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Chapter 2 · Power Play

कागज़ मोड़ना: वह बढ़त जो अंदाज़े से आगे निकल जाती है

Why powers grow so fast, and how to write them11 मिनट

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0.001 सेंटीमीटर मोटा काग़ज़ हर मोड़ पर दुगुना होता है। मोड़ 45 पर ढेर चाँद से पीछे है, और मोड़ 46 पर उससे बहुत आगे।

मुख्य idea

Doubling हमारे अंदाज़े को एक ख़ास वजह से पीछे छोड़ देती है: हर step पर जुड़ने वाली मात्रा तय नहीं होती — वह अब तक जमा हुई पूरी मात्रा होती है। इसी से fold table के differences रास्ता दिखाने के लिए बेकार हो जाते हैं। fold 0 से 10 तक मोटाई क़रीब एक centimetre बढ़ती है; fold 30 से 40 तक लगभग ग्यारह हज़ार kilometre। लेकिन किन्हीं भी दस folds के पार quotient 1024 है, चारों बार, बिना किसी अपवाद के। तय बढ़त की जगह तय गुणक — "exponential" शब्द का पूरा मतलब बस इतना है, और इसी वजह से एक millimetre के सौवें हिस्से जितनी मोटी sheet अपने छियालीसवें fold पर चाँद तक की दूरी से आगे निकल जाती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दी गई शुरुआती value से doubling table आगे बढ़ाना और ख़ाली entries भरना
  • हर stage पर doubled मात्रा को समझदारी वाली unit में बदलना, और बताना कि unit बदलनी क्यों पड़ती है
  • doubling table की दो entries के बीच difference और quotient निकालना, और बताना कि दोनों में से कौन-सा स्थिर रहता है
  • बताना कि दस doublings किसी मात्रा को 1024 से गुणा कर देती हैं, और इसे एक से ज़्यादा शुरुआती points पर जाँचना
  • बताना कि तीन doublings 8 से गुणा करती हैं, और छपी हुई table से इसकी पुष्टि करना
  • तय बढ़त और तय गुणक में फ़र्क़ करना, और बताई गई किसी स्थिति को इन दोनों में से एक में रखना
  • "लगभग बराबर" का चिह्न पढ़ना, और बताना कि rounded table entry क्या दावा करती है और क्या नहीं
  • समझाना कि मोड़ने पर लगी असली सीमा से यहाँ किए जा रहे हिसाब पर कोई असर क्यों नहीं पड़ता

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
exponential growthऐसी बढ़त जिसमें हर step मात्रा को एक तय संख्या से गुणा करता हैचरघातांकी वृद्धिइस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.21)
multiplicative growthइसी बर्ताव का chapter का दूसरा नामगुणात्मक वृद्धिइस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.21)
approximately equal toवह संबंध जिसके लिए चिह्न ≈ है, table entry round होने के बाद इस्तेमाल होता हैलगभग बराबरइस chapter में छपा (Part I p.20)
thicknessवह माप जो यहाँ double होता है — sheet की लंबाई या क्षेत्रफल नहींमोटाईपूरे Part I pp.19–21 में छपा
growth factorवह तय संख्या जिससे हर step पर मात्रा गुणा होती हैवृद्धि गुणकइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, chapter विचार को बिना नाम दिए बताता है
constant incrementवह तय मात्रा जो जोड़ने वाली प्रक्रिया हर step पर पाती है, यहाँ उलटे उदाहरण की तरह रखी गईअचर वृद्धिइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा
ratioदो entries का quotient, उनके difference के मुक़ाबलेअनुपातइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, chapter भाग ख़ुद छापता है पर उस मात्रा को नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "हर fold उतनी ही मात्रा जोड़ता है।" यह वही ग़लती है जिसे तोड़ने के लिए पूरा section है। चारों differences एक साथ रखो — एक centimetre, दस metre की बढ़त, दस kilometre की बढ़त, ग्यारह हज़ार kilometre की बढ़त — और पूछो कि कौन-सा नियम चारों बना सकता है। जोड़ने वाला कोई नियम नहीं बना सकता।
  • "किसी ने कुछ zeros छोड़ दिए।" chapter ख़ुद यह आपत्ति एक पात्र के मुँह से रखता है। इसका जवाब table से दो, सिर्फ़ कह देने से नहीं।
  • "कागज़ सच में 46 बार मोड़ा जा सकता है।" नहीं मोड़ा जा सकता; chapter शुरुआत में student को असली सीमा ढूँढ़ने को कहता है, और उसके बाद ही कहता है कि सीमा को कल्पना में हटा दो। हिसाब doubling के बारे में है, और वह सही है चाहे कोई कागज़ बचे या न बचे।
  • "कागज़ चाँद तक पहुँचता है, तो वह बहुत लंबा होगा।" बढ़ती मोटाई है। हर fold क्षेत्रफल को आधा और ढेर को दुगुना करता है।
  • "≈ का मतलब = ही है।" rounded entry आकार के बारे में दावा है, सटीक value नहीं। chapter यह चिह्न पहली बार तब लाता है जब उसे इसकी ज़रूरत पड़ती है (Part I p.20), और फिर दो pages के अंदर एक ही मात्रा के rounded और बिना-rounded दोनों रूप इस्तेमाल करता है।
  • "1024 एक संयोग है।" यह 2 को ख़ुद से दस बार गुणा करने पर मिलता है, और ठीक अगले section में 2¹⁰ के रूप में फिर आता है। दस doublings को इससे गुणा करना ही है; इसमें खोजने को कुछ नहीं।
  • "इतनी तेज़ बढ़त का मतलब है कि शुरुआती folds पहले से बड़े थे।" वे दिखते तक नहीं थे। पहले छह folds मिलकर भी एक millimetre तक नहीं पहुँचते। तेज़ बढ़त यह कुछ नहीं बताती कि प्रक्रिया कहाँ से शुरू हुई।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,559 शब्द

