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Chapter 1 · Fractions in Disguise

100 से बड़े percentage का क्या मतलब है, और क्या नहीं

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क्या कोई प्रतिशत 100 से ज़्यादा हो सकता है? 100 प्रतिशत का मतलब बस वो चीज़ है जिससे आपने नापना चुना। रोज़ 5000 डिब्बों के लक्ष्य पर 6000 डिब्बे, 120 प्रतिशत हैं, और उस दिन कुछ भी बाकी नहीं।

मुख्य idea

percentage की परिभाषा में कहीं भी 100 पर कोई छत नहीं लगी है। 100% का मतलब बस इतना है कि "वह चीज़ जिसके सामने तुमने नापना चुना", और ऐसा कोई नियम नहीं कि कोई राशि अपने ही संदर्भ से छोटी हो। तो percentage ठीक तब 100 के पार जाता है जब आधार कोई लक्ष्य, कोई पिछली value या कोई और पैमाना हो — और वह 100 के पार किसी हाल में नहीं जा सकता जब आधार ऐसी पूरी राशि हो जिसका वह राशि सचमुच एक हिस्सा है। 250% समझदारी है या बेतुकापन, यह संख्या 250 के बारे में कोई तथ्य नहीं; यह इस बारे में तथ्य है कि उसके नीचे क्या रखा गया।

आपको क्या आना चाहिए

  • जब पहली राशि बड़ी हो, तब निकालना कि एक राशि दूसरी का कितना percentage है, और नतीजे को गुने की तरह पढ़ना
  • 100 से ऊपर के percentage को fraction और decimal में बदलना, और उसे 0% से 400% तक mark की हुई number line पर रखना
  • एक ही कमी को दो तरह से कहना — हासिल किए गए percentage की तरह और अब भी कम पड़ रहे percentage की तरह — और बताना कि दोनों का जोड़ 100 क्यों होना ही चाहिए
  • किसी जाने हुए आधार के 100 से ऊपर वाले percentage से राशि वापस निकालना
  • "का 120% है" को "से 120% ज़्यादा है" से, और "से 20% ज़्यादा है" से अलग पहचानना
  • किसी दी गई हालत में तय करना कि 100 से ऊपर का percentage सार्थक है या इस बात का संकेत कि ग़लत आधार लिया गया
  • 100 से ऊपर के percentage को गुने वाली रोज़ की भाषा में दोबारा कहना — दो गुना, दोगुना, ढाई गुना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
percentageऐसा fraction जिसका denominator 100 पर तय कर दिया गया होप्रतिशतताइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.1)
targetजिस राशि का लक्ष्य रखा गया, यहाँ वह राशि जिसकी ओर 100% इशारा करता हैलक्ष्यइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.10)
baseवह राशि जिसके सामने percentage नापा जाता हैआधारइसी chapter में छपा (Part II, §1.3, p.15)
salesकिसी बताए गए समय में आया पैसाविक्रय / बिक्रीइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.10)
harvestएक मौसम में इकट्ठा की गई फ़सल, वह राशि जिसकी साल-दर-साल तुलना होती हैउपजइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.12)
decimalpoint के बाद अंकों वाली संख्यादशमलवइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.4)
bar modelपूरी राशि के लिए खड़ा एक rectangle, जिस पर कोई हिस्सा दिखाने के लिए निशान लगे होंपट्टी मॉडलइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.2)
timesगुने वाली रोज़ की भाषा जिसे chapter 100 से ऊपर के percentages के बगल में रखता हैगुनाइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.12)
overshootउस राशि के लिए इस पाठ का नाम जितनी कोई राशि अपने आधार से आगे निकल जाती हैअधिशेषइस पाठ का शब्द; chapter वह हिस्सा बनाता है पर उसे नाम नहीं देता
reference whole100% जिस चीज़ के लिए चुना गया, उसके लिए इस पाठ का नामसंदर्भ पूर्णइस पाठ का शब्द, छपा नहीं है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्दों के बजाय standard प्रयोग मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "percentage 100 से ज़्यादा नहीं हो सकता।" बहुत लोग ऐसा मानते हैं, और सालों के test scores, जहाँ यह सच है, इसे और पक्का करते हैं। इलाज यह पूछना है कि हर मामले में 100% किसका नाम है: अधिकतम अंकों में से, कुछ भी उसके पार नहीं जा सकता; बिक्री के लक्ष्य के सामने, कुछ भी जा सकता है।
  • "लक्ष्य के 120% का मतलब है लक्ष्य से 120% ज़्यादा।" इसका मतलब है 20% ज़्यादा। Part II p.11 पर page के अपने शब्द दिन 4 की दोनों पढ़तें अगल-बगल देते हैं।
  • **"200% का मतलब है दोगुना और ज़्यादा।"** 200% ही दोगुना है — पूरी राशि, दोगुनी की हुई, न कि पूरी राशि जमा पूरी राशि का दोगुना। Part II p.12, ₹10,000 को "दोगुना" के साथ जोड़ता है, और यही जोड़ी इलाज है।
  • "क्योंकि 40% + 60% = 100%, percentages का जोड़ हमेशा 100 होता है।" सिर्फ़ एक लक्ष्य के हासिल और कम पड़े हिस्सों का। दिन 4 में कम पड़ा हिस्सा है ही नहीं, इसलिए वहाँ कुछ भी जुड़कर 100 नहीं होता।
  • "सामग्रियों का जोड़ 100% से ज़्यादा हो सकता है।" तब नहीं, जब हर एक किसी बताए गए कुल वज़न का हिस्सा हो। section 11 को यह फ़र्क़ ढाँचे का बनाना होगा, पसंद-नापसंद का नहीं, वरना students दोनों दिशाओं में ग़लत समझ लगाएँगे।
  • "लक्ष्य का 150% — तो 5000 को 150 से गुणा करो।" उल्टी ग़लती, जिसमें /100 भूल गए। 0%–400% वाला bar, जिसके नीचे (0),(1),(2),(3),(4) हैं, ठीक इसीलिए है कि गुणक दिखता रहे।
  • "9550 लगभग 5000 का दोगुना है, तो लगभग 200%." यह 191% है, और बना हुआ bar आगे निकले हिस्से पर percentage नहीं बल्कि 4550 लिखता है, जो हिसाब से पहले अनुमान लगाने का न्योता है। अनुमान की तरह ठीक; जवाब की तरह नहीं।
  • "100 से ऊपर का percentage ग़लती का संकेत है।" कभी-कभी होता है — और जाँच यह है कि आधार ऐसी पूरी राशि है जिसमें वह राशि शामिल है, या उसके बगल में रखा एक पैमाना। जाँच सिखाएँ, मनाही नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q9, Figure it Out · 5 Q1, Figure it Out · 5 Q12

