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Chapter 1 · Fractions in Disguise

percentage को तोड़कर उसे मन में निकालना

Finding a percentage of a quantity14 मिनट

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4 प्रतिशत और 7 संख्याओं की एक जाली, 28 खाने, और उनमें से बस एक भरा हुआ: 100 का 25 प्रतिशत। बाकी खाने बिना कलम के भरते हैं, क्योंकि उन सबके नीचे एक ही बात है: किसी मान का y प्रतिशत यानी y बटा 100 गुणा वो मान।

मुख्य idea

क्योंकि किसी value के y% का मतलब है (y/100) × value, इसलिए राशि y एक सीधे-सादे गुणक की तरह आती है — तो किसी तय संख्या के percentages ठीक वैसे ही बरताव करते हैं जैसे ख़ुद percentages। percentage दोगुना करो तो जवाब दोगुना हो जाता है; दो percentages जोड़ो तो जवाब भी जुड़ जाते हैं। यही अकेला तथ्य — जो distributive law से ज़्यादा कुछ नहीं, बस y/100 को common factor की तरह बाहर निकाल लिया गया है — वजह है कि किसी को किसी संख्या का 15% हिसाब लगाकर निकालने की ज़रूरत नहीं: 10% बस decimal point खिसकाना है, 5% उसका आधा है, और 15% दोनों को साथ रखना है। मन में percentage का गणित कोई चालाकियों की थैली नहीं; यह एक ही theorem है जिसे बार-बार इस्तेमाल किया जा रहा है।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी नाम वाली या बिना नाम वाली राशि के लिए "राशि का y%" को (y/100) × राशि की तरह लिखना
  • 25% को एक-चौथाई, 50% को एक-आधा, 10% को दसवाँ हिस्सा पहचानना, और जब fraction आसान हो तो percentage के बजाय उसे इस्तेमाल करना
  • बताना और सही ठहराना कि किसी value का 20%, उसी value के 10% का दोगुना है, और कि जब percentages जुड़ते हैं तो दो percentages के जवाब भी जुड़ते हैं
  • किसी value के 15%, 40%, 55%, 70%, 75% और 90% को 10%, 5%, 25% और 50% से, बिना कुछ लिखे, बनाना
  • किसी percentage का हिसाब लगाने से पहले उसका अनुमान लगाना, और उस अनुमान से ग़लत जवाब पकड़ना
  • दो हिस्सों वाले ratio को कुल के percentage में, और फिर एक राशि में बदलना
  • उल्टा सवाल हल करना: अगर किसी अनजानी राशि का बताया गया percentage किसी जानी हुई राशि के बराबर है, तो पूरी राशि और उसका कोई और percentage निकालना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
free-hand computationबिना कलम-काग़ज़ के percentage निकालने के लिए chapter का शीर्षकमुक्तहस्त गणनाइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.7)
estimateइतनी पास की value कि काम आ सके, सटीक हिसाब से पहले निकाली गईआकलनइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.9)
proportionalसाथ-साथ बदलना, ताकि एक हमेशा दूसरे का उतना ही गुना रहेसमानुपातीइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.6)
proportionयह कथन कि दो ratios बराबर हैं, a : b :: c : d लिखा जाता हैसमानुपातइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.6)
ratioभाग से तुलना की गई दो राशियाँ, 2:7 लिखा जाता हैअनुपातइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.9)
bar modelपूरी राशि के लिए खड़ा एक rectangle, जिस पर कोई हिस्सा दिखाने के लिए निशान लगे होंपट्टी मॉडलइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.2)
rough diagramकिसी सवाल को सोचने लायक़ बनाने के लिए बनाए गए जल्दी के sketch के लिए chapter का शब्दकच्चा आलेखइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.10)
