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Chapter 1 · Fractions in Disguise

percentage वृद्धि और कमी, और सही आधार चुनना

Using percentages11 मिनट

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एक बेल पर 30 टमाटर थे, अब 42 हैं: 40 प्रतिशत बढ़त। एक सभागार में 160 दर्शक थे, अब 100 हैं: 37.5 प्रतिशत गिरावट। और 100 से वापस 160 तक? वही 60 का फ़ासला, पर अब 60 प्रतिशत।

मुख्य idea

percentage बदलाव एक ratio है, और उसके नीचे जाने वाली संख्या हमेशा वह value होती है जिससे तुमने शुरू किया — कभी वह नहीं जिस पर तुम पहुँचे, और कभी दोनों का औसत नहीं। इसी एक नियम का एक ऐसा नतीजा है जो students को सच में हैरान करता है: percentage बदलाव उलटे नहीं जा सकते। footfall का 160 से 100 पर आना 37.5% की गिरावट है, और वही फ़ासला वापस चढ़ना 60% की बढ़त है। इसमें कुछ भी असंगत नहीं; दोनों कथनों के denominators बस अलग हैं। इसीलिए "का 165% है" और "65% बढ़ा" एक ही बात कहते हैं, और "165% बढ़ा" बिल्कुल दूसरी बात कहता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दो values से percentage वृद्धि और percentage कमी निकालना, पहले वाली value को denominator में रखकर
  • समझाना कि आधार मूल राशि क्यों है, और अगर अंतिम राशि ली जाए तो क्या गड़बड़ होती है
  • उदाहरण से दिखाना कि कोई बढ़त और उसे उलटने वाली गिरावट अलग-अलग percentages हैं
  • गुणक वाले रूप से साबित करना कि किसी value का दूसरी value का 165% होना, उसके 65% बढ़ने वाला ही कथन है
  • "का k% है", "k% बढ़ा है" और "से k% ज़्यादा है" में फ़र्क़ करना
  • बदली हुई value और percentage बदलाव से मूल value वापस निकालना
  • जब percentage बदलाव terminating decimal में न आए, तो उसे fraction की तरह सटीक निकालना
  • inflation शब्द को क़ीमतों में percentage वृद्धि की तरह पढ़ना, और उसे निकालना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
percentage increaseवृद्धि, उस value के percentage की तरह जिससे तुमने शुरू कियाप्रतिशत वृद्धिइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.15)
percentage decreaseकमी, उस value के percentage की तरह जिससे तुमने शुरू कियाप्रतिशत कमीइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.16)
baseवह राशि जिसके सामने percentage नापा जाता हैआधारइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.15)
original amountबदलाव के आधार के लिए chapter का दूसरा नाममूल राशिइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.15)
rate of changeकोई राशि कितनी तेज़ी से बढ़ या घट रही है, percentage में कहा गयापरिवर्तन दरइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.15)
inflationकिसी अवधि में क़ीमतों की percentage वृद्धिमुद्रास्फीतिइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.20)
discountवह राशि जितनी क़ीमत घटाई गई, उसी क़ीमत के percentage की तरह कही गईछूट / बट्टाइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.16; p.18 पर अर्थ दिया गया)
decadeदस साल, वह अंतराल जिसके पार exercise के दो सवाल तुलना करते हैंदशकइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.20)
multiplier formबदलाव को ×1.65 की तरह लिखने का, +65% की तरह नहीं, इस पाठ में नामगुणक रूपइस पाठ का शब्द; chapter यह रूप लगातार इस्तेमाल करता है पर इसे नाम नहीं देता
reversibilityइस ग़लत उम्मीद के लिए इस पाठ का शब्द कि किसी बढ़त और उसे उलटने का percentage एक ही होता हैप्रतिवर्त्यताइस पाठ का शब्द, छपा नहीं है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्दों के बजाय standard प्रयोग मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "बदलाव को बड़ी संख्या से भाग दो।" नहीं — पहले वाली से। कभी वह बड़ी संख्या होती है और कभी नहीं, और इसीलिए "बड़ी" वाला नियम आधी बार नाकाम होता है।
  • "37.5% की गिरावट 37.5% की बढ़त से उलट जाती है।" इसके लिए 60% चाहिए। इस topic में यही सबसे क़ीमती बात है और इसे सिर्फ़ एक टिप्पणी नहीं, एक पूरा section मिलना चाहिए।
  • "65% बढ़ा और का 165% है, अलग हैं।" वे एक ही हैं, और chapter इसे साबित करता है। जो students जोड़ वाले और गुणक वाले रूपों के बीच नहीं आ-जा सकते, वे compounding वाला topic पूरा का पूरा खो देते हैं।
  • "165% बढ़ा का मतलब है कि अब वह पहले का 165% है।" इसका मतलब है 265%. दोनों पढ़तों में पूरी मूल राशि का फ़र्क़ है।
  • "उसने जो क़ीमत दी, वही छूट का आधार है।" छूट marked price का percentage है, जो उसने नहीं दी। Samson वाला सवाल ठीक इसी को पकड़ने के लिए बना है, और 0.85 से भाग देना, न कि 1.15 से गुणा करना, इसका इलाज है।
  • "बेढब जवाब का मतलब है मुझसे ग़लती हुई।" ₹5,17,647 और 9.0909…% इनमें से दो सवालों के सही जवाब हैं। जो व्याख्या हमेशा गोल संख्याओं पर ही पहुँचती है, वह students को सही काम पर शक करना सिखाती है।
  • "Inflation एक अलग हिसाब है।" यह आर्थिक नाम वाली एक percentage वृद्धि है। chapter यह एक कोष्ठक में कहकर आगे बढ़ जाता है।
  • "percentage बदलाव किसी भी सिरे से नापो, लगभग एक ही आता है।" छोटे बदलावों के लिए लगभग आता है, और इसीलिए यह मान्यता बची रहती है। chapter की अपनी संख्याओं के लिए — 37.5 बनाम 60 — साफ़ तौर पर नहीं आता।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q5, Figure it Out · 3 Q3, Figure it Out · 3 Q5, Figure it Out · 3 Q6, Figure it Out · 3 Q8, Figure it Out · 5 Q11

