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Chapter 2 · Power Play

Power line पढ़ना: पैमाने पर चलने जैसा गुणा

The other side of powers12 मिनट

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4 की powers को बराबर दूरी पर एक line में खड़ा कीजिए, और गुणा एक कदम बन जाता है: एक पायदान ऊपर मतलब 4 से गुणा, एक नीचे मतलब 4 से भाग।

मुख्य idea

किसी एक संख्या की लगातार powers को एक line पर बराबर फ़ासले पर रख दो, और गुणा कोई operation नहीं रह जाता, एक चाल बन जाता है। base से गुणा करना एक step है; उसके square से गुणा करना दो steps; भाग देना वही steps उलटी दिशा में। इसीलिए इतने अलग दिखने वाले expressions ठीक एक ही पायदान पर पहुँचते हैं — वे एक ही जगह तक जाने के अलग रास्ते हैं — और इसीलिए "कितने गुना बड़ा" का फ़ैसला values का भाग करके नहीं, पायदान गिनकर होता है। exponents पते हैं; पिछले section के नियम बस चलने का हिसाब हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • चुने हुए base की powers की line बनाना, exponents क्रम में रखकर
  • उस line पर दी गई power ढूँढ़ना और उसका मान पढ़ना
  • base से गुणा को एक पायदान की चाल समझना, और base की किसी power से गुणा को उतने पायदानों की चाल
  • दिखाना कि कई अलग expressions एक ही पायदान पर पहुँचते हैं, और बताना क्यों
  • साझा base वाली दो powers के लिए exponents घटाकर "कितने गुना बड़ा" निकालना
  • line को exponent 0 से नीचे बढ़ाना और reciprocal values सही जगह रखना
  • गुणनफल और भागफल मिले सवाल का जवाब हिसाब लगाकर नहीं, छपी हुई line पर चलकर देना
  • समझाना कि values बराबर फ़ासले पर नहीं हैं, फिर भी पायदान बराबर फ़ासले पर क्यों हैं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
power lineऐसी line जिस पर एक base की लगातार powers बराबर फ़ासले पर होंघात रेखाइस chapter में छपा, उप-शीर्षक के रूप में और फिर Part I p.30 पर
baseवह संख्या जिसकी powers line पर हैंआधारइस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22)
exponentहर पायदान पर लिखा नाम; line पर किसी जगह का पता भीघातांकइस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22)
times largerभाग से की गई तुलना के लिए chapter की भाषागुना बड़ाइस chapter में छपा (Part I p.30)
rungline पर नाम लिखी एक जगहपायदानइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, chapter जगहें बनाता है पर किसी को नाम नहीं देता
scaleऐसी line जिसके पायदान गिनती की तरह नहीं, जगहों की तरह पढ़े जाते हैंपैमानाइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा
ratioदो values का quotient, उनके difference के मुक़ाबलेअनुपातइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, chapter भाग करता है पर उस मात्रा को नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "यह line number line है, इसलिए values बराबर फ़ासले पर हैं।" नहीं हैं, और हो भी नहीं सकतीं — 1 और 4 बाल भर की दूरी पर होते जबकि 16384 और 65536 के लिए आधा kilometre चाहिए होता। बराबर फ़ासले पर exponent है। line पहली बार सामने आए तभी यह साफ़-साफ़ कह दो, वरना students उस पर से बीच की values पढ़ने की कोशिश करेंगे।
  • "सोलह गुना बड़ा मतलब सोलह ज़्यादा।" chapter की भाषा इस ग़लती को न्योता देती है। सोलह गुना बड़ा गुणा है; सोलह ज़्यादा जोड़ है। एक बार 1024 + 16 को 1024 × 16 के बगल में रखो।
  • "line पर नीचे जाने का मतलब घटाना है।" नीचे जाना भाग देना है। figure की पूरी बात यही है कि हर चाल गुणा या भाग है, कभी जोड़ या घटाना नहीं — भले ही exponents जुड़ते और घटते हैं।
  • "4⁰ एक ख़ास हालत है जो line को तोड़ देती है।" यह बाक़ी हर पायदान की तरह बराबर फ़ासले पर बैठता है, 4¹ और 4⁻¹ के बीच, मान 1 के साथ। chapter इसे जान-बूझकर ऐसे बनाता है, ठीक यह साबित करने के बाद कि ऐसा क्यों है।
  • "4⁰ से नीचे के पायदान किसी और तरह की चीज़ हैं।" वे वही step वाला नियम मानते हैं। 1 से एक पायदान नीचे जाना 4 से भाग देना है और चौथाई देता है, ठीक वैसे ही जैसे 4 से एक पायदान नीचे जाने पर 1 मिलता है।
  • "अलग expressions का एक पायदान पर पहुँचना संयोग है।" यह पिछले section के तीनों नियम हैं, चित्र में। बाईं तरफ़ के तीनों expressions को line पर रास्तों की तरह चलकर देखो, bracket ख़ुद अपनी बात समझा देता है।
  • "सवालों के जवाब के लिए values चाहिए।" exponents चाहिए। 7-line पर 2,401 × 49 का जवाब पायदान गिनकर मिलता है, और फिर value पढ़ी जाती है — students जिस क्रम की उम्मीद करते हैं, उसका उलटा।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,667 शब्द

