PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 1, Fractions in DisguisePrepShorts

Chapter 1 · Fractions in Disguise

हर fraction को 100 के पैमाने पर लाने से वे आपस में तुलना-योग्य क्यों हो जाते हैं

A percentage is a fraction with denominator 10013 मिनट

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बिस्कुट की एक किस्म में 34 में से 9 हिस्से चीनी है, दूसरी में 45 में से 13। ऊपर की संख्याएँ दूसरी को मीठा बताती हैं, नीचे की संख्याएँ पहली को, और तुलना तब तक ईमानदार नहीं जब तक दोनों एक ही पूरे पर न हों।

मुख्य idea

percentage कोई नई क़िस्म की संख्या नहीं है। यह एक साधारण fraction है जिसे denominator 100 पहनने पर मजबूर किया गया है, और chapter का शीर्षक ठीक यही कहता है। कोई यह झंझट इसलिए उठाता है क्योंकि common denominator ही दो fractions की रैंकिंग को अपने-आप होने वाला काम बनाता है — एक-आधे जैसे किसी landmark से मिलाकर देखना अब भी काम करता है, और chapter ठीक यही माँगता भी है — और अगर तय किया हुआ denominator पहले से पक्का हो और उस पर कभी मोलभाव न हो, तो अकेला numerator पूरी तुलना का बोझ उठा लेता है। इसीलिए एक biscuit में sugar का 9/34 होना और दूसरे में 13/45 होना एक नज़र में कुछ नहीं बताता, जबकि 26.47% और 28.88% बात तुरंत तय कर देते हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि symbol % किसका छोटा रूप है, और किसी भी percentage को denominator 100 वाले fraction की तरह लिखना
  • किसी fraction को percentage में बदलना — equivalent-fraction वाले रास्ते से भी और numerator निकालने वाले रास्ते से भी — और बताना कि दोनों एक ही जवाब क्यों देते हैं
  • किसी percentage को वापस fraction में बदलना, और उसके बराबर तीन और fractions देना
  • ऐसा bar model पढ़ना जिसमें ऊपर fraction का scale और नीचे सौवें हिस्सों का scale एक ही सिरों और एक ही ticks को साझा करते हैं
  • बिना हिसाब लगाए किसी fraction और percentage की रैंकिंग करना, दोनों को एक-आधे जैसे landmark से मिलाकर
  • समझाना कि दो अनुपातों की तुलना के लिए common denominator ही क्यों ज़रूरी है, और 100 ही काम का चुनाव क्यों है, न कि 10, 50 या 43
  • पहचानना कि अलग-अलग संदर्भों में बताए गए दो percentages अलग-अलग पूर्ण राशियों की बात करते हैं और उन्हें आपस में जोड़ा नहीं जा सकता