पूरा transcript1,749 शब्द

हर प्रतिशत बदलाव असल में एक भिन्न है, और इस पूरे विषय की असली मुश्किल उसके नीचे वाली संख्या है। बदलाव का मतलब है किसी चीज़ से बदलाव, तो कुछ भी करने से पहले उस चीज़ को पहचानिए। नीचे हमेशा वो संख्या जाती है जहाँ से शुरू किया, कभी वो नहीं जहाँ पहुँचे, और कभी दोनों का औसत भी नहीं। सुनने में ये बस एक रिवाज लगता है, जिसे चाहें तो मानें, चाहें तो छोड़ दें।

पर ऐसा नहीं है, इसका एक नतीजा लगभग हर किसी को चौंकाता है, और आप ठीक ठीक बता पाएँगे कि ऐसा क्यों है। एक बेल पर पहले 30 टमाटर लगते थे, और अब 42 टमाटर लगते हैं। यानी बढ़त है 12 टमाटरों की। पर ये 12, किस संख्या में से? उस 30 में से, क्योंकि शुरुआत 30 से हुई थी, तो 12 बटा 30, यानी 2 बटा 5, यानी 40 प्रतिशत।

तो बेल के टमाटर 40 प्रतिशत बढ़े। इस भिन्न का आकार याद रखिए, क्योंकि अगली भिन्न का आकार ठीक यही है। एक सभागार में पहले औसतन 160 दर्शक आते थे, और अब 100 दर्शक आते हैं। कमी है 60 दर्शकों की, पर ये 60, किस संख्या में से? उस 160 में से, क्योंकि शुरुआत वहीं से हुई थी। तो 60 बटा 160, यानी 3 बटा 8, यानी 37 दशमलव 5 प्रतिशत।

