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Chapter 1 · Fractions in Disguise

पेचीदा percentages: 50% margin के बाद 50% छूट से 25% की हानि क्यों होती है

Using percentages13 मिनट

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50 प्रतिशत जोड़कर दाम लिखा, फिर 50 प्रतिशत छूट दी, और विक्रेता को लगा कि वो वहीं लौट आई। पर उसे लागत का सिर्फ़ 3 बटा 4 वापस मिला, 25 प्रतिशत का घाटा, क्योंकि छूट एक बड़ी संख्या पर लगी थी।

मुख्य idea

हर percentage चुपचाप एक आधार का नाम लेता है, और जिस पल एक ही कहानी के दो percentages के आधार अलग हो जाते हैं, वे ऐसी संख्याओं की तरह बरताव करना बंद कर देते हैं जिन्हें जोड़ा जा सके। Surbhi का 50% का mark-up, उसके चुकाए का 50% है; उसकी 50% की छूट, उस बड़ी क़ीमत का 50% है जो उसने अंकित की थी। तो छूट उससे ज़्यादा ले जाती है जितना mark-up ने जोड़ा था, और 1.5 × 0.5 = 0.75 — उसका एक-चौथाई पैसा चला गया, जबकि वह मान रही थी कि हिसाब बराबर रहा। इस section का हर जाल यही एक ग़लती है: percentages अपने factors का गुणा करके मिलते हैं, और उन्हें सिर्फ़ तब जोड़ा जा सकता है जब उनका आधार एक हो।

आपको क्या आना चाहिए

  • दो offers का percentage फ़ायदा निकालकर उनकी रैंकिंग करना, फिर उन्हीं दो offers की राशि के हिसाब से रैंकिंग करना, और समझाना कि दोनों क्रम अलग क्यों हो सकते हैं
  • तय करना कि सपाट छूट कब percentage छूट से बेहतर है, और वह ख़रीद की value निकालना जिस पर दोनों बराबर हैं
  • दिखाना कि a% और b% की दो लगातार छूटें (a + b)% की छूट नहीं हैं, और वह अकेली छूट निकालना जिसके वे बराबर हैं
  • mark-up के बाद छूट को दो factors के गुणनफल की तरह दिखाना, और कुल असर गुणनफल से पढ़ना
  • आधारों के ज़रिए समझाना कि बराबर percentage की छूट बराबर percentage के mark-up को क्यों नहीं उलटती
  • वह छूट निकालना जो किसी बताए गए mark-up को ठीक-ठीक काट दे
  • एक राशि के दूसरी का k% होने वाले कथन को सही ढंग से उल्टे कथन में बदलना
  • "n ख़रीदो, एक मुफ़्त पाओ" वाले offer को percentage छूट की तरह कहना
  • इस पर सोचना कि किसी percentage को एक अंक हिलाने के लिए आबादी को कितना बदलना होगा