mixtureवह मिली हुई राशि जो ratio के हिस्सों को जोड़कर बनती हैमिश्रणइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.9)
splitting a percentageएक percentage को आसान percentages के जोड़ की तरह लिखने का इस पाठ में नामप्रतिशत को तोड़नाइस पाठ का शब्द; chapter यह क़दम उठाता है पर इसे नाम नहीं देता
anchor percentage10%, 5%, 1%, 25% और 50% के लिए इस पाठ का नाम — वे जो याद रखे जाते हैंआधार प्रतिशतइस पाठ का शब्द, छपा नहीं है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्दों के बजाय standard प्रयोग मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "हर बार 100 से भाग देना पड़ता है।" सिर्फ़ तब, जब तुम percentage वाले रूप पर अड़े रहो। 25% हिस्सा 40 का और 40 का एक-चौथाई एक ही गुणनफल हैं, और chapter Part II p.7 पर इसे सिर्फ़ कहता नहीं, इस पर दलील देता है।
  • "15% शुरू से निकालना पड़ता है।" 15% = 10% + 5%, और 5% हिस्सा 10% का आधा है। जो students नहीं जानते कि किसी संख्या के percentages जुड़ते हैं, वे हर बार लंबे गुणा की तरफ़ हाथ बढ़ाएँगे।
  • "किसी भी चीज़ के कोई भी दो percentages जुड़ जाते हैं।" वे सिर्फ़ तब जुड़ते हैं जब वे एक ही राशि के percentages हों — यही साझा factor y/100 है। a का 20% और b का 5% मिलकर किसी का भी 25% नहीं हैं। Tricky percentages: why a 50% margin followed by a 50% discount leaves a 25% loss की पूरी मुश्किल का बीज यही है, और इसे यहाँ साफ़-साफ़ बो देना फ़ायदेमंद है।
  • "यात्रा का 40% अगर 92 km है तो यात्रा 92 × 40 है।" सबसे आम उल्टी ग़लती। Part II p.10 का bar model इसका इलाज है: 92 km, bar का एक टुकड़ा है, और पूरा bar 230 km है।
  • "पूरी राशि मिल गई, तो काम ख़त्म।" Example 5 बची हुई दूरी पूछता है। Methods 3 और 4, Methods 1 और 2 से ठीक इसी आख़िरी क़दम में अलग हैं, और अंक वहीं कटते हैं।
  • "2 : 7 का मतलब है कि बाजरा दलिये का 2/7 है।" यह 2/9 है। ratio की दोनों संख्याएँ हिस्से हैं, और पूरी राशि उनका जोड़ है। section 8 को यह बात ज़ोर से कहनी होगी।
  • "अनुमान तब लगाया जाता है जब ठीक से न कर पाओ।" chapter इसका उल्टा मानता है, और 2/9 पर हाशिये में उसका अपना हिसाब दिखाता है कि क्यों: 20%–25% वाला घेरा 22.22% में खिसके हुए decimal point को पकड़ लेता।
  • "बड़ा percentage मतलब हमेशा बड़ी राशि।" Q7 इसी को तोड़ने के लिए बना है: यह 10% हिस्सा एक दिन का बनाम 1% हिस्सा एक हफ़्ते का रखता है, और छोटी पूरी राशि का बड़ा percentage ही जीतता है — 2.4 घंटे बनाम 1.68. percentage अपनी पूरी राशि के आकार के बारे में कुछ भी नहीं बताता, इसलिए जब तक दोनों पूरी राशियों के नाम न लिए जाएँ, दो percentages की राशियों की तरह तुलना नहीं की जा सकती।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1.2 Q2, Figure it Out · 1.2 Q4, Figure it Out · 1.2 Q5, Figure it Out · 1.2 Q6, Figure it Out · 1.2 Q7, Figure it Out · 1.2 Q9, Figure it Out · 1.2 Q10, Figure it Out · 5 Q7

पूरा transcript2,079 शब्द

यहाँ एक जाली है, बाईं तरफ़ नीचे की ओर 4 प्रतिशत लिखे हैं, और ऊपर 7 संख्याएँ। बाईं तरफ़ हैं 25, 10, 20 और 5 प्रतिशत वाली पंक्तियाँ। और ऊपर हैं 100, 200, 50, 80, 10, 35 और 287 वाले खाने। कुल 28 खाने हैं, और उनमें से बस एक भरा है, 100 का 25 प्रतिशत यानी 25 वाला खाना। बाकी खाने बिना कलम के भरने हैं। इन खानों के नीचे एक ही बात छिपी है, और वो समझ आ जाए तो जाली लिखने से पहले मन में भर जाती है।