वही भिन्न, वही नियम, बस दिशा उल्टी। और यहाँ शुरुआती संख्या दोनों में बड़ी है, जबकि बेल पर वो छोटी थी, यानी बड़ी संख्या से भाग देना नियम नहीं है, भले वो एक बार काम कर गया। अब वो बात जो चौंकाती है। मान लीजिए दर्शक लौट आते हैं, और 100 से फिर 160 हो जाते हैं। फ़ासला फिर 60 है, ठीक वही 60 दर्शक। पर इस बार शुरुआत 100 से हुई, और 100 में 60 यानी 60 प्रतिशत।

तो गिरावट थी 37 दशमलव 5 प्रतिशत, और वापसी है 60 प्रतिशत। फ़ासला एक, प्रतिशत अलग अलग, और इसमें कोई गड़बड़ नहीं, बस दोनों भिन्नों के नीचे अलग संख्याएँ हैं। प्रतिशत बदलाव को उल्टा चलाएँ तो वही प्रतिशत नहीं लौटता, और यही इस विषय की सबसे काम की बात है। तो किसी बढ़त को मिटाने के लिए गिरावट कितनी बड़ी चाहिए? बढ़त आपको ऊपर ले जाती है, और लौटने के लिए उतना ही घटाना होता है, पर अब उस बड़ी संख्या में से जिस पर आप खड़े हैं।

इसलिए वो हमेशा बढ़त से छोटा हिस्सा होता है, क्योंकि नीचे वाली संख्या बढ़ चुकी है, और आज़माए गए 10 आकारों में से हर एक पर यही होता है। संख्याओं से देखिए, 25 प्रतिशत की बढ़त, 20 प्रतिशत की गिरावट से मिटती है। और 50 प्रतिशत की बढ़त मिटाने के लिए गिरावट चाहिए 33 दशमलव 3 3 प्रतिशत, यानी 1 बटा 3 हिस्सा। और किसी चीज़ के 100 प्रतिशत बढ़ने को मिटाने के लिए, उसे 50 प्रतिशत गिरना पड़ता है।

सभागार वाली जोड़ी भी यहीं से निकलती है, 60 प्रतिशत की बढ़त मिटाने के लिए 37 दशमलव 5 प्रतिशत की गिरावट चाहिए। पर छोटे बदलाव पर दोनों लगभग बराबर रहते हैं, 1 प्रतिशत की बढ़त मिटाने वाली गिरावट, 1 प्रतिशत से बस करीब 1 बटा 100 कम होती है। यही बाल बराबर चूक इस गलत धारणा को ज़िंदा रखती है। अब गलत आधारों को 10 बदलावों पर आज़माते हैं, जिनमें बेल, सभागार और वापसी भी शामिल हैं।

आखिरी संख्या से भाग देने वाला तरीका, 10 में से बस 1 पर ठीक बैठता है, उस पर जहाँ कुछ बदला ही नहीं। और बेल के टमाटरों पर, ये 40 की जगह करीब 28 दशमलव 5 7 प्रतिशत देता है। बड़ी संख्या से भाग देने वाला तरीका, 10 में से 4 पर ठीक है, ठीक उन पर जहाँ कुछ बढ़ा नहीं, और बाकी 6 बढ़तों पर गलत। जो नियम कभी ठीक और कभी गलत हो, वही सबसे देर से पकड़ में आता है।

और ये मानना कि बढ़त और उसे मिटाने वाली गिरावट एक ही प्रतिशत हैं, 10 आकारों में से एक पर भी ठीक नहीं बैठता। छोटे बदलाव पर, यानी 1 प्रतिशत पर, ये बस करीब 1 बटा 100 से चूकता है, पर 200 प्रतिशत पर पूरे 133 दशमलव 3 3 से। अब देखिए कि गलत आधार असल में कैसा दिखता है। एक बस में पहले रोज़ 60 यात्री चढ़ते थे, अब 100 चढ़ते हैं, तो यात्री कितने प्रतिशत बढ़े?

