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Chapter 1 · Fractions in Disguise

अलग-अलग कुल वाले दो अनुपातों की तुलना

Using percentages13 मिनट

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50 में से 42 अंक, या 80 में से 70? कम अंक कटे, ज़्यादा अंक मिले, या तुलना ही नहीं हो सकती? दोनों को 100 के एक आधार पर लाइए, 84 और 87 दशमलव 5 प्रतिशत, और जवाब साफ़ हो जाता है।

मुख्य idea

जब दो अनुपात अलग-अलग कुल पर टिके हों, तो न गिनतियाँ उनकी रैंकिंग कर सकती हैं न कमियाँ: 8 अंक कटे 50 में से और 10 कटे 80 में से — ये तुलना-योग्य संख्याएँ नहीं हैं, और छोटी कमी ही ख़राब प्रदर्शन है। दोनों को एक साझा आधार पर फिर से नापना ही तुलना को जायज़ बनाता है, और percentage का पूरा काम यही है। पर इस क़दम की एक क़ीमत है, और chapter इसके बारे में सावधान है: percentage आधार को फेंक देता है, इसलिए अकेला percentage कभी कोई राशि नहीं बता सकता। दो products में किसी रसायन का percentage बिल्कुल एक हो सकता है और उसका वज़न बिल्कुल अलग।

आपको क्या आना चाहिए

  • तय करना कि दिए गए दो अनुपातों की सीधी तुलना हो सकती है या नहीं, और बताना कि सीधी तुलना किस वजह से अमान्य है
  • असमान कुल वाले दो हिस्सा-कुल-में-से आँकड़ों को percentages में बदलकर उनकी रैंकिंग करना
  • दिखाना कि जब दोनों percentages में किए जाएँ, तो कमियों की तुलना वही फ़ैसला देती है जो अंकों की तुलना
  • product के label को एक बताए गए कुल वज़न के हिस्सों की तरह पढ़ना, और उन हिस्सों की table पूरी करना
  • जाँचना कि एक ही पूरी राशि के हिस्सों का जोड़ 100 है, और इस जाँच से ग़लती पकड़ना
  • समझाना कि असमान कुल के बराबर percentages का मतलब असमान राशियाँ क्यों है, और एक उदाहरण देना
  • standard form में लिखे आँकड़ों से दुनिया के कुल में किसी देश के हिस्से का अनुमान लगाना
  • तय करना कि कई कथनों में से किसे एक percentage bar graph सहारा देता है और किसे नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
proportionकोई हिस्सा पूरी राशि का कितना भाग हैअनुपात / भागइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.14, उपशीर्षक "To Compare Proportions" में)
maximum marksसबसे बड़ा संभव score, वह कुल जिसमें से test score गिना जाता हैपूर्णांकइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.14)
percentageऐसा fraction जिसका denominator 100 पर तय कर दिया गया होप्रतिशतताइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.1)
total weightlabel पर लिखा वह आँकड़ा जिसके हिस्से सामग्रियों के वज़न हैंकुल भारइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.15)
ingredientsवे नाम वाले घटक जिनसे कोई packaged product बना हैअवयव / सामग्रीइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.15)
KYCbanking वाले संक्षिप्त रूप पर chapter का खेल — Know Your Contentsअपनी सामग्री जानिएइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.15)
food chemicalsmix के additive वाले हिस्से के लिए label का अपना शीर्षकखाद्य रसायनइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.15, label के चित्रों के भीतर)
standard formबड़ी संख्या जिसे अंकों की एक कतार गुणा ten की किसी power की तरह लिखा गया होमानक रूपइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.28)
common-base rescalingदो अनुपातों को एक साझा denominator पर दोबारा लिखने के लिए इस पाठ का नामसमान आधार पर पुनर्मापनइस पाठ का शब्द; chapter "base" शब्द को बदलाव के denominator के लिए इस्तेमाल करता है और यह क़दम बिना नाम के उठाता है
shareकिसी हिस्से को उसकी अपनी पूरी राशि के percentage की तरह कहनाहिस्साइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.28, "percentage share" के रूप में)