पूरा transcript1,908 शब्द

एक बात है जिसे बहुत लोग पक्का मानते हैं, और वो अक्सर गलत निकलती है। बात ये है, कि कोई भी प्रतिशत 100 से ज़्यादा नहीं हो सकता। सुनने में ये बिल्कुल ठीक लगता है, टेस्ट में जितने अंक हैं उनसे ज़्यादा नहीं मिलते, और पूरे केक से ज़्यादा केक कोई नहीं खाता। और सालों तक सामने आने वाले ज़्यादातर प्रतिशत इसे मानते दिखते हैं, और ऐसे ही एक आदत नियम बन जाती है।

तो इसे परखने से पहले, ठीक ठीक तय करते हैं कि 100 प्रतिशत का मतलब क्या है। इसका मतलब है वो चीज़, जिससे आपने नापना चुना, बस इतना ही। और ऐसा कोई नियम नहीं, कि नापी जाने वाली मात्रा उस चीज़ से छोटी ही हो। तो ऐसी एक चीज़ चुनते हैं, और देखते हैं कि क्या होता है। एक नई कार्यशाला रोज़ डिब्बे पैक करती है, और उसका लक्ष्य है दिन में कम से कम 5000 डिब्बे।

अब आगे के पूरे हिसाब में, 100 प्रतिशत का मतलब यही 5000 डिब्बे हैं। ध्यान दीजिए कि ये एक फ़ैसला था, किसी ने इसे खोजा नहीं, लक्ष्य 4000 डिब्बे हो सकता था, या 6000 डिब्बे। और 100 प्रतिशत डिब्बों का कोई गुण नहीं है, ये बस एक ठप्पा है जो किसी ने एक संख्या पर लगा दिया। इसे एक पट्टी की तरह बनाते हैं, पूरी पट्टी 5000 डिब्बे है, और पूरी पट्टी ही 100 प्रतिशत है।