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
discountदुकान किसी क़ीमत में जो कमी करती है, उसी क़ीमत के percentage की तरह कही गईछूट / बट्टाइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.16; p.18 पर अर्थ दिया गया)
profit marginक्रय मूल्य के percentage की तरह कहा गया लाभलाभ प्रतिशतइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.17)
compoundingहर बदलाव को पिछले बदलाव के नतीजे पर लगानाचक्रवृद्धिइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.22)
absolute valueसीधी-सादी राशि, उस अनुपात से अलग जिसे वह दिखाती हैनिरपेक्ष मानइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.26, चेतावनी वाले box में)
proportionकोई हिस्सा पूरी राशि का कितना भाग हैअनुपात / भागइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.14)
stock clearanceबचा हुआ माल बेच देना, आम तौर पर घटी क़ीमत परस्टॉक निपटानइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.26)
cost priceसामान पाने के लिए विक्रेता ने जो चुकायाक्रय मूल्यइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.16)
selling priceछूट के बाद ग्राहक असल में जो चुकाता हैविक्रय मूल्यइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.16)
percentage lossहानि, क्रय मूल्य के percentage की तरहप्रतिशत हानिइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.17)
successive discountsएक के बाद एक लगाई गई दो छूटों के लिए इस पाठ का नामक्रमिक छूटइस पाठ का शब्द; chapter यह हालत दिखाता है और इसे compounding कहता है
shared baseउस शर्त के लिए इस पाठ का नाम जिसमें दो percentages जोड़े जा सकते हैंसमान आधारइस पाठ का शब्द, छपा नहीं है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्दों के बजाय standard प्रयोग मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "30% छूट और फिर 20% छूट यानी 50% छूट।" यह 44% छूट है। chapter कारण का नाम लेता है — ख़रीदारी में दोनों compound होते हैं — और Example 12 इसकी क़ीमत निकालकर दिखाता है। chapter में व्यापार के लिहाज़ से यही सबसे काम का गणित है।
  • "50% का mark-up 50% की छूट से कट जाता है।" इससे 25% की हानि बचती है, क्योंकि छूट बड़ी संख्या पर ली जाती है। Surbhi का तीन bars वाला model ही पूरा सबूत है, और वह एक ही नज़र में समा जाता है।
  • "बड़ा percentage फ़ायदा ही बेहतर offer है।" Option A, 200% कमाता है और तुम्हें ₹200 देता है; Option B, 50% कमाता है और तुम्हें ₹500 देता है। कौन बेहतर है यह इस पर निर्भर है कि तुम्हारे पास क्या था, और इसीलिए chapter इसका जवाब देने से इनकार करता है।
  • "percentage छूट हमेशा सपाट छूट से बेहतर होती है।" clearance वाले सवाल में ₹250 से नीचे सपाट ₹50 बेहतर है। जवाब बराबरी वाला बिंदु है, दोनों में से कोई offer नहीं।
  • "जो club 100% बढ़ा, वही बड़ा club है।" उसमें चार सदस्य हो सकते हैं। बढ़त और आकार अलग सवाल हैं, और comic इन्हें अलग करने के लिए ही है।
  • "अगर मेरे तुम्हारे के 120% हैं, तो तुम्हारे मेरे के 80% हैं।" तुम्हारे मेरे के 83.33% हैं। दोनों कथनों के आधार अलग हैं, इसलिए दोनों percentages एक-दूसरे के पूरक नहीं हैं।
  • "एक ख़रीदो एक मुफ़्त, दूसरी चीज़ पर 100% छूट है, तो 100% छूट।" यह 50% छूट है, क्योंकि घर ले गई दो चीज़ों में से एक के पैसे तुमने दिए। सवाल का छपा संकेत — मुफ़्त चीज़ों की तुलना कुल मिली चीज़ों से करो — ठीक यही सुधार है।
  • "99% को 98% पर लाने के लिए एक-दो लोग जाते हैं।" उनचास जाते हैं। students 99 के बारे में सोचते हैं जबकि उन्हें 1 के बारे में सोचना चाहिए।
  • "percentages कभी नहीं जुड़ते।" जब उनका आधार एक हो तो वे आराम से जुड़ते हैं — Profit, loss and taxes as percentages of a stated amount वाले bill की CGST और SGST lines एक sub-total का 18% बनती हैं। नियम आधार के बारे में है, percentages के बारे में नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 5 Q5, Figure it Out · 5 Q13, Figure it Out · 5 Q14

पूरा transcript1,955 शब्द

कोई भी प्रतिशत, चुपचाप, अपने नीचे की किसी संख्या की बात कर रहा होता है। जब कोई 50 प्रतिशत कहता है, तो असली सवाल ये है, कि किसका 50 प्रतिशत? वाक्य का यही छूटा हुआ हिस्सा, इस विषय की ज़्यादातर गलतियों की जड़ है। नीचे वाली इस संख्या को आधार कहते हैं। जब एक ही कहानी में आए प्रतिशत, एक ही आधार पर खड़े हों, तो वो आराम से जुड़ जाते हैं, और कुछ नहीं बिगड़ता।