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्दों के बजाय standard प्रयोग मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "कम अंक कटे मतलब बेहतर।" सिर्फ़ एक ही अधिकतम अंकों के सामने। 8, 50 में से, 10, 80 में से से बड़ा fraction है, और इसीलिए percentages Eesha का फ़ैसला पलट देते हैं।
  • "Vishu सही है — इनकी तुलना नहीं हो सकती।" अलग अधिकतम अंक सीधी तुलना को रोकते हैं, तुलना को नहीं। उसे आधा सही मानें और बताएँ कि कौन-सा आधा।
  • "किसी additive के ज़्यादा grams मतलब बड़ा अनुपात।" badam-mix के labels इसी को तोड़ने के लिए बने हैं: 24 g और 9 g, वही 6%.
  • "दो products के percentages की तुलना pack का आकार देखे बिना की जा सकती है।" उनकी तुलना हिस्सों की तरह की जा सकती है, जो अक्सर वही सवाल होता है जो तुम चाहते हो। राशियों की तरह नहीं की जा सकती। बदलने से पहले बताएँ कि सामने कौन-सा सवाल है।
  • "बड़ा percentage मतलब बड़ी राशि।" Madhu 120 g पर और Madhav 95 g पर। कम percentage बड़े pack पर है, और जवाब फिर भी Madhav के पक्ष में जाता है — पर सिर्फ़ हिसाब के बाद, पहले नहीं।
  • "rounding की वजह से हिस्सों का जोड़ 100 न भी हो।" इस table में जोड़ ठीक बैठता है, और chapter student से जाँचने को कहता है। 100 से चूकने वाली row किसी ख़ाने को दोबारा जाँचने का संकेत है, कोई अजूबा नहीं।
  • "percentages वाला bar graph बताता है कि कितने लोग हैं।" नहीं बताता। graph वाले सवाल का तीसरा कथन chart से जवाब देने लायक़ नहीं है, और students फिर भी उसका जवाब देंगे।
  • "seniors वाले bars, 60 या उससे ज़्यादा उम्र वालों वाले कथन को तय कर देते हैं।" सहमत होने से पहले समूहों के labels ध्यान से पढ़ें — chart के समूहों के नाम उम्र के दशक से रखे गए हैं, और उनमें से कौन 60 और ऊपर की उम्र को ढकता है, यह labels से दलील देकर तय करना होगा, मान नहीं लेना।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1.2 Q11, Figure it Out · 1.2 Q12, Figure it Out · 5 Q2

पूरा transcript2,108 शब्द

यहाँ 2 टेस्ट हैं, एक में 50 में से 42 अंक, और दूसरे में 80 में से 70 अंक। तो किस टेस्ट में काम बेहतर हुआ? इन्हीं 4 संख्याओं को 3 लोग देखते हैं, और 3 अलग जवाब देते हैं। पहला कहता है 50 अंक वाला टेस्ट, क्योंकि वहाँ बस 8 अंक कटे, और दूसरे में 10 अंक। दूसरा कहता है 80 अंक वाला टेस्ट, क्योंकि 70 अंक तो 42 से ज़्यादा हैं।

तीसरा कहता है कि इनकी तुलना हो ही नहीं सकती, क्योंकि दोनों टेस्ट अलग अलग कुल अंकों के हैं। इनमें एक सही है, एक संयोग से सही है, और एक आधा सही है, और वो आधा हिस्सा गौर करने लायक है। पहले 8 और 10 से शुरू करते हैं, जो ज़्यादातर लोगों को सबसे पहले सूझता है। अगर कुल अंक एक जैसे हों, तो कम अंक कटना सच में बेहतर है, 50 में से 8 कटना 10 कटने से अच्छा है।

