अलग, और गिनतियाँ ही पूरी बात थीं। अब power का दूसरा रूप, जो पहली नज़र में बिल्कुल अलग लगता है। एक राजा की 3 बेटियाँ थीं। हर बेटी के पास 3 टोकरियाँ थीं। हर टोकरी में 3 चाबियाँ रखी थीं। हर चाबी से 3 कमरे खुलते थे। हर कमरे में 3 मेज़ें, हर मेज़ पर 3 हार, और हर हार में 3 हीरे। तो बताइए, कुल कितने हीरे हैं?

अभी कुछ गुणा मत कीजिए, पहले levels गिनिए। बेटियाँ 3, और हर एक की 3 टोकरियाँ, तो कुल 9 टोकरियाँ। इसी तरह चाबियाँ 27 हो जाती हैं, और कमरे 81 बन जाते हैं। आगे मेज़ें 243 और हार 729 होते हैं। हर level पर गिनती 3 गुना होती है, और असल में आप levels गिन रहे हैं। कुल 7 levels हैं, इसलिए 3 की power 7, यानी 2187 हीरे। यहाँ रुकिए, क्योंकि यहाँ कुछ भी दुगुना नहीं हुआ।

यहाँ कोई चीज़ बढ़ी भी नहीं। हमने गिना कि बार बार किया गया एक चुनाव कितने तरह से हो सकता है। हर हीरा पेड़ में ऊपर से नीचे तक एक रास्ता है, और कोई 2 हीरे एक रास्ता साझा नहीं करते। हर level पर 3 विकल्प, और ये चुनाव 7 बार। और इसमें छिपा हुआ जाल देखिए। जहाँ हर level 3 में बँटता हो, वहाँ 4 levels का मतलब 3 गुणा 4 नहीं है।

क्योंकि 3 गुणा 4 तो बस 12 है। जबकि 3 की power 4 का जवाब 81 है। जब कोई बँटती हुई कहानी मिले, तो levels की गिनती exponent होती है, गुणा करने वाली संख्या नहीं। यही गिनती एक ताले को भी चलाती है। मान लीजिए ताले में 2 अंक हैं, पहले अंक के 10 विकल्प, दूसरे के भी 10, तो कुल 100 settings। अगर 3 अंक हों, तो उन 100 में से हर एक के आगे 10 तीसरे अंक लग सकते हैं, यानी कुल 1000 settings।

और 5 अंकों के ताले में 10 की power 5, यानी 1 लाख settings होती हैं। यानी हर वो 5 अंकों वाली लिखावट, जिसमें शुरू के शून्य भी गिने जाएँ, न एक ज़्यादा, न एक कम। अगर ताला आख़िरी setting पर खुले, तो सबसे बुरे हाल में 1 लाख कोशिशें लगेंगी। अब slots में letters रखिए, A से Z तक, यानी 26 letters। ऐसे 6 slots हों, तो 26 की power 6, यानी 30 करोड़ से भी ज़्यादा settings।

ये 5 अंकों वाले ताले से 3000 गुना से भी ज़्यादा है। पर ज़्यादा slots हमेशा बेहतर चाल नहीं है। देखिए, 5 letters वाले slots से 1 करोड़ 18 लाख से ज़्यादा settings बनती हैं, जबकि 6 अंक वाले slots से सिर्फ़ 10 लाख। और एक सावधानी भी ज़रूरी है। जैसे 4 कपड़े और 3 टोपियाँ हों, तो टोपी के हिसाब से 4 जोड़ 4 जोड़ 4, और कपड़े के हिसाब से 3 जोड़ 3 जोड़ 3 जोड़ 3, दोनों तरफ़ से 12 बनते हैं।

किसी के पास 7 कपड़े, 2 टोपियाँ और 3 जोड़ी जूते हों, तो पहनने के 42 तरीके बनते हैं, और 42 किसी चीज़ की power नहीं है। यानी power वो ख़ास हालत है जहाँ हर चुनाव में विकल्पों की गिनती बराबर हो। तो power 2 चीज़ें है, और आख़िर में वो एक ही निकलती हैं। एक, किसी तय संख्या को ख़ुद से तय बार गुणा करने का नतीजा। दूसरी, बार बार दोहराए गए चुनाव के नतीजों की गिनती।

मुड़ा हुआ काग़ज़ और राजा के हीरे एक ही हिसाब हैं, बस उल्टे सिरों से देखे गए। दोनों को चलाने वाली चीज़ है ये बँटवारा। यहाँ base बताता है कि क्या दोहराया जा रहा है। और exponent गिनता है कि कितनी बार। और जब वो गिनती एक चिह्न बनकर सामने बैठ जाए, तो बार बार गुणा का हर सवाल एक ऐसी संख्या का सवाल बन जाता है जिसे आप उँगली से दिखा सकें।

अगली बार कोई लंबी गुणा वाली पंक्ति दिखे, तो पहले गिनिए कि क्या दोहराया गया और कितनी बार। तो exponent पर नज़र रखिए, असली खेल उसी में है। आख़िर में कुछ ऐसे मान, जिन्हें आप ख़ुद निकाल सकते हैं। पहला, 2 गुणा 10 का cube, जो 2000 है। दूसरा, 7 का square गुणा 2 का cube, जो 392 है। तीसरा, 3 गुणा 4 की power 4, जो 768 बनता है।

अब एक सवाल जिसमें sign छिपा है, minus 3 का square गुणा minus 5 का square। दोनों exponent even हैं, इसलिए जवाब plus 225 है। और minus 2 की power 5 गुणा minus 10 की power 6 में, पहला exponent odd है और दूसरा even। इसलिए जवाब minus में है, यानी minus 3 करोड़ 20 लाख। दोनों sign वाले सवालों में, sign सिर्फ़ exponents ने बताया।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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