एक काग़ज़ लीजिए और उसे बीच से मोड़िए। फिर से मोड़िए, और फिर एक बार और मोड़िए। आप असल में ये कितनी बार कर पाएँगे? कुछ ही बार के बाद काग़ज़ मुड़ने से साफ़ मना कर देता है। पास में काग़ज़ हो तो आज़माकर देखिए, ये एक सच्ची सीमा है और उससे एक बार मिलना अच्छा है। अब मान लीजिए कि काग़ज़ मना नहीं करता, और जितनी बार चाहें उतनी बार मुड़ता जाता है।

किसी ने कहा कि 46 बार मोड़ने पर ये ढेर चाँद तक पहुँच जाएगा। किसी और ने कहा कि ये बेतुकी बात है, 46 के बाद ज़रूर कुछ शून्य छूट गए होंगे। बहस से ये तय नहीं होगा, तो चलिए इसे गिनकर तय करते हैं। पहले ये साफ़ कर लेते हैं कि असल में बढ़ क्या रहा है। मोड़ने से काग़ज़ लंबा नहीं होता। हर मोड़ पर काग़ज़ का फैलाव आधा होता है, और मोटाई दुगुनी होती है।

ऊपर से देखें तो काग़ज़ छोटा होता जाता है, पर बगल से देखें तो ढेर ऊँचा होता जाता है। हम सिर्फ़ उस ढेर की ऊँचाई का पीछा करेंगे, और किसी चीज़ का नहीं। ढेर की परतें गिनिए, पहले मोड़ पर 2 परतें, दूसरे पर 4 और तीसरे मोड़ पर 8 परतें होती हैं। शुरुआत एक ऐसे काग़ज़ से करते हैं जिसकी मोटाई 0.001 सेंटीमीटर है। यानी 0.01 मिलीमीटर, इतना पतला कि एक काग़ज़ पर आपका ध्यान भी न जाए।

और हर मोड़ इस संख्या के साथ ठीक एक ही काम करता है, उसे दुगुना कर देता है। पहले मोड़ के बाद मोटाई 0.002 सेंटीमीटर हो जाती है। दूसरे मोड़ पर ये 0.004 सेंटीमीटर होती है। और तीसरे मोड़ पर 0.008 सेंटीमीटर। ध्यान दीजिए, हर पंक्ति बस पिछली पंक्ति का दुगुना है, कोई नई जानकारी नहीं चाहिए। अब तक तो कुछ होता दिखता ही नहीं। सिर्फ़ 6 मोड़ों के बाद ढेर 0.64 मिलीमीटर का है, यानी 1 मिलीमीटर तक भी नहीं पहुँचा।

सातवाँ मोड़ पहला है जो 1 मिलीमीटर को पार करता है। आठवें और नौवें मोड़ पर भी ढेर 1 सेंटीमीटर से कम ही रहता है। और दसवें मोड़ पर मोटाई 1.024 सेंटीमीटर होती है। यानी 1 सेंटीमीटर पार करने में पूरे 10 मोड़ लगे। तो अगर आपको लगता है कि इतनी तेज़ बढ़त किसी बड़ी शुरुआत से आती है, तो शुरुआत फिर से देखिए। पहले 6 मोड़ तो दिखे ही नहीं।