पर जब वो अलग अलग आधारों पर खड़े हों, तो उन्हें सीधे जोड़ा नहीं जा सकता। और मुश्किल ये है, कि गलत जवाब, सही जवाब के इतने करीब होता है, कि उस पर भरोसा हो जाता है। यहाँ 2 समूह हैं, और दोनों का दावा है, कि वही सबसे तेज़ी से बढ़ा। पहले समूह में, साल की शुरुआत में 678 सदस्य थे, और साल भर में वो 80 प्रतिशत बढ़ा।

दूसरा समूह 100 प्रतिशत बढ़ा, यानी उसके सदस्य दोगुने हो गए। सुनने में 100 प्रतिशत ऐसा लगता है, जैसे उसे कोई नहीं हरा सकता। पर दूसरे समूह में कुल 5 सदस्य थे, तो दोगुना होने से सिर्फ़ 5 नए लोग आए। और 678 सदस्यों का 80 प्रतिशत, 500 से भी ज़्यादा नए लोग हैं। छोटा समूह हिस्से में जीतता है, और लोगों की गिनती में हारता है, और ये दोनों बातें सच हैं।

प्रतिशत हिस्से को नापता है, और हिस्सा, आकार नहीं होता। अब यही उलझन, टोकन की रकम में। आपके सामने 2 पेशकशें हैं, और उनमें से सिर्फ़ एक, एक ही बार चुनी जा सकती है। पहली में आप 100 टोकन लगाते हैं, और 300 टोकन वापस पाते हैं। दूसरी में आप 1000 टोकन लगाते हैं, और 1500 टोकन वापस पाते हैं। पहली पेशकश 100 टोकन पर 200 टोकन ज़्यादा लौटाती है, यानी 200 प्रतिशत का फ़ायदा।

दूसरी पेशकश 1000 टोकन पर 500 टोकन ज़्यादा लौटाती है, यानी 50 प्रतिशत का फ़ायदा। प्रतिशत में पहली आगे है, और टोकन में दूसरी, यानी दोनों क्रम उलटी दिशा में जाते हैं। तो इन दोनों में से कौन सी पेशकश बेहतर है? ये इस पर टिका है, कि आपके पास लगाने को 100 टोकन हैं, या 1000 टोकन। प्रतिशत ने रकम को जानबूझकर छोड़ दिया है, और प्रतिशत का काम ही यही है।

वो बताता है कि हिस्सा कितना बड़ा है, ये नहीं कि रकम कितनी है। इसलिए बड़ा प्रतिशत देखकर, बड़ी रकम मान लेना, यही गलती है। अगर 7 अलग रकमें लगाई जाएँ, और हर रकम 3 गुना लौटे, तो प्रतिशत में ये पेशकश हर बार आगे रहती है, पर टोकन में सिर्फ़ 4 रकमों पर। हिस्सा हर बार वही है, बदलती सिर्फ़ उसके पीछे की रकम है। एक दुकान, 150 टोकन से ज़्यादा की किसी भी खरीद पर, 2 में से एक छूट देती है।

या तो 20 प्रतिशत की छूट, या फिर सीधे 50 टोकन की छूट। पहली टोकरी 180 टोकन की है, उसका 20 प्रतिशत 36 टोकन है, तो सीधी 50 टोकन वाली छूट बेहतर है। दूसरी टोकरी 225 टोकन की है, उसका 20 प्रतिशत 45 टोकन है, अब भी 50 टोकन से कम। तीसरी टोकरी 300 टोकन की है, उसका 20 प्रतिशत 60 टोकन है, और अब प्रतिशत वाली छूट जीतती है।

