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Chapter 3 · A Story of Numbers

"base n" का मतलब क्या है, और दस एक चुनाव क्यों है, नियम नहीं

The idea of a base16 मिनट

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पिछली बार आकार एक नियम से बने थे, पिछले आकार के 10 मिलकर अगला। पर उस नियम में 10 किसी ने डाला था। उसकी जगह 5 रखिए, और सीढ़ी बनती है 1, 5, 25, 125, 625, 3125, और लिखना, जोड़ना, अदला बदली, सब वैसा ही चलता है।

मुख्य idea

गणित में दस कहीं नहीं है। "दस का गट्ठर" की जगह "पाँच का गट्ठर" रख दो, और Egyptian रचना का हर क़दम बचा रहता है — इसी से chapter base-n की परिभाषा सिर्फ़ दो शर्तों में, और कुछ नहीं, दे पाता है। और base रखने लायक़ क्यों है, इसकी वजह एक संवृतता (closure) वाली बात है: base system में दो landmark numbers का गुणनफल फिर से एक landmark number होता है। इसीलिए हासिल (carry) ले जाना हर स्थान पर एक ही चाल है, इसीलिए base से गुणा करना बस एक खिसकाव है, और इसीलिए लंबा गुणा काम करता ही है — और इनमें से कुछ भी Rome में सच नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • उसी नियम से base-5 system के landmarks बनाना जिससे Egyptian landmarks बनते हैं
  • base-n number system की दो शर्तों वाली परिभाषा बताना, और किसी दिए गए system को उस पर परखना
  • किसी संख्या को base-5 चिह्नों में लिखना, और वापस पढ़ना
  • किसी base system में दो numerals को जोड़ना, एक जैसे चिह्न इकट्ठा करके और base पर फिर से समूह बनाकर
  • दिखाना कि base system में दो landmark numbers का गुणनफल फिर से landmark है, और इससे गुणा करना
  • वितरण नियम से समझाना कि पूरे numeral को base से गुणा करने पर हर चिह्न एक landmark ऊपर क्यों खिसक जाता है
  • decimal गिनती-तख़्ते से संख्या पढ़ना, जहाँ ऊपर उठी गोटी पाँच की होती है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
base-n number systemऐसा system जिसका पहला landmark 1 है और हर अगला landmark पिछले वाले को एक तय n से गुणा करके बनता हैआधार-n संख्या पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.3, p.63)
decimal number systembase-10 system का नामदशमलव संख्या पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.3, p.63)
landmark numbersवे संख्याएँ जिन्हें कोई system मूल चिह्न देता है और जिनसे समूह बनाता हैसंदर्भ संख्याएँइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.2, p.58)
abacusलकीरों वाला तख़्ता जिस पर संख्या को दस की हर घात के लिए गोटियों की तरह रखा जाता हैगणनफलकइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.2, p.60)
counterतख़्ते की किसी लकीर पर या उसके ऊपर रखी जाने वाली खिसकने वाली गोटियों में से एकगोटीइसी chapter में छपा (Part I, §3.3, pp.68–69)
distributive propertyवह नियम जिसका सहारा chapter गुणा करने से पहले numeral को तोड़ने के लिए लेता हैवितरण नियमइसी chapter में छपा (Part I, §3.3, p.67)
Hindu systemवह system जिसका column वाला जोड़ chapter Egyptian जोड़ के बगल में रखता हैहिंदू पद्धतिइसी chapter में छपा (Part I, §3.3, p.66)
closure of the landmarksयह गुण कि दो landmark numbers का गुणनफल फिर से landmark होता हैसंवृतताइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो यह गुण साबित करता है पर उसे कोई नाम नहीं देता
regrouping at the baseकिसी चिह्न की n प्रतियों की जगह अगले चिह्न की एक प्रति रखनाआधार पर पुनःसमूहनइस पाठ का अपना वाक्यांश; chapter कहता है कि numeral को फिर से समूहों में बाँधा जाता है, पर इस चाल का कोई नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Base 10 ही सही base है।" chapter हूबहू उसी नियम से base-5 बनाता है, और हर गुण साथ चला आता है। दस चिह्नों के बारे में लिया गया फ़ैसला है, संख्याओं के बारे में कोई तथ्य नहीं।
  • "base बदलने से संख्या बदल जाती है।" इससे सिर्फ़ लिखावट बदलती है। 143 वही मात्रा है, चाहे वह base 10 में तीन digits की तरह लिखी जाए या base 5 में सात चिह्नों की तरह।
  • "हासिल ले जाना एक रटने वाला नियम है।" यह एक ही निर्देश है — किसी चिह्न के n अगले चिह्न का एक बन जाते हैं — और यह हर स्थान पर एक ही निर्देश ठीक इसलिए है कि लगातार landmarks एक स्थिर अनुपात में हैं। Part I p.66 का whiteboard तीन systems में हूबहू एक ही चाल दिखाता है।
  • "गुणा बार-बार जोड़ना ही है, इसलिए यहाँ कुछ नया नहीं होता।" नया यह है कि दो landmarks का गुणनफल एक landmark है। यही अकेला संवृतता वाला गुण गुणा को बस हिसाब-किताब में बदल देता है, और Rome में यह नहीं चलता।
  • "बड़ी संख्याओं के symbols वाले हर system का एक base होता है।" Rome के पास 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 के symbols हैं और कोई base नहीं: अनुपात बारी-बारी से पाँच और दो होते हैं, इसलिए परिभाषा की शर्त (b) पूरी नहीं होती।
  • "base होने का मतलब है कि numerals कभी कम नहीं पड़ते।" अब भी पड़ते हैं। Egyptian चिह्नों का set 10⁷ पर रुक जाता है, और Part I p.67 पर chapter का अपना एक गुणनफल 10¹⁰ पर पहुँचता है। यह अगले topic की समस्या है।
  • "abacus पर हर गोटी एक की होती है।" लकीर के ऊपर वाली गोटी पाँच की होती है। तख़्ते पर छह इकाइयाँ मतलब एक ऊपर उठी गोटी और एक लकीर पर, छह गोटियाँ नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 5 Q1, Figure it Out · 5 Q3, Figure it Out · 6 Q1, Figure it Out · 6 Q2