एक संख्या लीजिए, मान लीजिए 4, और उसकी powers को एक खड़ी line में लिखिए। सबसे ऊपर 4 की power 8 रखिए। फिर उसके नीचे power 7, power 6, power 5, और ऐसे ही नीचे चलते जाइए। फिर 4 की power 1, 4 की power शून्य, और उसके नीचे भी चलते रहिए, 4 की power minus 1 और 4 की power minus 2 तक। इस तरह कुल 11 पायदान बनते हैं।

अब एक ज़रूरी बात, और ये कोई तथ्य नहीं, एक फ़ैसला है। हर पायदान को बराबर दूरी पर रखिए। हर पायदान अपने पड़ोसी से ठीक उतनी ही दूर है, ऊपर से नीचे तक। इस फ़ैसले को याद रखिए, क्योंकि आख़िर में यही अकेला समझदार फ़ैसला लगेगा। अब दाईं तरफ़ लिखिए कि हर power की value क्या है। सबसे ऊपर 65536 आता है। उसके नीचे 16384, फिर 4096, और फिर 1024 आता है।

फिर 256, 64, 16 और 4 आते हैं। और power शून्य पर value 1 है। उसके नीचे 1 बटा 4, और फिर 1 बटा 16 आता है। अब इन दोनों columns को साथ में देखिए। बाईं तरफ़ exponents बराबर दूरी पर हैं। पर दाईं तरफ़ की values बराबर दूरी वाली बिल्कुल नहीं हैं। ये कोई साधारण number line नहीं है, और पायदानों के बीच से कोई value नहीं पढ़ी जा सकती।

अब देखिए, ये तस्वीर आपको क्या देती है। किसी भी पायदान पर एक गोटी रखिए, और उसे एक पायदान ऊपर ले जाइए। जैसे 16 से एक पायदान ऊपर जाएँ, तो 64 आता है। और 64 से एक पायदान ऊपर 256 आता है। हर बार, एक पायदान ऊपर जाना 4 से गुणा करना है। और एक पायदान नीचे आना 4 से भाग देना है। जैसे 256 से नीचे 64, और 64 से नीचे 16 आता है।

ध्यान दीजिए, नीचे आना घटाना नहीं, भाग देना है। तो इस line पर गुणा करना कोई हिसाब नहीं, बस एक कदम है। यही पूरा विचार है, और आज की बाक़ी हर बात इसी से निकलती है। अगर एक पायदान 4 है, तो 2 पायदान क्या होंगे? यानी 4 गुणा 4, जो 16 है। तो 2 पायदान ऊपर जाना 16 से गुणा है, और 2 पायदान नीचे आना 16 से भाग है।

अब इसे होते हुए देखिए। गोटी को 4096 पर रखिए, और 2 पायदान ऊपर ले जाइए। वो सीधे 65536 पर पहुँचती है। ये 16 से गुणा है, और किसी ने कोई गुणा किया ही नहीं। अब उल्टी तरफ़, 64 से 2 पायदान नीचे जाइए, तो 4 आता है। यानी यहाँ 16 से भाग हुआ है। और 65536 से एक पायदान नीचे 16384 है, यानी 4 से भाग। और 4 से एक पायदान ऊपर 16 है, यानी 4 से गुणा।

गुणा कितना बड़ा है, ये पूरी तरह इस पर निर्भर है कि आप कितनी दूर चले। अब कुछ ऐसा देखिए जो संयोग लगता है, पर है नहीं। यहाँ पर 3 अलग अलग expressions हैं। पहला, 4 की power 8 को 4 के cube से भाग। दूसरा, 4 का cube गुणा 4 का square। तीसरा, 4 की power 7 को 4 की power minus 2 से गुणा। ये एक जैसे बिल्कुल नहीं दिखते, और हर एक के लिए अलग नियम चाहिए।