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
per centsymbol % को ज़ोर से कैसे पढ़ा जाता है; इसका मतलब है "सौ में से"प्रतिशतइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.1)
per centumवह Latin वाक्यांश जिससे यह शब्द आया है, जिसका मतलब है सौ के हिसाब सेप्रति शतम्इसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.1)
percentageऐसा fraction जिसका denominator 100 पर तय कर दिया गया होप्रतिशतताइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.1)
unit fractionऐसा fraction जिसके ऊपर 1 हो, यहाँ 1/100इकाई भिन्नइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.1)
denominatorfraction की नीचे वाली संख्या — इकाई को कितने हिस्सों में काटा गयाहरइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.1)
equivalent fractionसंख्याओं की एक अलग जोड़ी जो उसी fraction का नाम हैसमतुल्य भिन्नइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.1)
bar modelपूरी राशि के लिए खड़ा एक rectangle, जिस पर कोई हिस्सा दिखाने के लिए निशान लगे होंपट्टी मॉडलइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.2)
per decemप्रति दस — वह समानांतर रूप जिसे chapter per cent के बगल में रखता हैप्रति दसइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.4)
per milleप्रति हज़ार — उसी panel का दूसरा समानांतर रूपप्रति सहस्रइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.4)
panaवह सिक्का जिसमें Arthaśhāstra अपनी मासिक ब्याज दरें बताता हैपणइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.5)
fixed reference denominatorइस पाठ में उस तय 100 का नाम जो तुलना को अपने-आप होने वाला काम बना देता हैनियत संदर्भ हरइस पाठ का शब्द; chapter यह क़दम उठाता तो है, पर इसे कोई नाम नहीं देता
the wholeइस पाठ में उस राशि का छोटा नाम जिसके सामने कोई percentage नापा जाता हैपूर्ण राशिइस पाठ का शब्द; chapter "of some quantity" कहता है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्दों के बजाय standard प्रयोग मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Per cent एक इकाई है, kilogram जैसी।" यह एक denominator है। 60% पानी का मतलब 60 कुछ नहीं है; इसका मतलब है 60 हिस्से हर 100 हिस्सों में, और हिस्से उसी चीज़ के हैं जिससे पूरी राशि बनी थी।
  • "percentage में बदलने से संख्या बदल जाती है।" 3/4 और 75% एक ही संख्या हैं, जो दो अलग कामों के लिए लिखी गई है। Part II p.2 का bar model इसी को दिखाने के लिए है: एक bar, जिसके ऊपर fraction का scale और नीचे सौवें हिस्सों का scale, ठीक इसलिए क्योंकि ticks एक जगह पड़ते हैं।
  • "3/4 = 75% रटने वाला तथ्य है।" यह अनगिनत equivalent fractions में से एक है, और Example 1 इस तक 3/4 → 6/8 → 30/40 → 75/100 चलकर पहुँचता है। जो student सिर्फ़ यह जोड़ी याद कर सकता है, वह 72/150 नहीं कर सकता।
  • "7/14 ज़रूर 7% या 14% होगा।" Q1 की सबसे आम ग़लती। जब तक fraction को 100 पर न लाया जाए, इनमें से कोई भी संख्या percentage नहीं है — और 7/14 एक-आधा है।
  • "कोई भी common denominator चल जाता, इसलिए 100 मनमाना है।" गणित में सही, व्यवहार में ग़लत, और chapter इस बात को सिर्फ़ कहता नहीं, उस पर दलील देता है: 100 ten की एक power है, इसलिए सौवें हिस्से दो decimal places भी हैं; और प्रति दस इतना मोटा है कि 26.47 को 28.88 से अलग नहीं कर सकता।
  • "Percentages पूर्ण संख्याएँ होते हैं।" 26.47%, 28.88% और 87.5% सब इसी chapter में आते हैं। percentage एक fraction है और fractions का व्यवहार उसे विरासत में मिलता है।
  • "दो percentages की तुलना की जा सकती है, बस।" Part II p.5 के छह तथ्य छह असंबंधित पूर्ण राशियों पर टिके हैं — शरीर का वज़न, ice cream का आयतन, दुनिया की आबादी, किशोर, Solar System का द्रव्यमान, खेती की ज़मीन। अलग-अलग पूर्ण राशियों के बीच इन्हें जोड़ना या इनकी रैंकिंग करना बेमानी है। अगला module इसी को मुख्य बात बनाता है।
  • "percentage जितना बड़ा, राशि उतनी बड़ी।" तब तक नहीं, जब तक पूर्ण राशियाँ मेल न खाएँ। यह भ्रम यहाँ जान-बूझकर छोड़ा गया है, ताकि Comparing two proportions that have different totals इसे तोड़ सके।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1.1 Q1, Figure it Out · 1.1 Q2, Figure it Out · 1.1 Q3, Figure it Out · 1.1 Q4, Figure it Out · 1.1 Q5, Figure it Out · 3 Q4

पूरा transcript2,142 शब्द

एक रसोई में बिस्कुट की 2 किस्में बनती हैं, और किसी को तय करना है कि कौन सी ज़्यादा मीठी है। पहली किस्म में 34 हिस्सों में से 9 हिस्से चीनी है। दूसरी किस्म में 45 हिस्सों में से 13 हिस्से चीनी है। तो इन दोनों में से कौन सी किस्म ज़्यादा मीठी है? ऊपर की संख्याएँ दूसरी किस्म की तरफ़ इशारा करती हैं, क्योंकि 13 हिस्से चीनी 9 हिस्सों से ज़्यादा है।