पूरा transcript2,316 शब्द

पिछली बार एक पद्धति ने आकार चुनना छोड़ा और उन्हें एक नियम से बनाया, 1 से शुरू कीजिए, और जो आकार बना उसके 10 लीजिए। हर आकार 10 की घात निकला, और लगा कि असली जवाब यही है। पर निर्देश को एक बार फिर पढ़िए, उसमें 10 आया कहाँ से? वो किसी का डाला हुआ अंक है, नियम को ख़ुद 10 की कोई ज़रूरत नहीं है। तो उसकी जगह 5 रखिए, पहला आकार 1, फिर उसके 5, यानी 5 का आकार।

फिर 5 के 5 गट्ठर, यानी 25, फिर 125, फिर 625, और फिर 3125 का आकार। वही निर्देश, बस अंक अलग, और दूसरे सिरे से एक पूरी काम की सीढ़ी निकलती है। और 7 रखिए तो सीढ़ी बनती है 1, 7, 49, 343, 2401 और 16807 की। तो 10 संख्याओं का कोई सच नहीं है, वो निशानों के बारे में लिया गया एक फ़ैसला है। नई सीढ़ी को भी उसी तरह निशान दीजिए, हर आकार का अपना एक निशान।

सबसे पहले 1 के लिए एक तिकोना, 5 के लिए एक चौकोर, और 25 के लिए एक षट्भुज। फिर 125 के लिए एक गोला, 625 के लिए एक लहर, और 3125 के लिए एक तीर। यानी 6 आकार, 6 निशान, और हर आकार 5 की घात है। अब ध्यान दीजिए कि क्या क्या दोबारा नहीं बनाना पड़ा। पड़ावों के बीच हर कदम 5 का है, इसलिए अदला बदली के लिए अब भी बस एक ही संख्या है।