तो इन टोकरियों के बीच कहीं, दोनों छूटें बराबर होती हैं। अब वो टोकरी ढूँढनी है, जिसका 20 प्रतिशत, ठीक 50 टोकन हो। इसके लिए 50 को 100 से गुणा करके, 20 से भाग देते हैं, और 250 टोकन मिलते हैं। यानी 250 टोकन से कम की टोकरी पर, सीधी 50 टोकन की छूट बेहतर है। और 250 टोकन से ज़्यादा की टोकरी पर, प्रतिशत वाली छूट बेहतर है। यहाँ 8 टोकरियाँ जाँची गईं, और हर एक पर यही नियम सही निकला, 4 टोकरियों पर सीधी छूट जीती, 1 पर बराबरी रही, और 3 पर प्रतिशत जीता।

तो प्रतिशत वाली छूट हमेशा बेहतर नहीं होती, और सीधी रकम वाली भी नहीं। जवाब कोई एक छूट नहीं, जवाब वो जगह है, जहाँ दोनों बराबर होती हैं। एक ही गली में, केक की 2 दुकानें हैं। पहली दुकान लिखती है, 30 प्रतिशत छूट, और फिर 20 प्रतिशत छूट। दूसरी दुकान लिखती है, सीधे 50 प्रतिशत छूट। देखने में 30 और 20 मिलकर 50 होते हैं, तो दोनों दुकानें एक जैसी लगती हैं।

मान लीजिए केक का दाम 200 टोकन है, उसका 30 प्रतिशत यानी 60 टोकन घटे, तो 140 टोकन बचते हैं। अब 140 टोकन का 20 प्रतिशत, यानी 28 टोकन घटे, तो 112 टोकन बचते हैं। सीधी 50 प्रतिशत की छूट से, वही केक 100 टोकन का पड़ता है। यानी 200 टोकन वाले एक केक पर, 12 टोकन का फ़र्क। पूरी वजह इस बात में है, कि दूसरी छूट किस दाम पर लगी।

पहली छूट 200 टोकन पर लगी, पर दूसरी 140 टोकन पर, क्योंकि तब तक दाम यही रह गया था। दूसरा प्रतिशत एक छोटी संख्या पर खड़ा है, इसलिए वो उम्मीद से कम घटाता है। इसलिए छूटों को जोड़ने के बजाय, हर छूट के बाद बचे हिस्से को गुणा करना होता है। छूट के बाद जो बचता है, वो पहली बार 7 बटा 10 है, और दूसरी बार 8 बटा 10 हिस्सा।

इन दोनों का गुणा, 56 बटा 100 है, यानी दाम का 56 प्रतिशत बचता है। तो ये जोड़ी असल में 44 प्रतिशत की छूट है, 50 प्रतिशत की नहीं, और 5 अलग दामों पर आज़माने से, हर बार 56 प्रतिशत ही बचा। गायब हुए 6 प्रतिशत भी गिने जा सकते हैं, वो 30 गुणा 20 को, 100 से भाग देकर मिलते हैं। और क्रम बदलने से कुछ नहीं बदलता, यहाँ 6 जोड़ियाँ उलटकर देखी गईं, और किसी का जवाब नहीं बदला।

अब यही गलती, एक विक्रेता के अपने टोकनों के साथ। वो थोक में बर्तन खरीदती है, और खरीदे दाम पर 50 प्रतिशत जोड़कर दाम लिखती है। बिक्री धीमी है, तो बचा माल निकालने के लिए, वो लिखे दाम पर 50 प्रतिशत छूट दे देती है। उसे लगता है, 50 प्रतिशत जुड़ा और 50 प्रतिशत घटा, तो वो वहीं आ गई, जहाँ से चली थी। मान लीजिए उसने जो दिया, वो x है, तो लिखा हुआ दाम, x का 1 दशमलव 5 गुना है।

और उसका आधा, x का 3 बटा 4 गुना है। यानी उसे अपनी लागत का 3 बटा 4 ही वापस मिला, और 25 प्रतिशत का घाटा हुआ, जबकि उसे लगा, न फ़ायदा हुआ, न नुकसान। यहाँ 6 बराबर जोड़ और घटाव आज़माए गए, और हर बार दाम, शुरुआत से नीचे ही खत्म हुआ। अब देखिए, वो दोनों 50 प्रतिशत, किस संख्या पर खड़े थे। मुनाफ़े ने x का 50 प्रतिशत जोड़ा, यानी उसकी लागत का आधा।