अब सीधे मोड़ 17 पर चलते हैं। यहाँ मोटाई है 131.072 सेंटीमीटर। यानी 1.3 मीटर से ज़्यादा ऊँचा ढेर, उस काग़ज़ से जिसकी धार भी आप देख नहीं पाते थे। और ऐसी संख्या लिखने के बारे में एक बात। कहीं आप इसे लगभग 131 सेंटीमीटर लिखा देखेंगे, और कहीं 131.072 सेंटीमीटर। ये एक ही मात्रा है, बस अलग अलग तरह से गोल की गई है। लहरदार बराबर का चिह्न इसी के लिए है, उसका मतलब है लगभग।

ये आकार के बारे में दावा है, सही सही मान नहीं, इसलिए यहाँ कोई भी बात आपस में टकराती नहीं। बस 3 मोड़ और, और ढेर लगभग 10.5 मीटर का हो जाता है। अब ये सच में चुभने लगता है। मोड़ 26 पर ढेर लगभग 671 मीटर का है। उसके बगल में अब तक बनी सबसे ऊँची इमारत रखिए, जो लगभग 830 मीटर की है। यानी मोड़ 26 अभी वहाँ तक नहीं पहुँचता।

बस एक मोड़ और, और ढेर 1.34 किलोमीटर का हो जाता है। इमारत के लगभग 4 बटा 5 हिस्से से सीधे उसकी डेढ़ गुनी ऊँचाई से भी ज़्यादा, और ये एक ही मोड़ में। ध्यान दीजिए, मोड़ 26 से 27 तक ढेर ठीक उतना बढ़ा जितना मोड़ 26 पर पूरा ढेर था। इसके लिए बाहर से कुछ नहीं लाया गया, ढेर बस अपने ही ऊपर बैठ गया। अब मोड़ 30 पर मोटाई लगभग 10.7 किलोमीटर है।

ये मोटे तौर पर उतनी ऊँचाई है जितनी पर यात्री विमान उड़ते हैं। अब इसे उल्टा करके देखिए। किसी भी समुद्र का सबसे गहरा बिंदु लगभग 11 किलोमीटर नीचे है। लेकिन मोड़ 30 का ढेर उस गहराई तक नहीं पहुँचता, वो लगभग 0.26 किलोमीटर पीछे रह जाता है। फिर मोड़ 31 आता है, और ढेर 21.47 किलोमीटर का हो जाता है। वो उस गहराई को सिर्फ़ पार नहीं करता, उससे 10.47 किलोमीटर आगे निकल जाता है, यानी लगभग पूरी गहराई जितना और।

और ये सब एक ही मोड़ में हुआ। आपका अगला कदम उतना ही बड़ा है जितना आपके पास पहले से सब कुछ है। तो अब 46 मोड़ और चाँद की बात। चाँद हमसे लगभग 384400 किलोमीटर दूर है। मोड़ 45 पर ढेर लगभग 352000 किलोमीटर का है। ये क़रीब है, पर अभी पहुँचा नहीं। और मोड़ 45 से 46 तक का अकेला कदम ही चाँद की दूरी के 9 बटा 10 हिस्से से ज़्यादा है।

मोड़ 46 उसे दुगुना करके लगभग 704000 किलोमीटर कर देता है। यानी ढेर चाँद से आगे निकल जाता है, और बहुत आगे, ठीक उस मोड़ के बाद वाले मोड़ पर जो पीछे रह गया था। तो पहली बात बिल्कुल सही थी। आपत्ति के हिसाब से 46 बहुत कम थे, पर गिनती कहती है कि 46 काफ़ी हैं, और 45 नहीं। यही वजह है कि यहाँ किसी का भी अंदाज़ा नहीं टिकता।

पूछिए कि 10 मोड़ों में ढेर कितना बढ़ता है। मोड़ 0 से 10 तक वो 1.023 सेंटीमीटर बढ़ता है। मोड़ 10 से 20 तक वो लगभग 10.5 मीटर बढ़ता है। मोड़ 20 से 30 तक लगभग 10.7 किलोमीटर। और मोड़ 30 से 40 तक लगभग 11000 किलोमीटर। हर बार गिनती में वही 10 मोड़ हैं। पर ये 4 बढ़तें एक दूसरे के आसपास भी नहीं, हर एक पिछली से 1000 गुना से भी ज़्यादा है।

अगर कोई कहे कि हर मोड़ पर ढेर एक तय मात्रा बढ़ता है, तो आप वो मात्रा कितनी लिखेंगे? ऐसी कोई मात्रा है ही नहीं। ये अंतर सिर्फ़ असमान नहीं हैं, ये किसी काम के ही नहीं। अब उन्हीं 4 हिस्सों के साथ कुछ और करके देखिए। घटाने के बजाय भाग देकर देखें तो क्या मिलेगा? मोड़ 10 को मोड़ 0 से भाग दें तो 1024 आता है। मोड़ 20 को मोड़ 10 से भाग दें, तो फिर से 1024 आता है।