शुरुआत सबसे आसान सवाल से, 40 का 25 प्रतिशत कितना है? ज़्यादातर लोग चुपचाप चौथाई निकाल लेते हैं, और फिर सोचते हैं कि क्या ऐसा करना ठीक था। बिल्कुल ठीक था, क्योंकि 100 में से 25 ठीक 1 बटा 4 होता है। तो 40 का 25 बटा 100 और 40 का 1 बटा 4 असल में एक ही गुणा है, जो 2 तरह लिखा गया, और दोनों का जवाब 10 है।

इसी तरह 100 में से 50 यानी आधा, और 100 में से 10 यानी 1 बटा 10 वाला हिस्सा। और 50, 25, 20, 10, 5 और 1 प्रतिशत, ये 6 आधार प्रतिशत हैं, जो क्रम से 1 बटा 2, 1 बटा 4, 1 बटा 5, 1 बटा 10, 1 बटा 20 और 1 बटा 100 हैं। इसलिए जब कोई आसान भिन्न सामने हो, तो 100 से भाग देने की ज़रूरत ही नहीं।

अब 10 प्रतिशत, जो 1 बटा 10 है, और 10 से भाग देना यानी दशमलव को एक जगह बाईं ओर खिसकाना। तो 100 से 10 मिलता है, 200 से 20, 50 से 5, और 80 से 8 मिलता है। फिर 10 से 1 मिलता है, 35 से मिलता है 3 दशमलव 5, और 287 से 28 दशमलव 7। यानी 10 प्रतिशत वाली पंक्ति की सारी 7 संख्याएँ बस दशमलव खिसकाने से मिल गईं।

और यही पंक्ति वो नींव है, जिस पर बाकी जाली खड़ी होगी। तो इन्हीं संख्याओं का 20 प्रतिशत कितना होगा? बस 10 प्रतिशत वाले जवाबों को दुगुना कर दीजिए, क्योंकि 100 में से 20 हिस्से, 100 में से 10 हिस्सों के ठीक दुगुने हैं। तो 20 प्रतिशत वाली पंक्ति बनती है 20, 40, 10, 16, 2, 7 और 57 दशमलव 4 से। और 40 प्रतिशत उसका भी दुगुना है, यानी 40, 80, 20, 32, 4, 14 और 114 दशमलव 8 वाली पंक्ति।

दोनों बार दुगुना करना 7 में से 7 संख्याओं पर सही बैठता है। और ध्यान दीजिए, ऊपर वाली संख्याएँ अपनी जगह से हिली ही नहीं, बदला सिर्फ़ प्रतिशत। और जवाब ठीक उसी अनुपात में बदले, जिस अनुपात में प्रतिशत बदला। अब 5 प्रतिशत, जो 10 प्रतिशत का ठीक आधा है। तो वो पंक्ति बनती है 5, 10, 2 दशमलव 5, 4, 0 दशमलव 5, 1 दशमलव 7 5 और 14 दशमलव 3 5 से।

और 25 प्रतिशत यानी 20 प्रतिशत और 5 प्रतिशत को जोड़ दें। तो 25 प्रतिशत की पंक्ति बनती है 25, 50, 12 दशमलव 5, 20, 2 दशमलव 5, 8 दशमलव 7 5 और 71 दशमलव 7 5 से। आधा करना और जोड़ना, दोनों 7 में से 7 संख्याओं पर सही बैठते हैं। अब जाली के 28 में से 28 खाने भर गए, और कलम उठाने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

