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Chapter 1 · Fractions in Disguise

FDP तिकड़ी: fraction, decimal और percentage एक ही चीज़ के रूप में

Finding a percentage of a quantity15 मिनट

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50 प्रतिशत, 50 बटा 100, 1 बटा 2 और 0 दशमलव 5 अलग अलग संख्याएँ नहीं, एक ही संख्या की अलग अलग लिखावट हैं। 24 पर आज़माइए: 24 का 50 प्रतिशत, 24 का आधा और 0 दशमलव 5 गुणा 24, हर बार 12।

मुख्य idea

fraction, decimal और percentage तीन अलग चीज़ें नहीं हैं जिनके बीच तुम बदलते रहते हो; वे एक ही संख्या को लिखने के तीन तरीक़े हैं, और रूपांतरण एक ही क़दम का है क्योंकि हमारे अंक base ten में हैं। "denominator 100" और "point के बाद दो स्थान" एक ही बात कहते हैं, इसलिए 50/100, 0.5 और 50% एक ही गुणक हैं और इनमें से किसी से भी गुणा करना एक ही गुणा है। काम की बात इसका नतीजा है: तीनों notations एक-दूसरे की जगह इस्तेमाल हो सकते हैं, इसलिए तुम्हें चुनने का मौक़ा मिलता है — और सही चुनाव वही है जो सामने वाले हिसाब को ग़ायब कर दे।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी भी percentage को 100 पर रखे fraction की तरह, उसी fraction के सबसे छोटे रूप की तरह, और decimal की तरह लिखना, और तीनों में से किसी से भी उल्टी दिशा में जाना
  • समझाना कि किसी राशि का 50% निकालना और उसे 0.5 से गुणा करना एक ही क्रिया क्यों है, न कि एक ही जवाब वाले दो तरीक़े
  • 1% से 100% तक की values पर percentage / fraction / decimal वाली table पूरी करना
  • बताना कि base ten में रूपांतरण एक क़दम का क्यों है, और ऐसी प्रणाली में क्या बदल जाता जो base ten न हो
  • पहचानना कि कौन-से fractions रुक जाने वाला decimal देते हैं और कौन-से नहीं, और समझाना कि उन fractions के लिए chapter के percentages rounded क्यों हैं
  • बराबर ख़ानों वाले bar model को एक साथ fraction, percentage और राशि की तरह पढ़ना
  • किसी fraction का percentage इतनी जल्दी अनुमान से बताना कि पाँच सेकंड वाला खेल खेला जा सके
  • किसी दिए गए हिसाब के लिए तीनों notations में से सबसे सुविधाजनक चुनना, और उस चुनाव को सही ठहराना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
fractionएक पूर्ण संख्या के ऊपर दूसरी पूर्ण संख्या की तरह लिखी गई संख्याभिन्नइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.1)
decimalpoint के बाद अंकों वाली संख्या, जिसमें हर स्थान पिछले का दसवाँ हिस्सा हैदशमलवइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.4)
percentageऐसा fraction जिसका denominator 100 पर तय कर दिया गया होप्रतिशतताइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.1)
FDPfraction–decimal–percentage तिकड़ी के लिए chapter का संक्षिप्त नामभिन्न–दशमलव–प्रतिशतइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.8, शीर्षक "The FDP Trio" के रूप में)
base 10यह तथ्य कि हमारे अंकों में हर स्थान अगले स्थान के दस के बराबर हैदशाधारइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.4)
equivalent fractionसंख्याओं की एक अलग जोड़ी जो उसी fraction का नाम हैसमतुल्य भिन्नइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.1)