और लिखना भी वैसा ही है, सबसे बड़ा आकार जितनी बार समाए उतना लीजिए, फिर छोटे आकार पर जाइए। किसी चीज़ के लिए अलग नियम नहीं बनाना पड़ा, पूरी बनावट इस बदलाव के बाद भी वैसी ही बची रही। अब इसी सीढ़ी पर 143 लिखकर जाँचते हैं। पहले देखिए, 143 में जो सबसे बड़ा आकार समाता है वो 125 है, और वो सिर्फ़ एक बार समाता है। तो एक गोला, और बाकी बचते हैं 18 के।

अब 25 वाले षट्भुज, पर 18 में एक भी 25 नहीं समाता, तो षट्भुज एक भी नहीं। फिर 5 वाले चौकोर, 18 में 3 बार समाते हैं, यानी 15, और 3 बचते हैं। और बचे हुए 3 के लिए 3 तिकोने। एक गोला, 3 चौकोर, 3 तिकोने, कुल 7 निशान, और इन्हें जोड़ें तो फिर से 143 बनता है। वही तरीका जो आप पहले से जानते हैं, बस एक ऐसी सीढ़ी पर जिसके साथ कोई बड़ा नहीं हुआ।

अब 5 और संख्याएँ, 15, 50, 137, 293 और 651, इन्हें ख़ुद लिखकर जाँचिए। पहली संख्या 15 बस 3 चौकोर है, और 50 बस 2 षट्भुज। फिर 137 में एक गोला, 2 चौकोर और 2 तिकोने लगते हैं। उसके बाद 293 में 2 गोले, एक षट्भुज, 3 चौकोर और 3 तिकोने, यानी पूरे 9 निशान, इन सब में सबसे लंबा। और 651 में बस एक लहर, एक षट्भुज और एक तिकोना।

क्या कोई ऐसी संख्या है जो इस सीढ़ी पर लिखी ही न जा सके? जवाब है नहीं, 1 से 3000 तक एक भी नहीं, और कोई निशान 4 से ज़्यादा बार नहीं लगता। वजह पहला पड़ाव है, सीढ़ी 1 से शुरू होती है, इसलिए आख़िर में जो भी बचे, वो तिकोनों से पूरा हो जाता है। अगर सीढ़ी 1 की जगह 2 से शुरू होती, जैसे 2, 4 और 8, तो पहली 100 संख्याओं में से 50 लिखी ही नहीं जातीं, सारी विषम संख्याएँ।

अब परिभाषा लिखी जा सकती है, और उसमें बस 2 शर्तें हैं। पहली शर्त, पहला पड़ाव 1 का है। दूसरी शर्त, हर अगला पड़ाव पिछले पड़ाव को किसी एक तय संख्या से गुणा करके मिलता है। जो पद्धति दोनों शर्तें पूरी करे, वो आधार पद्धति है, और वो तय संख्या उसका आधार है। हमारी दोनों सीढ़ियाँ 10 आधार और 5 आधार की हैं, और 10 आधार वाली पद्धति को दशमलव पद्धति कहते हैं।

आधार n हो तो पड़ाव n की घातें ही होते हैं, 1, n, n गुणा n, और आगे, और ये 2 से 12 तक के सभी 11 आधारों पर जाँचा गया है। अब एक असली परीक्षा, पिछली बार वाली असमान सीढ़ी, 1, 5, 10, 50, 100, 500 और 1000, क्या वो आधार पद्धति है? पहली शर्त ठीक है, वो 1 से ही शुरू होती है। दूसरी शर्त नहीं, वो 5 से चढ़ती है, फिर 2 से, फिर 5 से, फिर 2 से, यानी 2 अलग संख्याएँ, तो वो आधार पद्धति है ही नहीं।

और जो सीढ़ी 10, 100 और 1000 से शुरू हो, वो हर बार 10 से चढ़कर भी पहली शर्त पर अटक जाती है। दूसरी शर्त से क्या मिलता है, इसकी शुरुआत जोड़ से होती है। मसलन 87 और 78, 10 वाली सीढ़ी के निशानों में, बिना किसी को संख्या में बदले। दोनों को एक साथ डालिए और हर तरह के निशान गिनिए, 15 लकीरें और 15 मेहराब। ऐसा अंक कोई नहीं लिखेगा, इसलिए नियम एक ही है, किसी निशान के 10 मिलकर अगले निशान का एक बनते हैं।