पर इन दोनों टेस्टों का कुल एक जैसा नहीं है। तो इन्हें पट्टियों की तरह बनाते हैं, एक पट्टी 50 की, एक 80 की, और दूसरी साफ़ तौर पर लंबी है। छोटी पट्टी से कटे 8 अंक, लंबी पट्टी से कटे 10 अंकों से बड़ा हिस्सा हैं। यानी कम कटौती असल में बड़ा हिस्सा है, और पहला जवाब उल्टा है। रुकावट असली है, तीसरे व्यक्ति ने उसे ठीक पहचाना, पर उससे गलत नतीजा निकाला।

अलग कुल अंक सीधी तुलना रोकते हैं, तुलना को नहीं। दोनों टेस्टों को 100 के एक साझा कुल पर ले आइए, और रुकावट हट जाती है। अब 50 में से 42, बन जाता है 100 में से 84, यानी 84 प्रतिशत। और 80 में से 70, बन जाता है 100 में से 87 दशमलव 5, यानी 87 दशमलव 5 प्रतिशत। तो 80 अंक वाला टेस्ट जीतता है, और अब किसी वजह से जीतता है, संयोग से नहीं।

एक आधार पर ले आना, बस यही पूरा काम है जो प्रतिशत करता है। अब पहले व्यक्ति पर लौटते हैं, उसका तरीका गलत नहीं था, बस उसे ठीक से चलाया नहीं गया। कटे हुए अंक ज़रूर गिनिए, बस उन्हें अपने ही टेस्ट के हिस्से की तरह गिनिए। तो 50 में से 8 यानी 16 प्रतिशत, और 80 में से 10 यानी 12 दशमलव 5 प्रतिशत। कटौती 12 दशमलव 5 प्रतिशत, यानी 16 प्रतिशत से कम, तो ठीक से गिनी गई कटौती भी 80 अंक वाला टेस्ट ही चुनती है।

और ये हमेशा होगा, क्योंकि टेस्ट में जो मिला और जो कटा, वो मिलकर पूरा टेस्ट बनाते हैं, इसलिए दोनों हिस्से मिलकर 100 बनते हैं। अंक पढ़ना और कटौती पढ़ना एक ही बात को उल्टे सिरों से पढ़ना है, और इस वीडियो की 10 जोड़ियों में से हर एक पर दोनों एक ही जवाब देते हैं। जो तरीका सुधारने पर सही जवाब दे, वो उस तरीके से ज़्यादा सिखाता है जिस पर बस रोक लगा दी जाए।

अब इन 3 आदतों को टेस्टों की 10 जोड़ियों पर आज़माते हैं, जिनमें हमारी जोड़ी भी है। कम अंक कटने वाला नियम, 10 में से 6 पर ठीक बैठता है। पर जिन 9 जोड़ियों में कुल अंक अलग हैं, उनमें ये 5 पर ठीक है और 4 पर गलत, यानी बस संयोग। ज़्यादा अंक वाला नियम, 10 में से 4 पर ही ठीक बैठता है, और हमारी जोड़ी पर वो संयोग से ठीक था।

और तुलना से मना करने वाली आदत, 10 में से बस 1 जोड़ी पर जवाब देती है, वहाँ जहाँ कुल अंक बराबर हैं। जबकि प्रतिशत वाला तरीका, इन 10 जोड़ियों में से हर एक पर जवाब देता है। तो प्रतिशत तुलना सुलझा देते हैं, अब देखिए कि इसमें क्या छूट जाता है। बादाम वाले पेय के 2 पैक हैं, एक छोटा पैकेट और एक बड़ा डिब्बा। छोटे पैकेट में 150 ग्राम है, और बड़े डिब्बे में 400 ग्राम।

पैकेट में 99 ग्राम चीनी, 30 ग्राम दूध पाउडर, 12 ग्राम बादाम पाउडर, और 9 ग्राम मिलाए गए रसायन हैं। डिब्बे में 272 ग्राम चीनी, 64 ग्राम दूध पाउडर, 40 ग्राम बादाम पाउडर, और 24 ग्राम रसायन हैं। दोनों लेबलों पर वज़न जुड़कर ठीक पूरा पैक बनाते हैं, और आगे का पूरा हिसाब इसी पर टिका है। अब 2 सवाल हैं, बादाम का हिस्सा किसमें बड़ा है, और रसायनों का हिस्सा किसमें छोटा?