यहाँ 60 में से 40 बढ़े, और ये भिन्न रुकती नहीं, 200 बटा 3, यानी दशमलव के बाद 2 अंकों तक 66 दशमलव 6 7 प्रतिशत। इसके लिए 6 जवाब दिए गए थे, और उनमें से 2 गलत जवाबों का स्रोत पकड़ में आता है। इनमें 40 प्रतिशत वाला जवाब, बदलाव को आखिरी संख्या से नापता है, शुरुआती से नहीं। और 60 प्रतिशत वाला जवाब, पुरानी संख्या को नई का हिस्सा मानकर पढ़ता है, जो बिल्कुल अलग सवाल का जवाब है।

बाकी 3 जवाब, 50, 140 और 160 दशमलव 6 6, किसी भी रास्ते से नहीं निकलते, और झूठा पैटर्न गढ़ने से अच्छा है ये साफ़ कह देना। और एक बात, सही जवाब 66 दशमलव 6 6 लिखा था, जो संख्या को काटकर लिखा गया है, गोल करके नहीं, गोल करें तो ये 66 दशमलव 6 7 बनता है। अब वो पहचान जो इस सब को कहीं भी ले जाने लायक बनाती है।

यहाँ 2 बातें हैं, किसी कस्बे की आबादी पहले की 165 प्रतिशत है, और, कस्बे की आबादी 65 प्रतिशत बढ़ी। क्या दोनों एक ही बात कहती हैं? मान लीजिए पुरानी आबादी p है, तो पहली बात कहती है कि नई आबादी p का 165 बटा 100 है, यानी p का 1 दशमलव 6 5 गुना। दूसरी बात कहती है कि नई आबादी है p, और उसमें जुड़ा p का 65 बटा 100, यानी ये भी p का 1 दशमलव 6 5 गुना।

हाँ, एक ही बात, बस 2 अलग पोशाकों में। और इस सब के नीचे का आम नियम यही है, k प्रतिशत का बदलाव, 1 जमा k बटा 100 से गुणा करना है, और आज़माए गए 10 आकारों में से हर एक पर ये ठीक बैठता है। जो झुंड 5 प्रतिशत बढ़ा, वो 1 दशमलव 0 5 से गुणा हुआ, सिर्फ़ 5 बटा 100 से नहीं, और 1 दशमलव 5 से भी नहीं।

अब एक तीसरा वाक्य, और ये बिल्कुल अलग बात कहता है। तीसरे वाक्य के हिसाब से आबादी 165 प्रतिशत बढ़ी है। इसका मतलब है p, और उसमें जुड़ा p का 1 दशमलव 6 5 गुना, यानी p का 2 दशमलव 6 5 गुना। अगर इन वाक्यों को साथ रखें, तो 165 प्रतिशत होना है p का 1 दशमलव 6 5 गुना, 65 प्रतिशत बढ़ना भी वही, पर 165 प्रतिशत बढ़ना है p का 2 दशमलव 6 5 गुना।

पुरानी आबादी 1000 हो तो, ये बनते हैं 1650, 1650 और 2650 लोग। पहले 2 एक ही जगह पहुँचते हैं, तीसरा कहीं और, और उनके बीच ठीक पूरी पुरानी आबादी का फ़र्क है, यानी 1000 का। आज़माए गए 10 आकारों में से किसी पर भी, k प्रतिशत बढ़ना और k प्रतिशत होना, एक जैसे नहीं निकलते। एक शब्द पर रुकना ज़रूरी है, क्योंकि वो अलग हिसाब जैसा लगता है, पर है नहीं।

महंगाई का मतलब है दामों की प्रतिशत बढ़त, बस इतना ही। मान लीजिए दामों का एक सूचकांक पिछली बार 38 था, और अब 42 है, तो बढ़त है 4, और वो 38 में से। तो 4 बटा 38, यानी 200 बटा 19, यानी दशमलव के बाद 2 अंकों तक 10 दशमलव 5 3 प्रतिशत। वही भिन्न जो बेल के टमाटरों में थी, बस उस पर एक आर्थिक नाम चिपका है।