अब जो हो रहा है, उसे एक बार लिख लेते हैं। किसी मान का y प्रतिशत, यानी y बटा 100 गुणा वो मान। मान अपनी जगह स्थिर रहता है, और y उसके आगे एक सीधे गुणक की तरह खड़ा है। अगर y को दुगुना करें तो जवाब दुगुना हो जाता है, क्योंकि मान बटा 100 वाला हिस्सा अपनी जगह से हिला ही नहीं। और एक ही मान के 20 और 5 प्रतिशत जोड़ें, तो जवाब भी जुड़ जाते हैं, क्योंकि 20 बटा 100 और 5 बटा 100 मिलकर 25 बटा 100 बनाते हैं।

जैसे 80 पर, 20 प्रतिशत से 16 और 5 प्रतिशत से 4 मिलता है, और 16 और 4 मिलकर 20 हुए, जो 80 का 25 प्रतिशत है। यहाँ मान बटा 100 वो साझा गुणनखंड है जो कोष्ठक के बाहर बैठा है, और यही बंटन नियम है। मन में प्रतिशत निकालने का पूरा खेल बस इसी एक बात पर टिका है। तो औज़ार ये हैं, 50, 25, 20, 10, 5 और 1 प्रतिशत।

इनसे 1 से 100 तक के 100 में से 100 पूरे प्रतिशत बन जाते हैं, और ये बात मानने की नहीं, जाँचने की है। जैसे 15 प्रतिशत यानी 10 प्रतिशत और 5 प्रतिशत, और 5 प्रतिशत तो 10 प्रतिशत का आधा है। तो 287 का 15 प्रतिशत यानी 28 दशमलव 7 और 14 दशमलव 3 5 का जोड़। ये बनता है 43 दशमलव 0 5, वो भी मन में, और ऐसी संख्या से जिसे कोई अपनी मर्ज़ी से नहीं चुनता।

और पूरे हिसाब में कहीं भी 15 से गुणा नहीं करना पड़ा। अब 75 प्रतिशत, जो आधा और चौथाई मिलकर बनता है। फिर 55 प्रतिशत यानी आधा और साथ में 5 प्रतिशत। और 70 प्रतिशत यानी आधा और साथ में 20 प्रतिशत। पर 90 प्रतिशत को जोड़ से बनाने में 4 टुकड़े लगते हैं, 50, 25, 10 और 5 वाले। या फिर एक ही घटाव, पूरा मान लीजिए और उसमें से 1 बटा 10 हटा दीजिए।

और 287 पर जाँचें, तो 5 में से 5 बार टुकड़ों से बना जवाब सीधे निकाले गए जवाब के बराबर आता है। अब वो हिस्सा जो अक्सर छूट जाता है, प्रतिशत जुड़ते हैं, पर किस चीज़ के प्रतिशत? मान लीजिए 80 का 20 प्रतिशत और 50 का 5 प्रतिशत लेते हैं। पहला 16 है, दूसरा 2 दशमलव 5, और दोनों मिलकर 18 दशमलव 5 बनते हैं। जबकि 80 का 25 प्रतिशत 20 होता है, जो बिल्कुल अलग संख्या है।

ऐसी 7 जोड़ियों पर प्रतिशत आँख मूँदकर जोड़ें, तो 7 में से 4 पर ही सही कुल मिलता है। और ये ठीक वही 4 जोड़ियाँ हैं जिनमें दोनों प्रतिशत एक ही मान के थे, बाकी 3 पर जवाब गलत आता है। साझा मान ही वो साझा गुणनखंड है, वो हट जाए तो जोड़ने के लिए कुछ बचता ही नहीं। अब एक छोटा सवाल, 40 का 5 प्रतिशत कितना है, और 5 का 40 प्रतिशत कितना?

दोनों का जवाब 2 ही आता है। इसी तरह 12 का 25 प्रतिशत और 25 का 12 प्रतिशत, दोनों 3 हैं, और 60 का 15 प्रतिशत और 15 का 60 प्रतिशत, दोनों 9 हैं। क्योंकि y का x प्रतिशत यानी x गुणा y बटा 100, और x का y प्रतिशत यानी y गुणा x बटा 100, दोनों एक ही गुणनफल। और गुणा में क्रम बदलने से कुछ नहीं बदलता, इसलिए आज़माई गई 5 में से 5 जोड़ियों पर दोनों बराबर निकलते हैं।