नीचे की संख्याएँ पहली किस्म की तरफ़ इशारा करती हैं, क्योंकि 34 हिस्सों वाला बिस्कुट छोटा है और उसमें 9 हिस्से कम जगह में फैले हैं। दोनों बातें ठीक लगती हैं, पर सच तो इनमें से एक ही हो सकती है। असल में ये 2 बिल्कुल ठीक भिन्न हैं, जो 2 अलग अलग पूरों पर लिखी गई हैं, और तुलना के लिए एक ही पूरा चाहिए। पहले वो तरीका जो ज़्यादातर लोग अपनाते हैं, ऊपर की संख्याएँ मिलाओ और नीचे की संख्याएँ छोड़ दो।

बिस्कुट पर ये तरीका दूसरी किस्म चुनता है, और सचमुच दूसरी किस्म ही ज़्यादा मीठी है। फिर 3 बटा 4 और 1 बटा 4 पर भी ये सही निकलता है, और 7 बटा 10 और 2 बटा 3 पर भी। पर इसे 9 जोड़ियों पर चलाएँ, तो 9 में से 3 जोड़ियों पर ही ये सही बैठता है, और बाकी 6 पर गलत। ये कोई तरीका नहीं, बस किस्मत है, जो उन्हीं मौकों पर साथ देती है जिन्हें हम देख रहे होते हैं।

जैसे 3 बटा 4 और 3 बटा 8, ऊपर की संख्या दोनों में बराबर है, तो ये तरीका इन्हें बराबर कहता है, जबकि पहली भिन्न दूसरी की दुगुनी है। और 1 बटा 2 और 50 बटा 100 सचमुच बराबर हैं, पर ये तरीका इस बराबरी को देख ही नहीं पाता। तो इलाज ये है कि दोनों भिन्नों को एक ही नीचे की संख्या पर ले आएँ। मान लीजिए 1 बटा 4 और 2 बटा 5 हैं, तो 20 ऐसी संख्या है जिस पर ये दोनों बैठ जाती हैं।

तब 1 बटा 4 बनता है 5 बटा 20, और 2 बटा 5 बनता है 8 बटा 20 वाली भिन्न। अब ऊपर की संख्याएँ मिलाना ईमानदार तुलना है, क्योंकि दोनों एक ही आकार के टुकड़े गिन रही हैं। ऊपर की संख्या एक गिनती है, और गिनती का कोई मतलब नहीं जब तक पता न हो कि गिना क्या जा रहा है। नीचे की संख्या तय कर दें, तो पूरी तुलना ऊपर की संख्या में आ जाती है।

अब सवाल बस इतना है कि मिलकर कौन सी नीचे की संख्या तय की जाए? ये फ़ैसला बहुत पहले हो चुका है, और वो नीचे की संख्या 100 है। प्रतिशत का मतलब है 100 में से, और ये शब्द बस इतना ही कहता है। नीचे की संख्या 100 पहले से तय है और इस पर कोई बहस नहीं होती, इसलिए प्रतिशत में कही गई संख्याएँ सीधे आपस में मिलाई जा सकती हैं।

तो 25 प्रतिशत का मतलब है 100 में से 25 हिस्से। जैसे 100 लोगों में से 25 लोग, 100 पेड़ों में से 25 पेड़, और 100 अंकों में से 25 अंक। संख्या वही है और नापी गई चीज़ें 3 अलग अलग हैं, और यही तो इसकी असली खूबी है। किसी भी पूरे पर प्रतिशत लगाना हो, तो पहले उसे वापस भिन्न बनाना काफ़ी है। जैसे 50 प्रतिशत यानी 1 बटा 100 के 50 हिस्से, और ये 50 बटा 100 बनता है।