estimateइतनी पास की value कि काम आ सके, सटीक हिसाब से पहले निकाली गईआकलनइसी chapter में छपा (Part II, §1.2, p.9)
bar modelपूरी राशि के लिए खड़ा एक rectangle, जिस पर कोई हिस्सा दिखाने के लिए निशान लगे होंपट्टी मॉडलइसी chapter में छपा (Part II, §1.1, p.2)
terminating decimalऐसे decimal के लिए इस पाठ का शब्द जो गिने-चुने स्थानों के बाद रुक जाता हैसांत दशमलवइस पाठ का शब्द; chapter न इस भेद का नाम लेता है न इस पर चर्चा करता है
recurring decimalऐसे decimal के लिए इस पाठ का शब्द जिसके अंक हमेशा दोहराते रहते हैंआवर्ती दशमलवइस पाठ का शब्द; chapter ऐसी values को बिना टिप्पणी के round कर देता है
notationकिसी संख्या को कैसे लिखा जाए, इस चुनाव के लिए इस पाठ का शब्दसंकेतनइस पाठ का शब्द, यहाँ छपा नहीं है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्दों के बजाय standard प्रयोग मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "0.5% और 0.5 एक ही हैं।" इनमें 100 गुने का फ़र्क़ है। 0.5 है 50%; 0.5% है 0.005. पूरे percentage topic में यही सबसे महँगी चूक है, और इसे सिर्फ़ चेतावनी देकर नहीं, अगल-बगल रखकर दिखाना चाहिए।
  • "किसी चीज़ का 50% निकालने के लिए पहले fraction में बदलना ज़रूरी है।" Example 2 की पूरी बात यही है कि रूपांतरण पहले ही हो चुका है — 1/2, 0.5 और 50% एक ही गुणक हैं।
  • "1% ज़रूर 0.1 होगा, क्योंकि 10% है 0.1." table के आठ में से दो columns इसी को पकड़ने के लिए बनाए गए हैं: 10% और 1%. इन्हें पास-पास भरें।
  • "43% का कोई अच्छा-सा fraction है।" उसका fraction 43/100 है, और वह पहले से सबसे छोटे रूप में है। "ज़्यादा अच्छा" रूप ढूँढ़ते students इस नतीजे पर पहुँचते हैं कि उनसे ग़लती हुई है।
  • "1/3 = 33%, बिल्कुल ठीक-ठीक।" 33% है 33/100, जो एक-तिहाई नहीं है। chapter ख़ुद एक-तिहाई के लिए 33.33% छापता है, Part II p.27 पर, और percentage के सीधे-सादे उदाहरण की तरह 33%, Part II p.1 पर — व्याख्या को इन दोनों को चुपचाप टकराने नहीं देना चाहिए।
  • "किताब का 26.47% ग़लत है क्योंकि मेरा calculator 26.470588 कहता है।" दोनों में से कोई ग़लत नहीं; एक rounded है। section 6 को rounding को एक दिखने वाला, सोचा-समझा काम बनाना होगा, ग़लती नहीं।
  • "तीनों notations बराबर अच्छे हैं और चुनाव से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता।" फ़र्क़ लगातार पड़ता है: 0.8 × 75, (80/100) × 75 से आसान है, पर 40 का एक-चौथाई, 0.25 × 40 से आसान है। section 11 एक फ़ैसला होना चाहिए, सारांश नहीं।
  • "bar पर लिखा percentage राशि बता देता है।" सिर्फ़ सिरे के label के साथ। Q1(i) में वही पाँच ख़ानों वाला bar बाईं ओर एक ख़ाने के नीचे 20% और दाईं ओर चार ख़ानों पर 60 से चिह्नित है — और वह 60, 60 का मतलब सिर्फ़ इसलिए रखता है क्योंकि सिरे का label 75 है। ध्यान दें कि दोनों drawings में कोई ख़ाना रंगा नहीं है, और 80% कहीं छपा नहीं है: पाँच में से चार ख़ाने 80% हैं, पर अगर व्याख्या को वह क़दम चाहिए तो उसे ख़ुद निकालना होगा।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1.2 Q1, Figure it Out · 1.2 Q3, Figure it Out · 1.2 Q8