छूट ने x के 1 दशमलव 5 गुने का 50 प्रतिशत घटाया, यानी उसकी लागत का 3 बटा 4 हिस्सा। प्रतिशत एक ही, पर घटी हुई रकम, जुड़ी हुई रकम का 1 दशमलव 5 गुना है, क्योंकि दूसरा आधार, पहले का 1 दशमलव 5 गुना है। अब असली संख्याएँ, जो माल छूट के बाद 12000 टोकन में बिका, उसकी लागत 16000 टोकन थी। यानी उसे पूरे 4000 टोकन का घाटा हुआ।

और 16000 टोकन पर 4000 टोकन, यानी 25 प्रतिशत, वही बात, जो टोकनों की रकम पर कभी टिकी ही नहीं थी। तो कितनी छूट देकर, वो ठीक बराबरी पर लौटती? उसे लिखे दाम से, x का वही आधा हटाना है, जो जोड़ा था, और वो आधा, 1 दशमलव 5 x का 1 बटा 3 है। यानी छूट 1 बटा 3 होनी चाहिए, लगभग 33 दशमलव 3 3 प्रतिशत, 50 प्रतिशत नहीं।

आम तौर पर, m जितना जोड़ने के बाद, बराबरी वाली छूट, m को 1 जमा m से भाग देकर मिलती है। यहाँ 7 अलग जोड़ जाँचे गए, और हर बार ये छूट, m से छोटी निकली। हल्की संख्याओं पर भी यही होता है, 35 प्रतिशत जोड़ा, फिर 30 प्रतिशत घटाया। अब 1 दशमलव 3 5 गुणा 7 बटा 10, यानी 945 बटा 1000 बचता है, और 5 दशमलव 5 प्रतिशत का घाटा होता है।

देखने में ये 5 प्रतिशत का फ़ायदा लगता है, पर असल में ये घाटा है। यही जाल, एक अकेले वाक्य में भी छिप सकता है। मेरे पास तुमसे 20 प्रतिशत ज़्यादा कंचे हैं, तो क्या तुम्हारे पास मुझसे 20 प्रतिशत कम हैं? नहीं, अगर मेरे कंचे तुम्हारे 120 प्रतिशत हैं, तो तुम्हारे कंचे, मेरे 100 बटा 120 हैं। यानी 5 बटा 6, लगभग 83 दशमलव 3 3 प्रतिशत। तो तुम 1 बटा 6 से पीछे हो, लगभग 16 दशमलव 6 7 प्रतिशत, 20 प्रतिशत नहीं।

वो 80 प्रतिशत, 200 में से 120 घटाकर आता है, और वो किसी दूसरे सवाल का जवाब है। ऐसी 8 तुलनाएँ घटाकर उलटी पढ़ी गईं, और हर एक का जवाब गलत निकला। तुलना उलटते ही, आधार भी उलट जाता है। अब 3 दुकानें, एक जैसा सामान, और एक चीज़ का दाम 100 टोकन। पहली पर 1 खरीदो तो 1 मुफ़्त, दूसरी पर 2 खरीदो तो 1 मुफ़्त, और तीसरी पर 3 खरीदो तो 1 मुफ़्त।

पहली पेशकश 100 प्रतिशत छूट जैसी लगती है, क्योंकि दूसरी चीज़ का कुछ नहीं देना पड़ा। पर आपने 100 टोकन दिए, और 2 चीज़ें लेकर निकले, तो एक चीज़ 50 टोकन की पड़ी, यानी 50 प्रतिशत छूट। मुफ़्त चीज़ों की तुलना, घर ले जाई गई सारी चीज़ों से कीजिए, सिर्फ़ खरीदी गई चीज़ों से नहीं, और तीनों दुकानों पर यही छूट बनती है। तो छूटें हैं, 1 बटा 2, 1 बटा 3, और 1 बटा 4, यानी 50 प्रतिशत, लगभग 33 दशमलव 3 3 प्रतिशत, और 25 प्रतिशत।

