जोड़कर होने वाली बढ़त बनाम गुणा से होने वाली बढ़त

0:00मान लीजिए किसी ने धरती से चाँद तक एक सीढ़ी बना दी। उस सीढ़ी में कितने पायदान लगेंगे? कोई भी हिसाब करने से पहले, एक अंदाज़ा लगाइए। क्या हज़ारों, लाखों, करोड़ों, या उससे भी ज़्यादा? जो भी चुना है, उसे पकड़ कर रखिए, थोड़ी देर में उसकी ज़रूरत पड़ेगी। क्योंकि ये संख्या अपने आप में इस कहानी का सबसे दिलचस्प हिस्सा नहीं है। दिलचस्प ये है कि यही सफ़र, किसी दूसरे तरीके से, सिर्फ़ 46 कदमों में पूरा हो जाता है।

0:33और यहाँ कोई छुपे हुए शून्य नहीं हैं, बस 46 कदम। और इन दोनों जवाबों का फ़र्क ये नहीं है, कि एक तरीका तेज़ है और दूसरा धीमा। पिछली बार की तरह पहले पूछिए, हमें क्या नहीं बताया गया? चाँद कितनी दूर है, ये हमें पता है। पर पायदानों के बीच कितनी दूरी है, ये हमें नहीं पता। और इसके बिना कोई सवाल ही नहीं बनता, पायदानों की गिनती कुछ भी हो सकती है।

1:01तो इसे मानना पड़ेगा, और खुलकर मानना पड़ेगा। मान लीजिए एक पायदान से अगले पायदान तक 20 centimetres की दूरी है। ये एक चुनाव है, कोई नाप नहीं, और आप कोई दूसरी दूरी भी चुन सकते हैं। इसे याद रखिए, क्योंकि आगे हम इसे जानबूझकर बदलकर देखेंगे। चाँद धरती से 384400 किलोमीटर दूर है। और पायदान 20 centimetres की दूरी पर हैं। ये दोनों संख्याएँ तब तक नहीं मिल सकतीं जब तक एक ही इकाई में न हों, और ज़्यादातर गलती यहीं होती है।

1:36एक किलोमीटर में 100000 centimetres होते हैं। यानी 384400 को 100000 से गुणा कीजिए, इससे उसके पीछे 5 शून्य और जुड़ जाते हैं। तो चाँद की दूरी हुई 3844 करोड़ centimetres। इसमें 20 centimetres के कितने हिस्से समाएँगे? इसके लिए बस एक भाग करना है, 20 से। और भाग पूरा-पूरा जाता है, कुछ भी नहीं बचता। जवाब है 192 करोड़ 20 लाख पायदान। अब इसे उस अंदाज़े से मिलाइए, जो आपने पकड़ कर रखा था।

2:15अगर कोई बिना रुके हर second एक पायदान चढ़े, तो ऊपर पहुँचने में लगभग 61 साल लगेंगे। यहाँ ये संख्या करोड़ और लाख में बाँटकर पढ़ी गई है। दुनिया के ज़्यादातर हिस्सों में यही संख्या 1 billion 922 million पढ़ी जाती है। ये 2 संख्याएँ नहीं हैं, ये एक ही संख्या है, जिसे 2 तरह से बाँटा गया है। अंक अपनी जगह से ज़रा भी नहीं हिले, बस बीच के comma बदले।

2:42और ये पूरी गिनती एक मानी हुई दूरी पर टिकी है। अब असली सवाल, सीढ़ी ऊपर जाते हुए कौन सी चीज़ हर बार एक जैसी रही? हर पायदान ने वही 20 centimetres जोड़े। ध्यान दीजिए, 20 प्रतिशत ज़्यादा नहीं, बल्कि ठीक 20 centimetres। दूसरा पायदान पहले से 20 ऊपर है, और आख़िरी पायदान भी अपने नीचे वाले से ठीक 20 ऊपर है। ऊँचाइयाँ देखिए, 20, 40, 60, 80, 100, हर पड़ोसी के बीच ठीक 20 का फ़र्क।

3:18चाँद तक पूरे रास्ते, ये बढ़त कभी नहीं बदलती। इस तरह की बढ़त का एक नाम है, linear growth। इसे additive भी कहते हैं, और ये नाम ज़्यादा काम का है, क्योंकि ये बताता है कि प्रक्रिया क्या कर रही है। ये हर कदम पर एक ही चीज़ जोड़ती है। और एक ही चीज़ को बार-बार जोड़कर बना कुल, एक बहुत लंबा जोड़ होता है। यहाँ ये जोड़ 192 करोड़ 20 लाख पदों लंबा है।