पूरा transcript2,335 शब्द

यहाँ एक ही चीज़ 4 तरह से लिखी गई है, 50 प्रतिशत, 50 बटा 100, 1 बटा 2, और 0 दशमलव 5 वाली लिखावट में। देखने में ये 4 अलग चीज़ें लगती हैं, पर इस वीडियो का दावा है कि ये 4 संख्याएँ नहीं हैं। ये एक ही संख्या है, जिसने 4 अलग कपड़े पहने हैं, और कपड़े बदलने से संख्या ज़रा भी नहीं बदलती। पर ये बस एक नारा है, जब तक ये न कहें कि इसका मतलब क्या होना चाहिए।

मतलब ये, कि इनमें से किसी एक से किया गया गुणा, किसी दूसरे से करने पर भी ठीक वही जवाब दे। करीब करीब वही नहीं, बिल्कुल वही। और अगर ये सच है, तो इनके बीच आना जाना कोई हिसाब नहीं, बस लिखावट बदलना है। इसे एक संख्या पर आज़माते हैं, 24 पर। यहाँ 3 हिसाब हैं, 24 का 50 प्रतिशत, 24 का आधा, और 24 को 0 दशमलव 5 से गुणा करना।

और जवाब हर बार 12 ही आता है। पर एक उदाहरण कुछ साबित नहीं करता, इसलिए देखते हैं कि ऐसा होता क्यों है। देखिए, 50 प्रतिशत यानी 50 बटा 100, जो छोटा होकर 1 बटा 2 बनता है, और 1 बटा 2 दशमलव में 0 दशमलव 5 है। इस पूरी कड़ी में संख्या कहीं नहीं हिली, हर कदम पर बस उसे दोबारा लिखा गया। तो पहले बदलना और फिर गुणा करना, ऐसा कुछ हुआ ही नहीं, एक ही गुणा था, जो 3 तरह से लिखा गया।

और इसी तरह 10 प्रतिशत के लिए भी एक दशमलव है जो यही काम करता है, 0 दशमलव 1 वाला गुणक। अब एक तालिका, जिसमें 3 पंक्तियाँ हैं, प्रतिशत, भिन्न और दशमलव वाली। ऊपर 8 खाने हैं, 50, 100, 25, 75, 10, 1, 5 और 43 प्रतिशत वाले। ऊपर वाली पंक्ति पूरी भरी है, और नीचे बस पहले खाने भरे हैं, एक में 50 बटा 100, दूसरे में 0 दशमलव 5 वाली संख्या।

बाकी 14 खाने खाली हैं, और उनमें जो संख्याएँ जाएँगी, वो आपको पहले से पता हैं। यहाँ कुछ निकालना नहीं है, बस पहले से जानी हुई संख्या को उस कपड़े में लिखना है जो उसने अभी नहीं पहना। पूरा विषय इसी एक फ़र्क में है। तो ये लिखावट बदलना ही क्यों है, हिसाब क्यों नहीं, इसकी वजह हमारे अंकों की बनावट में है। अब 31 प्रतिशत लीजिए, यानी 100 में से 31 हिस्से।

अब दशमलव में देखिए, बिंदु के बाद पहली जगह 1 बटा 10 वाले हिस्सों की है, और दूसरी जगह 1 बटा 100 वाले हिस्सों की। तो 31 बटा 100 बनता है 0 दशमलव 3 1, वही अंक, उसी क्रम में, उस जगह पर जिसका मतलब पहले से 1 बटा 100 है। यहाँ 3 बटा 10 और 1 बटा 100 मिलकर ठीक 31 बटा 100 बनाते हैं। प्रतिशत 1 बटा 100 वाले हिस्से गिनता है, और दशमलव की दूसरी जगह भी 1 बटा 100 वाले हिस्से गिनती है।

ये 2 विचार नहीं जो संयोग से मिल गए, ये एक ही विचार है, 2 तरह से लिखा हुआ। और 1 से 99 तक के हर पूरे प्रतिशत पर, यानी कुल 99 प्रतिशतों पर, संख्या वही की वही रहती है। अब तालिका भरते हैं, और 2 खानों को जानबूझकर पास पास रखते हैं। यहाँ 10 प्रतिशत यानी 10 बटा 100, जो 1 बटा 10 है, यानी 0 दशमलव 1 वाली संख्या।

और 1 प्रतिशत यानी 1 बटा 100, यानी 0 दशमलव 0 1 वाली संख्या। ये 2 संख्याएँ एक जैसी दिखती हैं पर हैं नहीं, 0 दशमलव 1 तो 0 दशमलव 0 1 का 10 गुना है। इन्हें साथ साथ लिख देना ही इस गलती से बचने का सबसे सस्ता तरीका है। और 100 प्रतिशत यानी पूरी एक चीज़, यानी 1, कोई हिस्सा बचा ही नहीं, इसलिए बिंदु के बाद कोई जगह भी नहीं।

और 43 प्रतिशत यानी 43 बटा 100, यानी 0 दशमलव 4 3 वाली संख्या। चूँकि 43 और 100 में कोई साझा गुणनखंड नहीं, तो अगर कोई छोटा रूप ढूँढने पर न मिले, तो वो गलती नहीं, ऐसा रूप है ही नहीं। बाकी खाने भी इसी तरह भरते हैं। जैसे 25 प्रतिशत यानी 25 बटा 100, जो 1 बटा 4 है, और दशमलव में 0 दशमलव 2 5 वाली संख्या। फिर 75 प्रतिशत यानी 3 बटा 4, और 0 दशमलव 7 5 वाली संख्या।