दोनों लेबल ग्राम में हैं और पैक अलग आकार के, इसलिए ग्राम किसी भी सवाल का जवाब नहीं देते। वही रुकावट जो टेस्टों में थी, और वही इलाज। पैकेट में 150 में से 99 ग्राम चीनी, यानी 66 प्रतिशत। ये 8 खानों में से एक खाना है, और बाकी 7 खाली हैं। इन्हें भरते हैं, पैकेट में 66, 20, 8 और 6 प्रतिशत। और डिब्बे में 68, 16, 10 और 6 प्रतिशत।

दोनों पंक्तियाँ जुड़कर 100 बनती हैं, और ये संयोग नहीं, ये वही वज़न हैं जो पूरा पैक बनाते थे, बस दूसरी इकाई में। बादाम वाले सवाल का जवाब साफ़ है, तो पहले वही। पैकेट में 150 में से 12 ग्राम, यानी 8 प्रतिशत, और डिब्बे में 400 में से 40, यानी 10 प्रतिशत। डिब्बे में बादाम वज़न में भी ज़्यादा है और हिस्से में भी, दोनों पढ़ाइयाँ एक साथ हैं।

अब रसायन, जहाँ असली बात छिपी है। पैकेट में 9 ग्राम, डिब्बे में 24 ग्राम, यानी करीब 2 दशमलव 6 7 गुना। पैकेट में 150 में से 9, यानी 6 प्रतिशत, और डिब्बे में 400 में से 24, ये भी 6 प्रतिशत। करीब करीब नहीं, बिल्कुल एक ही संख्या। तो रसायनों का हिस्सा किसमें छोटा है, इस सवाल का कोई विजेता नहीं, और जो भी जवाब दे, उसने वो गढ़ा है।

ये बस एक खाना था, और बाकी खाने एक जैसा बर्ताव नहीं करते। डिब्बा वज़न में हर खाने में भारी है, पर बड़ा हिस्सा उसके पास बस 2 खानों में है, चीनी और बादाम में। दूध पाउडर तो पूरा उल्टा है, डिब्बे में 64 ग्राम है जो पैकेट के 30 ग्राम से ज़्यादा है, पर हिस्सा 16 प्रतिशत, पैकेट के 20 से कम। भारी, फिर भी छोटा हिस्सा, दोनों सच, क्योंकि ये अलग सवालों के जवाब हैं।

तो ज़्यादा ग्राम मतलब बड़ा हिस्सा, ये बात इन 4 खानों में से 2 पर ठीक है और 2 पर गलत। और ठीक यही स्कोर एक गलत नियम को सालों तक ज़िंदा रखता है। इन पंक्तियों की एक और खूबी है, जो अपना काम जाँचने वाले के लिए तोहफ़ा है। दोनों पंक्तियों को जुड़कर 100 ही बनना है, क्योंकि वज़न जुड़कर पूरा पैक बनाते हैं। तो जो पंक्ति 100 न बने, उसमें कोई खाना गलत पढ़ा गया है, और वो गलती का आकार भी बताती है।

मान लीजिए पैकेट का दूध पाउडर 30 की जगह 33 पढ़ लिया, तो पंक्ति बनती है 102 प्रतिशत। यानी 2 ज़्यादा, और 150 ग्राम का 2 प्रतिशत होता है 3 ग्राम, ठीक उतनी ही गलती। तो जो पंक्ति 100 से चूक जाए, वो एक पर्ची है जिस पर गलती का आकार लिखा है। अब उल्टी तस्वीर, क्योंकि प्रतिशत औज़ार जितनी आसानी से जाल भी बन जाता है। मान लीजिए 2 लोग बिस्कुट खाते हैं, एक के बिस्कुट में 25 प्रतिशत चीनी है, दूसरे के में 35 प्रतिशत, तो किसने ज़्यादा चीनी खाई?