पहला दिन, और उस दिन 2000 डिब्बे पैक हुए। तो 5000 में से 2000 यानी 2 बटा 5, जो दशमलव में 0 दशमलव 4 है, और प्रतिशत में 40 प्रतिशत। दूसरे दिन 3500 डिब्बे, यानी 7 बटा 10, या 0 दशमलव 7, यानी 70 प्रतिशत। दोनों दिन पट्टी पूरी नहीं भरी, उसका कुछ हिस्सा खाली रह गया। अब इन्हीं बातों को उल्टी तरफ़ से देखते हैं। पहले दिन काम लक्ष्य से 60 प्रतिशत कम रहा, और दूसरे दिन 30 प्रतिशत कम।

यानी 40 और 60, फिर 70 और 30, दोनों जोड़ियाँ मिलकर 100 बनाती हैं। और ये पूछना ज़रूरी है, कि ऐसा होना ही क्यों था। क्योंकि लक्ष्य एक पूरी चीज़ है, जो पहुँचे हुए हिस्से और बचे हुए हिस्से से मिलकर बनी है। ये दोनों हिस्से मिलकर पूरी पट्टी भरते हैं, इसलिए इनके प्रतिशत मिलकर 100 ही बनेंगे। तीसरा दिन, और ठीक 5000 डिब्बे। अब 5000 को 5000 से भाग दें तो 1 मिलता है, यानी एक पूरी चीज़, यानी 100 प्रतिशत।

पट्टी पूरी भरी है, न कुछ बाहर निकला है, न कुछ खाली है। यहीं पर पुरानी बात सबसे पक्की लगती है, क्योंकि यहाँ 100 सच में एक छत जैसा दिखता है। पर ये छत नहीं है, ये एक निशान है। और किसी निशान से आप पीछे रह सकते हैं, ठीक उस पर हो सकते हैं, या उससे आगे निकल सकते हैं, और तीसरा दिन बीच वाला मामला है। चौथे दिन पैक हुए 6000 डिब्बे।

ये लक्ष्य से 1000 ज़्यादा है, और 1000 तो 5000 का 1 बटा 5 है, यानी 20 प्रतिशत। तो पट्टी पूरी भरी, और फिर उसका 1 बटा 5 और, यानी 100 प्रतिशत और 20 प्रतिशत, कुल 120 प्रतिशत। सीधा रास्ता भी यहीं पहुँचता है, 6000 बटा 5000 यानी 6 बटा 5, यानी 1 दशमलव 2, यानी 120 प्रतिशत। कुछ टूटा नहीं, पट्टी बस निशान से आगे निकल गई। लक्ष्य का 120 प्रतिशत, और लक्ष्य से 20 प्रतिशत ज़्यादा, ये एक ही बात के 2 रूप हैं।

अब देखिए कि चौथे दिन में क्या नहीं है, उसमें कोई खाली हिस्सा है ही नहीं। अगर पूछें कि काम लक्ष्य से कितने प्रतिशत कम रहा, तो इसका कोई जवाब नहीं, क्योंकि ये सवाल जिस बात को मानकर चलता है, वो अब सच नहीं। आदत से 100 में से 120 घटाएँ, तो कमी आती है माइनस 20 प्रतिशत, जिसका कोई मतलब नहीं। यानी 40 और 60 वाली जोड़ी इसलिए 100 बनती थी, क्योंकि वहाँ कुछ बाकी था, ये कोई आम नियम नहीं।

इस वीडियो के 10 प्रतिशतों पर ये घटाना आज़माया गया, और ये 10 में से 5 पर ही ठीक निकला। और ठीक उन्हीं 5 पर, जहाँ लक्ष्य पार नहीं हुआ था। अगले 2 दिन, पहले 7800 डिब्बे, और फिर 9550 डिब्बे। ये उस पट्टी में नहीं समाते जो लक्ष्य पर रुकती है, इसलिए पैमाना 10000 तक खींचते हैं, और आखिर में 200 प्रतिशत लिखते हैं। देखिए, 7800 वाला दिन निशान से 2800 आगे निकला, और 9550 वाला दिन 4550 आगे।

हिसाब से पहले अंदाज़ा लगाते हैं, 4550 करीब करीब 5000 जितना है, तो ये लगभग 200 प्रतिशत लगता है। असल में ये 191 प्रतिशत है, अंदाज़ा 9 से चूका, जो अंदाज़े के तौर पर अच्छा है, पर जवाब के तौर पर गलत। और 2800 तो 5000 के आधे यानी 2500 से थोड़ा ज़्यादा है, तो जवाब 150 से थोड़ा ऊपर होगा, और असल में ये 156 प्रतिशत है। अब इसे उल्टा चलाते हैं, क्योंकि 100 से ऊपर का प्रतिशत एक हिदायत भी है।