अब पूरी बात को उल्टा चलाते हैं। कोई संख्या 20 प्रतिशत बढ़कर 90 बन गई, तो वो संख्या पहले क्या थी? गुणक के रूप में ये बस एक कदम है, कोई संख्या गुणा 1 दशमलव 2 बराबर 90, तो वो संख्या है 90 भाग 1 दशमलव 2, जो 75 है। जाँच कर लें, 75 का 20 प्रतिशत है 15, और 75 में 15 जोड़ें तो 90 बनता है। अब वो गलत रास्ता जो ललचाता है, 90 का 20 प्रतिशत है 18, और उसे 90 में से घटाएँ तो 72 मिलता है।

पर 72 को 20 प्रतिशत बढ़ाएँ तो 86 दशमलव 4 बनता है, 90 नहीं, यानी पूरे 3 दशमलव 6 कम। देखिए, 75 का 20 प्रतिशत और 90 का 20 प्रतिशत, अलग अलग मात्राएँ हैं, और यही वजह है कि आधार को साफ़ साफ़ पहचानना ज़रूरी है। कभी कभी सवाल आधार को छिपा देता है, और उसे ढूँढना पड़ता है। एक टंकी का 15 प्रतिशत पानी धूप में भाप बनकर उड़ गया, और अब उसमें 4400 लीटर पानी बचा है।

तो शुरू में टंकी में कितना पानी था? वो 15 प्रतिशत उस मात्रा से उड़ा जो अब है ही नहीं, इसलिए ये 4400 लीटर, शुरुआती पानी का 85 प्रतिशत है। तो भाग दीजिए, गुणा नहीं, 4400 को 85 बटा 100 से भाग देने पर मिलता है करीब 5176 दशमलव 4 7 लीटर। गलत रास्ता देखिए, 4400 में उसका 15 प्रतिशत जोड़ें तो 5060 बनता है, और उसमें से 15 प्रतिशत उड़ाएँ तो बचता है 4301, यानी ज़रूरत से 99 लीटर कम।

और सही जवाब गोल संख्या नहीं है, वो कभी रुकता भी नहीं, पर अटपटा जवाब गलती का सबूत नहीं होता। मान लीजिए किसी चीज़ की माँग 85 प्रतिशत गिर गई, तो अब कितनी बची? जब माँग 85 प्रतिशत गिरे, तो बचती है पहले वाली माँग की बस 15 प्रतिशत। अब इसे उल्टी तरफ़ से पढ़िए, पहले वाली माँग, आज की माँग का कितना प्रतिशत है? पहले वाली माँग, आज की माँग की 100 बटा 15 गुना है, यानी 2000 बटा 3 प्रतिशत, करीब 666 दशमलव 6 7 प्रतिशत।

ना 85, ना 185, क्योंकि आधार बदलते ही संख्या बदल जाती है। आखिरी सवाल, और ये पूरा वीडियो एक ही चित्र में है। एक आयत की लंबाई 10 प्रतिशत बढ़ती है, और उसका क्षेत्रफल ठीक उतना ही रहना है, तो चौड़ाई कितने प्रतिशत घटेगी? ये 10 प्रतिशत नहीं, 11 बटा 10 और फिर 9 बटा 10 से गुणा करें तो मिलता है 99 बटा 100, यानी क्षेत्रफल घट गया। चौड़ाई को 11 बटा 10 के उल्टे से गुणा करना होगा, यानी 10 बटा 11 से।

यानी गिरावट है 1 बटा 11, जो करीब 9 दशमलव 0 9 0 9 प्रतिशत है, और इसके अंक कभी खत्म नहीं होते। और ये ठीक वही भिन्न है जो सभागार वाले नियम से निकली थी, 10 प्रतिशत की बढ़त मिटाने वाली गिरावट। मान लीजिए आयत 20 गुणा 11 का है, क्षेत्रफल 220, लंबाई 22 हो जाए तो चौड़ाई घटकर 10 होनी चाहिए, और क्षेत्रफल फिर से 220 वर्ग इकाई।

कोई भी बढ़त हमेशा उससे छोटी गिरावट से मिटती है, क्योंकि बदलाव हमेशा किसी चीज़ से होता है, और वो चीज़ खुद बदल चुकी है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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