पहले 10 लकीरें मिलकर एक मेहराब बनती हैं, 5 लकीरें बचती हैं, और मेहराब अब 16 हो जाते हैं। फिर 10 मेहराब मिलकर एक कुंडली बनते हैं, और 6 मेहराब बचते हैं। एक कुंडली, 6 मेहराब, 5 लकीरें, यानी 165, और सिर्फ़ 2 अदला बदली में। और ये तरीका हर बार सही निकलता है, 5 वाली सीढ़ी पर 625 जोड़ियों में से 625, और 10 वाली पर 1089 में से 1089 जोड़ियाँ।

अब देखिए कि इसी के अंदर एक गलती कैसे छिप जाती है। मान लीजिए डाली हुई पंक्ति में एक लकीर ज़्यादा लिख दी गई, 15 की जगह 16 लकीरें। अब पहले की तरह ही अदला बदली कीजिए, 10 लकीरें मिलकर एक मेहराब बनती हैं, और 6 लकीरें बचती हैं। और जवाब आता है एक कुंडली, 6 मेहराब और 6 लकीरें। ये एक पूरा सही दिखने वाला अंक है, कोई निशान 9 से ज़्यादा बार नहीं, उसमें कुछ भी अजीब नहीं दिखता।

पर वो 166 है, और सही जवाब 165 है, फ़र्क सिर्फ़ 1 का, और वो भी पूरा लकीरों में। अदला बदली गलत गिनती को नहीं पकड़ती, वो उसे सजा देती है, और आपको कुछ ऐसा लौटाती है जो पूरा दिखता है। इसलिए जवाब को अलग से जाँचना पड़ता है, जैसे 87 और 78 को सीधे जोड़कर, जो 165 देता है। अब एक जोड़ लीजिए और उसे 3 तरीकों से एक साथ कीजिए, 47 और 56 का जोड़।

अंकों में, 7 और 6 मिलकर 13, तो 3 लिखिए और 1 हासिल। फिर 4, 5 और हासिल का 1 मिलकर 10, तो जवाब 103 बनता है। अब 10 वाले निशानों में, 47 है 4 मेहराब और 7 लकीरें, और 56 है 5 मेहराब और 6 लकीरें। साथ डालें तो 13 लकीरें और 9 मेहराब, फिर वही 2 अदला बदली, और वही जवाब। और 5 वाले निशानों में, 47 है एक षट्भुज, 4 चौकोर और 2 तिकोने, और 56 है 2 षट्भुज, एक चौकोर और एक तिकोना।

साथ डालें तो 3 तिकोने, 5 चौकोर और 3 षट्भुज। अब 5 चौकोर मिलकर एक षट्भुज बनते हैं, यही अदला बदली है, और चौकोर पूरी तरह गायब हो जाते हैं, बचते हैं 4 षट्भुज और 3 तिकोने। यानी 2 की जगह एक अदला बदली, एक ऐसा अंक जो बाकियों से बिल्कुल अलग दिखता है, और अंदर वही संख्या 103 है। अदला बदली की गिनती अलग थी, पर निर्देश वही था।

किसी निशान के 10 से अगले का एक, या किसी निशान के 5 से अगले का एक, हर जगह एक ही संख्या। पर क्या ये संख्या अपनी पसंद से चुनी जा सकती है? चलिए 87 वाले जोड़ को फिर लीजिए, और 10 की जगह 5 पर अदला बदली कीजिए। अब 15 लकीरों से 3 मेहराब बनते हैं, फिर 18 मेहराब से 3 कुंडली, और 3 मेहराब बचते हैं। जवाब अब भी एक पूरा अंक दिखता है, कोई निशान 9 से ज़्यादा बार नहीं, और वो 330 पढ़ा जाता है।

संख्या 165 बढ़ गई, और किसी ने शिकायत नहीं की। अदला बदली की संख्या तय है, वो पास के 2 पड़ावों का अनुपात ही है, इसलिए जिस सीढ़ी में 2 अनुपात हों, उसे 2 संख्याएँ याद रखनी पड़ती हैं। इसीलिए 10, 5 और 7 वाली सीढ़ियों को एक एक संख्या याद रखनी है, जबकि असमान सीढ़ी को 5 और 2, दोनों याद रखने पड़ते हैं। पर क्या इसमें कुछ गहरा है, या ये बस जोड़ की बात है?