मान लीजिए किसी दिन लक्ष्य का 150 प्रतिशत काम हुआ, तो उस दिन कितने डिब्बे पैक हुए? देखिए, 150 प्रतिशत यानी 1 दशमलव 5, और उसे 5000 से गुणा करें तो मिलते हैं 7500 डिब्बे। और 210 प्रतिशत यानी 2 दशमलव 1, जिससे बनते हैं 10500 डिब्बे। यहाँ एक गलती का ज़िक्र ज़रूरी है, जो बहुत आम है। कि 150 प्रतिशत है, तो 5000 को सीधे 150 से गुणा कर दिया जाए।

इससे जो संख्या आती है, वो सही जवाब का ठीक 100 गुना है, क्योंकि प्रतिशत वाला 100 कहीं छूट गया। अब 2500 डिब्बों वाला दिन लीजिए, और देखिए कि इसे कितनी तरह से कहा जा सकता है। लक्ष्य का आधा, लक्ष्य का 50 प्रतिशत, या लक्ष्य का 0 दशमलव 5 गुना। एक ही संख्या, अलग अलग कपड़ों में, और कोई भी दूसरों से ज़्यादा सही नहीं। अब 10000 डिब्बों वाला दिन देखते हैं।

लक्ष्य का 2 गुना, लक्ष्य से दुगना, या लक्ष्य का 200 प्रतिशत। आखिरी वाला वही कहता है जो बाकी कहते हैं, फिर भी बस वही लोगों को खटकता है। असल में 200 प्रतिशत मतलब 2 गुना, यानी पूरी चीज़ और उतनी ही और, पूरी चीज़ के ऊपर 2 गुना और नहीं। अब 9 प्रतिशत लेते हैं, जिनमें सबसे छोटा 15 है, और सबसे बड़ा 358 प्रतिशत। इनके नीचे भिन्न और दशमलव वाली पंक्तियाँ हैं, और उनके 18 खाने खाली हैं।

इन 9 में से 6 प्रतिशत 100 से ऊपर हैं, और सूची में ये संयोग से नहीं हुआ। अब 250 प्रतिशत यानी 5 बटा 2, यानी 2 दशमलव 5 वाली संख्या। और 305 प्रतिशत यानी 61 बटा 20, यानी 3 दशमलव 0 5 वाली संख्या। और 28 दशमलव 9 प्रतिशत, इन 9 में अकेला ऐसा है जो पूरा प्रतिशत नहीं, ये 289 बटा 1000 है। और बाकी खाने भी ऐसे ही भरते हैं, और दशमलव से वापस प्रतिशत में लाने पर, इन 9 में से हर एक वही निकलता है।

अब एक पैमाना बनाते हैं, जो 0 प्रतिशत से 400 प्रतिशत तक जाता है। और उसके निशानों के नीचे लिखते हैं 0, 1, 2, 3 और 4 वाली संख्याएँ। ये दूसरी पंक्ति वही जानकारी है, बस दूसरी तरह लिखी हुई, क्योंकि प्रतिशत एक गुणक ही है जिसका बिंदु खिसका हुआ है। अब 90 और 110 प्रतिशत, 1 वाले निशान के दोनों तरफ़ हैं, आपस में 20 प्रतिशत की दूरी पर, और दोनों में कुछ अजीब नहीं।

और 358 प्रतिशत, 3 और 4 के बीच आता है, 3 दशमलव 5 8 पर। अब 40 का 140 प्रतिशत, यानी 1 दशमलव 4 गुणा 40, जो 56 बनता है। इसकी पट्टी अपनी पूरी चीज़ से आगे निकलती है, 40 के ऊपर 16 और। अब तक नीचे एक लक्ष्य था, अब उसकी जगह पिछली बार की मात्रा रखते हैं। एक खेत में एक साल 260 किलोग्राम गेहूँ हुआ, और अगले साल 650 किलोग्राम।

तो 650 बटा 260 यानी 2 दशमलव 5, यानी 250 प्रतिशत। यानी इस साल की उपज पिछले साल की 250 प्रतिशत है, पिछली उपज का 2 दशमलव 5 गुना। इसका मतलब 250 किलोग्राम ज़्यादा नहीं, और 250 प्रतिशत ज़्यादा भी नहीं, वो तो 910 किलोग्राम होता। उपज 390 किलोग्राम बढ़ी, जो बाकी दोनों से अलग एक तीसरी संख्या है। और उल्टी तरफ़ से, पिछली उपज इस साल की 40 प्रतिशत है, 100 से नीचे, क्योंकि अब नीचे बड़ी संख्या है।