पर देखिए कि हर एक कहाँ पहुँचता है। पहले में 8 में से 3 घटाइए, तो 5 बचता है। दूसरे में 3 और 2 जोड़िए, तो 5 बनता है। तीसरे में 7 और minus 2 जोड़िए, तो भी 5 बनता है। तीनों एक ही पायदान पर पहुँचते हैं, क्योंकि तीनों एक ही सफ़र को अलग अलग तरह से बताते हैं। ये संयोग नहीं है, ये पिछले नियम ही हैं, जो line पर रास्तों की तरह दिखते हैं।

अब यही तीनों सीधी संख्याओं में लिखिए, तो रहस्य ख़त्म हो जाता है। पहला, 65536 भाग 64 है। दूसरा, 64 गुणा 16 है। तीसरा, 16384 गुणा 1 बटा 16 है। और तीनों बार जवाब 1024 आता है। अब देखिए कि क्या नहीं हुआ, इनमें से किसी का हिसाब नहीं लगाना पड़ा। इनकी हर संख्या पहले से line पर बैठी है। देखिए, 65536 से 3 पायदान नीचे, 64 से 2 पायदान ऊपर, और 16384 से 2 पायदान नीचे, तीनों रास्ते 1024 पर रुकते हैं।

तो हर सवाल बस एक शुरू का पायदान, कुछ कदम, और एक आख़िरी पायदान है। जवाब line से पढ़ लिया जाता है, उसे निकालना नहीं पड़ता। शून्य वाले पायदान के नीचे के पायदान लोगों को परेशान करते हैं, तो उन्हें ध्यान से देखिए। नीचे जाकर भी कुछ नहीं बदलता। देखिए, 4 से एक पायदान नीचे 1 आता है। और 1 से एक पायदान नीचे 1 बटा 4 आता है। और 1 बटा 4 से एक पायदान नीचे 1 बटा 16 आता है।

वही कदम, वही दूरी, वही नियम, हर बार 4 से भाग। यहाँ 1 वाला पायदान कोई दीवार नहीं है, और कोई ख़ास मामला भी नहीं। वो 4 और 1 बटा 4 के ठीक बीच में है, दोनों से बराबर दूरी पर। और ऐसा होना ही चाहिए, क्योंकि 4 से 1 तक का कदम भी 4 से भाग है, और 1 से 1 बटा 4 तक का कदम भी। अब एक सवाल, जो अक्सर ग़लत तरीके से पूछा जाता है।

क्या 16384, 1024 का 16 गुना है? आप भाग देकर देख सकते हैं। या फिर आप पायदान गिन सकते हैं। दोनों के बीच 2 पायदान हैं, और 2 पायदान का मतलब 16 है। तो जवाब है, हाँ, ठीक 16 गुना। और अब शब्दों के जाल पर रुकिए। किसी का 16 गुना होना, उससे 16 ज़्यादा होने जैसा नहीं है। अगर 1024 में 16 जोड़ें, तो 1040 बनता है। पर 1024 को 16 से गुणा करें, तो 16384 बनता है।

ये दोनों एक दूसरे के आसपास भी नहीं हैं। अब एक ऐसा सवाल, जो बीच के शून्य को पार करता है। बताइए, 4 का square, 4 की power minus 2 का कितना गुना है? इसके लिए values की ज़रूरत ही नहीं है। बस पायदान गिनिए, और कुछ नहीं। नीचे minus 2 से ऊपर 2 तक, पूरे 4 कदम हैं। और 4 कदम का मतलब है 4 को 4 बार गुणा करना, यानी 256 गुना।

चाहें तो जाँच लीजिए, 16 को 1 बटा 16 से भाग दें, तो 256 आता है। पर जाँचना तरीका नहीं है। तरीका था गिनना, और उसे कोई फ़र्क नहीं पड़ा कि रास्ता शून्य वाले पायदान से होकर गया। इसमें 4 की कोई ख़ास बात नहीं थी। यही चीज़ अब 7 के लिए बनाइए। सबसे ऊपर 7 की power 7 है, जिसकी value 823543 है। फिर उसके नीचे 117649 आता है, और उसके बाद 16807 आता है।