जिस तथ्य पर सब कुछ टिका है, वो गुणा के बारे में है। आधार पद्धति में किन्हीं 2 पड़ावों का गुणा कीजिए, जवाब फिर से एक पड़ाव ही होता है। मसलन 100 गुणा 1000 है 1 लाख, और 25 गुणा 125 है 3125, दोनों अपनी अपनी सीढ़ी के पड़ाव। गिनकर देखें तो 10 वाली सीढ़ी पर जितने गुणनफल सीढ़ी में समाते हैं, 36 में से 36 पड़ाव पर ही गिरते हैं।

और 5 वाली सीढ़ी पर भी यही, 21 में से 21 गुणनफल पड़ाव पर गिरते हैं। असमान सीढ़ी पर 25 में से 22, और 3 पायदानों के बीच गिरते हैं, ऐसी संख्याओं पर जिनका कोई निशान ही नहीं। वो 3 हैं 5 गुणा 5, यानी 25, और 5 गुणा 50 और 50 गुणा 5, यानी 250, दोनों बार। वजह सीधी है, पड़ावों को गुणा करने पर उनकी पायदानें जुड़ जाती हैं, और ये 10 वाली सीढ़ी की सभी 36 जोड़ियों पर और 5 वाली की सभी 21 पर सच है।

यही गुण असली फ़र्क है, इससे गुणा हर बार नया मामला न रहकर बस हिसाब किताब बन जाता है। अब ये गुण खुलकर अपना काम करता है। किसी पूरे अंक को उसके आधार से गुणा कीजिए, और हर निशान ठीक एक पायदान ऊपर चढ़ जाता है। पर ऐसा क्यों होता है, हर निशान ठीक एक ही पायदान क्यों चढ़ता है? पहले एक आसान उदाहरण, 200 गुणा 10, यानी 100 और 100 के जोड़ को 10 से गुणा करना।

हर टुकड़े को अलग से गुणा कीजिए, 1000 और 1000, यानी कुल 2000 बनते हैं। अब 121 लीजिए, जो 100, 20 और 1 का जोड़ है। हर टुकड़े को 10 से गुणा कीजिए, 1000, 200 और 10, और कुल 1210 बनता है। हर टुकड़ा अगले बड़े पड़ाव पर पहुँचा, क्योंकि पड़ाव गुणा आधार भी एक पड़ाव है, कुछ भी हिसाब नहीं लगाना पड़ा। यही खिसकना है, और 1 लाख संख्याओं में से हर एक पर ये ठीक 10 से गुणा करने जैसा निकलता है।

ये लिखावट की कोई चाल नहीं, ये वही गुण है, और साथ में ये छूट कि जोड़ को गुणा से पहले तोड़ा जा सकता है। अब 2 गुणा ऐसे, जिनके जवाब को एक नया निशान चाहिए। पहला, 522 यानी 5 कुंडली, 2 मेहराब और 2 लकीरें, इसे एक मेहराब से, यानी 10 से गुणा कीजिए। हर निशान एक पायदान चढ़ता है, 5 मुड़े डंडे, 2 कुंडली और 2 मेहराब, यानी 5220 बनता है।

मुड़ा डंडा किसी भी गुणनखंड में नहीं था, पर जवाब को वो चाहिए। दूसरा, 1010 यानी एक मुड़ा डंडा और एक मेहराब, इसे भी 10 से गुणा कीजिए। जवाब 10100 है, एक कुंडली और 10000 वाला एक निशान, जो दोनों में से किसी में नहीं था। खिसकना जवाब को सीढ़ी पर ऊँचा ले जाता है, और ऊँची पायदान का निशान अपने आप काम आ जाता है। पर इस गुण की भी एक सीमा है, और वो हिसाब में नहीं है।