अगर दोनों ने बराबर, 100 ग्राम बिस्कुट खाए होते, तो जवाब 35 प्रतिशत वाला होता, और फ़र्क 10 ग्राम का। पर ऐसा नहीं हुआ, पहले ने 120 ग्राम खाए, और दूसरे ने 95 ग्राम। अब 120 का 25 प्रतिशत है 30 ग्राम, और 95 का 35 प्रतिशत है 33 दशमलव 2 5 ग्राम। बड़ा प्रतिशत अब भी जीतता है, पर फ़र्क सिमटकर 3 दशमलव 2 5 ग्राम रह गया, पहले वाले फ़र्क के 1 बटा 3 से भी कम।

और ये बस इस पर टिका है कि कुल वज़न कितना खींचते हैं, 133 ग्राम पर दोनों बराबर हैं, और 134 ग्राम पर छोटा प्रतिशत आगे निकल जाता है। इसी बात का दूसरा रूप, सिर्फ़ प्रतिशत से गिनती नहीं निकलती। मान लीजिए किसी समूह के 26 प्रतिशत लोग कोई काम कर सकते हैं, तो ऐसे कितने लोग हैं? समूह 400 का हो तो 104 लोग, 1000 का हो तो 260 लोग, और 50 का हो तो 13 लोग।

बस 26 कह देना, चुपचाप ये मान लेना है कि समूह 100 लोगों का है। अब 1 से 400 तक के सभी संभव कुल लीजिए, तो 400 कुलों में से ये जवाब बस 1 पर ठीक बैठता है, जब कुल ठीक 100 हो। गिनती निकालने के लिए कुल पता होना चाहिए, और कोई रास्ता नहीं। अब ऐसा मामला, जहाँ कुल इतना बड़ा है कि सोचना भी मुश्किल। दुनिया में करीब 820 करोड़ लोग रहते हैं।

अब 4 देश लीजिए, उनमें करीब 8 दशमलव 3 करोड़, 146 करोड़, 17 दशमलव 5 करोड़, और 34 दशमलव 7 करोड़ लोग हैं। इन्हें आपस में तौलना मुश्किल है, पर सबके हिस्से के तौर पर, ये करीब 1 प्रतिशत, 17 दशमलव 8, 2 दशमलव 1, और 4 दशमलव 2 प्रतिशत हैं। ये 4 मिलकर दुनिया के एक चौथाई से थोड़ा ज़्यादा हैं, करीब 25 दशमलव 1 8 प्रतिशत। और बड़े वाले के लिए हिसाब भी नहीं चाहिए, 820 में 146 करीब 2 बटा 10 से थोड़ा कम है, तो 20 प्रतिशत से थोड़ा कम, करीब 18 प्रतिशत।

यही इस औज़ार का असली काम है, ऐसी 4 संख्याएँ जिन्हें कोई तौल नहीं सकता, ऐसी 4 में बदल गईं जिन्हें कोई भी तौल ले। एक चुनाव में 1600 लोगों ने वोट डाला, और जीतने वाले को 500 वोट मिले। तो 1600 में से 500 यानी 31 दशमलव 2 5 प्रतिशत। अब एक कठिन सवाल, कम से कम कितने उम्मीदवार खड़े रहे होंगे? बाकी 1100 वोट दूसरों को मिले, और किसी को भी जीतने वाले से ज़्यादा वोट नहीं मिल सकते।