और 50 बटा 100 छोटा होकर 1 बटा 2 बन जाता है, यानी आधा। एक डिब्बे में 60 कंचे हैं, तो उनका 50 प्रतिशत यानी 60 का आधा, जो 30 कंचे बनते हैं। बाकी आधे में भी 30 कंचे हैं, और 30 और 30 मिलकर पूरे 60 कंचे हो जाते हैं। किसी प्रतिशत को उल्टा पढ़ें, तो वो सीधे एक भिन्न बन जाता है। जैसे 20 प्रतिशत यानी 20 बटा 100, और ऊपर नीचे दोनों को 10 से भाग दें तो 2 बटा 10 मिलता है।

फिर ऊपर नीचे दोनों को 2 से भाग दें, तो ये 1 बटा 5 रह जाता है। पर 33 प्रतिशत यानी 33 बटा 100, और ये बिल्कुल छोटा नहीं होता, क्योंकि ऊपर नीचे में कोई साझा भाजक नहीं। यानी प्रतिशत कोई नई तरह की संख्या नहीं, ये एक साधारण भिन्न है जिसने पहले से तय नीचे की संख्या पहन रखी है। इसलिए भिन्नों के नियम प्रतिशत पर भी ठीक उसी तरह चलते हैं।

एक चित्रकार समंदर का रंग बनाने के लिए नीला और हरा रंग मिला रहा है, और मिश्रण में नीला रंग 3 बटा 4 है। ऊपर नीचे दोनों को 2 से गुणा करें, तो 3 बटा 4 बनता है 6 बटा 8 वाली भिन्न। उसी 3 बटा 4 को 10 से गुणा करें, तो 30 बटा 40 बनता है। और 25 से गुणा करें, तो 75 बटा 100 बनता है। इस पूरी कड़ी में कुछ नहीं बदला, रंग का वही डिब्बा 4 बार, 4 अलग आकार के टुकड़ों में बताया गया है।

आखिरी रूप में वही तय नीचे की संख्या है, तो नीला रंग 75 प्रतिशत है, और हरा बचा हुआ 25 प्रतिशत। और 75 और 25 मिलकर 100 होते हैं, होने भी चाहिए, क्योंकि दोनों मिलकर पूरा डिब्बा हैं। अब उसी डिब्बे को एक पट्टी की तरह बनाते हैं, एक सिरे पर 0 और दूसरे सिरे पर 100 प्रतिशत। पट्टी के ऊपर उसे 4 बराबर हिस्सों में काटते हैं, और नीचे 100 के पैमाने पर निशान लगाते हैं।

ऊपर के निशान ठीक 25, 50, 75 और 100 पर गिरते हैं, यानी 4 में से 4 निशान नीचे वालों से मिल जाते हैं। बीच वाला निशान 2 बटा 4 है, जो आधा है, और वो 50 पर बैठता है। नीला रंग 3 हिस्से भरता है, 75 तक, और हरा आखिरी हिस्सा, यानी 25 प्रतिशत। ऊपर का पैमाना 4 बराबर हिस्से गिनता है और नीचे वाला 100 हिस्से, पर दोनों एक ही पट्टी की बात कर रहे हैं।

उस कड़ी पर चलने के 2 रास्ते हैं, और दोनों अलग अलग लगते हैं। पहला रास्ता भिन्न को दोबारा लिखता है, 3 बटा 4 के ऊपर नीचे को 25 से गुणा करें तो 75 बटा 100 मिलता है। दूसरा रास्ता सवाल पूछता है, 100 का 3 बटा 4 कितना है, और जवाब आता है 75 प्रतिशत। दोनों एक ही जगह पहुँचते हैं, और ये कोई इत्तेफ़ाक नहीं। असल में 25 से गुणा करना और 100 पर ले जाना एक ही कदम है, बस 2 तरह से बताया गया है।

तो जो रास्ता उस वक्त साफ़ दिखे, वही चुन लीजिए। वही चित्रकार कैनवस के एक लंबे रोल का 2 बटा 5 हिस्सा एक बड़े चित्र के लिए अलग रखता है। पहले 2 बटा 5 को 10 से गुणा करें तो 20 बटा 50, और फिर 2 से गुणा करें तो 40 बटा 100, यानी 40 प्रतिशत। अब रोल को 0 से 100 प्रतिशत तक की पट्टी बनाते हैं, और उसे 5 बराबर हिस्सों में काटते हैं।