और 5 प्रतिशत यानी 5 बटा 100, जो 1 बटा 20 है, और 0 दशमलव 0 5 वाली संख्या। अब तालिका का कोई खाना खाली नहीं, और ऊपर के सभी 8 प्रतिशतों के दशमलव कुछ अंकों के बाद रुक जाते हैं। और किसी भी खाने के लिए कोई लंबा भाग नहीं करना पड़ा। अब एक छोटा रास्ता जो लगभग काम करता है, और यही लगभग खतरनाक है। क्योंकि प्रतिशत 1 बटा 100 वाले हिस्से गिनता है, लोग दशमलव का बिंदु ढककर बचे अंक उठा लेते हैं।

जैसे 0 दशमलव 4 3 में बिंदु ढकें, तो 43 प्रतिशत, और ये सही है। इसी तरह 0 दशमलव 2 5 देता है 25, 0 दशमलव 7 5 देता है 75, 0 दशमलव 0 5 देता है 5, और 0 दशमलव 0 1 देता है 1 प्रतिशत। तालिका के 8 में से 5 खानों पर ये तरीका सही बैठता है। अब 0 दशमलव 5 पर आज़माएँ, तो बिंदु ढकने से जवाब आता है 5 प्रतिशत, जबकि असल में ये 50 प्रतिशत है।

वैसे ही 1 पर ये 0 बताता है, 100 नहीं, और 0 दशमलव 1 पर 1 बताता है, 10 नहीं। ये तरीका ठीक तब सही है जब दशमलव में बिंदु के बाद 2 अंक लिखे हों, और बाकी किसी हाल में नहीं। दरअसल 0 दशमलव 5 में भी दूसरी जगह है, बस वहाँ 0 बैठा है, जिसे कोई लिखता नहीं। अब 2 संख्याएँ जो बिल्कुल एक जैसी दिखती हैं, पर उनमें 100 गुना का फ़र्क है।

देखिए, 0 दशमलव 5 यानी 50 प्रतिशत, और 0 दशमलव 5 प्रतिशत यानी 0 दशमलव 0 0 5 वाली संख्या। पहली संख्या दूसरी की ठीक 100 गुना है, और इन्हें एक बार साथ साथ देख लें, तो फिर कभी गड़बड़ नहीं होती। और पूरे से आगे जाते ही बिंदु के बाद के अंक प्रतिशत बिल्कुल नहीं रहते। जैसे 1 दशमलव 2 यानी 120 प्रतिशत, जबकि बिंदु के बाद बस 2 लिखा है।

और 2 दशमलव 5 यानी 250 प्रतिशत, और बिंदु के बाद बस 5 लिखा है। यानी 100 से ऊपर के प्रतिशत कोई गलती नहीं, बस वो पूरी चीज़ से ज़्यादा हैं। एक जगह ये आसान कहानी थोड़ी उलझती है, और उसका सामना सीधे करना बेहतर है। जैसे 1 बटा 3 को दशमलव में लिखें, तो 3 कभी खत्म नहीं होते। तो इसका प्रतिशत 33 दशमलव 3 3 है, और फिर और 3, बिना रुके, और जो भी लिखा जाए, वो कहीं न कहीं काटा हुआ होता है।

दशमलव तब रुकता है जब नीचे की संख्या सिर्फ़ 2 और 5 से बनी हो। सिर्फ़ 2 और 5 इसलिए, क्योंकि 10 इन्हीं से बनता है, और दशमलव की जगहों की कीमत 10 से ही तय होती है। नीचे 4, 5, 8, 20, 25 या 50 हो, तो दशमलव रुक जाता है। पर नीचे 3, 7, 9, 11 या 30 हो, तो दशमलव कभी नहीं रुकता। तो जिस प्रतिशत के आखिर में गोल किया हुआ हिस्सा हो, वो इसी दूसरी तरह की भिन्न से आया है, और वो गोल करना एक फ़ैसला है, गलती नहीं।