यहाँ कुछ भी किसी चीज़ का हिस्सा नहीं, पिछला साल कोई बर्तन नहीं जिसके अंदर ये साल बैठा हो, वो बगल में खड़ा एक पैमाना है। अब दूसरा मामला, क्योंकि कभी कभी छत सच में होती है। एक नमकीन का पैकेट है, 65 ग्राम का, और उस पर लिखा है कि अंदर क्या क्या है। आलू 70 प्रतिशत, तेल 24 प्रतिशत, नमक 3 प्रतिशत, और मसाले भी 3 प्रतिशत। ये 4 मिलकर ठीक 100 बनाते हैं, और इन्हें 100 ही बनाना था।

ग्राम में देखें तो आलू 45 दशमलव 5 ग्राम, तेल 15 दशमलव 6 ग्राम, नमक 1 दशमलव 9 5 ग्राम, और मसाले भी इतने ही ग्राम। और ये सब जुड़कर वापस 65 ग्राम बनते हैं। कोई चीज़ 110 प्रतिशत तभी हो सकती है, जब कोई दूसरी माइनस 10 प्रतिशत हो, और पैकेट में ऐसा कुछ होता ही नहीं। तो यहाँ छत हिसाब से आती है, किसी की नापसंदगी से नहीं।

और यही असली जाँच है, जो याद रखने लायक है। सवाल ये है, कि 100 प्रतिशत किस चीज़ की जगह खड़ा है। अगर वो एक पूरी चीज़ है जिसका आपकी मात्रा हिस्सा है, तो कुछ भी 100 से आगे नहीं जा सकता। और अगर वो बगल में खड़ा कोई पैमाना है, तो कुछ भी जा सकता है। इस वीडियो के 10 मामलों पर, 100 से ऊपर का कोई भी प्रतिशत ठुकरा देने की आदत, 10 में से 6 पर ठीक बैठती है।

और ठीक उन 4 पर गलत, जहाँ मात्रा किसी पैमाने से आगे निकलती है। और जवाब 100 से ऊपर आते ही चुपचाप उल्टा भाग कर देने की आदत, 10 में से 5 पर ही ठीक बैठती है। यानी 10 में से 6 बार ठीक बैठना एक नियम जैसा लगता है, पर ये नियम नहीं है। अब बचे शब्द, और ये बात असल में यहीं खोती है। मान लीजिए आधार 40 है, तो 40 का 120 प्रतिशत, 48 बनता है।

पर 40 से 120 प्रतिशत ज़्यादा होगा 88, क्योंकि वो 40 के ऊपर 120 प्रतिशत और जोड़ता है। और 40 से 20 प्रतिशत ज़्यादा है 48, यानी फिर से पहला जवाब। तो किसी चीज़ का 120 प्रतिशत, उससे 20 प्रतिशत ज़्यादा ही है, और ये 40 का कोई संयोग नहीं। इस वीडियो के 6 प्रतिशतों और 3 आधारों से 18 जोड़ियाँ बनती हैं, और ये बात उनमें से हर एक पर सही निकली।

यानी किसी चीज़ का कुछ प्रतिशत, और उससे कुछ प्रतिशत ज़्यादा, इन दोनों पढ़ाइयों में हमेशा ठीक 100 प्रतिशत का फ़र्क रहता है। एक आखिरी सवाल, किसी चीज़ की माँग 85 प्रतिशत गिर जाती है। मान लीजिए पहले माँग 1000 थी, तो 85 प्रतिशत गिरने के बाद 150 बची, यानी पहले की 15 प्रतिशत। अब यहाँ 6 बातें लिखी हैं, इनमें से कौन सी यही बात कहती है? क्या अब की माँग पहले की 85 प्रतिशत है, या पहले से 85 प्रतिशत ज़्यादा, या पहले की 15 प्रतिशत?

या पहले वाली माँग अब की 15 प्रतिशत है, या अब की 185 प्रतिशत, या फिर अब वाली पहले की 185 प्रतिशत है? इन 6 में से ठीक एक सच है, वो जो कहती है कि अब की माँग पहले की 15 प्रतिशत है। उल्टी तरफ़ से देखें, तो पहले वाली माँग अब की करीब 667 प्रतिशत है, और इसमें न 85 की कोई जगह है, न 185 की। तो 100 से ऊपर का प्रतिशत न अपने आप गलत है, न अपने आप सही, ये इस पर टिका है कि उसके नीचे क्या रखा गया।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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