मोड़ 20 से 30 तक भी 1024, और 30 से 40 तक भी 1024 ही आता है। घटाने पर जिन 4 संख्याओं में कुछ भी साझा नहीं था, भाग देने पर वो एक ही संख्या बन जाती हैं। और लगभग नहीं, बिल्कुल ठीक ठीक, बिना किसी शेष के, हर बार। इस तालिका में कहीं से भी 10 मोड़ का हिस्सा लीजिए, जवाब यही आता है। स्थिरता हमेशा वहीं थी, हम बस ग़लत क्रिया से उसे देख रहे थे।

और हर 10 मोड़ पर ढेर 1000 गुना से कुछ ज़्यादा हो जाता है, इसीलिए इकाई बार बार बदलनी पड़ी, सेंटीमीटर से मीटर, और मीटर से किलोमीटर। पर ये 1024 ही क्यों, कोई संयोग है क्या? एक से शुरू करके उसे 10 बार दुगुना कीजिए। पहले 5 बार दुगुना करने पर आप 2, 4, 8, 16 और 32 से गुज़रते हैं। अगले 5 बार में 64, 128, 256, 512 और आख़िर में 1024 आता है।

इसलिए 10 मोड़ किसी भी शुरुआत को 1024 से गुणा कर देते हैं। इसी तरह कोई भी 3 मोड़ मोटाई को 8 गुना कर देते हैं, क्योंकि 3 बार दुगुना करना 2 गुणा 2 गुणा 2 है। जैसे मोड़ 4 पर 0.016 सेंटीमीटर है, और मोड़ 7 पर उसका 8 गुना, यानी 0.128 सेंटीमीटर। और एक अकेला मोड़ बस दुगुना करता है। नीचे, मोड़ 4 से 5 तक, 0.016 सेंटीमीटर दुगुना होकर 0.032 सेंटीमीटर बनता है।

ऊपर, मोड़ 9 से 10 तक, 0.512 सेंटीमीटर दुगुना होकर 1.024 सेंटीमीटर बनता है। तालिका में नीचे हो या ऊपर, क्रिया वही की वही है। इसकी कीमत देखने के लिए मान लीजिए कि ढेर दूसरे तरीके से बढ़ता। मान लीजिए हर मोड़ उतना ही जोड़ता जितना पहले मोड़ ने जोड़ा था, यानी हर बार 0.001 सेंटीमीटर। ऐसे 46 मोड़ों के बाद ढेर सिर्फ़ 0.047 सेंटीमीटर का होता। चाँद तो दूर, आधा मिलीमीटर भी नहीं।

उसे 80 मोड़ दीजिए, तब भी वो 1 सेंटीमीटर तक नहीं पहुँचता। दुगुना करने वाला ढेर तो दसवें मोड़ पर ही 1 सेंटीमीटर पार कर गया था, और जोड़ने वाले को 80 मोड़ भी कम पड़ते हैं। इस जोड़ वाले ढेर में हर 10 मोड़ बराबर बढ़त देते हैं, हर बार 0.01 सेंटीमीटर। पर भाग दें तो कोई एक संख्या नहीं आती, मोड़ 10 से 20 तक तो भाग पूरा जाता भी नहीं।

वही काग़ज़, वही गिनती के मोड़। फ़र्क़ बस इतना है कि पूरे ढेर की जगह हर बार एक तय मात्रा जोड़ी गई। जोड़ने और दुगुना करने के बीच का यही पूरा फ़र्क़ है, और उसका आकार है चाँद तक की दूरी। इस तरह की बढ़त का एक नाम है। जब हर कदम एक तय संख्या से गुणा करता है, तो उसे exponential growth कहते हैं। इसे multiplicative growth भी कहते हैं, यानी एक ही व्यवहार के 2 नाम।

वो तय संख्या growth factor कहलाती है, और यहाँ वो 2 है। अब ध्यान दीजिए कि ये नाम किस बारे में नहीं है। ये संख्याओं के बड़े होने के बारे में नहीं है, वो तो दिखाई भी न देने जितनी छोटी शुरू हुई थीं। ये कदमों के बड़े होने के बारे में भी नहीं है, पहला कदम तो 0.001 सेंटीमीटर का था। ये इस बारे में है कि हर कदम एक तय मात्रा नहीं, एक तय गुना है।

अगली बार कोई चीज़ बढ़ती दिखे, तो अंतर देखने से पहले भाग देकर देखिए कि गुना तय है या नहीं। हर मोड़ उसे दुगुना करता है, बाक़ी सब बस हिसाब किताब है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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