पर इस जाँच के अंदर एक जाल है, जिसमें फँसना बहुत आसान है। जाँच भिन्न को छोटा करने के बाद करनी है, जैसी वो मिली थी उस पर नहीं। मान लीजिए भिन्न है 72 बटा 150, और 150 में एक 3 छिपा है, तो लगता है कि दशमलव नहीं रुकेगा। पर 6 से काटें तो ये 12 बटा 25 बनती है, और 25 में बस 5 हैं, तो 0 दशमलव 4 8 पर दशमलव रुक जाता है।

उधर 99 बटा 150 को 3 से काटें, तो 33 बटा 50 बनती है, यानी 0 दशमलव 6 6, और ये दशमलव भी रुक जाता है। पर 130 बटा 300 देखने में वैसी ही है, और है नहीं, 10 से कटकर ये 13 बटा 30 बनती है, और वो 3 बचा रहता है। इसीलिए इसका प्रतिशत 43 दशमलव 3 3 के बाद भी चलता रहता है, और एक जगह तक गोल करें तो 43 दशमलव 3 बनता है।

जैसी लिखी है वैसी जाँचें, तो 12 में से 8 भिन्नों पर सही रहेंगे, और गलत ठीक उन 4 पर, जहाँ छोटा करते ही वो अटपटा गुणनखंड हट जाता है। अब एक गलतफ़हमी जो इसी से निकलती है, कि 1 बटा 3 ठीक 33 प्रतिशत है। जबकि 33 प्रतिशत यानी 33 बटा 100, और ये 1 बटा 3 से 1 बटा 300 कम है। तो 33 प्रतिशत एक अलग संख्या है, और 33 दशमलव 3 3 प्रतिशत 1 बटा 3 का गोल किया हुआ रूप है।

इसी तरह 9 बटा 34 का प्रतिशत 26 दशमलव 4 7 के बाद भी अंक देता रहता है, क्योंकि 34 में 17 छिपा है। कोई इसे 2 जगह तक लिखे और कोई 6 जगह तक, तो दोनों में से कोई गलत नहीं, बस एक ने कम जगह पर गोल किया। गोल करना एक सोचा समझा कदम है, और उसे खुलकर करना चाहिए, चुपचाप नहीं। अब एक तस्वीर जो एक साथ 3 रूप दिखाती है, बराबर खानों में बँटी एक पट्टी।

पट्टी के 5 खाने हैं, पूरी पट्टी 100 प्रतिशत है, तो एक खाना 20 प्रतिशत है। अब 4 खाने रंगें, तो वो 4 बटा 5 है, यानी 80 प्रतिशत। पट्टी के आखिर में 75 लिखें, तो वो 4 खाने 60 बनते हैं। अब बस आखिर वाली संख्या बदलकर 50 कर दें, तो वही 4 खाने 40 बनते हैं। मात्रा बदल गई, पर प्रतिशत अब भी 80 ही है। यानी प्रतिशत पट्टी के खानों से तय होता है, और मात्रा आखिर वाली संख्या से।

अब 10 खानों वाली पट्टी, एक खाना 10 प्रतिशत, और 6 खाने 60 प्रतिशत हैं। आखिर में 90 लिखा हो, तो वो 6 खाने 54 बनते हैं। और 4 खानों वाली पट्टी में एक खाना 25 प्रतिशत, और 3 खाने 75 प्रतिशत हैं। आखिर में 140 हो, तो वो 3 खाने 105 बनते हैं। खानों की गिनती भिन्न तय करती है, भिन्न प्रतिशत तय करती है, और आखिर वाली संख्या मात्रा।

इनमें से कोई भी अकेले कुछ नहीं बताता। अब एक खेल, जिसे 2 लोग मिलकर खेलते हैं, और इसका हर दौर बस 5 सेकंड का होता है। दोनों खिलाड़ी एक एक संख्या चुनते हैं, और उनसे एक भिन्न बनती है, छोटी ऊपर और बड़ी नीचे। फिर 5 सेकंड के अंदर दोनों उस भिन्न का प्रतिशत अंदाज़े से बताते हैं, और जिसका अंदाज़ा ज़्यादा पास हो, वो दौर जीतता है। ऐसे 10 दौर मिलकर एक खेल बनाते हैं।