और एक चीज़ का असली दाम, 50 टोकन, लगभग 66 दशमलव 6 7 टोकन, और 75 टोकन। अब मान लीजिए आपको ठीक 4 चीज़ें चाहिए, तो किस दुकान पर जाएँ? पहली दुकान पर, वही पेशकश 2 बार लेने से, 200 टोकन में 4 चीज़ें मिलती हैं। दूसरी दुकान पर, पेशकश एक बार लेने से 3 चीज़ें मिलती हैं, और एक चीज़ पूरे दाम पर, कुल 300 टोकन। तीसरी दुकान पर, पेशकश एक बार लेने से ठीक 4 चीज़ें मिलती हैं, पर 3 चीज़ों के दाम पर, यानी 300 टोकन।

दूसरी दुकान पर 4 चीज़ें, पूरी पेशकशों में नहीं बँटतीं, इसलिए वहाँ पेशकश बीच में मदद करना छोड़ देती है। सवाल को दूसरी तरह पढ़ें, तो दूसरी दुकान पर पेशकश 2 बार लेकर, 400 टोकन में 6 चीज़ें मिलती हैं। दोनों तरह पढ़ने पर, पहली दुकान ही सबसे सस्ती रहती है। आखिरी सवाल, और शायद सबसे अच्छा। एक कमरे में 100 लोग हैं, और उनमें से 99 प्रतिशत, बाएँ हाथ से लिखते हैं।

कितने बाएँ हाथ वाले बाहर जाएँ, कि ये हिस्सा 98 प्रतिशत रह जाए? ज़्यादातर लोगों का अंदाज़ा होता है, 1 व्यक्ति, पर सही जवाब है 50 लोग। नज़र 99 प्रतिशत पर नहीं, उस 1 व्यक्ति पर रखिए, जो दाएँ हाथ से लिखता है, और जो कहीं नहीं जाता। उसे कमरे का 2 प्रतिशत बनना है, यानी कमरे में कुल 50 लोग होने चाहिए। तो 50 बाएँ हाथ वाले बाहर जाते हैं, और 49 रह जाते हैं, और 50 में से 49, यानी 98 प्रतिशत।

आधा कमरा खाली होता है, सिर्फ़ 1 प्रतिशत अंक खिसकाने के लिए। जो संख्या टिकी हुई थी, वो उस समूह की थी, जिसे कोई गिन ही नहीं रहा था। पर इसका मतलब ये नहीं, कि प्रतिशत जोड़े ही नहीं जा सकते। मान लीजिए 450 टोकन की एक रकम पर, 2 अलग शुल्क लगते हैं, और दोनों उसी 450 टोकन का 9 प्रतिशत हैं। एक शुल्क 40 दशमलव 5 टोकन है, दोनों मिलकर 81 टोकन, यानी 450 टोकन का ठीक 18 प्रतिशत।

यहाँ जोड़ना बिल्कुल सही है, क्योंकि दोनों प्रतिशत एक ही आधार पर खड़े हैं, और 5 अलग बँटवारों पर भी, जोड़ हर बार सही निकला। पर वही 9 और 9 प्रतिशत, एक के बाद एक लगें, तो 18 प्रतिशत नहीं, 17 दशमलव 1 9 प्रतिशत बनते हैं। तो नियम प्रतिशत के बारे में नहीं, आधार के बारे में है। आधार एक हो, तो प्रतिशत जुड़ते हैं, और आधार खिसक जाए, तो उनके गुणक गुणा होते हैं।

और जब भी कोई प्रतिशत सुनाई दे, पहला सवाल वही रहता है, किसका प्रतिशत?

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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