अब 2 दूसरे उम्मीदवार मिलकर ज़्यादा से ज़्यादा 1000 वोट ले सकते हैं, जो 1100 से कम है। तो कम से कम 3 दूसरे उम्मीदवार चाहिए, यानी कुल मिलाकर कम से कम 4 उम्मीदवार। यहाँ प्रतिशत एक पल का काम था, असली सोच उस हद में थी जो 500 ने बाकियों पर लगाई। एक बिंदुओं वाली जाली पर एक बड़ा वर्ग है, 8 खाने लंबा और 8 खाने चौड़ा, यानी 64 छोटे वर्ग।

इसे 5 हिस्सों में बाँटा गया है, जिनके नाम हैं A, B, C, D और E। हिस्सा E, पूरे वर्ग का कितना प्रतिशत है? ऊपर बाईं तरफ़ A है, 4 गुणा 4 यानी 16 खाने, दाईं तरफ़ ऊपर B है, 4 गुणा 6 यानी 24 खाने, और उसके नीचे C, 4 गुणा 2 यानी 8 खाने। नीचे बाईं तरफ़ का 4 गुणा 4 वाला वर्ग एक तिरछी लकीर से आधा आधा बँटा है, तो D और E दोनों में 8 खाने हैं।

अब जोड़ें, 16, 24, 8, 8 और 8, कुल 64, यानी पूरा वर्ग, और यही जाँच है कि चित्र ठीक पढ़ा गया। तो E है 64 में से 8, यानी 12 दशमलव 5 प्रतिशत, और B है 37 दशमलव 5 प्रतिशत। अब एक सर्वे का चार्ट, उम्र के 7 समूह, और हर समूह में 2 पट्टियाँ, महिलाओं की और पुरुषों की। हर पट्टी एक प्रतिशत है, कि उस समूह में कितने लोग कंप्यूटर चला सकते हैं।

कुल 14 पट्टियों में से 13 पर संख्या लिखी है, और एक पट्टी बनी तो है, पर उस पर संख्या नहीं। इसके बारे में 6 बातें कही गई हैं, और काम ये तय करना है कि चार्ट इनमें से किन बातों का फ़ैसला करता है। पहली बात, 20 से 29 साल वाले बाकी हर समूह से आगे हैं, ये सच है, और दोनों पट्टियों में, 26 और 37 प्रतिशत। दूसरी बात, महिलाएँ पुरुषों से पीछे हैं, जिन 6 समूहों में दोनों संख्याएँ हैं, उन सब में सच, और बाकी एक समूह में जाँच ही नहीं हो सकती।

तीसरी बात, 30 से 39 साल वालों में एक चौथाई से ज़्यादा लोग कंप्यूटर चला सकते हैं, ये गलत है। पुरुष ठीक 25 प्रतिशत पर हैं, यानी ठीक एक चौथाई, और महिलाएँ 14 प्रतिशत पर, उससे काफ़ी नीचे। चौथी बात, 20 से 29 साल वालों में आधे लोग चला सकते हैं, ये भी गलत, पुरुष 37 पर हैं, आधे से 13 कम। अगली बात, सबसे बड़ी उम्र वालों में 10 में से 1 से भी कम लोग चला सकते हैं, ये सच है।

और ये सच है, सबसे बड़ी उम्र जहाँ से भी शुरू मानें, क्योंकि आखिरी 2 समूहों में कोई भी पट्टी 10 तक नहीं पहुँचती, सबसे ऊँची 9 पर है। और आखिरी बात, जिसका फ़ैसला चार्ट कर ही नहीं सकता, कि 20 से 29 साल वाले लोग, किशोरों से गिनती में ज़्यादा हैं। चार्ट पर कोई गिनती है ही नहीं, 26 प्रतिशत, 400 लोगों में 104 हैं, 1000 में 260, और 50 में बस 13 लोग।

तो 6 में से 5 बातों का फ़ैसला चार्ट करता है, 3 सच और 2 गलत, और 1 बात खुली रहती है। अलग कुल वाले हिस्सों को एक आधार पर ले आइए तो तुलना हो जाती है, पर आधार हटा दीजिए तो कुछ भी गिना नहीं जा सकता।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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