मान लीजिए भिन्न आई 7 बटा 19, और अंदाज़े आए 35 और 40 प्रतिशत। देखिए, 19 के पास 21 है, और 7 बटा 21 ठीक 1 बटा 3 है, तो जवाब 33 से थोड़ा ऊपर होगा, और 2 बटा 5 यानी 40 से नीचे। असल जवाब करीब 36 दशमलव 8 4 प्रतिशत है, जो कभी रुकता नहीं, और 35 वाला अंदाज़ा 2 से भी कम दूर है, जबकि 40 वाला 3 से ज़्यादा।

दूसरे दौर में भिन्न है 11 बटा 16, और अंदाज़े हैं 70 और 65 प्रतिशत। यहाँ 12 बटा 16 तो 3 बटा 4 यानी 75 है, और 1 बटा 16 है 6 दशमलव 2 5, तो जवाब ठीक 68 दशमलव 7 5 प्रतिशत है। यानी 70 वाला अंदाज़ा जीता, और ये खेल उसी के हाथ आता है जिसके मन में आधार भिन्नें पक्की हों। अब इन 3 रूपों के साथ कोई मात्रा जोड़ते हैं, तब इनका असली काम दिखता है।

कुल 60 मिलीलीटर नारंगी रंग है, जिसमें 3 बटा 4 हिस्सा लाल है, तो लाल रंग कितना है? रास्ते 3 हैं, 60 का 3 बटा 4, 60 का 75 प्रतिशत, और 0 दशमलव 7 5 गुणा 60 वाला। हर रास्ते से जवाब 45 मिलीलीटर आता है, और मन में कौन सा करना है, ये आप चुनते हैं। यही बात अक्सर छूट जाती है, ये रूप आपस में बदले जा सकते हैं, इसलिए जो आसान हो वही चुनिए।

मान लीजिए 75 का 80 प्रतिशत चाहिए, तो 80 बटा 100 गुणा 75 से कहीं आसान है 0 दशमलव 8 गुणा 75, जो 60 देता है। पर 40 का 25 प्रतिशत चाहिए, तो 0 दशमलव 2 5 गुणा 40 से आसान है 40 की चौथाई, यानी 10 वाला जवाब। संख्या वही, रूप अलग, और ठीक रूप चुन लें तो हिसाब लगभग गायब हो जाता है। तो 140 का 75 प्रतिशत निकालना हो, तो कौन सा रूप चुनेंगे?

यहाँ 3 बटा 4 सबसे आसान है, 140 की चौथाई 35 है, और उसका 3 गुना 105 वाली संख्या। आखिर में यहाँ की सबसे प्यारी बात। एक जानवर को पहले दिन 2 हिस्से चारा मिलता है और वो 1 खाता है, अगले दिन 3 मिलते हैं और वो 2 खाता है, उसके अगले दिन 4 मिलते हैं और वो 3 खाता है। भिन्न में ये हैं 1 बटा 2, 2 बटा 3, 3 बटा 4 और 4 बटा 5 वाले हिस्से।

और प्रतिशत में ये हैं 50, करीब 66 दशमलव 6 7, 75 और 80 प्रतिशत। ऐसे ही चलते हुए, जिस दिन उसे 100 हिस्से मिलते हैं, उस दिन वो 99 खाता है, यानी 99 प्रतिशत। हर दिन का हिस्सा पिछले दिन से बड़ा है, फिर भी इनमें से कोई 100 तक नहीं पहुँचता। क्योंकि हर दिन ठीक 1 हिस्सा बचता है, और वो 1 हिस्सा कभी नहीं बदलता। बदलता है वो ढेर, जिसमें से वो बचा है, और बढ़ते ढेर में से 1 हिस्सा एक घटता हुआ भाग है, जो कभी पूरी तरह शून्य नहीं बनता।

अब एक आखिरी तस्वीर, 0 से 100 प्रतिशत तक की एक पट्टी, जिस पर 40 प्रतिशत का निशान है। उस निशान पर 4 बटा 10, 0 दशमलव 4 और 40 प्रतिशत, ये सब एक ही जगह बैठे हैं। नीचे लिखा 40 बटा 100 वही 0 दशमलव 4 है, और पट्टी के आखिर में 100 बटा 100 यानी पूरा 1 है। एक जगह, एक संख्या, और उसे पुकारने के 3 तरीके।

तो अगली बार प्रतिशत दिखे, तो असली सवाल यही है कि इस हिसाब के लिए कौन सा रूप सबसे हल्का रहेगा। क्योंकि संख्या कभी नहीं बदलती, बदलते हैं सिर्फ़ उसके कपड़े।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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