3:47अब वहाँ पहुँचने का दूसरा तरीका देखिए। कागज़ की एक शीट लीजिए, जो लगभग 1 बटा 1000 centimetre मोटी है। इसे आधा मोड़िए, फिर उसे आधा मोड़िए, और ऐसे ही मोड़ते जाइए। हर मोड़ मोटाई को दुगना कर देता है। सिर्फ़ 10 मोड़ के बाद ये लगभग 1 centimetre मोटी है, और 20 मोड़ के बाद लगभग 10 metres। शुरुआत में ये शीट एक पायदान की दूरी से 20000 गुना पतली है, यानी बहुत पीछे से शुरू करती है।

4:18इसे 45 बार मोड़िए, तो मोटाई लगभग 350000 किलोमीटर होती है, चाँद से अभी भी कम। और 46 बार मोड़िए, तो ये लगभग 700000 किलोमीटर हो जाती है, चाँद से आगे। ये चाँद की दूरी का लगभग 2 गुना है। यानी शीट चाँद पर ठीक-ठीक नहीं पहुँचती, उससे आगे निकल जाती है। तो इस बार कौन सी चीज़ एक जैसी रही? बढ़त तो नहीं, पहले मोड़ ने 1 बटा 1000 centimetre जोड़ा, और 46 वें मोड़ ने अकेले लगभग 350000 किलोमीटर।

4:54जो एक जैसा रहा, वो था गुणा करने वाला अंक। हर एक मोड़ पर, ठीक 2 से गुणा। इसे exponential growth कहते हैं, और इसका दूसरा नाम multiplicative है, जो फिर से ज़्यादा काम का नाम है। और हर मोड़ अकेले उतना जोड़ता है, जितना उससे पहले के सारे मोड़ों ने मिलकर भी नहीं जोड़ा। ये हर कदम पर एक ही संख्या से गुणा करती है। और एक ही चीज़ से बार-बार गुणा करके बना कुल, एक गुणनफल होता है।

5:23यहाँ ये गुणनफल सिर्फ़ 46 बार के गुणा जितना लंबा है। तो ये रहीं दोनों, एक दूसरे के बगल में। बाईं तरफ़, 20 जोड़ 20 जोड़ 20, और ऐसे ही आगे। इस जोड़ में पूरे 192 करोड़ 20 लाख पद हैं। दाईं तरफ़, 1 बटा 1000 centimetre, गुणा 2, गुणा 2, गुणा 2, और ऐसे ही आगे। और इस गुणनफल में सिर्फ़ 46 बार गुणा है। दोनों ही शृंखलाएँ चाँद तक पहुँचती हैं।

5:55दोनों की शुरुआत धरती से, दोनों का अंत चाँद पर, फ़र्क सिर्फ़ नियम का है। एक को आप पूरी ज़िंदगी में नहीं लिख पाएँगे, और दूसरी एक ही पंक्ति में आ जाती है। पूरा सवाल बस इतना है, कि कोई स्थिति इनमें से कौन सी शृंखला बनाती है। अब इस फ़र्क पर एक संख्या रखिए। एक तरफ़ 192 करोड़ 20 लाख पायदान, दूसरी तरफ़ 46 मोड़। एक को दूसरे से भाग दीजिए, तो मिलता है लगभग 4 करोड़ 20 लाख।

6:26यानी हर एक मोड़ के बदले, लगभग 4 करोड़ 20 लाख पायदान। मोटे तौर पर, एक अंक तक कहें, तो हर मोड़ के बदले लगभग 4 करोड़ पायदान। ये चाँद के बारे में कोई तथ्य नहीं है, दोनों का निशाना तो एक ही चाँद था। ये इस बारे में भी नहीं है, कि कोई एक जवाब कितना बड़ा है। ये तथ्य है एक तय मात्रा जोड़ने और एक तय संख्या से गुणा करने के फ़र्क के बारे में।

6:54असली सबक तुलना है, इन दोनों में से कोई अकेली संख्या नहीं। यहीं पर एक आम गलतफ़हमी है, exponential का मतलब तेज़ नहीं होता। इसका मतलब है हर कदम पर एक तय संख्या से गुणा, और ये बहुत धीमा भी हो सकता है। जो मात्रा हर 100 साल में दुगनी होती है, वो exponential है, और आपको पता भी नहीं चलेगा। और जो मात्रा हर second में 1000000 बढ़ती है, वो additive है, और बहुत तेज़ है।