फिर 2401, 343, 49, 7 और 1 आते हैं। और नीचे 1 बटा 7, 1 बटा 49, 1 बटा 343, और 1 बटा 2401 आते हैं। कुल 12 पायदान, बराबर दूरी पर, बिल्कुल पहले की तरह। बस एक कदम का आकार बदला है। अब एक पायदान का मतलब 7 से गुणा है। ध्यान दीजिए, 4 वाली line और 7 वाली line एक ही तरह बनी हैं, सिर्फ़ base अलग है।

अब यहाँ 8 सवाल हैं, और देखना ये है कि इनमें कितना कम हिसाब लगता है। पहला सवाल है 2401 गुणा 49 का। ये पायदान 4 और पायदान 2 हैं, तो जवाब पायदान 6 पर है, यानी 117649 आता है। दूसरा सवाल है 49 का cube। यहाँ 49 पायदान 2 पर है, और cube का मतलब ऐसे 3 कदम, तो फिर से पायदान 6, वही जवाब, अलग रास्ते से। तीसरा, 343 गुणा 2401, यानी पायदान 3 और पायदान 4, तो पायदान 7, यानी 823543 आता है।

चौथा, 16807 भाग 49, यानी 5 में से 2 घटाइए, पायदान 3, यानी 343 आता है। पाँचवाँ, 7 भाग 343, यानी 1 में से 3 घटाइए, पायदान minus 2, यानी 1 बटा 49 आता है। छठा, 16807 भाग 823543, यानी 5 में से 7 घटाइए, फिर से पायदान minus 2, वही जवाब। सातवाँ, 117649 गुणा 1 बटा 343, यानी 6 में से 3 घटाइए, पायदान 3, जो 343 है। इन सवालों की हर संख्या पहले से line पर लिखी है, इसलिए कोई बड़ा गुणा नहीं करना पड़ता।

और आख़िरी सवाल सबसे दिलचस्प है। आठवाँ, 1 बटा 343 को उसी से गुणा कीजिए। यहाँ minus 3 और minus 3 मिलकर minus 6 होते हैं, पर line पर पायदान minus 6 है ही नहीं, वो minus 4 पर ख़त्म हो जाती है। जवाब है 1 बटा 117649, और उसे देखने के लिए line को 2 पायदान और नीचे बढ़ाना पड़ता है। और अब आख़िरी एक सवाल बचा है। जब values बराबर दूरी पर नहीं हैं, तो पायदानों को बराबर दूरी पर रखना ठीक क्यों है?

पहले values के बीच के अंतर देखिए। जैसे 4096 से 16384 तक का अंतर 12288 है। और 1 से 1 बटा 4 तक का अंतर 3 बटा 4 है। और सभी 10 अंतर एक दूसरे से अलग हैं। अब घटाने की जगह, पड़ोसी values का भाग देखिए। हर पड़ोसी जोड़ी में, ऊपर वाली value नीचे वाली की ठीक 4 गुना है। यानी 10 भाग, और हर बार एक ही जवाब।

यही पूरा जवाब है, यहाँ जो चीज़ नहीं बदलती वो गुणा है, इसलिए बराबर दूरी exponent को मिलती है। अगर value के हिसाब से line बनाएँ, तो तस्वीर बेकार हो जाती है। मान लीजिए board 10 units ऊँचा है, और 65536 सबसे ऊपर है। तब 1 बटा 16 से 64 तक सब कुछ, एक unit के 1 बटा 100 से भी कम हिस्से में दब जाता है। और 1 और 4 के पायदान, एक unit के 1 बटा 2000 से भी कम दूरी पर आ जाते हैं।

बराबर दूरी कोई मजबूरी वाला अंदाज़ा नहीं है। यही वो चीज़ है जो तस्वीर को सच बोलने देती है। तो आज की बात एक बार फिर देखिए। एक power line पर exponents पते की तरह हैं, और हर पायदान बराबर दूरी पर है। एक पायदान ऊपर जाना base से गुणा है, और एक पायदान नीचे आना base से भाग। कोई कितने गुना बड़ा है, ये values के भाग से नहीं, पायदान गिनकर निकलता है।

और अलग दिखने वाले expressions एक ही पायदान पर पहुँचते हैं, क्योंकि वो एक ही सफ़र के अलग रास्ते हैं। अगली बार कोई बड़ा गुणा दिखे, तो पहले पूछिए, क्या ये किसी line पर बस कुछ कदम हैं?

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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