तो जब प्रतिशत अटपटा हो और साथ वाली संख्या आसान, तो दोनों की जगह बदलकर आसान वाला हिसाब कर लीजिए। अब दलिया, जिसमें बाजरा और पानी 2 अनुपात 7 में हैं। पहली गलती ये होती है कि बाजरे को 2 बटा 7 मान लिया जाए। पर 2 और 7 दोनों हिस्से हैं, तो पूरा मिश्रण 9 हिस्सों का है, और बाजरा 2 बटा 9 है। हिसाब से पहले अंदाज़ा लगाते हैं, 9 का आधा 4 दशमलव 5 है और 2 उससे काफ़ी कम है, तो बाजरा 50 प्रतिशत से कम है।

फिर 4 दशमलव 5 का आधा 2 दशमलव 2 5 है, और 2 अब भी उससे कम है, तो बाजरा 25 प्रतिशत से भी कम है। और 9 का 10 प्रतिशत 0 दशमलव 9 है, 20 प्रतिशत 1 दशमलव 8 है, और 2 उससे ज़्यादा है। यानी भाग किए बिना ही पता है कि जवाब 20 और 25 प्रतिशत के बीच है। असल जवाब करीब 22 दशमलव 2 2 प्रतिशत है, और पानी करीब 77 दशमलव 7 8 प्रतिशत, दोनों मिलकर 100, ठीक वहीं जहाँ अंदाज़े ने कहा था।

अब उसी दलिया के 500 मिलीलीटर में बाजरा कितना होगा? सोचते हैं कि 100 मिलीलीटर में 22 दशमलव 2 2 है, तो 500 में उसका 5 गुना, यानी 111 दशमलव 1 मिलीलीटर। पर असली जवाब करीब 111 दशमलव 1 1 मिलीलीटर है। क्योंकि 22 दशमलव 2 2 पहले से गोल किया हुआ था, और 5 से गुणा करने पर वो गोलाई भी 5 गुना हो गई। ठीक ठीक कहें तो 500 मिलीलीटर में 1000 बटा 9 मिलीलीटर बाजरा है।

इसलिए गोल आखिर में कीजिए, बीच में नहीं, अंदाज़ा जाँचने के लिए है, आगे के हिसाब में डालने के लिए नहीं। एक परीक्षा 75 अंकों की है, और पास होने के लिए 80 प्रतिशत चाहिए, तो कम से कम कितने अंक चाहिए? भिन्न से देखें, तो 80 बटा 100 यानी 4 बटा 5, और 75 का 4 बटा 5 होता है 60 अंक। दशमलव से देखें, तो 0 दशमलव 8 गुणा 75 से भी 60 अंक मिलते हैं।

और 100 में से सोचें, तो 100 अंकों पर 80 चाहिए, इसलिए 75 पर 75 गुणा 80 बटा 100, यानी फिर से 60 अंक। यानी 3 बार वही जवाब, क्योंकि ये एक ही गुणा है, बस अलग अलग लिखावट में। जो तरीका आपके दिमाग़ में सबसे तेज़ चले, वही चुन लीजिए। अब उल्टी दिशा में, एक साइकिल सवार ने अपनी सवारी का 40 प्रतिशत पूरा कर लिया है, और वो 92 किलोमीटर है।

तो उसे अभी और कितना चलना है? मन करता है कि 92 को 40 से गुणा कर दें, पर उससे 3680 आता है, जो किसी साइकिल सवारी की दूरी नहीं हो सकती। चलते चलते वाला तरीका ये है, 40 प्रतिशत 92 है, तो उसका आधा, 20 प्रतिशत, 46 किलोमीटर है। बचा हुआ 60 प्रतिशत है, यानी 40 और 20 प्रतिशत, तो 92 और 46, यानी 138 किलोमीटर। न कोई लंबा हिसाब, न कोई अज्ञात मान, बस टुकड़ों वाला नियम उल्टी दिशा में।