7:22रफ़्तार बताती है कि कितना बदलता है, और प्रकार बताता है कि हर कदम पर क्या दोहराया जाता है। रफ़्तार और प्रकार, ये 2 अलग सवाल हैं। अब फिर से देखिए कि शीट कहाँ से शुरू हुई थी। सिर्फ़ 1 बटा 1000 centimetre, और सामने 20 centimetres का एक पायदान। गुणा वाली प्रक्रिया 20000 गुना पीछे से चली थी, तो वो आगे कब निकली? आपकी सोच से काफ़ी बाद में।

7:52दोनों को एक ही पैमाने पर बनाइए और देखिए। पहले 10 कदमों के बाद सीढ़ी 2 metres ऊँची है, और कागज़ बस लगभग 1 centimetre। फिर 15 कदमों के बाद सीढ़ी 3 metres, और कागज़ लगभग 33 centimetres। फिर 18 वें कदम पर सीढ़ी 360 centimetres, और कागज़ लगभग 262 centimetres। सीढ़ी अब भी आगे है। और 19 वें कदम पर सीढ़ी 380 centimetres, और कागज़ लगभग 524 centimetres। यही वो जगह है जहाँ दोनों एक दूसरे को पार करते हैं, 18 कदम पीछे, और उसके बाद कागज़ कभी पीछे नहीं होता।

8:33और 30 वें कदम तक सीढ़ी 6 metres है, और कागज़ 10 दशमलव 7 किलोमीटर, यानी लगभग 1800 गुना आगे। एक बात बाकी है, वो 20 centimetres तो हमने माने थे। तो इसे बदलकर देखिए, क्या टूटता है? मान लीजिए पायदानों के बीच 30 centimetres की दूरी है। तो गिनती घटकर लगभग 128 करोड़ पायदान रह जाती है। ये पहले वाली गिनती का ठीक 2 बटा 3 है, क्योंकि दूरी 1 बटा 2 जितनी बढ़ी।

9:05पर मोड़ों की गिनती पर इसका कोई असर नहीं, वो अब भी 46 है, क्योंकि कागज़ ने पायदान की दूरी कभी इस्तेमाल ही नहीं की। और अब भाग पूरा नहीं जाता, यानी मान्यता की छाप साफ़ दिखती है। अब फिर से तुलना कीजिए, हर मोड़ के बदले लगभग 2 करोड़ 80 लाख पायदान। पहले ये लगभग 4 करोड़ 20 लाख था, यानी तुलना भी ठीक 2 बटा 3 हो गई।

9:29और यही असली बात है, ये निष्कर्ष इतना बड़ा है कि किसी बहस वाली मान्यता से नहीं गिरता, जवाब अब भी करोड़ों में है। तो पहचानने का तरीका बस एक सवाल का है। हर कदम पर क्या एक जैसा रहता है, जुड़ने वाली मात्रा, या गुणा करने वाली संख्या? एक दीवार में हर दिन 50 ईंटें जुड़ती हैं, जुड़ने वाली मात्रा तय है, यानी additive। एक मोमबत्ती जो हर घंटे उतनी ही जलती है, ये भी additive है, बस यहाँ तय मात्रा घटती है।

10:03हर दिन शेल्फ़ पर एक और किताब, ये भी additive। हर इंसान 2 और लोगों को बताता है, और वो भी 2 और को, यहाँ गुणा करने वाली संख्या तय है, यानी multiplicative। एक कोशिका जो 2 में बँट जाती है, ये भी multiplicative। और एक मात्रा जो हर साल अपने 1 बटा 10 हिस्से जितनी बढ़ती है, multiplicative है, और धीमी भी। अब 2 मात्राएँ लीजिए, दोनों 1000 से शुरू, एक हर साल 500 जोड़ती है, और दूसरी हर साल अपना 1 बटा 10 हिस्सा।

10:35पूरे 28 साल तक 500 जोड़ने वाली आगे रहती है, 15000 के सामने लगभग 14400 पर। पर 29 वें साल में वो पीछे छूट जाती है, 15500 के सामने लगभग 15860, और फिर कभी आगे नहीं आती। यानी यहाँ भी धीमा गुणा, काफ़ी कदमों के बाद, तय जोड़ को पीछे छोड़ देता है। ये वही सीढ़ी और कागज़ की कहानी है, बस रोज़ के कपड़ों में। अगली बार कोई बढ़त दिखे, तो पूछिए, कौन सी चीज़ तय रखी गई है, जुड़ने वाली मात्रा या गुणा करने वाली संख्या?