बीच में 4 निशान बनते हैं, और इन 4 निशानों पर संख्याएँ लिखनी हैं। तो 1 बटा 5 पर 20, 2 बटा 5 पर 40, 3 बटा 5 पर 60, और 4 बटा 5 पर 80 प्रतिशत लिखा जाता है। आगे का हर डिब्बा पिछले से 20 ज़्यादा है, और 40 वाला डिब्बा वही कैनवस है, ठीक अपनी जगह पर। इस पट्टी से कोई नया हिसाब नहीं निकला, बस ये 4 निशान एक ही पैमाने पर एक साथ दिख गए।

इसे उल्टा चलाएँ, तो एक दिलचस्प बात सामने आती है। जैसे 24 प्रतिशत यानी 24 बटा 100, पर ये और क्या क्या है? ये 6 बटा 25 के बराबर है, 12 बटा 50 के बराबर है, और 18 बटा 75 के बराबर भी। और 100 के आगे भी ऐसी 4 भिन्नें हैं, 48 बटा 200 तक। यानी 200 तक ही 8 भिन्नें मिलती हैं, और ये 8 की 8 एक ही संख्या हैं।

तो प्रतिशत किसी एक भिन्न का नाम नहीं, ये पूरे परिवार का नाम है, और उस सदस्य की तरफ़ इशारा करता है जिसकी नीचे की संख्या 100 है। और 100 प्रतिशत खुद पूरा है, जो 1 बटा 1, 2 बटा 2, 3 बटा 3 और 4 बटा 4 जैसे रूपों में बैठता है। अब 6 भिन्नें लेते हैं, और इन्हें प्रतिशत में बदलते हैं। पहले 3 बटा 5, जो 60 प्रतिशत है, और फिर 9 बटा 20, जो 45 प्रतिशत है।

फिर 7 बटा 14, जिसमें अक्सर गड़बड़ होती है, जवाब न 7 है न 14, ये तो आधा है, यानी 50 प्रतिशत। फिर 72 बटा 150, ऊपर नीचे को 3 से भाग दें तो 24 बटा 50, और फिर दुगुना करें तो 48 बटा 100, यानी 48 प्रतिशत। अब बचीं 1 बटा 3 और 5 बटा 11 वाली भिन्नें। तो 1 बटा 3 बनता है 33 और 1 बटा 3 प्रतिशत, और 5 बटा 11 बनता है 45 और 5 बटा 11 प्रतिशत।

ये दोनों 100 पर पूरी संख्या बनकर नहीं बैठतीं, 6 में से सिर्फ़ 4 भिन्नें ऐसा करती हैं। ये कोई कमी नहीं, बस इन भिन्नों का एक तथ्य है, और ईमानदारी ये है कि साफ़ कहें, चुपचाप गोल करके छिपाएँ नहीं। एक थैले में 25 कंचे हैं, जिनमें से 15 सफ़ेद हैं। तो 25 में से 15 यानी 100 में से 60, यानी 60 प्रतिशत कंचे सफ़ेद हैं। दिए गए 5 जवाबों में सवाल की अपनी संख्याएँ 15 और 25 शामिल हैं, और यही सबसे बड़ा लालच है।

पर जवाब सवाल में लिखी कोई संख्या नहीं, बल्कि 100 में से एक गिनती है। अब एक स्कूल के 80 विद्यार्थियों में से 15 पैदल आते हैं। तो 80 में से 15 छोटा होकर 3 बटा 16 बनता है, जो 18 दशमलव 7 5 प्रतिशत है। प्रतिशत का पूरी संख्या होना कोई ज़रूरी शर्त नहीं। सड़क पर 4 धावक दौड़ रहे हैं, और 6 संख्याएँ दी गई हैं कि कौन कितने प्रतिशत रास्ता तय कर चुका है।

संख्याएँ हैं 55, 20, 38, 72, 84 और 93, यानी 6 संख्याएँ और 4 धावक, तो 2 संख्याएँ किसी की नहीं। पहला धावक करीब 1 बटा 3 रास्ते पर है, और 1 बटा 3 के पास सिर्फ़ 38 है। दूसरा आधे से थोड़ा आगे है, तो वो 55 है, और चौथा लगभग अंत पर है, तो वो 93 है। तीसरा धावक दूसरे और चौथे के बीच में है, तो उसकी संख्या कौन सी होगी?