या पहले पूरी सवारी निकाल लीजिए, जो 230 किलोमीटर है। पर फिर घटाना मत भूलिए, 230 में से 92 घटाकर 138 किलोमीटर, क्योंकि सवाल बची हुई दूरी का था। यही नियम तब भी चलता है जब पूरा मान पता ही न हो, जैसे किसी अज्ञात मान का 30 प्रतिशत 70 है। तो 60 प्रतिशत, जो 30 प्रतिशत का दुगुना है, 140 होगा। और 90 प्रतिशत उसका 3 गुना है, यानी 210, और 120 प्रतिशत 4 गुना, यानी 280 वाली संख्या।

पूरा मान हमने निकाला ही नहीं, और उसकी ज़रूरत भी नहीं पड़ी। एक और अज्ञात मान, जिसका 90 प्रतिशत 270 है, तो 9 प्रतिशत उसका 1 बटा 10, यानी 27 वाली संख्या। फिर 18 प्रतिशत उसका दुगुना, यानी 54, और 100 प्रतिशत यानी पूरा मान 300 है। एक ही रिश्ता 3 तरफ़ से पूछा जा सकता है। पहला, 300 में 3 कितने प्रतिशत है, और जवाब है 1 प्रतिशत। दूसरा, 4 का 40 प्रतिशत कितना है, और जवाब है 1 दशमलव 6 वाली संख्या।

तीसरा, 40 किस संख्या का 80 प्रतिशत है, और जवाब है 50 वाली संख्या। अब एक खेत की बेरियाँ, जिनका 20 प्रतिशत 18 दिनों में तोड़ा गया। पूरा खेत ऐसे 5 हिस्सों का है, तो 5 गुणा 18, यानी 90 दिन। पर ये तभी सच है जब तोड़ने की रफ़्तार वैसी ही बनी रहे, और इसीलिए सवाल में ये शर्त लिखी होती है। एक खेल अभ्यास 90 मिनट का है, जो 10, 80 और 10 प्रतिशत में बँटा है, यानी 9, 72 और 9 मिनट के हिस्से।

ये 3 हिस्से मिलकर पूरे 90 मिनट बनाते हैं, जैसा होना चाहिए। अब ऐसे बिस्कुट जिनमें 25 प्रतिशत चीनी है, यानी 100 ग्राम में 25 ग्राम, या 20 ग्राम में 5 ग्राम। और 120 ग्राम में ऐसे 6 हिस्से हैं, तो उसमें 30 ग्राम चीनी है। अब एक अटपटा सवाल, 95 ग्राम बिस्कुट जिनमें 35 प्रतिशत चीनी है, तो एक ग्राम से होकर चलते हैं। एक ग्राम में 0 दशमलव 3 5 ग्राम चीनी है, तो 95 ग्राम में 33 दशमलव 2 5 ग्राम चीनी है।

आखिरी आदत, 8 जोड़ियों को सिर्फ़ उनके प्रतिशत देखकर छोटा बड़ा कहना। ऐसा करने से 8 में से 5 जोड़ियाँ सही निकलती हैं, इतनी बार कि किसी का ध्यान ही नहीं जाता। पर ये 510 के 50 प्रतिशत और 515 के 50 प्रतिशत पर गलत है, प्रतिशत बराबर हैं, पर जवाब 255 और 257 दशमलव 5 हैं। और 40 के 5 प्रतिशत और 5 के 40 प्रतिशत में ये एक को बड़ा कह देता है, जबकि दोनों 2 हैं।

तो बताइए, एक दिन का 10 प्रतिशत बड़ा है या एक हफ़्ते का 1 प्रतिशत? हफ़्ता 7 दिनों का है, इसलिए लगता है कि उसका 1 प्रतिशत बड़ा होगा। पर ऐसा नहीं है, दिन का 10 प्रतिशत 2 दशमलव 4 घंटे है, और हफ़्ते का 1 प्रतिशत 1 दशमलव 6 8 घंटे। प्रतिशत अकेले में कोई पूरी संख्या नहीं, वो इंतज़ार करता है कि बताया जाए किस चीज़ का प्रतिशत है, और तब तक उसकी किसी से तुलना नहीं हो सकती।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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