अब पड़ावों के 4 गुणा लीजिए, पायदान 1 और 5 के, 2 और 3 के, 3 और 3 के, और 4 और 6 के। पायदानें जोड़िए, तो जवाब की पायदानें आती हैं 6, 5, 6 और 10 पर। पर 10 वाली सीढ़ी के 8 निशान पायदान 7 तक जाते हैं, और 10 उनके सिरे से 3 पायदान आगे है। जवाब मौजूद है, उसे बनाने वाला नियम मौजूद है, बस उसके लिए कोई तस्वीर नहीं है।

जो निशान हैं उन्हीं से लिखें, तो सबसे बड़ा निशान 1000 बार लिखना पड़ेगा। वही पुरानी शिकायत, बस सीढ़ी पर और ऊँचे, आधार हिसाब ठीक करता है, पर तस्वीरों का ख़त्म होना नहीं रोकता। आधार से एक और चीज़ मिलती है, और इसे आप हाथ में पकड़ सकते हैं। पट्टियों वाला एक तख़्ता, सबसे निचली पट्टी 1 की, अगली 10 की, फिर 100 की, और फिर 1000 की। पट्टी पर रखी गोटी एक बार गिनी जाती है, और पट्टी के ऊपर रखी गोटी उस पट्टी की 5 गिनी जाती है।

मसलन 3426 रखिए, 1000 वाली पट्टी पर 3 गोटियाँ, 100 वाली पर 4, और 10 वाली पर 2 गोटियाँ। और 6 इकाइयों के लिए, क्या 6 गोटियाँ चाहिए? नहीं, पट्टी के ऊपर एक गोटी, जो 5 की है, और पट्टी पर एक गोटी। कुल 11 गोटियाँ, जहाँ ऊपर वाली गोटी के बिना 15 गोटियाँ लगतीं। और 1 से 9999 तक हर संख्या ऐसे रखी और वापस पढ़ी जा सकती है, और सब की सब ठीक निकलती हैं।

तख़्ता सिर्फ़ इसलिए काम करता है कि हर पट्टी अपने से निचली पट्टी की 10 गुना है, यानी दूसरी शर्त, लकड़ी में बनी हुई। इस पर जोड़िए, और अदला बदली फिर वही चाल है। मसलन 2907 और 43, बीच में एक खड़ी डंडी से अलग। पहले 2907 में 1000 वाली पट्टी पर 2, 100 वाली के ऊपर एक और उस पर 4, 10 वाली ख़ाली, और 1 वाली के ऊपर एक और उस पर 2 गोटियाँ।

फिर 43 में 10 वाली पट्टी पर 4 और 1 वाली पर 3 गोटियाँ। पट्टियों को मिलाइए, 7 इकाइयाँ और 3 इकाइयाँ मिलकर 10 बनती हैं। तो सारी इकाइयाँ उतर आती हैं, और एक गोटी 10 वाली पट्टी पर चढ़ जाती है। अब 10 वाली पट्टी पर 4 और 1, यानी 5, तो उनकी जगह पट्टी के ऊपर एक गोटी। अब जो गोटियाँ बचती हैं, वो मिलकर 2950 पढ़ी जाती हैं, और यही जोड़ है।

तो आख़िर में आधार से हमें क्या क्या मिला? हर पायदान की अलग संख्या की जगह, अदला बदली की एक ही संख्या। दूसरा, ऐसे गुणनफल जो ख़ुद भी सीढ़ी के पड़ाव ही होते हैं। आधार से गुणा, जो बस एक पायदान खिसकना है। और एक तख़्ता, जिसकी हर पट्टी बाकी हर पट्टी जैसा ही बर्ताव करती है। ये सब दूसरी शर्त से आया, कि पास पास के पड़ाव एक तय अनुपात में खड़े हैं।

और जो नहीं मिला, वो है हर आकार के लिए एक निशान, और अगली बार यही चीज़ हटाई जाएगी।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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