बीच में 72 और 84 दोनों बैठती हैं, तो सिर्फ़ तस्वीर से ये तय नहीं होता। और ये मान लेना बेहतर है, बजाय इसके कि एक चुनकर पक्के होने का दिखावा करें। अब 4 तुलनाएँ हैं, और उनके लिए आधा एक निशान की तरह काम करेगा। पहली तुलना में 50 प्रतिशत ठीक आधे पर है और 5 प्रतिशत उससे बहुत नीचे, तो 50 प्रतिशत बड़ा है। दूसरी में 5 बटा 10 और 50 प्रतिशत हैं, और 5 बटा 10 को 100 पर ले जाएँ तो 50 बटा 100 बनता है, यानी एक ही संख्या 2 तरह लिखी है।

तीसरी में 3 बटा 11 आधे से नीचे है और 61 प्रतिशत आधे से ऊपर, तो बिना हिसाब के 61 प्रतिशत बड़ा है। पर चौथी में 30 प्रतिशत और 1 बटा 3 दोनों आधे से नीचे हैं, तो यहाँ आधा कुछ नहीं बताता। हिसाब करें तो 1 बटा 3 बनता है 33 और 1 बटा 3 प्रतिशत, जो 30 प्रतिशत से बड़ा है। यानी 4 में से 2 तुलनाएँ आधा खुद तय कर देता है, और बाकी के लिए थोड़ा ध्यान या हिसाब चाहिए।

अब वापस बिस्कुट पर चलते हैं, इस बार 100 के पैमाने पर। तो 34 में से 9 करीब 26 दशमलव 4 7 प्रतिशत बनता है। और 45 में से 13 करीब 28 दशमलव 8 9 प्रतिशत बनता है। ये दोनों दशमलव गोल किए गए हैं, असली भाग दशमलव के बाद 2 अंकों पर रुकता ही नहीं। बिस्कुट में कुछ नहीं बदला, सिर्फ़ नीचे की संख्या बदली, और अब दोनों ऊपर की संख्याएँ एक ही आकार के टुकड़े गिनती हैं।

अगर 10 का पैमाना लें, तो यही दोनों करीब 2 दशमलव 6 4 7 और 2 दशमलव 8 8 9 हैं। और 1000 का पैमाना लें, तो करीब 264 दशमलव 7 और 288 दशमलव 9 बनते हैं। आखिरी सवाल, नीचे की संख्या 100 ही क्यों, 10 क्यों नहीं? पूरी संख्या तक गोल करें तो 10 के पैमाने पर दोनों बिस्कुट 3 पढ़ते हैं, यानी 10 का पैमाना इन्हें अलग नहीं कर पाता।

पर 100 के पैमाने पर, उसी तरह गोल करने पर, ये 26 और 29 पढ़ते हैं, और फ़र्क साफ़ दिखता है। जो 4 भिन्नें साफ़ बदली थीं, उनमें से 10 पर सिर्फ़ 2 पूरी बैठती हैं, और 100 पर 4 की 4 भिन्नें। और 1000 पर भी 4 में से 4 बैठती हैं, पर ज़्यादा अंक लिखकर। तो 100 वो जगह है जहाँ पैमाना बहुत मोटा नहीं रहता, और फ़िज़ूल के अंक भी नहीं लिखता।

और 0 से 100 तक की 101 में से 101 पूरी प्रतिशत संख्याएँ दशमलव के बाद ठीक 2 अंकों पर बैठती हैं। यानी प्रतिशत एक भिन्न है जिसने 100 वाली तय नीचे की संख्या पहनी है, इसलिए प्रतिशत में लिखी संख्याएँ सीधे ऊपर की संख्या से मिलाई जा सकती हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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